数学：3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)
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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A必修4)
[研一题]
[例 2] 已知
π 3 π 3π α＋ ＝ ， ≤α＜ ，求 cos 4 5 2 2
π cos2α＋4 的值．
[自主解答]
π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ，∴ ≤α＋ < . 2 2 4 4 4
π 3π π 7π α＋ >0，∴ <α＋ < . ∵cos 4 2 4 4 π ∴sinα＋4 ＝－
[通一类] 1．求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
解：原式＝sin 6° 48° 24° 12° cos cos cos 24sin 6° 6° 12° 24° 48° cos cos cos cos ＝ 24cos 6° 23sin 12° 12° 24° 48° cos cos cos ＝ 16cos 6° 22sin 24° 24° 48° 2sin 48° 48° cos cos cos ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° sin 96° cos 6° ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° 1 ＝ . 16
第 三 章
三 角 恒 等 变 换
读教材·填要点
3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
课前预习·巧设计
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
[读教材·填要点]
二倍角的正弦、余弦、正切公式
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ＝ cos 2α 2 1 ＝ . 6 1 ∴cos 2α＝ ， 3 7 cos 4α＝2cos 2α－1＝－ . 9
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A版必修4)(1)
2
2 2 3 sin 2φ tan 2φ＝ ＝ ＝－2 2； 1 cos 2φ － 3 6 6 3 2 2 当 sin φ＝ 时， sin 2φ＝ 2× × (－ )＝－ ， 3 3 3 3 2 2 － 3 1 cos 2φ＝－ ， tan 2φ＝ ＝ 2 2. 3 1 － 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
3 6 解：∵ cos φ＝－ ，且 90° <φ<270° ，∴ sin φ＝ ± . 3 3 6 当 sin φ＝－ 时， sin 2φ＝2sin φcos φ 3 6 3 2 2 ＝ 2× (－ )× (－ )＝ ， 3 3 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
32 1 cos 2φ＝ 2cos φ－ 1＝2×(－ ) － 1＝－ ， 3 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
想一想
sin 2α＝2sin α，cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α
能成立吗？
π π 提示：一般情况下，sin 2α≠ 2sin α，例如 sin ≠ 2sin ，只有 3 6 当 α＝ kπ(k∈ Z)时，sin 2α＝ 2sin α 才成立．只有当 cos α＝ 1－ 3 时， cos 2α＝ 2cos α 才成立． 只有当 α＝kπ(k∈ Z)时， tan 2 2α＝2tan α 才成立．
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
tan 15° 1 2tan 15° 1 3 (3) ＝ × ＝ × tan 30° ＝ . 2 2 2 2 6 1－ tan 15° 1－ tan 15° 1 π 1 π 1 π 2 (4) － cos2 ＝－ (2cos2 － 1)＝－ cos ＝－ . 2 8 2 8 2 4 4
2 2 3 sin 2φ tan 2φ＝ ＝ ＝－2 2； 1 cos 2φ － 3 6 6 3 2 2 当 sin φ＝ 时， sin 2φ＝ 2× × (－ )＝－ ， 3 3 3 3 2 2 － 3 1 cos 2φ＝－ ， tan 2φ＝ ＝ 2 2. 3 1 － 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
3 6 解：∵ cos φ＝－ ，且 90° <φ<270° ，∴ sin φ＝ ± . 3 3 6 当 sin φ＝－ 时， sin 2φ＝2sin φcos φ 3 6 3 2 2 ＝ 2× (－ )× (－ )＝ ， 3 3 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
32 1 cos 2φ＝ 2cos φ－ 1＝2×(－ ) － 1＝－ ， 3 3
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
想一想
sin 2α＝2sin α，cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α
能成立吗？
π π 提示：一般情况下，sin 2α≠ 2sin α，例如 sin ≠ 2sin ，只有 3 6 当 α＝ kπ(k∈ Z)时，sin 2α＝ 2sin α 才成立．只有当 cos α＝ 1－ 3 时， cos 2α＝ 2cos α 才成立． 只有当 α＝kπ(k∈ Z)时， tan 2 2α＝2tan α 才成立．
栏目 导引
第三章
三角恒等变换
tan 15° 1 2tan 15° 1 3 (3) ＝ × ＝ × tan 30° ＝ . 2 2 2 2 6 1－ tan 15° 1－ tan 15° 1 π 1 π 1 π 2 (4) － cos2 ＝－ (2cos2 － 1)＝－ cos ＝－ . 2 8 2 8 2 4 4
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
人教A版高中数学必修四课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
探究：你能用以上公式推导出
的公式吗？ zxxk
分析：令 ，代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点） 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点） z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把 看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用 、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三 倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当 求 时， 的值不存在， 是 的二倍, 是 是 的
的值可利用诱导公式.
探究：你能用以上公式推导出
的公式吗？ zxxk
分析：令 ，代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点） 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点） z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把 看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用 、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三 倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当 求 时， 的值不存在， 是 的二倍, 是 是 的
的值可利用诱导公式.
高中数学 3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件 新人教A版必修4
α
.
所
以
tanπ4＋α＝tanπ2＋22α＝1＋sincoπ2s＋π2＋2α2α＝1－cossin2α2α＝1－n m与 A 对应； 而 tanπ4＋α有意义时，只需π4＋α≠kπ＋π2(k∈Z)， 即 α≠kπ＋π4(k∈Z)就可以了．
第二十一页，共24页。
可见已知条件 sin 2α＝sin2kπ＋π4＝sin2kπ＋π2＝m≠1， 即1－n m的分母不为零，故选 A. 但是，当 α＝34π＋kπ(k∈Z)时 cos 2α＝n＝0，即 B 不正确； 当 α＝π2＋kπ 时(k∈Z)，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝－1，此时 1－m＋n＝0，即 C 不正确； 当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝1，此时 m＋n －1＝0，即 D 不正确．故选 A. 答案：A
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝35，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－45.两
式相加得 cos α＝－102，两式相减得 sin α＝－7102.
而 cos
2α＋π4＝
22cos
2α－sin
2α，cos
2α＝－
1022－－7102
2＝－2245，sin
2α＝2×－
102×－7102＝275.
第二页，共24页。
自主探究 sin2 α·sin2 β＋cos2 αcos2β－12cos 2αcos 2β 等于一个常数吗？若 等于一个常数，请把这个常数求出来；若不是一个常数，请化简一 下．
第三页，共24页。
解：此式等于一个常数，这个常数是12.求解过程如下：
原
式
＝
sin2α·sin2β
高中数学 3.13.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
栏
目
∴π2＜θ＜34π，2θ∈π，32π，
链 接
将 sin θ＋cos θ＝ 22，两边平方得 sin 2θ＝－12，
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－ 23.
点评：注意利用(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ 的关系解题．
第二十三页，共40页。
跟踪
训练
2．已知 cosx－π4＝ 102，x∈π2，34π. (1)求 sin x 的值；
栏 目
链
解析：(1)∵cos α＝－1123，α∈π，32π，
接
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－－11232＝－153，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×－153×－1123＝112609，
第二十一页，共40页。
跟踪
训练
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×－1532＝111699，
解析：(1)∵tanα2＝2，
α
∴ tan α＝1－2tatann22α2＝21×－24＝－43，
栏 目
链
∴tanα＋π4＝1t－antaαn＋αttaannπ4π4
接
＝1ta－n tαa＋n α1＝－143＋＋431＝－17.
第十九页，共40页。
(2)由(1)知， tan α＝－34，
∴36ssiinnαα－＋2ccoossαα＝63ttaann
栏 目
链
(2)cos215°－sin215°；
接
2tan 15° (3)1－tan215°.
第十五页，共40页。
自测 自评
解析：(1)sin 75°cos 75°＝12215°－sin215°＝cos
30°＝
3 2.
高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
2 2，
x
|
x
16
k , k 2
Z.
第三十一页，共36页。
1.sin 15°sin 75°的值为( )
A. 1
B. 3
C. 1
D. 3
【解2 析(jiě xī)2】选C.sin 145°sin 75°=s4in 15°cos 15°
= sin 30°=
1
1.
2
4
第三十二页，共36页。
2.在△ABC中， cos( A) 5则，cos2A=(
1 cos 2 2cos 2，cos 2 1 cos2，sin 2 1 cos2 .
2
2
第十七页，共36页。
类型 三 利用二倍角公式化简与证明
【典型例题(lìtí)】
1．化简cos2α+2sin2α得( )
A.0
B.1
C.sin2α
D.cos2α
2. cos cos 2的值为(
A. 5 5 B.
4
13
A. 120
B. 120
【解16析9 (jiě xī)】1选69A.
C. 135 169
△ABC中，
则
cos( A) 5 ，
4
13
sin( A) 12 ,sin( 2A)
4
13 2
2sin( A)cos( A) 120 ,
4
4
169
cos2A sin( 2A) 120 .
8
8
3. 答案：
sin
1 cos2
1 ( 1) 8
3.
2
2
4
tan15 1 2tan15 1
3
1
tan 215
高中数学人教A版必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
2 s in 3 6
4 s in 3 6
sin 144 1. 4sin 36 4
答案: 1
4
ta n
【补偿训练】 8 =________.
1 tan 2
8
【解析】原式=
1 2
2tan 8
＝1
1tan2 2
tan(2
) 8
＝1 tan ＝1.
8
2 42
答案: 1
2 8 24 4
答案: 2
4
类型一 二倍角的正用、逆用
【典例】1.(2018·山东高考)已知cosx= 3 ,则
4
cos 2x= ( )
A . 1 4
B .1 4
C . 1 8
D .1 8
2.(2018·海南高一检测)coscos 3cos 5 的值
77 7
为( )
A .1 B . 1 C .1
cos2α=2cos2α-1= 7 .
25
2.对于本例3中的角α ,试求
2sin 2
cos2 .
1＋cos2 cos2
【解析】原式= 2 2scio ns2 2 cco oss2 2 ＝ tan22 7 4.
【方法技巧】解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻 找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常 见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)证明恒等式的一般步骤 ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结 构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的 目的.
【变式训练】若sinx·tanx<0,则 1＋cos2x等于( )
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3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式列和角公式
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan
2 2、cos 1 2 8 2
2
2 4
2 3、 sin cos 8 8 2
2 2
1 4、sin cos cos cos 8 48 48 24 12 2
题型三：利用二倍角公式、降幂公式化简、求值
例3：已知450 540 ，化简
0 0
1 1 2 2
1 1 cos 2 2 2
cos2 cos sin
2 2
tan tan tan( ) 1 tan tan 令 tan tan tan( ) 1 tan tan
2 tan tan 2 2 1 tan
一、二倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos sin
2 2
1 2 sin2 2 cos 1
2
公式左端的角是右端角 的二倍，即 升幂缩角
2 k 当 , ( k Z )时， 2 k 2
2 tan tan 2 2 1 tan
sin 2 2 sin cos 2
二、降幂公式
1 1、 sin cos sin 2 2 1 cos 2 2 2、 cos
2 1 cos 2 2 sin 2
降幂扩角
公式左端的角是右端角的1/2倍，即
题型二：二倍角公式的逆用 例2、求值
1、 22。 ，cos 22。 ， sin 30 30
1 例4：已知sin cos , 且0 , 分别求 3 sin 2 , cos 2 , tan 2的值
(sin cos ) 1 sin 2
2
例5：化简
2 cos 1 2 2 tan( ) sin ( ) 4 4
题型一：求二倍角的三角函数值
5 （ ，）， 例1、已知 sin ， 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。
12 5 sin ， ，）， cos 13 （ 13 2 5 12 120
( ) 13 13 169 5 2 119 2 cos 2 1 2 sin 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 tan 2 ( ) cos 2 169 119 119
2
题型四：恒等式的证明
例5：求证：
(sin x cos x 1 )(sin x cos x 1 ) x tan sin 2 x 2
思考：
若 我们可以得到怎样的结论？
sin( ) sin cos sin cos
令
sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2 sin cos
令
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan
2 2、cos 1 2 8 2
2
2 4
2 3、 sin cos 8 8 2
2 2
1 4、sin cos cos cos 8 48 48 24 12 2
题型三：利用二倍角公式、降幂公式化简、求值
例3：已知450 540 ，化简
0 0
1 1 2 2
1 1 cos 2 2 2
cos2 cos sin
2 2
tan tan tan( ) 1 tan tan 令 tan tan tan( ) 1 tan tan
2 tan tan 2 2 1 tan
一、二倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos sin
2 2
1 2 sin2 2 cos 1
2
公式左端的角是右端角 的二倍，即 升幂缩角
2 k 当 , ( k Z )时， 2 k 2
2 tan tan 2 2 1 tan
sin 2 2 sin cos 2
二、降幂公式
1 1、 sin cos sin 2 2 1 cos 2 2 2、 cos
2 1 cos 2 2 sin 2
降幂扩角
公式左端的角是右端角的1/2倍，即
题型二：二倍角公式的逆用 例2、求值
1、 22。 ，cos 22。 ， sin 30 30
1 例4：已知sin cos , 且0 , 分别求 3 sin 2 , cos 2 , tan 2的值
(sin cos ) 1 sin 2
2
例5：化简
2 cos 1 2 2 tan( ) sin ( ) 4 4
题型一：求二倍角的三角函数值
5 （ ，）， 例1、已知 sin ， 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。
12 5 sin ， ，）， cos 13 （ 13 2 5 12 120
( ) 13 13 169 5 2 119 2 cos 2 1 2 sin 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 tan 2 ( ) cos 2 169 119 119
2
题型四：恒等式的证明
例5：求证：
(sin x cos x 1 )(sin x cos x 1 ) x tan sin 2 x 2
思考：
若 我们可以得到怎样的结论？
sin( ) sin cos sin cos
令
sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2 sin cos
令
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin