高等数学 10-4对面积的曲面积分
对面积的曲面积分
3
3 : z 0,4 : x y x z 1
4
1
y
于是 Ò xyzdS xyzdS
1 2 3 4
由于在 1 : x 0, 2 : y 0,3 : z 0上,
f ( x, y, z) xyz 0
所以
xyzdS 0
1 2 3 1
x
z 1
2 1
O Dxy
3
4
1
y
在4上：z 1 x y,
）
r2 n (zx
,
zy
d
,1),
Q cos
1
, dS
1
z
2 x
z
2 y
1
z
2 x
z
2 y
d
的面积元素：
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分 向xoy面投影Dxy
f ( x, y, z)dS : z z(x, y)
z z(x, y)
(x, y, z)在上变化
f ( x, y, z) dS : x x( y, z)
f x y, z , y, z
1
x
2 y
xz2 d
D yz
f ( x, y, z) dS
: y y(x, z)
f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2 d
Dxz
例1 计算 1 dS，其中：x2 y2 z2 a2
且在第一卦限的部分.
解 由于 不能表示成 z=z(x,y) 的形式,
现写成 x R2 y2
z
这样就需投影到yoz面上， H
高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
高等数学对面积曲面积分
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
对曲面的积分求面积
高等数学
主讲人： 苏本堂
( x 2 + y 2 )dS 其中Σ是锥面 z = 例3 计算 ∫∫
Σ
x2 + y2
解
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 z Σ2 : z = 1
2 2
2 故 ∫∫ ( x + y )dS = π 2 Σ
1
( x 2 + y 2 )dS ∫∫
Σ2
Σ1
o
2π 1 2
= 2π a 1 − ln(a 2 − r 2 ) 2 0
∫0
a 2 −h2
rd r a2 − r 2
a2 +h2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 ∑1 , ∑ 2 , ∑ 3 , ∑ 4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ x y z dS Σ Σ2 Σ3 Σ4 1
f (ξ k ,η k , z (ξ k ,η k )) ⋅
′ ′ ′ ′ 1 + z x 2 (ξ k , η k ) + z y 2 (ξ k , η k ) (∆σ k ) x y
f (ξ k ,η k , z (ξ k ,η k )) ⋅
(Σ光滑)
1 + z x 2 (ξ k , η k ) + z y 2 (ξ k , η k ) (∆σ k ) x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
而
∫∫(∆σ
∑
k )xy
1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y ) dxd y
对面积的曲面积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
高数下第10讲：两类曲面积分
高数下第10讲：两类曲面积分(倒数第四次)1 对面积的曲面积分上连续，则有：在偏导数连续，，函数面上的投影为在，的方程为单值函数设光滑曲面∑=∑=∑),,(),(),(z y x f y x z z D xoy y x z z dxdy z z y x z y x f dS z y x f Dy x ⎰⎰⎰⎰∑++=221)),(,,(),,(0:.1积分值为轴对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若二重积分的被积函数求证y x0:.2积分值为面对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若三重积分的被积函数求证yoz x整个边界曲面所围成的四面体的及是由其中曲面计算⎰⎰∑=++===∑=10,0,0,.3z y x z y x xyzdS I所割下的部分被柱面为圆锥面其中曲面计算)0(2,)(.42222>=++=∑++=⎰⎰∑a ayy x y x z dS yz xz xy I⎰⎰∑=++∑=2222,.5R z y x zdS I 是球面其中计算所围立体的表面是锥面及平面其中计算1,)(.622=∑+=⎰⎰∑z dS y x I所截下的部分被平面为旋转抛物面其中计算1,.722=+=∑=⎰⎰∑z y x z dS xyz I求：的密度为上点设锥面壳,),,()10(.822z u z y x z y x z =≤≤+=锥面壳的质量；)1( 锥面壳的质心)2(Rx y x R z y x =+=++222222,.9柱面已知球面；求球面在柱面内的面积)1( 求柱面在球面内的面积)2(2 对坐标的曲面积分2.1 ⎰⎰⎰⎰∑∑→→++=⋅Rdxdy Qdzdx Pdydz dS n z y x F ),,(→→→→++=k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(.其中2.2 ⎰⎰⎰⎰∑±=xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(侧取正，下侧取负的单值函数，右端在上和是其中y x z部分的外侧在是球面其中计算0,01,)(.1022223≥≥=++∑++=⎰⎰∑y x z y x dxdy z y x I的外侧是球面其中计算222232.)(.11R z y x dydz z y x I =++∑++=⎰⎰∑外侧所围成的正方体表面的平面是由三个坐标面与其中计算)0(,,.)()()(.12222>===∑-+-+-=⎰⎰∑a a z a y a x dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x I所围成正方体的外侧是平面其中1,1,1,.1322===∑=⎰⎰∑z y x zdxdy y x I所围立体表面的外侧以及两平面是由曲面其中计算)0(,,.142222222>-===+∑+++=⎰⎰∑R R z R z R y x z y x dxdy z xdydz I的下侧的部分在是锥面，其中0,0)10(.1522≥≥≤≤+=∑++⎰⎰∑y x z y x z zdxdy ydzdx xdydz面上方部分的外侧在是抛物面，其中化成对面积的曲面积分把对坐标的曲面积分xoy y x z dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 228),,(),,(),,(.16--=∑++⎰⎰∑22202020220002222)(4])()()[()(4,),,(.17R d R dS z z y y x x R d R M d z y x M R z y x +≤-+-+-≤-=++∑⎰⎰∑ππ到原点的距离，求证：为是球面外一点，是球面设的外侧为球面计算1,cos cos cos 2.18222222=++∑-+=⎰⎰∑z y x zz dxdy y dzdx z x dydz I⎰⎰∑++=≥≤-+=++∑dxdyz dzdx y dydz x I z x y x z y x 222222220,01.19的部分，试计算的外侧位于表示球面设⎰⎰∑>>>=++∑dSz y x z y x c b a c z b y a x z y x ),,(),,()0,0,0(1),,(.20222222ϕϕ切平面的距离，求处上点：为原点到椭球面设期中部分题目回顾⎰⎰-=10022.1x y dy e dx I 计算),(,14,),(),(.222y x f y x y x y D y x dxdy y x f y x f D求所围区域及是由曲线，设===++=⎰⎰方向导数最大的点沿在，使函数上求点在曲面)0,1,1(),,(122.3222222-=++==++→l P z y x z y x u P z y xds n u y x y u x u y x u L n a a y x L L ⎰→→∂∂+=∂∂+∂∂>=+求偏导数且具有二阶连续的外法向量为为圆周设平面曲线,),(,),0(.4222222222。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+ y 2 = 25 所截得的解 积Fra bibliotek曲面2
Σ ： z = 5 − y ,投影域 ： Dxy = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2
dS = 1 + z ′ + z ′y dxdy = 1 + 0 + (−1) 2 dxdy = 2dxdy, x
故
∫∫ ( x + y + z )ds =
dS = 1 + z x + z y dxdy
2 2
= 3dxdy
∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 + z 2 )dS
= 8∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS = 8 ∫∫ [ x 2 + y 2 + (a − x − y ) 2 ] 3dxdy = 2 3a 4 .
Σ1
Dxy
四、小结
5
1、 对面积的曲面积分的概念;
章 节 题 目
第四节 对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的概念、性质 对面积的曲面积分的计算法
内 容 提 要
对面积的曲面积分的计算 重 点 分 析
曲面类型及投影区域的确定 难 点 分 析
习 题 布 置
P 190
4、5、6（单）
备 注
1
教
一、概念的引入
学
内
容
实例 若曲面 Σ 是光滑的, 它的面密度为连续函数 ρ ( x, y , z ) , 求它的质量.
∑ f (ξ ,η ,ζ ) ⋅ ∆S ,
i =1 i i i i
n
如果当各小块曲面的直径的
最大值 λ → 0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y , z ) 在曲面 Σ 上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记为 即
∫∫ f ( x, y, z )dS .
Σ
n
∫∫ f ( x, y, z )dS = lim ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
y = r sin t ,
= 4 ∫ 2 dt ∫ r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr
0 0
= 2 ∫ sin 2tdt ∫ r 5 1 + 4r 2 dr
2
π
1
0
0
令 u = 1 + 4r
2
=
1 5 u −1 2 125 5 − 1 ∫1 u ( 4 ) du = 420 . 4
| x | + | y | + | z |= a 表面.
2 2 2 解 被积函数 f ( x, y , z ) = x + y + z ,关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面 Σ 也
具有对称性 , 故原积分
∫∫
Σ
= 8∫∫ , (其中 Σ1 表示第一卦限部分曲面)
Σ1
Σ1 ： x + y + z = a , 即 z = a − x − y
dS 是曲面元的面积, cos(n, z ) =
轴夹角的余弦的倒数.
1 1+ z + z
2 x 2 y
故
2 1 + z x + z 2 是曲面法线与 z y
6
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平 面也连续转动. 二、对面积的曲面积分的定义 1.定义 设曲面 Σ 是光滑的, 函数 f ( x, y , z ) 在 Σ 上有界, 把 Σ 分成 n 小块 ∆S i 定义 （ ∆S i 同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 (ξ i ,ηi , ζ i ) 为 ∆S i 上任意取定的点,作 乘积 f (ξ i ,ηi , ζ i ) ⋅ ∆S i , 并作和
Σ
λ →0
i =1
其中 f ( x, y, z )叫被积函数，
2.对面积的曲面积分的性质 对面积的曲面积分的性质
Σ叫积分曲面.
若Σ可分为分片光滑的曲面 Σ1及Σ 2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫ f ( x, y, z)dS + ∫∫ f ( x, y, z )dS .
Σ
Σ1 Σ2
Σ
2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy = 2 ∫∫ (5 + x)dxdy
D xy D xy
= 2 ∫ dθ ∫ (5 + r cos θ )rdr = 125 2π .
0 0
2π
5
例2
计算
∫∫ | xyz | dS ,其中
Σ
Σ 为抛物面
z = x 2 + y 2 （ 0 ≤ z ≤ 1 ）.
例 3 计算
∫∫ xdS ,
Σ
其中
Σ 是圆柱面
x 2 + y 2 = 1 , 平面 z = x + 2 及 z = 0 所围
成的空间立体的表面.
解
∫∫
Σ
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
Σ1 Σ2 Σ3
其中 Σ1 ： z = 0 , Σ 2 ： z = x + 2 ,
Σ 3 ： x 2 + y 2 = 1 .投影域 D1 ： x 2 + y 2 ≤ 1
Σ
D xz
1 + y′ + y′ dxdz; x z
2 2
3. 若曲面 Σ： x = x( y, z )
则
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ]
Σ
D yz
1 + x′y + x′ dydz. z
2 2
2
例 1 计算 部分.
∫∫ ( x + y + z )ds ,其中 Σ 为平面 y + z = 5 被柱面 x
显然
∫∫ xdS = ∫∫ xdxdy = 0 ,
Σ1
D1
∫∫ xdS = ∫∫ x
Σ2
D1
1 + 1dxdy = 0,
将投影域选在 xoz 上.
讨论 Σ 3 时,
4
xoz
（注意： y = ± 1 − x 2 分为左、右两片） （左右两片投影相同）
∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = 2 ∫∫ x
∫∫ f ( x, y, z )dS = lim ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
Σ
n
λ →0
i =1
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况分为三种）
思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子, 子的几何意义. 思考题解答
2 1 + z x + z 2 试说明这个因 y
Σ3 Σ 31 Σ32
1 + y′ + y′ dxdz x z
2 2
D xz
= 2 ∫∫ x 1 +
D xz
1 x+2 x x2 dx ∫ dz dxdz = 2 ∫ 2 −1 0 1− x 1− x2
=π,
∴
∫∫ xdS = 0 + 0 + π = π .
Σ
例 4 计算
∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 + z 2 )dS , 其中 Σ 为内接于球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的八面体
三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 Σ :
则
z = z ( x, y )
1 + z ′ + z ′y dxdy; x
2 2
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y, z ( x, y)]
Σ
D xy
2. 若曲面 Σ : y = y ( x, z )
2
则
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z), z ]
z
y
x
2 2 解 依对称性知： 抛物面z = x + y 关于z轴对称，
3
被积函数 | xyz | 关于 xoz 、 yoz 坐标面对称 有
∫∫
Σ
= 4 ∫∫ 成立，( Σ1 为第一卦限部分曲面)
Σ1
2 2
dS = 1 + z ′ + z ′y dxdy = 1 + (2 x) 2 + (2 y ) 2 dxdy x
原式 =
∫∫ | xyz | dS
Σ
= 4 ∫∫ xyz dS = 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + (2 x) 2 + (2 y ) 2 dxdy
Σ1
′ D xy
′ 其中 Dxy = {( x, y ) | x + y ≤ 1 , x ≥ 0, y ≥ 0}
2 2
利用极坐标
π
1
x = r cos t ,