中北大学线性代数(练习册)答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线代练习册参考答案
第一章 行列式练习一一、填空题 1.()1!n - 2.()()12121n n n λλλ-- 3. 26,2x -4. (8,3)5.12213344a a a a -6. 2- 二、选择题1.(D)2.(B)3.(C)更正：1112n nq p q p p qa a a 改为1122n n q p q p q p a a a三、解答题1.1x =2.4-3. x a x b ==或4. 2014！5.112ln 3sin 4cos 2525C θθθ+++ 练习二一、填空题1.16-2.()()33x a x a +- 3. 1204. 27 二、选择题 1.(B)2.(D) 三、解答题1.（1）500-（2）160（3）02. （1）9-（2）3-（3）1练习三一、填空题1.62.0,0a b ==3. 124. 2 二、选择题1.(D)2. (D)更正： (D)222--改为3.(B)4. (A)5. (D) 三、解答题1.270-2.1n +3. 64. 12341,2,3,1x x x x ====-第一章复习自测题一、选择题1.(C)2. (D)3.(C)4. (B) (D)5. (A)6. (D)7.(B) 二、填空题1.122460002.53. 1a =更正：去掉b =4. 245. 2014-！ 三、解答题1.（1）7-（2）()()()()a b c b a c a c b ++---2.()221n a a --3.略第二章 矩阵及其运算练习一一、填空题1.24210;121363-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.8212⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭3.112233122221321231212333222x x x x x a a a a x x x a a x +++++4. 72- 二、选择题1.(B)2.(D)3.(A)4.(C)5.(A)三、解答题1.1602.86,1441810310⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. 146561717173,5139181651122-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 112125224336-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5.略 练习二一、填空题1.8,6a b ==2.33140416513-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，更正：222()4AB A B A ==改为 3. 04. 1 5. cos sin sin cos θθθθ⎛⎫⎪-⎝⎭6. 100122010345⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、选择题1.(D)更正：最后一选项改为(D)2.(A)3.(B)4.(C) 三、解答题1.3476814234-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2. 1122212221n n n n ++⎛⎫-- ⎪--⎝⎭ 3.102427-4.略5.()()1111;(2)324A A E A E A E --=-+=-- 练习三一、填空题1.4更正：*A A B =+=改为2.03. 64.100-5.(1)3mn mab - 6. 100010003100051007⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，10007100051003100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、计算题1.020024001320013320057-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，，2.4411644643400252550430005252510,120000222001122O A A A O -⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭， 第二章复习自测题一、填空题1.36924612310,⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.3412⎛⎫⎪⎝⎭3. 1005011023A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 10010110553211052⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5.26. 22350035a a b b ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭7. 68.21(3)2A A E -+ 二、选择题1.(C)2. (D)3.(A)4. (C)5. (B)6. (B)7.(C)8.(B) 三、解答题1.1123212331236312491016x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩2.123503x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 3.321⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4.27312732683684⎛⎫ ⎪--⎝⎭5.201030102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.100020011223400252543002525⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭第三章矩阵的初等变换与线性方程组练习一 一、填空题1.123123123c c c b b b a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.212322111312313332b b b b b b b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、选择题1.(B)2.(A)3.(B)4.(D)1.（1）100001000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2)10202011030001400000-⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭2.当||0A k =≠时，A 可逆且1100010111A k k -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 11111444411111444411114444411114444A A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦4. 033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5.001010100-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭ 练习二 一、填空题1.02.33. 14. 25. 3二、选择题1.(D)2.(B)3.(A)4.(B)三、解答题1.秩是2,32721=--是一个最高阶非零子式2. (1)当1k =时,()1R A =;(2)当2k =-且1k ≠时,()2R A =; (3)当1k ≠且2k ≠-时,()3R A =.练习三1.(B)2.(C)3.(D)4.(B)二、填空题1.1-2.n3. 1238315x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩三、计算题1.12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k 1,k 2为任意常数).2.211210x y k z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k 为任意常数). 3.提示：在第二个方程组中求一组特解. 令34211,1,1,0x x x x ==-==解得. 将该组特解代入第一个方程组中得: 1,4,4a b c ===.更正：第一个方程组中12342x ax x x +++=改为12341x ax x x +++=4.(1)当1m ≠-时, 方程组有惟一解; (2)当1,1,m k =-≠时方程组无解; (3)当1,1,m k =-=时方程组有无穷多解.通解为: 37110710x k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭第三章复习自测题一、填空题1.32.3-3. 2314113-⎛⎫⎪-⎝⎭4. 11n -- 5.1 二、选择题1.(D)2. (D)3.(B)4. (C)5. (B)三、解答题1.3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2.秩为3,0755********-=≠是一个最高阶非零子式.3.720335203322233⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭4.2t ≠-无解2t =-且8p =-时， 121234411221100010x x c c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （12,c c 为常数）2t =-且8p ≠-时，123411210010x x c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（c 为常数）5.（1）方程组()I 通解为: 21415201x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）将2450-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭代入方程组()II 得2,4,6m n t ===第四章 向量组的线性相关性练 习 一一、C D A B A二、1、3≠t 2、无关 三、线性相关 练 习 二一、D A D C B 二、1、 3 ，531,,ααα2、 6=k ， 21,αα3、21r r = 三、12,a a 四、123,,ααα 422αα=练 习 三 一、C C B二、1、)(,)0,0,1()1,1,1(31R k k TT ∈+2、13、(2,1,0,1)Tk -- 4、n r -三、 基础解系 133(,,1,0)22T ξ=，237(,,0,1)44T ξ-= 四、 基础解系 ξ1=(-9, 1, 7, 0)T ， ξ2=(1, -1, 0, 2)T特解 η=(1, -2, 0, 0)T复 习 自 测 题一、B B D D D 二、1、22、 相关3、(1111)T4、1三、1012101212100111210013a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当1-=a 且3≠b 时，方程组无解 当1-≠a 时，方程组有唯一解当1-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解.四、向量组的秩为3，124,,ααα是一个最大线性无关组，并且312ααα=-+，51242αααα=-++． 五、基础解系为: 4534,121001ξξ--==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，六、方程组的通解为: 2111011191212011311040150--=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x c c x x (12,c c 为任意常数) 七、略第五章相似矩阵及二次型练 习 一 一、D C C二、1、 1或-12、12n λλλ ，12n λλλ+++3、 －15 ，94、()T1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α5、 －1 三、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 四、25五、（1）10λ=，22λ=，33λ=，112121p -⎛⎫⎪⎪-⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，2110p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）1232λλλ===，1120p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭六、02321a ,b ,c ,λ==-== 练 习 二 一、A AB二、555555156656650112001102212111102011122121110001011222A P P -⎛⎫⎛⎫--+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、01000P ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪，且1100010005P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、11/1/,1/p ⎛ = ⎝211,0p ⎛⎫ =- ⎪⎝⎭311,2p ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝ 令123(,,)P p p p =，则1800020002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五、1(2)01(2)102021(2)01(2)nn n n ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎪--+-⎝⎭练 习 三一、 C C C C D 二、1、可逆2、大于零3、 1，0三、1232/32/31/32/3,1/3,2/31/32/32/3p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令123(,,)P p p p =，则所用线性变换的矩阵为P ，且令x Py =，则22212325f y y y =-++。
线性代数课后作业及参考答案
线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="227" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
大学线性代数作业答案
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(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为05、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 ．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，六、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0 ．2、设是矩阵，，，则 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设, 秩，则 -3 ．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，，但时显然，因此．5、设, 秩，则 1 ．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）．解：则当时，；当时，．四、讨论矩阵的秩．解：当且、、时，；其它情况，．第三章向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求，及.结果：2、已知,,满足，求.结果：3、设，其中，，，求．结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1） 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，，则向量可以由向量线性表示，．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3），因此向量组线性无关．4）线性相关．5）线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关．2、填空题设向量组线性相关，则 2说明：，则设向量组线性无关，则必满足关系式说明：若维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）向量组中必有两个向量的分量对应不成比例向量组中不含零向量向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C）向量组总线性相关向量组总线性相关向量组总线性无关向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关．(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关．证法2：由，得线性相关．5、已知，，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，，，因此可由向量组唯一线性表示，．3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关说明：由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关．（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ）向量组线性无关向量组线性相关存在一个向量可以由其余向量线性表示任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3．（2）（要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．（1）解：为极大线性无关组，且．（2）,,解：为极大线性无关组，，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．解：（1），（2）为极大线性无关组，．6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关．证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关．7、设，，，，证明：线性无关．证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关．8、设，若各向量组的秩分别为：，，证明：向量组的秩为4．证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表示，设为，即（1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾．因此向量组的秩为4．3.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间．（大家自己证明）2、向量在基，，下的坐标是．说明：设方程，解之即可．3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基．证：由，则线性无关，，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为．由施密特正交化法：，单位化得：，，，为空间的一个标准正交基．第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足＝4 ；线性方程组有解，且，则应满足＝32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是．说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 ．说明：解空间的维数+结果为．4）设为四元非齐次线性方程组，，是的三个非零解向量，，则的通解为．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则．说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出．2、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）2）线性方程组有唯一解的条件是（B）只有零解、、都不对3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解仅有零解的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，，基础解系为：2）解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组的特解．解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：．5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解：由知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数．6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，，，，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系．由解的结构知的通解为，其中为任意常数即．（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得，所以当时原方程组有非零解．当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，，得于是方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得或时原方程组有非零解．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，或者时，原方程组有无穷多解．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，或时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，且时，原方程组有无穷多解．当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系．证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的．设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系．（7）设方程组证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解．证明：由于，故对任意实数原方程组都有解．对，选为自由未知量，在对应的中令得，导出组的一个基础解系为在中令得，原方程组的一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关．证明：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足，整理得，从而向量组线性相关．第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 ．2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为全体n维非零实向量3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为．4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 ．2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数(3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ）4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．2）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．3）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数．5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则 24说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）相同的特征值互不相同的特征值线性无关的特征向量两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A）4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C相似于相似于相似于三者中有一个不正确3、设三阶方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1．3)4、判断下列矩阵是否相似1）与解：特征方程为特征值为故可对角化，2）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵．3）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵．5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵．1）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．2）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化．对此齐次方程组取一个基础解系对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系．取，有3）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．6、设阶方阵的特征值为，，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化．从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量．2、设，求正交矩阵，使得解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，，单位化：，，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2即，解得2)此时，，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，，，有5、设，求（为正整数）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即，，又，带入上式得，即，又，只有从而2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵．第六章二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 33、二次型的秩为 2 ．说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为2．4、矩阵为二次型的二次型矩阵．若该二次型的秩是,则 1说明：令，求得二、选择题二次型的矩阵是(D)(A) (B)(C) (D)说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D．三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（2）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（5）解：令令，它的逆变换，带入得，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值．从而有即，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则不是正定矩阵;式子不是二次型；式子不是二次型（填“是”或者“不是”）．（2）设是正定的，则．(3)若二次型是正定的，则t的取值范围是．二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A ．(A) 2,0,2 (B) 2,0,0(C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的（D）无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 C ．（A是A的伴随矩阵）(A) A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩阵(D) 无法确定（4）二次型是正定二次型的充要条件是 C（A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为（D）的负惯性指标为（5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A）合同于一个同阶单位阵（B）所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D）不能对角化（6）以下命题正确的是（题目错，无正确答案）（A）若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B）若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C）若阶实对称矩阵不是负定的，则是正定的（D）若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定．（2）解：该二次型的矩阵为，因为，，，，二次型正定．四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=．提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 ．提示：由得，则3、向量在基，，下的坐标为（1，2，3）．4、若向量组，，的秩为2，则 3 ．5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 ．二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）．。
中北大学线性代数(练习册)答案
中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1； 4. 1ln ln a b -二、1.18； 2.； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef ；3.160；4.8；5.63；6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++- 四、1.123,1x x ==；2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a --二、C C C C三1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+；3.1；4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,x x == 2.00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.（1）101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) ()10；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛369246123； （4）2212131223522x x x x x x x x -+++. 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113二、CDDC 三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆；(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A .3. 1=B .4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321.5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k；2.111221111--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.（1） 211532421⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭；（2）11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； （3）12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；（2）秩为2；（3）秩为4（4）2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a . 综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 2.()2R AB =； 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、（1）()15,10,13T--（2）()0,0,0.二、()()2,4,TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-；2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示，且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例；2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关；3. 线性无关，2111110112--≠-； 4. 线性相关， 4个3维向量必线性相关. 二、 1.（√） 2.（√） 3.（×） 4.（√） 5.（√）6.（×）7.（√）. 三、1. 283-2. 1lm ≠3. >4. 相5. 惟一. 四、证明：（略）. 五、不一定线性相关， 例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩， 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4；2. 0,1a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2；1a =时，123,,ααα的秩为1；四、 1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关；2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关； 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组；2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且41233αααα=+-. 七、证明：（略）.八、证明：（略）.九、证明：（略）.第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性，所以1V 是向量空间；因为2V 不满足加法的封闭性，所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1)2T --2,2,1)T ； 2. βα,正交. 六、12,,ααα正交化为：()11,0,1,1β=-，2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.（1）2-；（2）1-. 二.（1）C ；（2）A .三.（1）(0,1,0)T; （2）无解；（3）12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=，其中k 为任意常数.四.（1）2λ=-；（2）1-2λλ≠≠且； （3）1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--，其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CC ADBDCB.二. （1）(2,1,1)T ξ=-；（2）1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. C DB.二. （1）127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12,k k 为任意常数. （2）1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时，方程组无解；当1k ≠-且4k ≠时，方程组有惟一解；当4k =时，方程组有无穷多组解，其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数.第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3； 2. 11, ,24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- 3.01或； 4. 23-,； 5. 6； 6. 3-；7. 0； 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值：23023λλλ===1，， 对应的全部特征向量：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值：23211λλλ==-=1，， 对应的全部特征向量：12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值：||A （三重）；任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示：两边同取行列式七、提示：用反证法八、（1）12322βξξξ=-+；（2）12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24； 2. 1； 3. 6 二、BBA 三、1. 不可对角化；2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭==，1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题，P 不可逆，待查. 五、（1）56a ,b ==；(2)111102013C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==＊七、提示：1k =，不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1．线性相关，正交； 2. 3 二、12133412,535203P P AP -⎛ -⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0，2，2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、（1）0,0αβ==；（2）00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝六、提示：123=4,1λλλ==，A 可对角化，设相似变换矩阵为P ，则1411kk A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭＊七、提示：（1）特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλ ⇒A ，B 都与12(,,,)n diag λλλ 相似（再利用相似的传递性）（2）一般矩阵不具有此结论，如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-，但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； 5. 2三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++；1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩；2. 2221239f y y y =+-；11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -；11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+；112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝，22212325f y y y =++2.1122330x yx y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，213f y =三、0a b ==第三节 二次型的规范形与惯性定律 第四节 正定二次型一、1. 2；2. t 二、AACDD三、1122331030011x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222123f y y y =-++，正惯性指数为2，负惯性指数为1四、1. 负定； 2. 正定 五 1.405a -<< ； 2. 2a > 六、4t >。
线性代数习题答案
线性代数习题答案线性代数是一门数学学科，研究向量空间、线性映射和线性方程组等概念及其性质的数学理论。
它在科学、工程和经济学等领域中有着广泛的应用。
在学习线性代数的过程中，习题是帮助我们巩固知识、培养逻辑思维和解决问题能力的重要手段。
下面，我将为大家提供一些线性代数习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性方程组的解集形式对于一个线性方程组，我们希望找到它的解集形式。
解集的形式可以分为无解、唯一解和无穷解三种情况。
- 如果方程组无解，那么它的解集为空集。
- 如果方程组有唯一解，那么它的解集为一个只含有一个向量的集合。
- 如果方程组有无穷多个解，那么它的解集可以表示为一个参数方程的形式。
2. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组的向量个数。
对于一个矩阵来说，它的秩有以下性质：- 矩阵的秩小于等于它的行数和列数中的较小值。
- 矩阵的秩等于它的行最简形式中非零行的个数。
- 矩阵的秩等于它的列最简形式中非零列的个数。
3. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的一些特殊性质。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
对于一个矩阵来说，它的特征值和特征向量有以下性质：- 矩阵的特征值是使得矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘以特征向量的向量。
- 矩阵的特征值可以通过求解矩阵的特征方程得到。
- 矩阵的特征向量是特征值对应的零空间的非零向量。
4. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个矩阵来说，它的行列式有以下性质：- 矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。
- 矩阵的行列式等于它的特征值的乘积。
- 矩阵的行列式为零表示矩阵不可逆，否则矩阵可逆。
5. 矩阵的正交性矩阵的正交性是指矩阵的列向量两两之间的内积为零。
对于一个矩阵来说，它的正交性有以下性质：- 矩阵的列向量两两之间的内积为零表示矩阵的列向量是两两正交的。
- 矩阵的列向量是两两正交的，那么它的转置矩阵与原矩阵的乘积为一个对角矩阵。
线性代数课后习题答案 (4)
线性代数课后习题答案习题 1问题描述已知线性方程组：2x + y - 3z = 73x - 2y + 6z = -55x + 3y + 4z = 12求解该线性方程组。
解答利用矩阵运算，将线性方程组表示成矩阵形式：[A] [X] = [B]其中， - [A] 是系数矩阵，表示为：2 1 -33 -2 65 3 4•[X] 是未知数矩阵，表示为：xyz•[B] 是常数矩阵，表示为：7-512根据线性方程组的求解公式，我们可以使用矩阵的逆来求解未知数矩阵 [X]：[X] = [A]^{-1} [B]首先，计算系数矩阵 [A] 的逆矩阵 [A]^{-1}。
我们可以使用伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
计算伴随矩阵的步骤如下： 1. 计算矩阵的代数余子式 2. 将代数余子式按矩阵位置组成矩阵 3. 对矩阵进行转置根据以上方法，我们可以计算系数矩阵 [A] 的伴随矩阵 [AdjA]：2 1 -33 -2 65 3 4计算伴随矩阵的逆矩阵 [AdjA]^{-1}，我们可以使用伴随矩阵的行列式的倒数来计算：[AdjA]^{-1} = \\frac{1}{det([A])} [AdjA]其中，det([A]) 表示矩阵 [A] 的行列式。
根据矩阵的行列式公式，我们可以计算 det([A]) 的值：det([A]) = 2(-2*4 - 6*3) - 1(3*4 - 6*5) - 3(3*3 - 5*(-2))= -56 + 3 + 39= -14因此，[AdjA]^{-1} = -\\frac{1}{14} [AdjA]= -\\frac{1}{14} \\begin{bmatrix}-40 & -3 & 15 \\\\-29 & 6 & 2 \\\\14 & 3 & -2 \\\\\\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix}\\frac{20}{7} & \\frac{3}{14} & -\\frac{15}{14} \\\\\\frac{29}{7} & -\\frac{3}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\-\\frac{7}{14} & -\\frac{3}{14} & \\frac{1}{7} \\\\\\end{bmatrix}接下来，我们可以根据逆矩阵[AdjA]^{-1} 和常数矩阵[B] 计算未知数矩阵[X]：[X] = [AdjA]^{-1} [B]= \\begin{bmatrix}\\frac{20}{7} & \\frac{3}{14} & -\\frac{15}{14} \\\\\\frac{29}{7} & -\\frac{3}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\-\\frac{7}{14} & -\\frac{3}{14} & \\frac{1}{7} \\\\\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}7 \\\\-5 \\\\12 \\\\\\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix}18 \\\\-3 \\\\5 \\\\\\end{bmatrix}因此，线性方程组的解为：x = 18，y = -3，z = 5。
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中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1；4. 1ln ln a b -二、1.18； 2.； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef ； 3.160； 4.8； 5.63； 6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++-四、1.123,1x x ==；2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f .综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a -- 二、C C C C三1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+；3.1；4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,0x x == 2. 00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =；3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.（1）101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) ()10；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛369246123； （4）2212131223522x x x x x x x x -+++.3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113二、CDDC 三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆；(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A . 3. 1=B . 4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321.5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k ； 2.111221111--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.（1） 211532421⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎝⎭；（2）11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； （3）12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；（2）秩为2；（3）秩为4（4）2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a .综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB三、×√√×√√×√四、 1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2.()2R AB =；3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、（1）()15,10,13T--（2）()0,0,0.二、()()2,4,5,1,4,4,1,6,1,0TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-；2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示，且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例；2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关；3. 线性无关，2111110112--≠-； 4. 线性相关， 4个3维向量必线性相关. 二、 1.（√） 2.（√） 3.（×） 4.（√） 5.（√）6.（×）7.（√）. 三、1. 283- 2. 1lm ≠ 3. > 4. 相5. 惟一. 四、证明：（略）. 五、不一定线性相关，例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩， 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4；2. 0,1a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2； 1a =时，123,,ααα的秩为1；四、 1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关；2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关； 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组；2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且41233αααα=+-. 七、证明：（略）.八、证明：（略）.九、证明：（略）.第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性，所以1V 是向量空间；因为2V 不满足加法的封闭性，所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2.1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1,1)2T --2,2,1)T ； 2. βα,正交.六、123,,ααα正交化为：()11,0,1,1β=-，2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.（1）2-；（2）1-. 二.（1）C ；（2）A .三.（1）(0,1,0)T ; （2）无解；（3）12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=，其中k 为任意常数. 四.（1）2λ=-；（2）1-2λλ≠≠且； （3）1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--，其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CCADBDCB.二. （1）(2,1,1)T ξ=-；（2）1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. CDB.二. （1）127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12,k k 为任意常数. （2）1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时，方程组无解；当1k ≠-且4k ≠时，方程组有惟一解；当4k =时，方程组有无穷多组解，其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数.第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3； 2. 11, ,24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- 3.01或； 4. 23-,； 5. 6； 6. 3-； 7. 0； 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值：23023λλλ===1，， 对应的全部特征向量：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值：23211λλλ==-=1，， 对应的全部特征向量：12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值：||A （三重）；任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示：两边同取行列式七、提示：用反证法 八、（1）12322βξξξ=-+；（2）12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24； 2. 1； 3. 6 二、BBA三、1. 不可对角化；2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==， 1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题，P 不可逆，待查.五、（1）56a ,b ==；(2) 111102013C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==＊七、提示：1k =，不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1．线性相关，正交； 2. 3 二、12341,535203P P AP -⎛ -⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0，2，2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、（1）0,0αβ==；（2）00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝ 六、提示：123=4,1λλλ==，A 可对角化，设相似变换矩阵为P ，则1411k k A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭＊七、提示：（1）特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλ⇒A ，B 都与12(,,,)n diag λλλ相似（再利用相似的传递性）（2）一般矩阵不具有此结论，如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-，但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； 5. 2 三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++；1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩；2. 2221239f y y y =+-；11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -；11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+；112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，22212325f y y y =++2.112233x yx yx y⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，213f y=三、0a b==第三节二次型的规范形与惯性定律第四节正定二次型一、1. 2；2. t<二、AACDD三、112233130011x yx yx y⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎝⎭，222123f y y y=-++，正惯性指数为2，负惯性指数为1四、1. 负定； 2. 正定五 1.45a-<<； 2. 2a>六、4t>。