高一新生入学数学摸底试题[1]
河南省高一下学期开学摸底考试数学试题(解析版)
高一下学期开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知，集合，，则（ ） U =R {}24A x x =<<{}|(5)(3)0B x x x =--≥()U A B = ðA ． B ． {}25x x <<{}23x x <≤C ．或 D ．{|5x x ≥}4x <{}34x x <<【答案】D【分析】根据集合的交并补运算和一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得或，则或， ()()530x x --≥5x ≥3x ≤{|5B x x =≥}3x ≤故， {}|35U B x x =<<ð故. {}()|34U A B x x =<< ð故选:D.2．已知函数f (x )=(a ∈R )，若，则a =（ ）2,0,2,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩((1))1f f -=A ．B ．C ．1D ．21412【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案 (1)f -((1))f f -【详解】解：由题意得， (1)(1)22f ---==所以，解得a =. 2((1))(2)241f f f a a -==⋅==14故选：A【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题3．在中，点D 在BC 边上，且.设，，则可用基底，表示为ABC A 2BD DC = AB a=AC b = AD a b （ ）A ．B ．1()2a b +r r 2133a b + C ．D ．1233a b + 1()3a b +r r 【答案】C【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.【详解】因为，所以.2BD DC =23BD BC = 所以22()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+- 12123333AB AC a b =+=+故选：C 4．若，则下列不等式中不正确的是（ ） 110a b<<A ． B ． C ． D ．a b ab +<a b >22a b >2ab b <【答案】C【分析】结合不等式的性质确定正确选项. 【详解】由<0，得b <a <0，故B 项正确；∴a 2<b 2，ab <b 2，故C 项不正确，D 项正确；11a b<∵a +b <0，ab >0，∴a +b <ab ，故A 项正确. 故选：C5．已知，则等于（ ） sin 2cos 0αα+=cos 2sin 2αα-A ．B ．C ．D ．45352515【答案】D【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化tan αsin ,cos αα切代入求值．【详解】由得，sin 2cos 0αα+=tan 2α=-222222cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin 2sin cos sin cos αααααααααααα---=--=+．22221tan 2tan 1(2)2(2)1tan 1(2)15ααα-----⨯-===+-+故选：D ．6．已知幂函数满足，若，，，则，()f x x α=()()2216f f =()4log 2a f =()ln 2b f =()125c f -=a ，的大小关系是（ ）b c A ． B ． a c b >>a b c >>C ． D ．b ac >>b c a >>【答案】C【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.()()2216f f =13α=()f x 【详解】由可得，∴，()()2216f f =4222αα⋅=14αα+=∴，即.由此可知函数在上单调递增.13α=()13f x x =()f x R 而由换底公式可得，，242log 21log 2log 42==22log 2ln 2log e =125-∵，∴，于是， 21log 2e <<2222log 2log 2log 4log e<4log 2ln 2<又，∴，故，，的大小关系是. 12<1245log 2-<a b c b a c >>故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（ ）()0m m >()g x mA ．B ．C ．D ．π6π2π3π2【答案】B【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利()f x ()g x 用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.()g x m 【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则， 3A =()f x π4π6π2T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π163ω==因为，可得， ()303sin 2f ϕ==1sin 2ϕ=因为且函数在附近单调递增，故，所以，， ππ22ϕ-<<()f x 0x =π6ϕ=()π3sin 36x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，()f x ()0m m >()g x 则，()()1π1π3sin 3sin 36363m g x x m x ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数的图象关于原点对称，则，解得，()g x ()ππ63m k k -=∈Z ()π3π2m k k =-∈Z 当时，， 0k =π2m =故选：B.8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ (2)()()2()g x f x kx xk =--∈R k 围是（ ）A ．B ．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．D ．(,0)(0,-∞ (,0))-∞+∞ 【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分(0)0g =|2|y kx =-()()||f x h x x =3三种情况，数形结合讨论即可得到答案.0,0,0k k k =<>【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 (0)0g =()g x ()|2|||f x kx x -=即可， 令，即与的图象有个不同交点. ()h x =()||f x x |2|y kx =-()()||f x h x x =3因为， 2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 0k =2y =2y =()()||f x h x x =1当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 0k <|2|y kx =-()()||f x h x x =3当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 0k >2y kx =-2y x =220x kx -+=令得，解得，所以0∆=280k -=k =k >综上，的取值范围为. k (,0))-∞+∞ 故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、多选题9．在下列命题中，真命题是（ ） A ．命题“”的否定形式是：“，”. 0001,2x R x x ∃∈+≥x ∀∈R 12x x+<B ．.20,10x R x x ∃∈++=C ．，使得.,x y Z ∃∈3210x y -=D ．.2,x R x x ∀∈>【答案】AC【解析】根据特称命题的否定可判断A ，由可判断B ，取特值可判断CD.22131()024x x x ++=++>【详解】对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定形式是：“0001,2x R x x ∃∈+≥，”，正确； x ∀∈R 12x x+<对于B ，，所以不正确；22131(024x x x ++=++>20,10x R x x ∃∈++=对于C ，当时，所以正确；4,1x y ==3210x y -=对于D ，当是，，所以不正确.0x =2x x =故选：AC.10．若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） a b ∈R 0ab >A ．B ． 222a bab +≥a b +≥C ．D ．11a b +>2b aa b+≥【答案】AD【分析】利用作差法可判断A 选项；利用特殊值法可判断BC 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，故，A 对； ()22220a b ab a b +-=-≥222a b ab +≥对于B ，取，此时，B 错； 1a b ==-22a b +=-<=对于C ，取，此时，C 错； 1a b ==-1122a b +=-<=对于D ，因为，所以，，所以， 0ab >0a b >0b a >2b a a b +≥=当且仅当时，等号成立，D 对. a b =故选：AD.11．已知函数（，且）的值域为，函数，，则||x y a =0a >1a ≠(]0,1()()21log a f x a x x a=-[],2x a ∈下列判断正确的是（ ） A ．01a <<B ．函数在上为增函数 ()f x [],2a C ．函数在上的最大值为2 ()f x [],2a D ．若，则函数在上的最小值为-3 12a =()f x [],2a 【答案】ACD【分析】对于A ，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B ，对函数化简后由对a 数函数的单调性进行判断，对于CD ，由函数的单调性可求出函数的最值.【详解】对于A ，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，， ||x y a =(]0,1||x y a =0x ≥x y a =所以，所以A 正确，01a <<对于B ，，， ()()22111log log log 2log a a a a f x a x x a x x x x a a a=-=+-=+-[],2x a ∈由，可知和在上单调递减， 01a <<log a y x =1y x a=-[],2a 所以函数在上为减函数，所以B 错误，()f x [],2a 对于C ，由选项B 可知在上为减函数，所以，所以()f x [],2a max 1()()2log 2a f x f a a a a==+-⋅=C 正确，对于D ，由选项B 可知在上为减函数，所以当时， ()f x [],2a 12a =，所以D 正确， min 122()(2)2log 2312f x f ==+-=-故选：ACD.12．设函数，则（ ）()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．的最小值为，其周期为 ()y f x=πB ．的最小值为，其周期为()y f x =2-2πC ．在单调递增，其图象关于直线对称()y f x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭4x π=D ．在单调递减，其图象关于直线对称()y f x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2x π=【答案】AD【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.()2f x x =【详解】，函数的最小值是，周期，故A 正()2244fx x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππ==确，B 错误；时，，所以在单调递减，令，得，其中一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈()y f x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2x k =π,2k x k Z π=∈条对称轴是，故C 错误，D 正确.2x π=故选：AD三、填空题13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________. x R ∈2320x x +-<x 【答案】2(1,3-【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 2320x x +-<即， (1)(32)0x x +-<即， 213x -<<故的取值范围是．x 2(1,)3-【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．14．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△ABC A B C a b c 4a =223b c bc +=120A =︒的面积为_______．ABC【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积316cos1202bc bc-︒=bc 即可.【详解】由余弦定理得：，则，解得：，222cos 2b c a A bc+-=316cos1202bc bc -︒=4bc =∴. 112sin 4sin223ABC S bc A π==⨯⨯=A15．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到π()24f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π3的图象，若，则的最小值为____________．()g x ()()()122120g x g x x x ⋅=>>12x x +【答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ，根据最值点即可由三角函数的性质求解.()()122g x g x ==【详解】有题意得，由于对任意的，π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()g x ≤故根据得()()()122120g x g x x x ⋅=>>()()12g x g x ==()()12g x g x ==若且, ()()12g x g x ==12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+m k >因此， 12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +13π12若且, ()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2m k >因此， 121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +25π12故取最小值，且最小值为， 12x x +13π12故答案为：13π1216．已知，若∈，使得，若的最大π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________.M N +=【答案】23π6【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，()f x 3π0,2⎡⎤⎢⎣⎦123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3f x x =+3π[0,]2因为 π(0)2sin3f ==3ππ(2sin(π23f =+=所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，1x 2x 3x由，π2sin(23x +=πsin(2)3x +=则，，，；10x =2π6x =3πx =7π6N =当的图象与直线相交时，()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M由π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；127π6x x +=33π2x =8π3M =所以. 23π6M N +=故答案为：. 23π6四、解答题17．已知集合，． 2111x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭(){}2220B x x m x m =+--<(1)当时，求；1m =A B ⋂(2)是的必要条件，求的取值范围．x A ∈x B ∈m 【答案】(1)112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭(2) 24m -≤≤【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； 1m =A B A B ⋂（2）分析可知，对、的大小关系进行分类讨论，根据检验或得出关于实数的B A ⊆2m-1B A ⊆m 不等式，综合可求得实数的取值范围. m 【详解】（1）解：由可得，解得，即， 2111x x +<-2121011x x x x ++-=<--2<<1x -{}21A x x =-<<当时，，此时，.1m ={}2121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）解：由题意可知，且，B A ⊆()(){}210B x x m x =+-<当时，即当时，，不满足，不符合题意；12m->2m <-12m B x x ⎧⎫=<<-⎨⎬⎩⎭B A ⊆当时，即时，，符合题意； 12m-=2m =-B =∅当时，则，由，得，解得.12m-<12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭B A ⊆212m -≤-<24m -<≤综上，．24m -≤≤18．的内角的对边分别为，已知． ABC A ,,A B C ,,a b c 2sin()8sin2B AC +=（1）求；cos B （2）若，面积为2，求． 6a c +=ABC A b 【答案】（1）；（2）2． 1517【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简A C B π+=-，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知()sin A C +28sin 2B22sin cos 1B B +=cos B ，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 8sin 17B =ac b 试题解析：（1），∴，∵， ()2sin 8sin2BA C +=()sin 41cosB B =-22sin cos 1B B +=∴，∴，∴； ()22161cos cos 1B B -+=()()17cos 15cos 10B B --=15cos 17B =（2）由（1）可知， 8sin 17B =∵，∴， 1sin 22ABC S ac B A =⋅=172ac =∴， ()2222222217152cos 2152153617154217b a c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=∴．2b =19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，.经测024t <≤t ∈N 算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减1624t ≤≤016t <<少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.(16)t t -()f t (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；()f t (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个()3160320f t P t-=+时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人 ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪=∈⎨≤≤⎪⎩(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少10t =【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；()6,396012t =（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.【详解】（1）当时，设，，则，016t <<()5160(16)f t kt t =--(6)3960f =20k =. ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪∴=∈⎨≤≤⎪⎩，(12)5160201244200f =-⨯⨯=故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2）， ()()10020,(016)2000320,1624t t t P t N t t⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=∈⎨⎪+≤≤⎪⎩①当时，，当且仅当时等号成立； 016t <<1002020400P t t ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭10t =②当时，； 1624t ≤≤200032040324P ≥+≈又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.403400>10t =20．已知函数的部分图象如图所示． ()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭(1)求，的值；A ω(2)求函数在区间上的最大值和最小值． ()f x ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)，1A =2ω=(2)最大值1；最小值 12-【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出. A ω（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质x 26x π+计算可得.【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为， 1A =2236πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭则由得．2ππω=2ω=（2）解：由（1）知， ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，， 64x ππ-≤≤Q 232x ππ∴-≤≤， 22663x πππ∴-≤+≤． 1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当，即时，取得最大值1；262x ππ+=6x π=()f x 当，即时，取得最小值． ππ266x +=-6x π=-()f x 12-。
陕西省高一下学期开学摸底考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}13A x x =-≤≤{}2log 1B x x =>A B ⋃=A ． B ． {}1x x ≥-{}12x x -≤<C ． D ．{}23x x <≤{}3x x ≤【答案】A【分析】解不等式求出集合，再与集合求并集即可. 2log 1x >B A 【详解】不等式等价于，2log 1x >22log log 2x >∵在区间上单调递增，∴，即， 2log y x =()0+∞，2x >{}{}2log 12B x x x x =>=>又∵，∴. {}13A x x =-≤≤{}1A B x x ⋃=≥-故选：A. 2．命题“”的否定为（ ） 10,11x x x ∃≥+<+A ． B ． 10,11x x x ∃<+≥+10,11x x x ∃≥+≥+C ． D ． 10,11x x x ∀<+≥+10,11x x x ∀≥+≥+【答案】D【分析】特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为. 10,11x x x ∀≥+≥+故选：D3．（ ） sin 45cos15cos 45sin15-=o o o oA ．B ．C ．D 12-12【答案】C【分析】利用两角差的正弦公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果．【详解】由两角差的正弦公式得， ()1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302-=-==o o o o o oo 故选C ．【点睛】本题考查两角差的正弦公式求值，要熟悉两角和与差的正、余弦公式的结构，根据代数式的结构选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题． 4．设是定义域为R 的偶函数，且，，则（ ） ()f x ()()2f x f x +=-1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f 92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．32-12-1232【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和，从而得到，即的周期为，()()2f x f x +=-()()2f x f x +=()f x 2从而利用函数周期和奇偶性求出.92f ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为是定义域为R 的偶函数， ()f x 所以， ()()f x f x -=故， ()()()2f x f x f x +=-=所以的周期为，()f x 2故.99111422222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（ ） a A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】设扇形半径为，由周长求出弧长为，根据扇形面积公式求出面积最大时的r a l 12S lr =r 值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和为定值结合扇形面积公式进行求解. 【详解】方法一：设扇形的半径为（），则扇形的弧长（）， r 0r >2l a r =-2ar <扇形的面积，（），()2112222a S lr a r r r r ==-=-+02a r <<由二次函数知识，当（满足）时，扇形的面积取最大值， ()2214aa r =-=⨯-02a r <<22a S r r =-+此时，扇形的弧长，扇形圆心角的弧度数. 22242a al a r a r =-=-⨯==2l rα==方法二：设设扇形的半径为，弧长为（，），则扇形的周长， r l 0r >0l >2a l r =+由基本不等式，扇形的面积，当且仅当时取等号， 2211122244216l r a S lr l r +⎛⎫==⋅≤⋅=⎪⎝⎭2l r =此时，扇形的圆心角的弧度数. 2lrα==故选：B.6．设，则（ ）0.122,log 0.1,cos0.1a b c ===A ． B ． a b c >>b a c >>C ． D ．c a b >>a c b >>【答案】D【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断. 【详解】由指数函数的单调性可知：； 0.10221a =>=由对数函数的单调性可知：； 22log 0.1log 10b =<=由余弦函数的单调性可知：， π0cos cos 0.1cos 012c =<=<=故选：. D 7．“”是“”的（ ） 4sin 25α=tan 2α=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直接利用二倍角的正弦公式换化简，再利用齐次式进行弦切互222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα==+化，得出，即可求出，即可判断充分条件和必要条件.22tan 4tan 15αα=+tan α【详解】解：， 2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=⇔=+ 则或， 22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+12所以“”是“”的必要不充分条件. 4sin 25α=tan 2α=故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.8．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ） ln 1y x =-2cos πy x =-A ．10 B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像与函数，根据图像可ln |1|y x =-2cos πy x =-知两函数交点个数且图像都关于直线对称，然后利用图象关键点估算得到所有交点的对数，由1x =对称性即可得到所有点的横坐标之和.【详解】易知函数与的图象都关于直线对称，函数的周期ln 1y x =-2cos πy x =-1x =2cos πy x =-，2T =当时，，7x =222cos7π2,ln 71ln 6ln 7.29ln 2.7ln e 2-=-=<=<=当时，，作出两函数的大致图象如图所9x =222cos9π2,ln 91ln 8ln 7.84ln 2.8ln e 2-=-=>=>=示，由图可知两函数图象共有7对关于直线的对称点，且每对交点的横坐标之和为2， 1x =故所有交点的横坐标之和为14.故选：B二、多选题9．若，则（ ） 0a b <<A ．B ． 11a b>2ab b >C ．D ．a b +>2b aa b+>【答案】ABD【分析】对A 、B ：利用作差法分析判断；对C 、D ：根据基本不等式分析判断. 【详解】对A 、B ：∵，则， 0a b <<0,0b a ab ->>∴，即，，A 、B 正确；2110,()0b a b ab b b a a b ab--=>-=-<11a b >2ab b >对C ∵，例如，则，显然不满足C 错误；0a b <<1a b ==-2,2a b +=-=a b +>对D ：∵，则， 0a b <<01,1b aa b<<>∴，D 正确. 2b a a b +>=故选：ABD.10．下列函数在区间上存在唯一零点的是（ ） []1,3-A ．B ． ()228f x x x =--()322f x x =-C ．D ．()121x f x -=-()()1ln 2f x x =-+【答案】BCD【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答.【详解】的解为在区间上没有零点，故A 错误；()2280f x x x =--= ()2,4,x x f x =-=∴[]1,3-在上为增函数，且在区间上存在()322f x x =- [)0,∞+()()()02,320,f f f x =-=>∴[]1,3-唯一零点，故B 正确；在上为增函数，且在区间上存在唯一零点，()121x f x -=- R ()()()31,33,4f f f x -=-=∴[]1,3-故C 正确；在上为减函数，且在区间上()()1ln 2f x x =-+ ()2,-+∞()()()11,31ln50,f f f x -==-<∴[]1,3-存在唯一零点，故D 正确. 故选：BCD11．已知函数，则（ ）()33x xf x -=-A ．的值域为 B ．是上的增函数 ()f x R ()f x R C ．是上的奇函数 D ．的解集为()f x R ()0f x >()1,+∞【答案】ABC【分析】由在上单调递增，可得在的单调性、值域，再将代入可得3x y =R ()33x xf x -=-()f x -的奇偶性，再解不等式，可知错误. ()f x 330x x -->D 【详解】由在上单调递增，在上单调递减，3x y =R 3x y -=R 可得函数在上单调递增，正确；()33x xf x -=-R B 且，正确；()(),,,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+A又，正确；()()f x f x -=-C ，即，即，错误. ()0f x >330x x -->33,,0x x x x x ->∴>-∴>D 故选.ABC 12．已知函数，则（ ） ()1tan tan f x x x=+A ．是奇函数 B ．的最小值是2 ()f x ()f x C ．的最小正周期是 D ．在单调递减()f x π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【分析】先将函数化简整理，根据正弦函数的周期和奇偶性即可判断选项；取特殊值代入即可A,C 判断选项；根据正弦函数的单调性即可判断选项. B D 【详解】的定义域为关于原点对称， ()1tan tan f x x x =+ π,Z 2k xx k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣，是奇函数，且最小正周期是，所以选项()1sin cos 2tan tan cos sin sin2x x f x x x x x x =+=+=()f x \2ππ2=正确；A,C 取，则，故选项错误； π4x =-()2f x =-B 因为由的图象和性质易得在先减后增，故选项错误.()2sin2f x x=sin2y x =()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭D 故选：.AC三、填空题13．的值为_______ tan 300【答案】【分析】直接按照诱导公式转化计算即可．【详解】tan300°=tan （300°﹣360°）=tan （﹣60°）=﹣tan60°=故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化．14．函数单调减区间为______．()()2lg 23f x x x =--【答案】(),1-∞-【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数单调性求解单调递减区间即可.【详解】解：函数的定义域满足，解得或，()()2lg 23f x x x =--2230x x -->1x <-3x >又函数在上单调递减，在上单调递增， 2=23y x x --(),1-∞-()3,+∞函数在上单调递增，lg y x =()0,∞+由复合函数单调性可得：函数单调减区间为.()()2lg 23f x x x =--(),1-∞-故答案为：.(),1-∞-15．将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变cos sin y x x =-()0ϕϕ>为原来的倍，得到函数的图象，则的一个可能取值为_________. 12cos2sin2y x x =+ϕ【答案】（答案不唯一） π2【分析】化简函数、的解析式，并求出平移后的函数解析式，可得cos sin y x x =-cos2sin2y x x =+出关于的等式，由此可得结果.ϕ【详解】因为，πππcos sin cos cos sin sin 444y x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭将函数的图象先向右平移个单位，可得到函数的图π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ϕϕ>π4y x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，可得到函数的图象，12π24y x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为，πππcos2sin2cos 2cos sin 2sin 2444y x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪⎭⎝⎭所以，，可得， ππ2π44k ϕ-=-+()π2π2k k ϕ=+∈N 故的一个可能取值为. ϕπ2故答案为：（答案不唯一）. π216．已知两条直线和与函数的图象从左至右相交与点11:2l y m =+214:(0),l y m l m=>2log y x =与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为2,,A B l 2log y x =,C D AC BD x ,当变化时,的最小值为_________. ,a b m ba【答案】【分析】设出的横坐标,根据线和与函数的图象相交的情况,列出等式,进而求,,,A B C D 1l 2l 2log y x =得各点横坐标,列出,化简,利用基本不等式即可求得最小值. ba【详解】解:不妨设各点的横坐标分别为, ,,,A B C D ,,,A B C D x x x x 则有2211log ,log ,22A B x m x m -=+=+,24log C x m-=24log ,D x m =解得4411222,2,2,2,m m mmA B CD x x x x ---+====所以141419222222222m m B Dm m A Cx x b a x x ++++-==⋅=≥==-当且仅当,即时取等, 4m m=2m =所以的最小值为ba故答案为:四、解答题 17．求值： (1)； 01310.0277-⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2).ln 21lg20lg4lg e 5-++【答案】(1)； 73(2). 2【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出. (2)根据对数的运算性质即可求得. 【详解】（1）； ()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+=+-=+-=⎪⎝⎭（2）.ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭18．已知幂函数为偶函数()()2133m f x m m x +=-+(1)求幂函数的解析式；()f x (2)若函数在上单调，求实数的取值范围.()()2ag x f x x =-⋅[]2,4a【答案】(1)()2f x x =(2)或 2a ≤3a ≥【分析】（1）根据幂函数和偶函数的定义可求结果；（2）先求解的解析式，结合二次函数知识可得实数的取值范围. ()g x a 【详解】（1）依题意有：， 2331m m -+=解得或；1m =2m =又函数为偶函数，则，()f x 1m =所以.()2f x x =（2）；()22ag x x x =-⋅由题知：或，222a ≤242a≥所以或.2a ≤3a ≥19．函数的部分图象如图所示.()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式;()f x (2)若函数在区间有5个零点,求的取值范围. ()f x []0,m m 【答案】(1)()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 29π35π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据图象可得,将代入解析式,结合即可得出解析式;2,A =2ω=π,26⎛⎫⎪⎝⎭π2ϕ<(2)由(1)的解析式,对相位进行换元,则函数在区间有5个零点即即在区间()f x []0,m 2cos y x =有5个零点,根据的图象,列出不等式求出范围即可. ππ,233m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2cos y x =【详解】（1）解:因为由图象可知 0,A >2,A =且有所以, π2πππ,2362T ==-=ω2ω=因为图象过点所以π,2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭π2cos 22,6⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ϕ即解得,π2π,3k +=ϕπ2π,Z 3k k ϕ=-∈因为所以故.π,2ϕ<π,3=-ϕ()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由(1)知,()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为所以,[]0,,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦由函数在区间上有5个零点,()f x []0,m 即在区间有5个零点,2cos y x =ππ,233m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦由的图象知,只需即可, cos y x =9ππ11π2232m ≤-<解得,故.29π35π1212m ≤<29π35π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭20．已知函数是定义在上的奇函数，当 ()f x (1,1)-[0,1),()2ln(1).x f x x x ∈=++(1)求函数的解析式;()f x (2)解不等式2(31)(1)0.f x f x -+-≥【答案】(1) ()()()2ln 1,102ln 1,01x x x f x x x x ⎧--+-<<⎪=⎨++≤<⎪⎩(2)2(0,)3【分析】（1）由是奇函数，，以及，求解即可； ()f x ()()f x f x -=-[0,1),()2ln(1)x f x x x ∈=++（2）转化为，结合函数单调性以及函数定义2(31)(1)0f x f x -+-≥22(31)(1)(1)f x f x f x -≥--=-域，列出不等式求解即可.【详解】（1）由题意当时，， 10x -<<01x <-<故()2()ln(1)f x x x -=-+-+又是奇函数，所以，所以()f x ()()f x f x -=-()2ln(1)f x x x =--+()()()2ln 1,102ln 1,01x x x f x x x x ⎧--+-<<⎪∴=⎨++≤<⎪⎩（2）22(31)(1)0(31)(1)f x f x f x f x -+-≥∴-≥-- 又是奇函数，所以()f x 22(1)(1)f x f x --=-2(31)(1)f x f x ∴--…由都为上的增函数，故在上递增，2,ln(1)y x y x ==+(0,1)()2ln(1)f x x x =++(0,1)又是奇函数，，()f x (0)0f =故是上的增函数()f x (1,1)-220331121311031110x x x x x x x x ⎧≤≤⎧-≥-⎪⎪⎪∴-<-<∴<<⎨⎨⎪⎪-<-<⎩⎪<<≠⎩不等式的解集为203x ∴<<∴2(0,321．已知()()π40π,tan 2023π,cos 23αβαβα<<<<+=-(1)求的值；tan 2α(2)求角的值.β【答案】(1)； 1tan22α=(2). 34πβ=【分析】（1）由求得，再由倍角公式求得并根据的范围取舍； ()4tan 2023π3α+=tan αtan 2αα（2）由的范围求出的范围，分别求出，的值，利用αβ，βα-()sin βα-cos α，代入计算即可求出，然后结合的()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα=-+=---cos ββ范围求出. β【详解】（1）， ()222tan 42tan 2023πtan ,2tan 3tan 203221tan 2αααααα+===∴+-=- 解得或， 1tan 22α=2-； ππ10,0,tan 22422ααα<<∴<<∴= （2） π40,tan ,23αα<<=由 得， 22sin cos 1sin tan cos ααααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩34cos ,sin 55αα== ()π0π,cos2αββα<<<<-= ()()0,π,sin βαβα∴-∈∴-==()()()34cos cos cos cos sin sin 55ββααβααβαα∴=-+=---==，. 0πβ<< 34πβ∴=22．已知函数（）的图象相邻两对称轴间的距离为. ())2cos cos 1f x x x x ωωω=-+0ω>π2(1)求函数的最大值及其单调递增区间；()f x max ()f x (2)是否存在实数满足：，？若存在，求出m []1ln2,ln2x ∀∈-()111122max ee e e 5()x x x x mf x --++-+≥m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，单调递增区间为，. max ()2f x =πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2)存在，. 2929,66m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由已知，())2cos cos 1f x x x x ωωω=-+ 2cos 2cos 1x x x ωωω=-+)()22sin cos 2cos1x x x ωωω=--cos2x x ωω=- 12cos22x x ωω⎫=-⎪⎪⎭π2sin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵函数的图象相邻两对称轴间的距离为， ()f x π2设的最小正周期为，∵，∴，∴， ()f x T 0ω>12ππ2222T ω=⨯==1ω∴， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴当（），即（）时，的最大值， ππ22π62x k -=+k ∈Z ππ3x k =+k ∈Z ()f x ()max 2f x =令，， πππ2π22π262k x k -+≤-≤+k ∈Z 解得，，ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z ∴的单调递增区间为，. ()f x πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）由第（1）问知，，()max 2f x =只需判断是否存在实数满足：，， m []1ln2,ln2x ∀∈-()1111222ee e e 5x x x x m --++-+≥令，∵易知在上单调递增，∴当时，， 1111e e e 1e x x x x t -==--1e e x x y =-R []1ln2,ln2x ∈-33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴，()11112222e e e e 22x x x x t --+=-+=+∴只需判断否存在实数满足：，， m 33,22t ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦2252t mt +++≥即在上恒成立. 250t mt ++≥33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令，其对称轴方程为，当时， ()25g t t mt =++2m t =-33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦①若，即，在区间上单调递增， 322m -≤-3m ≥()25g t t mt =++33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为，令，解得， ()g t min 3293()242m g t g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭293042m -≥296m ≤∴此时； 2936m ≤≤②若，即，在区间上单调递减，区间上33222m -<-<33m -<<()25g t t mt =++3,22m ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭3,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递增，的最小值为，令，解得 ()g t 2min()524m m g t g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2504m -≥m -≤≤∴此时；33m -<<③若，即，在区间上单调递减， 322m ≤-3m ≤-()25g t t mt =++33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为，令，解得， ()g t min 3293()242m g t g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭293042m +≥296m ≥-∴此时， 2936m -≤≤-综上所述，当时，在上恒成立. 2929,66m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦250t mt ++≥33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴存在实数满足：，. 2929,66m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1ln2,ln2x ∀∈-()111122max e e e e 5()x x x x m f x --++-+≥。
平陆中学高一上学期入学摸底考试数学试题
高一新生入学摸底考试总分100分，时长45分钟一、选择题1、若8+=a b ，2=ab ，则33+=a b （ ）A ．128B ．464C ．496D ．5122、多项式2232--+y yx x 分解因式的结果是（ ）A ．()()3-++y x y xB ．()()3+-x y x yC ．()()3---y x y xD ．()()3+-x y x y3、已知关于x 的方程()()2221-+=-k x k k x 有两个不相等的实数根，求k 的范围（ ）A ．14>-k B ．14≥-k C ．14>k D ．14≥k4、设{}12=≤<A x x ，{}=>B x x a ，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．2>aD ．2≥a5、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()1=f x ，()2=g x xB ．()2=+f x x ，()242-=-x g x xC ．()=f x x ，()()()00≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩x x g x x x D ．()=fx x ，()2=g x6、函数()23=+++f x ax bx a b 为偶函数，且定义城为[]1,2-a a ，则a 、b 分别为多少（）A ．1，0B ．13，1 C ．1，1 D ．13，07、函数()10,10,+≥⎧=⎨-+⎩x x f x x x 的单调性为（ ）A ．在()0,+∞上是减函数B ．在(),0-∞上为增函数，在()0,+∞上为减函数C ．不能判断其单调性D ．在(),-∞+∞上是增函数8、如果()f x 是定义在R 上的奇的数，那么下列函数中一定是偶函数的是（ ）A ．()=+y f x xB ．()=y xf xC ．()2=+y x f xD ．()2=y x f x 二、填空题9、已知{}20⊂-+=x x x a φ，则实数a 的取值范围是______．10、函数()()0113=++f x x x 的定义域是______． 11、已知函数()2132-=-+f x x x ，则()=f x ______．12、二次函数2236=+-y x mx 在(],6-∞上是减函数，则m 的取值范围是______． 三、解答题13、已知22,25,6⎡⎤=-+⎣⎦A a a a ，且3-∈A ，求实数a ．14、已知方程252150+-=x x ，求：（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和． 15、已知()()[)223,,021,0,+∈-∞⎧⎪=⎨+∈+∞⎪⎩x x f x x x （1）求()0f ，()1-⎡⎤⎣⎦f f 的值．（2）若()2=f x ，求x 的值．（3）试画出函数()=y f x 的图象．。
2023-2024学年高一下学期数学开学摸底考01(新高考地区)(解析版)
高一数学开学摸底考（新高考地区）01
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试范围人教A版2019必修第一册全部
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
()
=-x x x
y f x a
选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
第Ⅱ卷。
8—19学年高一入学摸底考试数学试题(附答案) (1)
屯溪一中2018级高一入学数学摸底考试一. 选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知函数c bx ax y ++=2，若c b a >>，且0=++c b a ，则它的图象可能是（ ）ABC D2．下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）.3．如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）.2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， (A ) 3x + 4y ≥9， (B ) 3x + 4y ≤9， (C ) 3x + 4y ≥9， (D ) 3x + 4y ≥9， y ≥0 y ≥0 x ≥0 x ≥04．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图 与侧视图是半径均为2的圆，则该几何体的 表面积是（ ）A ．14πB ．12π第3题第4题图C ．10πD ．8π5．如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，90BAC ︒∠=，OA 1=，BC 6=.则⊙O 的半径为（ ）A ．6B ．13 CD．6．已知一组数据：12，5，5，9，14，下列说法不正确的是 （ ） A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．方差是167．暑假来临，小红和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机抽取一个社区参加综合实践活动，那么小红和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为（ ） A ．12 B ．13 C ．16 D ．198．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝32，则四边形MABN 的面积是（ ） A ．36 B ．312 C ．38 D ．324第9题图9．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a －2b+c<0；④ a ：b ：c= －1：2：3.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心， AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ， 则图中阴影部分面积的差S 1-S 2为( )A ．41312π-B ．4912π-C ．4136π+ D ． 6 二. 填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上） 11.已知1,a =则=+--2018323a a a .第5题（第8题图）NMDACB第10题图12. 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小棒．13. 一个由一些大小相同的小立方块构成的几何体，从正面看和从左 面看看到的形状完全相同，如图所示，构成的此几何体的小立方块的 个数最少有 个14. 如图，△ABC 是圆的内接三角形， ∠BAC 的平分线交圆于点D ， 交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②2FB ＝FD·FA ； ③AE·CE ＝BE·DE ； ④AF·BD ＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是:三. 解答题（本大题共9小题共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 、(本小题满分4分)解不等式3213-+x ＞2x -1，并把解集在数轴上表示出来.16、(本小题满分6分)已知5,1a b ab +=-= 17、(本小题满分10分) 若关于x 的方程012)23(2=-+++m x m mx ，有且只有整数根，试求所有实数m 的值。
高一入学摸底测试卷
峨山一中2021届新生入学考试数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.64的平方根是().A.8B.4C.±8D.±42.右下图是一个封闭的几何体,其俯视图是().3.下列计算中,正确的是().A.a3×a2=a6B.a3÷a=a3C.a2+a2=a4D.(a2)2=a44.已知一晶体管的长度为0.00000004 m,将0.00000004用科学记数法表示为().A.4×108B.4×10-8C.0.4×108D.-4×1085.要使分式x 2-93x+9的值为0,你认为x可取的值是().A.9B.±3C.3D.-36.在一次信息技术考试中,某爱好小组7名同学的成果(单位:分)分别是:70,100,90,80,90,90,80,则这组数据的中位数与众数分别为().A.80与80B.80与90C.90与80D.90与907.将一副直角三角板按下图所示放置,直角顶点重合在一起,其中∠A=30°,∠E=45°,若DE∥BC,则∠1等于().A.65°B.75°C.80°D.90°8.如图,在△ABC中,∠A=70°,AB=6,AC=9,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相像的是().9.如图,在边长为1个单位长度的正方形组成的网格图中,有三个顶点A,B,C,用一枚圆形的硬币能同时遮住这三个点(忽视点的大小),则硬币的半径至少为().A .2B .√5C .3√22D . 310.若抛物线y=x 2+bx+c 先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=x 2-2x+2,则b ,c 的值为( ).A .b=4,c=9B .b=-4,c=-9C .b=-4,c=9D .b=4,c=-911.如图,点P (m ,m )是反比例函数y=16x 在第一象限内的图象上的一个点,以P 为顶点作等边三角形PAB ,使A ,B 落在x 轴上,则△POA 的面积是( ).A .3B .4C .12−4√33D .24−8√3312.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,动点P 从点A 动身沿对角线向点C 运动,每秒1个单位长度,作PE ⊥AD ,垂足为E ,连接BP.若△ABP 的面积记为S 1,△APE 的面积记为S 2,S=S 1-S 2,则S 关于运动时间t (秒)的函数的图象是( ).二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.分解因式:a 3-a = .14.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=1 cm,CD ⊥AB ,在AC 上取一点E ,使EC=BC ,过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ,若EF=3 cm,则AE= cm .15.如图,正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合,且BE=DF ,则∠BAE 的大小是 .16.视察下列分母有理化的计算:√3+1=√3-1,√5+√3=√5-√3,√7+√5=√7-√5,…从计算结果中找出规律,且利用这一规律计算:1+√3+√3+√5+√5+√7+…+√2017+√2019= . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)解不等式组{1−x+13≥0,3−4(x -1)<1.(2)化简(2a+1+a+2a2-1)÷aa-1,并在0,1,2中选取一个合适的a值代入求代数式的值.18.(12分)某商店在2019年至2019年间销售一种玩具.2019年,该商店用3500元购进了这种玩具并且全部售完.2019年,这种玩具的进价比2019年下降了11元/个,该商店用2400元购进了与2019年相同数量的玩具也全部售完,玩具的售价均为60元/个.(1)2019年这种玩具的进价是多少元/个?(2)若该商店每年销售这种玩具所获利润的年增长率相同,问:年增长率是多少?19.(12分)为了便利游客欣赏景色,某景区设计建立了如图所示的高为6米的观景台CD,且坡面BC的坡度为1∶1.后来为了便利行人推车(如子女带老人旅游),确定调整坡度,新坡面的坡度为1∶√3.(1)求新坡面的坡角θ.(2)原坡面底部正前方13米(EB的长)处有一个古建筑EF,为爱护文物,当地文物管理部门规定,坡面底部至少距古建筑7米.请问新的设计方案能否通过?并说明理由.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)20.(12分)如图,AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点,BP与圆O交于点C.(1)若D为AP的中点,求证:直线CD是圆O的切线.(2)若AP=2√3,∠P=30°,求阴影部分的积.21.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知∠CAB=90°,AB=AC,点A(-2,0),B(0,1).(1)求点C的坐标.(2)将△ABC沿x轴正方向平移,在第一象限内B,C两点的对应点B',C'恰好落在某反比例函数的图象上,求该反比例函数的解析式.(3)若把上一问中的反比例函数记为y1,点B',C'所在的直线记为y2,请干脆写出在第一象限内当y1<y2时x的取值范围.22.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于点C,OC=3,与x轴交于A,B 两点.(1)求该抛物线的方程.(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC,AD,求△ACD的面积.(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问:是否存在点E,使得以D,E,F为顶点的三角形与△BCO相像?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.。
【数学】周南中学2022-2023学年高一上学期入学摸底测试(解析版)
2022年周南中学高一新生入学摸底考试数学试题时间90分钟，分值120分姓名__________考生号__________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，500张A4打印纸()280g /m 约厚0.052m ，因此，一张纸的厚度大约是0.000104m ，数据“0.000104”用科学记数法可表示为（）A.30.10410-⨯B.510.410-⨯ C.31.0410-⨯ D.41.0410-⨯【答案】D 【解析】【分析】利用科学记数法求解即可.【详解】数据“0.000104”用科学记数法可表示为41.0410-⨯.故选：D.2.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的定义可得答案.【详解】在33172=-，π，2022π，共有两个.故选：A .3.如图，这个组合几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，故左视图下面是矩形，左上方是矩形.故选：A4.下列计算正确的是（）A.=B.1-=C.2= D.3=【答案】C 【解析】【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.【详解】对于A 不是同类二次根式，不能进行加减运算，A 错误；对于B ，115-==，B 错误；对于C 2÷==，C 正确；对于D ，-=，D 错误.故选：C5.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A.5005004510x x -= B.5005004510x x -=C.500050045x x-= D.500500045x x-=【答案】A 【解析】【分析】分别求在4G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间，从而得解.【详解】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则在4G 网络峰值速率下传输500兆数据需要500x秒，5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在5G 网络峰值速率下传输500兆数据需要50010x秒，而5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=.故选:A.6.已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据的方差为（）A.47B.447C.547D.6【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列：5566677，，，，，，，.平均数为5+5+6+6+6+7+767x ==，方差为()()()22221425636627677s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故A 正确.故选：A7.下列说法正确的是（）A.海底捞月是必然事件B.明天的降雨概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨C.为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查D.甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是21.3s =甲，21.1s =乙，则乙的射击成绩比甲稳定【答案】D 【解析】【分析】利用事件、概率的意义判断AB ；利用抽样、方差的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，海底捞月是不可能事件，A 错误；对于B ，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为80%，说明明天降雨的可能性为80%，B 错误；对于C ，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C 错误；对于D ，由于22s s >甲乙，则乙的射击成绩比甲稳定.故选：D8.已知点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.132y y y >>B.123y y y >>C.123y y y <<D.213y y y <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出1y 、2y 、3y 的值即可作答.【详解】由点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，得1232,2,1y y y ==-=-，所以132y y y >>.故选：A9.如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A.53,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，(0,2)F B.(2,2)E -，(0,2)F C.53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(2,2)E -，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，若60ADC ∠=︒，122AB BC ==，则下列结论：①30CAD ∠=︒，②14OE AD =，③ABCD S AB AC =⋅，④BD =.其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得=60BAE DAE ABE ∠=∠︒=∠，从而可得ABE 为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30CAE ACE ∠=∠=︒，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据90BAC ∠=︒，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在Rt ABC △中，利用勾股定理可得AC 的长，从而可得OA 的长，再在Rt AOB △中，利用勾股定理可得OB 的长，然后根据2BD OB =即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，122AB BC ==，60,120,//,,,4ABC BAD AD BC OA OC OB OD AD BC ∴∠=︒∠=︒====，AE 平分BAD ∠，60BAE DAE ABE ∴∠=∠=︒=∠，ABE ∴ 为等边三角形，2AE BE AB ∴===，60AEB ∠=︒，422CE BC BE ∴=-=-=，CE AE BE ∴==，1302CAE ACE AEB ∴∠=∠=∠=︒，又AD //BC ，30CAD ACE ∠∴∠==︒，结论①正确；,B OA OC E CE == ，111244OE AB BC AD ∴===，结论②正确；90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒ ，AB AC ∴⊥，ABCD S AB AC ∴=⋅ ，结论③正确；在Rt ABC △中，AC ===12OA AC ∴==在Rt AOB △中，OB ===2BD OB ∴==综上，结论正确的有4个，故选：D ．11.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；②22()0a c b +-=；③940a c +<；④若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的开口可得0a >，与y 轴的交点在下方可得0c <，抛物线的对称轴可得0b >可判断①；设()1,0A x ，()2,0B x ，由5OA OB =可得1251x x =-=，，从而5c a =-，可判断②③④.【详解】因为抛物线的开口向上，所以0a >，与y 轴的交点在下方，所以0c <，抛物线的对称轴是202bx a=-=-<，可得0b >，所以<0abc ，故①错误；设()1,0A x ，()2,0B x ，抛物线对称轴是22bx a=-=-，即4b a =，可得124x x +=-，因为5OA OB =，所以125x x =-，可得1251x x =-=，，所以125cx x a==-，即5c a =-，所以2222()(5)160=-=+--a c b a a a ，故②正确；可得()94945110+=+⨯-=-<a c a a a ，故③正确；因为0a >，若m 为任意实数，则()222248244am bm b am am a a m a ⎡⎤++=++=++≥⎣⎦，故④正确.故选：C.12.如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若:8:9HM EM =，2HD =，则AB 的长为（）A.114B.2910C.3D.【答案】B 【解析】【分析】设,9HM t EM t ==，根据给定图形，用t 表示出BG ，NQ ，BC ，再利用勾股定理列式计算作答.【详解】由:8:9HM EM =，设8,9HM t EM t ==，0t >，因为四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，则92BC AD AH HD EM HD t ==+=+=+，2BG BE AB AE AD HM t ==-=-=+，2NQ HD ==，又BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，即222BC BG NQ =+，因此222(92)(2)2t t +=++，即220810t t +-=，而0t >，解得110t =，所以2910AB BC ==.故选：B二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：22ab ab a -+=__________.【答案】2(1)a b -【解析】【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.【详解】2222(21)(1)ab ab a a b b a b -+=-+=-.故答案为：2(1)a b -14.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒l =__________.【答案】【解析】【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.【详解】设圆锥的底面半径为r 2π3，可得圆锥底面周长为2π2πr =圆锥的母线为l ,该圆锥的侧面展开图弧长为2π3l ⨯=解得l =故答案为：.15.已知()2484m n m n ka b a b -+=，则k m n ++=__________.【答案】6或2【解析】【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.【详解】因为()222222484-+-+==m n m nm n m n ka b k a b a b ，所以24224228k m n m n ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得231k m n =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或231k m n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则6k m n ++=，或2k m n ++=.故答案为：6或2.16.若关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则k 的取值范围为__________.【答案】3k <且1k ≠【解析】【分析】分析可知1x ≠-，解方程121-=+k x 得出x ，根据题意可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】对于方程121-=+k x ，有10x +≠，可得1x ≠-，由121-=+k x 可得32k x -=，因为关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则302312k k -⎧<⎪⎪⎨-⎪≠-⎪⎩，解得3k <且1k ≠.故答案为：3k <且1k ≠.17.代数式||1|1|x x x x -+-的一切可能值为__________.【答案】2-，0，2【解析】【分析】分0x <、01x <<、1x >讨论去绝对值可得答案.【详解】由已知0x ≠，1x ≠，当0x <时，111211--+=--=---x x x xx x ；当01x <<时，111011--+=-=--x x x xx x ；当1x >时，111211--+=+=--x x x xx x .故答案为：2,0,2-.18.如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径作 AC ，F 为 AC 上一动点，过点F 作 AC 所在圆的切线，交AD 于点P ，交DC 于点Q .（1）图①中DPQ V 的周长等于__________.（2）如图②，分别延长PQ 、BC ，延长线相交于点M ，设AP 的长为x ，BM 的长为y ，则y 与x 之间的函数表达式_________________________.【答案】①.8②.8(04)2xy x x =+<<【解析】【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得DPQ V 的周长；连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，判断出 BAP BFP ≌△可得==PM BM y ，再由222PM MN PN =+可得y 与x 之间的函数表达式.【详解】 四边形ABCD 是正方形，4AB BC CD DA ∴====，90∠=∠=∠=∠= BAD B BCD D ，AD ∴切 AC 所在圆于点A ，CD 切 AC 所在圆于点C ，又PQ ∵切 AC 所在圆于点F ，AP PF =，CQ QF =，DPQ ∴△的周长8AD CD =+=；如图，连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，则易得四边形ABNP 为矩形，4PN AB ∴==，BN AP x ==，MN BM BN y x ∴=-=-，在BAP △和BFP △中，AB FB AP FP BP BP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，BAP BFP ∴≌△△，APB FPB ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，APB PBC ∴∠=∠，FPB PBC ∴∠=∠，PM BM y ∴==.在Rt PMN △中，222PM MN PN =+，222()4y y x ∴=-+，即8(04)2x y x x =+<<.故答案为：①8；②8(04)2x y x x =+<<.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3429第二次2631（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.【答案】（1）甲乙分别能运输5吨和3.5吨（2）甲货车8辆，乙货车2辆【解析】【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据已知数据列方程组求x 、y 即可；（2）设甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，结合（1）及已知有5 3.5(10)46.4z z +-≥，求z ，进而确定最节省费用的车辆安排.【小问1详解】设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据题意得34292631x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得53.5x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.【小问2详解】设安排甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，根据题意得5 3.5(10)46.4z z +-≥，解得7.6z ≥，z 为整数，则8z =或9或10，因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，∴当8z =时1082-=，最小费用850023004600=⨯+⨯=（元），答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.20.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长.（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度.（用含a ，b ，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度.【答案】（1）(tan )a b α+米（2）3.8米.【解析】【分析】（1）利用在Rt AEC △中tan tan AE CE a αα=⋅=，可得AB AE BE =+；（2）由ABH GCH ∽△△得211AB BC =+，由ABF EDF ∽ 得233 1.8AB BC=++，从而求出BC ，可得答案.【小问1详解】如图：由题意得：BE CD b ==米，EC BD a ==米，90AEC ∠= ，ACE α∠=，在Rt AEC △中，tan tan AE CE a αα=⋅=（米），()tan AB AE BE b a α∴=+=+米，∴灯杆AB 的高度为()tan a b α+米；【小问2详解】由题意得：2GC DE ==米， 1.8CD =米，90ABC GCD EDF ∠=∠=∠=︒，AHB GHC ∠=∠ ，ABH GCH ∴∽△△，CG CH AB BH ∴=，211AB BC∴=+，F F ∠=∠ ，ABF EDF ∴∽△△，DE DF AB BF ∴=，233 1.8AB BC ∴=++，1313 1.8BC BC ∴=+++，0.9BC ∴=米，2110.9AB ∴=+， 3.8AB ∴=米，∴灯杆AB 的高度为3.8米.21.如图，O 的直径10AB =，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，过点D 作//DE AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD .（1）由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积是多少？（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）2525π24+；（2）证明见解析；（3）354.【解析】【分析】（1）连接OD ，利用给定条件，证明OD AB ⊥，再计算扇形面积和三角形面积作答.（2）证明OD DE ⊥，再利用切线的判定推理作答.（3）过A 作AF D E ⊥，再借助相似三角形求解作答.【小问1详解】连接OD ，由O 的直径10AB =，得90ACB ∠=︒，又ACB ∠的平分线交O 于D ，则2290AOD ABD ACD ACB ∠︒=∠=∠=∠=，即OD AB ⊥，扇形AOD 面积2125ππ44S OA '=⋅=，所以由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积12525π224BOD S S S OD OB S ''=+=⋅+=+ .【小问2详解】由（1）知OD AB ⊥，而//DE AB ，则OD DE ⊥，所以DE 是O 的切线.【小问3详解】由（1）知90ACB ∠=︒，又10AB =，6AC =，则8BC ==，过点A 作AF D E ⊥于点F ，由（1）（2）知，四边形AODF 是正方形，即5FD AF OD ===，又90EAF CAB ABC ∠=︒-∠=∠，则Rt Rt EAF ABC ∽，于是EF AC AF BC =，即561584EF ⨯==，所以1535544=+=+=DE DF EF .22.已知：如图，抛物线22y x x c =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，该抛物线的顶点为M .（1）求点A 、B 的坐标以及c 的值.（2）证明：点C 在以BM 为直径的圆上.（3）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点(1,0)A -，点(3,0)B ，3c =；（2）证明见解析；（3）存在，点P 坐标为57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入，再解方程作答.（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.（3）设出直线CP 所对函数解析式，再利用等面积法求解作答【小问1详解】将点(0,3)C -代入22y x x c =--得：3c =，则抛物线的解析式为：2=23y x x --，而抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点，由2230x x --=，解得=1x -或3x =，所以点(1,0)A -，点(3,0)B .【小问2详解】由（1）知2(1)4y x =--，即点(1,4)M -，而点(3,0)B ，点(0,3)C -，则BC ==BM ==CM ==，因此22220BC CM BM +==，即有=90BCM ∠︒，所以点C 在以BM 为直径的圆上.【小问3详解】设直线CP 与BM 的交点为F，如图，由直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分，得CMF BCF S S = ，而CMF 和BCF △是等高的两个三角形，即有FM BF =，点F 是BM 的中点，由点(3,0)B ，点(1,4)M -，得点F 坐标为(2,2)-，设直线CP 的解析式为y mx n =+，把点C 、点F 得坐标代入得322n m n =-⎧⎨+=-⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，于是直线CP 解析式132y x =-，而点P 是直线CP 与抛物线2=23y x x --的交点，则由213232x x x -=--解得：0x =或52x =，显然点P 与C 不重合，即点P 的横坐标不为0，当52x =时，74y =-，所以点P 坐标为57(,)24-.23.如图，在半径为3的圆O 中，OA 、OB 都是圆O 的半径，且90AOB ∠=︒，点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），延长AC 交射线OB 于点D .（1）如果设AC x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当185AC =时，点E 在线段OD 上，且1OE =，点F 是线段OA 上一点，射线EF 与射线DA 交于点G ，如果以点A 、G 、F 为顶点的三角形与DGE △相似，求AGF DGE S S 的值.【答案】（1）3x y x-=，0x <<；（2）2581.【解析】【分析】（1）连接OC ，AB ，过点O 作OH AC ⊥于点H ，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C 的位置求出定义域作答.（2）利用相似三角形性质求出AF ，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.【小问1详解】连接OC ，AB ，过点O 作OH AC 于点H ，如图2，由OA OC =，AC x =，得1122AH AC x ==，OH ===又90AOD ∠=︒，则OAH DOH ∠=∠，而90AHO AOD ∠=∠=︒，即AOH ADO ∽ ，于是AH OA OH OD =，又BD y =，因此13213x y =+，即3363x x y x -=，由点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），得0AC AB <<，而AB ===0x <<，所以y 关于x的函数解析式为3x y x-=，定义域为0x <<.【小问2详解】如图，当185AC =时，由（1）知，1185BD ==，由1OE =，3OB =，得2BE =，3DE =，4OD =，由AGF EGD ∽，得GFA D ∠=∠，而GFA OFE ∠=∠，则OFE D ∠=∠，因此OFE ODA ∽，则OF OE OD OA =，即143OF =，解得43OF =，45333AF OA OF =-=-=，所以225253(()381AGF DGE S AF S ED === .。
高一入学摸底考试数学试卷
第1页(共4页)命题教师： 审核：注意事项：1．答题前，考生务必将密封线内的内容填写清楚，将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在机读卡上． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案． 3．考试结束后，将本试卷和机读卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．2008-的绝对值是（ ） A ．2008-B ．2008C ．12008-D ．120082．如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AB DE ∥，78B = ∠，60C = ∠，则EDC ∠的度数为（ ）A ．42B ．60C．78D ．803．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A ．等边三角形 B ．平行四边形 C．抛物线 D ．双曲线 4．下列调查方式中适合的是（ ）A ．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B ．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式 D ．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式5．如图，在Rt ABC △中，90C = ∠，三边分别为a b c ，，， 则cos A 等于（ ）A ．a cB ．a bC ．baD ．b c6．函数y =x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）7．某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x ，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）A ．2B ．4C ．4.5D ．5 8．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C = ∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定9．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（ ） A ．b c > B ．b c < C ．b c = D ．无法判断10．如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落在奇数上的概率是（ ）A ．425B ．5C ．6D ．92511．在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来．如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ） A ．9箱 B ．10箱 C ．11箱 D ．12箱 12．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半 ③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4高一入学摸底考试试卷数学考试时间：120分钟 满分：150分A ．B ．C ．D ． ADCE B（2题图）AC B ac（5题图）（8题图）（10题图） 左视图 主视图 俯视图（11题图）第2页(共4页)第Ⅱ卷（非选择题 共64分）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接填在题中横线上．） 13．分解因式：34x x -= ．14．在如图所示的四边形中，若去掉一个50 的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．15．如图，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C = ∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．16．根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．三、解答题（本大题共5个小题，共44分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）17．（8分）计算：0112sin 602-⎛⎫+- ⎪⎝⎭18．（9分）如图，在ABC △中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE =∠∠，AD 与CE 相交于点F ，试判断AFC △的形状，并说明理由．19．（9分）某校九年级一班的暑假活动安排中，有一项是小制作评比．作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第三组的频数是12．请你回答：（1）本次活动共有 件作品参赛； （2）上交作品最多的组有作品 件； （3）经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？（4）对参赛的每一件作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上的放置，随机抽出一张卡片，抽到第四组作品的概率是多少？ 20．（9分）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？21．（9分）如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D，OB =B 横坐标是点B 纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．C 'A '（15题图）12 50° （14题图）1 233 4 155 6 358（16题图）BCDFAE （18题图）（19题图）第3页(共4页)命题教师： 审核：加试卷（共50分）注意事项：加试卷共4页，请将答案直接填写在试卷上．一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最简答案直接填在题中横线上）1．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱． 2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．3．如图，在34⨯的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个． 4．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．二、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．） 5．（10分）阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式(1)(2)x x --的值与0的大小 当1x <时，10x -<，20x -<，(1)(2)0x x ∴-->当12x <<时，10x ->，20x -<，(1)(2)0x x ∴--< 当2x >时，10x ->，20x ->，(1)(2)0x x ∴--> 综上：当12x <<时，(1)(2)0x x --< 当1x <或2x >时，(1)(2)0x x -->（1（2）由上表可知，当x 满足 时，(2)(1)(3)(4)0x x x x ++--<；（3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(7)(8)(9)0x x x -+-<．6．（10分）“5 12”汶川大地震后，某药业生产厂家为支援灾区人民，准备捐赠320箱某种急需药品，该厂家备有多辆甲、乙两种型号的货车，如果单独用甲型号车若干辆，则装满每车后还余20箱未装；如果单独用同样辆数的乙型号车装，则装完后还可以再装30箱，已知装满时，每辆甲型号车比乙型号车少装10箱．（1）求甲、乙两型号车每辆车装满时，各能装多少箱药品？（2）已知将这批药品从厂家运到灾区，甲、乙两型号车的运输成本分别为320元/辆和350元/辆．设派出甲型号车u 辆，乙型号车v 辆时，运输的总成本为z 元，请你提出一个派车方案，保证320箱药品装完，且运输总成本z 最低，并求出这个最低运输成本为多少元？（2题图）1米（3题图）x（4题图）第4页(共4页)7．（10分）如图，ABC △内接于O ，60BAC ∠= ，点D 是 的中点．BC AB ，边上的高AE CF ，相交于点H ． 试证明：（1）FAH CAO ∠=∠； （2）四边形AHDO 是菱形．。
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主视图M N高一新生入学数学摸底试题（150分钟）一、填空题（本大题共22小题，每小题4分，共88分）1．二次函数y=2x 2+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是 。
2．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 。
3．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为 。
4．函数21--=x x y 的定义域是 ． 5．已知x 为实数，且x 2＋2x 1=3，则x 3＋3x 1的值是 。
6．化简：23246623+--= 。
7．直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为 。
8．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是 。
9．如图 ，在△ABC 中，已知∠C =90°，AC ＝60 cm ，AB =100 cm ，a 、b 、c …是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC 平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行. 若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72 cm ，则这样的矩形a 、b 、c …的个数是 。
10．如图 ，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，AMN =∠B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为 。
11．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成12．等腰△ABC 的一个内角为30，一条边长为ABC 的周长为 。
13．设实数a 、b 、c 满足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x －a|＋|x －b|＋|x ＋c|的最小值是 。
14．一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是 。
15．从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k ，b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是________．16．一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数AB2 3 5 7 15 13 11 917 19 21 23 31 29 27 2533 35 37 39 ……………………………是 。
17．已知多项式2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6可以分解为(x ＋2y ＋m)(2x －y ＋n)的形式，那么。
1n 1m 23-+的值是 。
18．钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为_______ __ 。
19．把正奇数依次排列成5列，如右图， 则2001排在从左数第 列。
20．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，AC=10，CD=12，那么sin ABD ∠的值是 ．21．如图，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0).图象的顶点为D ， 其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为–1、3，与y 轴负半轴交于点C .下面四个结论：①2a +b =0； ②a +b +c >0；③当1x ≤时，y 随x 值的增大而增大； ④当0c b x ax 3x 12<++≤≤-时，⑤只有当a = 12 时，△ABD 是等腰直角三角形； 那么，其中正确的结论是 ________ .（只填你认为正确结论的序号）22．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N *，满足以下运算性质：(1).2*2＝1,(2).(2n ＋2)*2＝3(2n*2)，则2n*2用含n 的代数式表示为___________. 二、解答题：23．（12分）（1）解不等式组331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，，≥ ，并把解集在数轴上表示出来.（2）先化简，再求代数式22a b a b b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的值，其中3t a n 301a =+，45b =．24．（12分）已知关于ｘ的方程x 2-(2k+1)x+4(k- 12)=0.⑴ 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC 的周长. 25．（12分）开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 26．（14分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？ （2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的12，但又不少于红梅牌钢笔的数量的14．如果他们买了锦江牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元．①请写出y （元）关于x （支）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 27．（14分）如图，在R t△ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 于点E . （1）求证：点E 是边BC 的中点；（2）若EC =3，BD =62，求⊙O 的直径AC 的长度；（3）若以点O ，D ，E ，C 为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC 的形状，并说明理由. 28．（16分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
⑴求 销售价格y （元/件）与周次x 之间的函数关系式；⑵若这种时装每件进价Z （元/件）与周次x 次之间的关系为Z ＝()128125.02+--x （1≤x ≤16），且x 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？29．（16分）设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y 轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线主视图MN上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． (3)在(2)的条件下，求△BDP 的外接圆半径． 30．（16分）设A B a x a x x B x x x A ⊆=-+++==+=若},01)1(2{},04{222，求实数a 的取值范围。
高一新生入学数学摸底试题答案一、填空题（本大题共22小题，每小题4分，共88分）1．二次函数y=2x 2+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是(-1,1)，x=-1 .2．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是212++-x x 。
3．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为1，-6 。
4．函数21--=x x y 的定义域是 {x|12x x ≥≠且} ． 5．已知x 为实数，且x 2＋2x 1=3，则x 3＋3x 1的值是 ±2 6．化简：23246623+--= 1 。
7．直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为33。
8．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是c ≥9 9．如图 ，在△ABC 中，已知∠C =90°，AC ＝60 cm ，AB =100 cm ，a 、b 、c …是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC 平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行. 若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72 cm ，则这样的矩形a 、b 、c …的个数是 9 。
10．如图 ，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，AMN =∠B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为11．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成AB1 3 5 7 15 13 11 917 19 21 23 31 29 27 2533 35 37 39 ……………………………12．等腰△ABC 的一个内角为30，一条边长为，则△ABC 的周长为64++。
13．设实数a 、b 、c 满足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x －a|＋|x －b|＋|x ＋c|的最小值是 ―c ―a 。
14．一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是 等腰三角形 。
15．从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k ，b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是__61______． 16．一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是 4或5 。
17．已知多项式2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6可以分解为(x ＋2y ＋m)(2x －y ＋n)的形式，那么。
1n 1m 23-+的值是 －87。
18．钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为_____153________ 19．把正奇数依次排列成5列，如右图，则2001排在从左数第 2 列。
20．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H AC=10，CD=12，那么sin ABD ∠的值是54． 21．如图，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0).图象的顶点为D 其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为–1、3，与y 轴负半轴交于点C .下面四个结论：①2a +b =0； ②a +b +c >0；③当1x ≤时，y 随x 值的增大而增大； ④当0c b x ax 3x 12<++≤≤-时，⑤只有当a = 12时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是 ①⑤ .（只填你认为正确结论的序号）22．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N *，满足以下运算性质：(1).2*2＝1,(2).(2n ＋2)*2＝3(2n*2)，则2n*2用含n 的代数式表示为______13-n _______.二、解答题：23．（12分）（1）解不等式组331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，，≥ ，并把解集在数轴上表示出来.解：解第一个不等式得：1x ≤解第二个不等式得：2x -> 所以不等式组的解集为：1x 2≤<-（2）先化简，再求代数式22a b a b b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的值，其中3t a n 301a =+，45b =．解：原式=b a 1b a a a b a a b 2ab a a b a 222-=-∙-=+-÷-)( 1b 13a =+=,代入上式得：原式=3331=24．（12分）已知关于ｘ的方程x 2-(2k+1)x+4(k- 12)=0.⑴ 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC 的周长.解：（1）2221(21)16()4129(23)02k k k k k ∆=+--=-+=-,恒大于等于 所以：无论k 取何值,这个方程总有实数根。