列分式方程解应用题1
分式方程应用题
分式方程应用题
题目描述
某公司的销售中心在某个月的第一天开始营业，每天的销售额相较前一天增加1/4。
假设第一天的销售额为100元，请编写一个分式方程求出第n天的销售额。
解题思路
首先定义一个变量n，表示第n天的销售额。
根据题目描述，每天的销售额相较前一天增加1/4，可以得出如下关系式：
n = 100 + (n-1) * 1/4
其中100表示第一天的销售额，n-1表示前一天的销售额。
将上述方程进行化简，得到：
n = 400/3 + n/4 - 1/4
将方程两边都乘以12，消除分母，得到：
12n = 1600 + 3n - 3
再进行进一步的化简：
9n = 1597
最后求解n的值：
n = 1597/9
结果验证
将n带入最初的方程进行验证：
n = 100 + (n-1) * 1/4
带入n = 1597/9，得到：
1597/9 = 100 + (1597/9-1) * 1/4
经过计算可以得到等式两边的值相等，证明了解的正确性。
结论
通过分式方程的应用，可以得到第n天的销售额为1597/9元。
这个方程可以用来求解其他类似的问题。
分式方程应用题型
一、行程问题：1.甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m.甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min.求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远.2.马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．3.A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B 地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．求：该轮船在静水中的速度多少？4.甲、乙两地相距135千米，大小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发4小时，小汽车比大汽车早到30分钟，小汽车和大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．5.某人骑摩托车从甲地出发，去90km外的乙地执行任务，出发1h后，发现按原来速度前进，就要迟到40min，于是立即将车速增加一倍，因此提前20min到达，求摩托车的原来速度是多少？二、工程问题：6.为进一步加快脱贫攻坚步伐，确保到2021年实现国家标准摘帽目标，旺田村准备用120平方公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚？7.要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天．现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定日期是多少天？8.有200个零件，平均分给甲、乙两车间加工，由于乙另有任务，所以在甲开始工作2小时后，乙才开始工作，因此比甲迟20分钟完成任务．已知乙每小时加工零件的个数是甲的2倍，问甲、乙两车间每小时各加工多少零件？9.某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．10.目前，我区正在实施的“同城一体化”工程进展顺利区招投标中心在对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，区招投标中心根据甲、乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：⑴甲队单独做这项工程刚好如期完成；⑵乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天；⑶若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．三、商品买卖问题：11.某服装店销售一种服装,若按原价销售,则每月销售额为10000元,若按八五折销售,则每月多卖出20件,且月销售额增加1900元,每件服装的原价为多少元?12.佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A 种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？13.某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同.（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件,问乙种配件最多可购买多少件.14.某文化用品商店在开学初用2000元购进一批学生书包，按每个120元出售，很快销售一空，于是商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元，仍按120元出售，最后剩下4个按八折卖出，这笔生意该店共盈利多少元？15.我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．今年文学书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？16.某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？17.某服装专卖店销售的甲品牌西服去年销售总额为50000元，今年每件西服售价比去年便宜400元，若售出的西服件数相同，则销售总额将比去年降低20%．（1）求今年甲品牌西服的每件售价．（2）若该服装店计划需要增进一批乙品牌西服，且甲、乙两种品牌西服共60件，而且乙品牌西服的进货件数不超过甲品牌件数的2倍，请设计出获利最多的进货方案．附：今年乙品牌和甲品牌西服的进货和售价如表：四、其它：18.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的19.某校九年级两个班各为武汉灾区捐款1 800元，已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%，求两个班人均捐款各多少元？20.为厉行节能减排，倡导绿色出行，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B 两种不同款型，甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放8a+240a辆“小黄车”，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．21.某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表去年销售总额为80000元,今年A型智能手表的售价每只比去年降低了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少了25%. （1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价格与销售价格如表.若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？答案解析部分一、行程问题1. 解：设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，根据题意得：解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解.所以2.5×8×80＝1600（m）答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m。
分式方程应用题
乙
甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量
变式：甲乙两班学生进行植树活动，甲班单独完
成任务比乙班单独完成任务少用50分钟，若乙先
植树50分钟，然后甲、乙合做40分钟可完成，问
甲、乙单独植树，各需几分钟完成？
1. 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时 间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
4、列方程的依据 是： 甲、乙合作1天完成这块地的一半 。
【例4】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相 同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶 50千米，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的v、s表示已知数据，设提速前列车的平 均速度为x千米/时，先考虑下面的填空：
练习
1.四川发生地震后，成都运往汶川灾 区的物资须从西线或南线运输，西 线的路程约800千米，南线的路程约 80千米，走南线的车队在西线车队 出发18小时候立刻启程，结果两车 队同时到达。已知两车队的行驶速 度相同，求走西线所用的时间。
例2.一艘轮船逆流航行2km的时 间比顺流航行2 km的时间多用 了40分钟,已知水速为2 km/h, 求船在静水中的速度?.
分析：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是3x千米/时 请审题分析题 请找出可 意 请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表 列方程的 等量关系 速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）
自行车 x 15
15 x 15 3x
汽车
农 机 厂
3x
15
C
B
2 自行车先走 3
时
向 阳 村
同 时 到
例5：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自 行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达， 已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。 2 汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 时
分式方程的典型应用题
分式方程的典型应用题用于过关检测一工程问题1.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲乙两班每小时各种多少棵树？2.某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12℅，问原计划完成这项工程需用多个月？3．某项工程在工程招标时，接到甲、乙两个工程队投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元,工程领导小组根据甲乙两的投标书预算,有如下方案:(1)甲队单独完成这项工程刚好如期成完成;(2)乙队单独完成这项工程要比规定的日期多用6天;(3)若甲乙两合做3天,余下的的工程由乙队单独做也正好如期完成.那么在不耽误工期的前提下,你觉得那一种施工方案最节省工程款?请说明理由.4.丽园开发工司的960件新产品需要精加工才能投放市场，现有甲乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，且甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元。
（1）甲、乙两工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由两个工厂单独完成，也可以由两个工厂合作完成，在加工的过程中，公司派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助，请帮公司选择一种即省时又省钱的加工方案。
二行程问题5.八(1)班同学周末乘汽车到游览区游览,游览区距学校120千米,一部分学生乘慢车先行,出发后1小时后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达游览区,已知快车的速度是快车的速度的1.5倍,求快车的速度.6.小明7:20分离家上学去,走到距离家500米的商店时,买学习用品用了5分钟从商店出来,小明发现按原来的速度还要30分钟才能到学校,为了8:00之前赶到学校，小明加快了速度每分钟比原来多走25 米，求小明从商店到学校的速度。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
列分式方程解应用题(用)
例3（15年成都）李明到离家2.1千米的学 校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还 放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于 是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1 分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知 李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑 自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分 钟。 （1）李明步行的速度是多少千米/小时？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
1200 1200 C. 5 x 40 x
1200 1200 D. 5 x x 40
三 、经典中考题
3、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B 地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙 多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走 x㎞，则可列方程为（ B ）
A、 C、
B、
D、
三 、经典中考题
4.一艘轮船逆流航行2km的时间 比顺流航行2 km的时间多用了 40分钟, . (在横线上补充一个条件并提出 一个问题)
1、你学到了哪些知识？
要注意什么问题？
2、在学习的过程 中
你有什么体会？
列方程解应用题的一般步骤是什么？ 1）审题（找已知与未知，并找出等量关系）； 2）设未知数（直接设元还是间接设元，注意单 位）； 3）列方程； 4）解方程； 5）验根，既要说明是否为原方程的解，还 要说明是否符合题意； 6）答语。
引入问题
问题：某校招生录取时，为了防止数据 输入出错，2640名学生的成绩数据分别由 两位程序操作员各向计算机输入一遍，然 后让计算机比较两人的输入是否一致.已知 甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用 2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输 入多少名学生的成绩？
三 、经典中考题
1、(15苏州)某农场挖一条960m长的渠道， 开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完 成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意 可列出方程（ A ）
(10)列分式方程解应用题专项练习60题(有答案)ok
列分式方程解应用题60题（有答案）1．A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．2．轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．3．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程．已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？4．甲，乙两组学生去距学校4.5km的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少．5．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天，再由两队合作2天就完成全部工程，已知甲队与乙队的工作效率之比是3：2，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？6．某校师生为爱心基金捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天多50人，且两天人均捐款数相等．问这两天共有多少人捐款？人均捐款额是多少？7．甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．求甲、乙每小时各做多少个零件．8．甲、乙两个工程队合做一项工程，需要16天完成，现在两队合做9天，甲队因有其他任务调走，乙队再做21天完成任务．甲、乙两队独做各需几天才能完成任务？9．甲，乙两地相距19km，某人从甲地出发去乙地，先步行7km，然后骑自行车，共行2h到达乙地．已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行速度和骑自行车的速度．10．甲乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲乙两地行驶的汽车的平均速度提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h．求汽车提速后的平均车速？11．现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？12．一个工人生产奥运会吉祥物“福娃欢欢”，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天完成且多生产了14个．则这个工人原计划每天生产多少个福娃欢欢？13．孙明与李丽共同帮助校图书馆清点图书，李丽平均每分钟比孙明多清点10本．已知孙明清点完200本图书所用的时间与李丽清点完300本所用的时间相同，求孙明平均每分钟清点图书多少本．14．某人骑自行车的速度比步行的速度每小时多走8千米，已知步行12千米所用的时间和骑自行车36千米所用的时间相等，这个人步行每小时走多少千米？15．甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵所用的时间相等，问：甲、乙两班每小时各种多少棵树？16．甲、乙合打一份稿件，4小时后，甲有事离去，由乙继续打6小时完成．已知甲打4小时的稿件乙需5小时完成．求甲、乙独打这份稿件各需多少小时？17．某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作．求先遣队和大队的速度各是多少？18．甲乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度．19．一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独做，超过规定日期4天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？20．某货车在发生交通事故后，沿一条小路向高速公路逃离，交警巡逻车立即沿另一公路向高速追击，在货车刚进入高速公路路口时，将它截住．已知警车的速度比货车快40千米/时，警车驶到高速公路行驶的路程是货车的2倍，求警车的速度．21．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤所需的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？22．甲、乙两人从学校出发，前往距学校12千米的新华书店．甲每小时比乙多走2千米，乙比甲提前1小时出发，结果两人同时到达．求甲、乙两人每小时各走多少千米？23．甲、乙两地相距828千米，一列普通列车与一列直快列车都由甲地开往乙地，直快列车的平均速度是普通列车的平均速度的1.5倍，直快列车比普通列车晚出发2小时，比普通列车早到4小时，求两列火车的平均速度．24．某工厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做多少件？25．某工程要在规定日期内完成．若由甲单独做，则刚好如期完成；若由乙单独做，则要超过3天完成，现在先由甲、乙合做2天，剩下的工程由乙单独做，结果刚好按时完成．求规定的天数．26．“要致富，先修路！”甲乙两地相距360千米，为更好的促进甲、乙两地经济往来，新修的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的客运车辆平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间比原来缩短了2小时，求原来车辆的平均速度是多少？27．2010年春季我国西南五省持续干旱，灾情牵动全国人民的心，“一方有难、八方支援”．某厂计划生产1500桶纯净水支援灾区人民，在生产了300桶纯净水后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天生产多少桶纯净水？28．小颖和几位同学去文具店购买练习本，该文具店规定，如果购买达到一定的数量，则可以按批发价购买，于是他们凑到60元钱以批发价购买，这样购得的练习本数量比用零售价购得的练习本数量多30本，若每本练习本的批发价是零售价的，问每本练习本的零售价是多少元？29．某工厂引进新技术后，平均每小时比原来多生产30个零件．若现在生产900个零件所需时间与原来生产600个零件所需时间相等，现在平均每小时生产多少个零件？30．为了帮助灾区重建家园，学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总数为4 800元，第二次捐款总数为5 000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，且恰好相等．问第一次捐款人数是多少？31．某公园在2008年北京奥运花坛的设计中，有一个造型需要摆放1800盆鲜花，为奥运作奉献的精神促使公园园林队的工人们以原计划1.2倍的速度，提前一小时完成了任务，工人们实际每小时摆放多少盆鲜花？32．某顾客第一次在商店买若干件小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，购买一打以上可以拆零买，这样，第二次花去4元买同样小商品的件数量是第一次的1.5倍．问他第一次买的小商品是多少件？33．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？34．某工厂加工495件产品，在加工了90件后进行了技术改造，使每天生产的产品数量是原来的1.5倍，结果共用了12天圆满完成了任务，问原来每天加工多少件产品？35．阅读下面一段文字：高圆带了9元去商店买笔记本，她想买一种软面抄，正好需付9元，但售货员建议她买另一种质量更好的硬面抄，只是这种笔记本的价格比软面抄要高出一半，因此她只能少买一本笔记本．请你根据以上信息确定：这种软面抄和硬面抄的价格各是多少？高圆原来打算买多少本笔记本？36．为加强防汛工作，市工程队准备对长江堤岸一段长为2500米的江堤进行加固，在加固了1000米后，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了50%，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短5天，那么现在每天加固的长度是多少米？37．甲、乙两名志愿者为灾后重建搬运物资．已知甲、乙两人每小时共搬运1500 kg物资，且甲搬运300 kg物资的时间与乙搬运200 kg物资所用的时间相同．求甲每小时比乙多搬运多少物资？38．今年全国“助残日”期间，某中学学生踊跃捐款，奉献自己的一份爱心、其中八年级一班学生共捐款450元，二班学生共捐款390元．已知一班平均每人捐款金额是二班平均每人捐款金额的1.2倍，且二班比一班多2人，那么这两个班各有多少人？39．一件工程甲单独做15天可以完成，乙单独做12天可以完成，甲，乙，丙三人合作4天可以完成，那么丙单独做，几天可以完成？40．2009年12月，相距1050公里的A、B两市的高速铁路建成通车，高速铁路上的旅客列车时速是原普通铁路的3.5倍，运行在两市间的旅客列车运行时间因此缩短7.5小时，求高速铁路的时速．41．应用题：已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米？42．某市教育局向一贫困山区县赠送3600个学生用的科学记算器以满足学生学习的需要、现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独用B型包装箱比单独用A型包装箱少用15个，已知每个B型包装箱装计算器的个数是A型包装箱的1.5倍，求A，B两种包装箱每个各能装计算器多少个？43．某市为处理污水需要铺设一条长为3000米的管道、为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天铺设管道的长度为原计划的1.5倍，结果提前25天完成任务，求实际施工时每天铺设管道的长度．44．今年我国西南地区遭受严重旱灾，受灾人口达6130多万．为了帮助灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款，第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数．45．甲乙两站相距480千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车的2.5倍，结果客车比货车早6小时到达乙站，求两种车的速度各是多少？46．某养鱼专业户要想估计鱼塘里大概有多少条鱼，他进行了如下操作：先从鱼塘里捞上来200条鱼，分别做上记号后，又放回鱼塘，一段时间后，他又从鱼塘捞上来200条鱼，发现有4条是做了记号的，由此他就知道了鱼塘大概有多少条鱼，请你说明其中的道理，并求出该鱼塘里大概多少条？47．1罐咖啡甲、乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完，1包茶叶甲、乙两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完，假如甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶，问两人一起喝完1包茶叶和1罐咖啡需要多少天？48．西南地区遭受干旱已经近三个季度，造成数千万群众生活饮水困难；为了解决对口学校的学生饮水问题，实验中学学生会号召同学们自愿捐款活动．已知七年级捐款总额为4800元，八年级捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款数相等．试求七、八年级捐款的人数．49．某商店销售一种书包，七月份的销售额为6000元．为了让附近的孩子们在新学期能背上新书包，店主决定让利销售，在八月份将每个书包按原价的8折销售，结果销售量比七月份增加了50个，销售额比七月份增加了800元．求七月份每个书包的售价．50．“我国水资源形势非常严峻”，为了节约用水．某市今年3月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨25%．已51．某小组学生准备外出春游，预计共需费用120元，临出发时，有2人因故不能参加，但总费用不变，这样春游的学生人均费用增加，问原计划每人付费多少元？52．某厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合，其平均价值比甲种原料每斤少3元，比乙种原料每斤多1元，问混合后的单价每斤多少元？53．先锋中学九年级学生由距江南10km的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20min后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（1）设骑车同学的速度为xkm/h，利用速度，时间，路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）（2）列出方程，并求出问题的解．速度（千米/时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车x 10乘汽车1054．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．55．2008年初，我国南方地区遭受雪灾，为保持道路畅通，市政府决定用铲雪机铲去扬威大道上的积雪．如果只用﹣台A型铲雪机单独工作，需要10小时才能全部铲完，在该铲雪机工作2小时后，一台B型铲雪机加入合作，然后一起工作了3小时将扬威大道上的积雪全部铲完，求B型铲雪机单独工作需要多少小时铲完？56．北京时间2010年4月14日7时49分，青海玉树发生7.1级地震，灾情牵动着全国各族人民的心．无为县某中心校组织了捐款活动．小华对八年级（1）（2）班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息：信息一：（1）班共捐款540元，（2）班共捐款480元．请你根据以上三条信息，求出八（1）班平均每人捐款多少元？57．码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系；（2）原计划若干天卸载完这批货物，但由于后一批货物要提前2天到达，则实际每天卸货数量比原计划每天多20%，恰好按时卸载完毕，求原计划每天卸载多少货物？58．2008年夏季奥运会的主办国于2001年7月13日揭晓．当时，为了支持北京申奥，红、绿两支宣传北京申奥万里行车队在距北京3000千米处会合，并同时向北京进发，绿队走完2000千米时，红队走完1800千米，随后红队的速度比原来提高20%，两车队继续同时向北京进发．（1）求红队提速前红、绿两队的速度比．（2）问红绿两支车队能否同时到达北京并说明理由．（3）若红、绿两支车队不能同时到达北京，那么，哪支车队先到达北京求出第一支车队到达北京时，两支车队的距离．（单位：千米）59．列方程或方程组解应用题：某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为销售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元，问此商品进价是多少元商场第二个月共销售多少件？60．阅读并解答：先阅读下列计算方法：某商店将甲乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=（元/千克），其中m1、m2分别为甲乙两种糖果的重量（千克），a1、a2分别为甲乙两种糖果的单价（元/千克）．再解答下列问题：已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克．（1）现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，已知混合糖果的单价为18.4元/千克，问：这箱甲种糖果有多少千克？（2）现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克．问：这箱甲种糖果有多少千克？参考答案：1．解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．依题意，得，解，得x=20．经检验x=20是原方程的根，且符合题意．∴3x=60．答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时2．解：设船在静水中的速度是x千米/时．由题意得：．解得：x=21．经检验：x=21是原方程的解．答：船在静水中的速度是21千米/时3．解：设乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需x天，由题意，得即=1 解得x=6 经检验，x=6是原方程的根x=6时，x=4答：甲、乙两队单独完成分别需4天、6天4．解：设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．列方程：．解得：x=6．经检验：x=6是方程的解．∴3x=18．答：步行速度为6km/小时，骑自行车的速度为18km/小时5．解：设甲队单独完成此项工程需2x天，则乙队需要3x天．由题意得：．解之得：x=2．经检验；x=2是所列分式方程的根．∴2x=2×2=4，3x=3×2=6．答：甲队单独完成需4天，乙队需6天6．解：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，由题意列方程．解得x=200．检验：当x=200时，x（x+50）≠0，∴x=200是原方程的解．两天捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款=24（元）．答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元7．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件．根据题意列方程得：．解得：x=15．经检验，x=15是原方程的解．答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件8．解：设甲独做需要x天完成任务，根据题意得：×9+（﹣）×（9+21）=1，解得：x=24，经检验：x=24是方程的解，∴1÷（﹣）=48，答：甲、乙两队独做分别需要24天和48天完成任务9．解：设步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，10．解：设提速前的平均车速为x km/h，根据题意得：﹣=2 解得：x=60 经检验：x=60是原方程的解，所以，（1+50%）x=90（km/h）答：汽车提速后的平均车速为90km/h．11．解：设原来每天装配机器x台，依题意得：，解这个方程得：x=6，经检验：x=6是原方程的解，答：原来每天装配机器6台12．解：设原计划每天生产x个零件．依题意可列：，解得x=29．经检验，x=29是原方程的根．答：这个工人原计划每天生产29个福娃欢欢13．解：设孙明平均每分钟清点图书x本．根据题意得：．解这个方程得：x=20．经检验：x=20是原方程的解．答：孙明平均每分钟清点图书20本14．解：设这个人步行每小时走x千米．依题意得：=．方程两边同乘以x（x+8）得：12（x+8）=36x．解得：x=4．经检验：x=4是原分式方程的解．（6分）答：这个人步行每小时走4千米．15．解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵，根据题意得：，解这个方程得：x=20，经检验：x=20是原方程的根．所以当x=20时，x+2=20+2=22．所以甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树16.解：设甲单独打这份稿件需要4x小时，则乙单独打这份稿件需要5x小时．依题意，列方程：（）×=1．解方程得：x=3．经检验：x=3符合题意．∴4x=12，5x=15．答：独打这份稿件，甲需12小时，乙需15小时．17．解：设大队的速度是x千米/时，先遣队的速度是1.2x千米/时，由题意得，解得x=5，经检验，x=5是原方程的解，∴1.2x=6，答：先遣队和大队的速度分别是6千米/时，5千米/时18．解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得，解得x=1.5．经检验，x=1.5是原方程的根．所以甲的速度为3x=4.5千米/时，乙的速度为4x=6千米/时．答：甲的速度为4.5千米/时，乙的速度为6千米/时19．解：设规定日期是x天．根据题意得：+=1．解这个分式方程得：x=12．经检验：x=12是原方程的解，并且符合题意．由题意得：=．解之得：x=80．经检验：x=80是原方程的解．答：警车的速度为80千米/时21．解：设现在平均每天采煤x吨，依题意得，解得x=1100经检验，x=1100是方程的解．答：现在平均每天采煤1100吨22．解：设甲每小时走x千米，根据题意列方程得：=﹣1 整理得：x2﹣2x﹣24=0（3分）解这个方程得：x1=6x2=﹣4 经检验，x1x2是原方程的解，但x2＜0不符合题意舍去，取x=6∴x﹣2=4（1分）答：甲每小时走6千米，乙每小时走4千米．（1分）23．解：设普通列车的平均速度为x千米∕时，则直快列车的平均速度为1.5x千米∕时，由题意得解得x=46经检验，x=46是原分式方程的解 1.5x=1.5×46=69（千米∕时）答：普通列车的平均速度为46千米∕时，直快列车的平均速度为69千米∕时24．解：设每天应多做x件，则依题意得：=5，解之得：x=24．经检验x=24是方程的根，答：每天应多做24件25．解：设规定天数为x天，依题意得，2×（+）+（x﹣2）×=1，解得：x=6，经检验x=6是原方程的解，答：规定的天数是6天26．解：设原来车辆的平均速度为x千米/小时．由题意可得：．解这个方程得：x=60．经检验：x=60是原方程的解．答：原来车辆的平均速度为60千米/小时27．解：设原来每天生产x桶纯净水，依题意得：，解这个方程，得x=100，经检验，x=100是原方程的解．答：原来每天生产100桶纯净水．28．解：设每本练习本的零售价是x元，则每本练习本的批发价是x，根据题意得：，解得x=0.5．将x=0.5代入检验得是方程的解．答：每本练习本的零售价是0.5元．29．解：设现在平均每小时生产x个零件，依题意得：解得：x=90 经检验，x=90是方程的解且符合题意．答：现在平均每小时生产90个零件．30．解：设第一次捐款人数是x，则第二次捐款人数是（x+20）．依题意得：．解方程得：x=480．经检验：x=480是原方程的解．答：第一次捐款人数是48031．解：设工人原计划每小时摆放x盆鲜花，则实际每小时摆放1.2x盆鲜花．依题意得：=+1，解这个方程得：x=300．经检验：x=300是原方程的解．∴1.2x=360．答：工人们实际每小时摆放360盆鲜花32．解：设他第一次买的小商品是x 件．﹣=，解得：x=20，经检验x=20是原方程的解．答：他第一次买的小商品是20件33．解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．依题意得：．解得：x=200．检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．∴x=200是原分式方程的解．答：现在平均每天生产200台机器．34．解：设：原来每天加工x件，则进行技术改造后，每天生产的产品数量为1.5x件．依题意列出方程：=12，解得：x=30，经检验，x=30是原分式方程的解．答：原来每天加工30件产品35．解：设每本软面抄的价格为x元，则每本硬面抄的价格为1.5x元．由题意得：．解之得：x=3．∴1.5×3=4.5（元），9÷3=3（本）．答：软面抄单价3元/本，硬面抄单价4.5元/本，高原原计划买3本笔记本36．解：设原计划每天加固的长度是x米，则现在每天加固的长度是x（1+50%）=米列方程：∴x=100 经检验：x=100是原方程的解．所以x（1+50%）==150米答：现在每天加固的长度是150米37．解：设甲、乙每小时搬运物资分别为xkg和（1500﹣x）kg，由题意得，解得x=900，经检验x=900是原方程的解，也符合实际意义．由900﹣（1500﹣900）=300（千克∕小时），知甲比乙每小时多搬运300kg物资38．解：设一班有x 人，根据题意得，解得：x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，答：一班有50人，二班有52人39．解：设丙单独做x天可以完成．依题意列方程得：4（++）=1．解得：x=10．经检验，x=10是方程的根，也符合题意．答：丙单独做10天可以完成40．解：设普通列车时速为x公里/时，则，解之得：x=100，经检验：x=100是原方程的解，∴3.5x=350．答：高速铁路的时速为350公里/时41．解：设江水每小时的流速是x千米．根据题意，得，解得x=4．经检验，x=4是原方程的根．则江水每小时的流速是4千米42．解：设每个A型包装箱能够装x个计算器，则B型包装箱能装1.5x个计算器，依题意有：解这个方程，得x=80，经检验x=80是原方程的根，∴1.5x=120，答：每个A型包装箱能装80个计算器，每个B型包装箱能装120个计算器．43.解：设原计划施工时每天铺设管道xm，则实际施工时每天铺设管道1.5xm．据题意得：=25 解得x=40．经检验x=40是原方程的解． 1.5x=60答：实际施工时每天铺设管道60m．44．解：设第一次捐款人数为x，则解得x=400 经检验x=400是方程的解，答：第一次捐款人数为40045．解：设货车的速度为x千米/时，则客车的速度为2.5x千米/时，根据题意可列关于时间的方程式：﹣=6，解得：x=48（千米/时）故可知，货车的速度为48千米/时，客车的速度是120千米/时46．解：设该鱼塘里大概有x条鱼，依题意得，解之得：x=10000，经检验x=10000是方程的解，答：该鱼塘里大概有10000条鱼47．解：设甲单独喝茶叶的时间为x天，乙单独喝咖啡的时间为y天，根据题意列方程得，，解得y=60；，解得x=30．因此30天后甲喝完茶叶而乙只喝完咖啡的一半（），故剩下的咖啡变成两人合喝，由题意可知，他们两人还能喝÷（）=5天．所以两人用30+5=35天才全部喝完．答：两人一起喝完1包茶叶和1罐咖啡需要35天48．解：设七年级捐款的人数为x人，则八年级捐款的人数为（x+20）人由题意得：解这个方程，得x=480 经检验，x=480是原方程的解∴x+20=500（人）答：七年级捐款的人数为480人，则八年级捐款的人数为500人49．解：设7月份每个书包售价为x元，则8月份每个书包售价为0.8x元，根据题意得﹣=50，解得x=50（元），经检验：x=50是所列方程的根且符合题意，答；7月份每个书包售价为50元。
人教版八年级数学上册列分式方程解应用题
例3、某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提 速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列 车的平均速度为多少？
分析：这里的v、s表示已知数据，设提速前列车的 平均速度为x千米/时，先考虑下面的填空：
提速前列车行驶s千米所用的时间为 小时，提速后列
车的平均速度为(x+V)千米/时，提速后列车运行(s+50)
解：（2）设甲、乙两队每天的费用分别为a元、b元。
8a 8b 3520 6a 12b 3480
解
得:
a b
300 140
2、某项工程，甲、乙两队合作，8天可以完成，需要 费用3520元，若甲队单独做6天，剩下的工程由乙队 单独做，乙队还需12天完成，需要费用3480元，问： （1）甲、乙两队完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队完成此项工程各需费用多少元？ （3）在不考虑工作时间的前提下这项工程由哪支工 程队做更合算？
3、某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他 用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货 时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件， 他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬 衫．问第一次购进多少件衬衫？
4、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当 第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方 法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二 次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工 时每小时加工多少零件?
千米所用时间为 s+50 小时。
x+v
s = s+50 . x x+v
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，由题意得
方程两边同乘 x(x+v) ，得 s(x+v)=x(s+50)
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必须舍去.
4. 写出原方程的根.
解含字母系数的分式方程
a +b=1 （b 1） . 例 解关于x 的方程 x -a 解：方程两边同乘 x-a ，得 a+（ b x-a） = x -a . 去括号，得 a+bx-ab = x-a. x = ab- 2a. ） 移项、合并同类项，得（b-1 b 1， ∵ b-1 0， ∴ ab- 2a ． ∴ x= b-1 ab- 2a 检验：当 x= 时，x-a 0， b-1 ab- 2a 所以，x= 是原分式方程的解． b-1
2、工程问题
基本量之间的关系：
工作量 = 工作效率 X 工作时间
常见等量关系：
甲的工作量+乙的工作量 = 合作工作量
注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池 注水问题也属于工程问题 .
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
提速前列车行驶s km所用的时间为
所用时间为 方程:
s+50 x+v
h. 根据行驶时间的等量关系可以列出
s s+50 x = x+v
答案：40 km/h
练习：甲、乙两个学生分别向计算机输入 1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比 甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输 入汉字多少个？
分析：应用题中的数量关系
输入汉字数 甲 乙 1500个 每分钟输入个数 所需时间 x 个 /分
1500 x 1500 3x
1500个
3x个/分
水而沦为孤岛.当时洪水流速为10 km/h,张师傅奉命 用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2 km所用时间与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相 等.则该冲锋舟在静水中的最大航速为____.
【解析】设冲锋舟在静水中的最大航速为x km/h,根据题意
2 1.2 = , 解得x=40,经检验x=40是所列方程的解. 得 x+10 x-10
单独施工1个月完成总工程的
,那么甲队
1 6 ,乙队半个月完 半个月完成总工程的_____
1 2x ,两队半个月完成总工程 成总工程的_____
1 1 ( ) 6 2x 的_______
.
解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程 的 1 .依题意得
x
1 1 1 1, 3 6 2x
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，
单独做所需时间 一天的工作量 实际做时间 工作量
甲 乙
x天
3 x天 2
1 x
1 3 x 2
2天 （2+1）天
1
等量关系： 甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1
例4 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行 驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均 速度为多少？
等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）
某农场原计划在若干天内收割小麦960公 顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前 4天完成任务，试求原计划一天的工作量 及原计划的天数。
分析：应用题中的数量关系
工作总量 一天的工作量 所需天数
原计划情况 960公顷 x公顷
960 x 960 x 40
实际情况
45 x 3x 4
所行距离（km）速度（千米/小时）
甲 （87-45） 45
乙
等量关系：甲用时间=乙用时间+
30 （小时） 60
甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从 甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车 比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各 是多少？ 分析：应用题中的数量关系
所行距离 速度 时间
96 x 96 x 12
快车
慢车
96千米
96千米
x千米/小时
（x-12）千米/小时
等量关系：慢车用时=快车用时+
40 （小时） 60
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江 以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大 航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速是 多少？ 分析：设江水的流速为x km/h，数量关系
去分母得：s(x+v)=x (s+50) 去括号，得
sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得 50x=sv. 解得
x sv . 50 sv 50 sv 50
检验：由于v，s都是正数，x
是原分式方程的解. 答：提速前列车的平均速度为
时x（x+v）≠0，x
sv . 50
km/h.
3.（绵阳·中考）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪
课堂练习
练习
m n =0 （m n 0）. 解关于x 的方程 x x+1
x x+1 ） 解：方程两边同乘 （ ，得 m （x+1 ） -nx =0. 化简，得 mx+m-nx =0. x = -m. 移项、合并同类项，得（m-n） ∵ m n 0， ∴ m n 0，
课堂练习
练习
路程 顺流 100千米 逆流 60千米
速度（km/h） 时间
20+x 20-x
等量关系：顺流100km用时=逆流60km用时
4.（珠海·中考)为了提高产品的附加值，某公司计划将
研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现 有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分 别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件
新产品？
【解析】设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1 200 1 200 =10 ， 1.5x件产品，依题意得 x 1.5x
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验. 6.答:注意单位和语言完整.
【例题】
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共 同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 分析: 甲队1个月完成总工程的
1 3
,设乙队如果
1 x
复习： 解分式方程的一般步骤式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
最简公分母为0 a不是分式 方程的解
a是分式 最简公分母不为0 方程的解
解分式方程的一般步骤：
1. 在方程的两边都 乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2. 解这个整式方程.
3. 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是
解得 x=1.
检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解 答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而甲队1个月完成总工程的 1 ,可知乙队施工速度快.
3
例3、甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2 天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知 1 乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 1 2 倍，问甲乙单独做各需多少天？
960公顷 （x+40）公顷
等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）
例2、A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发向A地驶 来，两人在距离B地45千米C处相遇，已知甲乙速度比为 2：3，求甲、乙的速度。
分析： A
C
45
87
2x 3x
B
时间
87 45 2x
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 X 速度，即s=vt
常见的相等关系：
(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程 (2)、追及问题： (设甲的速度快) 1)、同时不同地： 甲用的时间 = 乙用的时间 甲的行程 - 乙的行程 = 甲乙原来相距的路程 2)、同地不同时： 甲用的时间 = 乙用的时间 - 时间差 甲走的路程 = 乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度 = 静水中航速 + 水速 逆流航速 = 静水中速度 – 水速
m n =0 （m n 0）. 解关于x 的方程 x x+1 m x=． m- n
解：∴
m 0， x x+1） 检验：当 x=时，（ m- n m 所以，x=是原分式方程的解． m- n
列分式方程解应用题
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.