福建省泉州市南安市2020届高三数学上学期期末考试试题 理

福建省南安第一中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：1.已知全集R U =，设集合{|lg(1)}A x y x ==-，集合{}2,1,xB y y x ==≥则()U AC B =（ ） A ．[]1,2 B ．[)1,2 C ．()1,2D ．(]1,22.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分),现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A.41π- B.1π C ．11π- D.π3.若复数z 满足2(1)1z i i +=-，则复数z 的虚部为( ) A ．1- B ．0 C ． i D ．14.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前项和,若844S S =,则10a =（ ） A.172 B. 192C.10D.12 5.已知函数1)1ln()(2+-+=x x x f ，则(lg 2)f ＋1(lg )2f 等于( ) A ． 1- B. 0 C ． 1 D ．26.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102 D ．92 7.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ． 2 B. 4+ C ．4+ D ．6+ 8.如图,给出的是计算111+24100++……的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是( ) A.100,1i n n >=+ B ．100,2i n n >=+ C ．50,2i n n >=+ D ．50,2i n n ≤=+9.已知双曲线222:14x y C b-= (0)b >的一条渐近线方程为y =，12,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，12||:||3:1PF PF =，则21||PF PF +的值是（ ） A ．4 B．． D．510. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (ϕω,,A 均为正的常数)的最小正周期为π，当π32=x 时，函数)(x f 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．)0()2()2(f f f <-< B ．)2()2()0(-<<f f f C ．)2()0()2(f f f <<- D ．)2()0()2(-<<f f f11. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，且·6OAOB=（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是( )B. 6C. 132D. 12. 已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>,若有且只有两个整数1x , 2x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是（ ）A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3- D. ()0,2ln3- 二、填空题：13.已知向量)1,1(-=a ，)4,6(-=b ,若)(b a t a +⊥，则实数t 的值为 .14. 若实数,x y 满足不等式组221x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22(+2)+(3)x y -的最大值和最小值之和为 .15. 某运动队对,,,A B C D 四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参加比赛”；丙说：“,A D 都未参加比赛”；丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的,则获得参赛的运动员是 .16．在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ．三、解答题：(解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.(12分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列72n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n T18.(12分）矩形ABCD 中， 1AB =， 2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起至PBE ∆，如下图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上.（1）求证： BP CE ⊥； （2）求二面角B PC D --的余弦值.19．(12分）2018年某市创建文明城市圆满结束，成绩优异.在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识,该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x 的值,并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数； （2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中随机选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．20.（12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．21.（12分) 已知函数()()2112ln 2f x a x a ax x =--+. (1) 设()()1g x f x x=+，求函数()g x 的单调区间； (2) 若0a >, 设()()11,A x f x ， ()()22,B x f x 为函数()f x 图象上不同的两点，且满足()()121f x f x +=，设线段AB 中点的横坐标为0,x 证明： 01ax >.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分。

22. （10分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=225223t y t x (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B .若点P 的坐标为)5,3(，求PB PA +.参考答案一、选择题：（5×12=60）（1） C （2） A （3） B （4） B （5） D （6） D （7） C （8） C （9） C （10） A （11） B （12） C 二、填空题：（4×5=20） （13）5-； （14）352； (15) B ； （16）17(,)48 ．11.【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 与x 轴交点为()0,M m ∴联立2x ty m y x=+=⎧⎨⎩，可得2y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-。

∵·6OAOB=∴12126x x y y +=，即()2121260y y y y ⋅+⋅-= ∵,A B 位于x 轴的两侧∴123y y ⋅=- ∴3m = 设点A 在x 轴的上方，则10y > ∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号 ∴124S S +的最小值是6. 12. 【解析】由题意可知, ()0f x >,即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>,()22ln 40ax a x x a ∴->-->,设()()2ln 4,2g x x x h x ax a=--=-,由()121'2x g x x x -=-=,可知()2ln 4g x x x =--,在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数, ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0,在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象：若有且只有两个整数12,x x ,使得()10f x >,且()20f x >,则()()()()01133a h g h g >>≤⎧⎪⎨⎪⎩,即0223a a a ln >->-≤-⎧⎪⎨⎪⎩,解得02ln3a <≤-.16.【解析】E 为AC 中点，由cos cos BEA BEC ∠=-∠得222222b BEc a =+-，同理可得222222c CF b a =+-，已知3sin 2sin C B =,32c b ∴=，222218b BE a ∴=-，222729b CF a =+2222222218()1871814()9b b a BE a b b CF a a --∴==++213512698b a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭114-，设b t a =， 结合23c b =，由,a b c a c b b c a+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩2393,9525b b a a ⎛⎫<<∴<< ⎪⎝⎭.222135114917,,,12614166448BE BE CF t CF ⎛⎫⎛⎫∴=-∈∴∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 故答案为17(,)48. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解：（1）当2n ≥时, ()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，……3分当1n =时， 113a S ==适合上式， …………………………………………4分 52n a n ∴=-． …………………………………………5分(2) 令17122n n n n a n b --+==， 所以23213451222222n n n n n T --+=++++⋅⋅⋅++ ， 23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++， …………………………………………7分 两式相减得：211111222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅+-…………………………………………8分111211212nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--…………………………………………10分332n n +=-…………………11分 故1362nn n T -+=-………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）由条件，点P 在平面BCDE 的射影O 落在BE 上∴平面PBE ⊥平面BCDE ， …………………………1分222BC 2,BE BE CE CE BC ===∴+=…………………………3分,,BE CE PBE BCDE PBE BCDE BE CE BCDE ∴⊥⊥⋂=⊂平面平面平面,平面平面CE ∴⊥平面PBE ，………………………………………………………………5分而BP ⊂平面PBE PB CE ∴⊥…………………………………………6分（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示直角坐标系．则11,,022B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 13,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…………………8分 设平面PCD 的法向量为()1111,,x y z η=则1100CD CP ηη⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，即111030x y =-=⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =120,3η⎛= ⎝设平面PBC 的法向量为()2222,,x y z η=则220PB BC ηη⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，即222200x y y -==⎧⎪⎨⎪⎩，令2z =(2η=…………………10分()12121233cos ,ηηηηηη⋅∴==⋅………………11分考虑到二面角B PC D --为钝二面角，则二面角B PC D --的余弦值为．……12分19.（本小题满分12分）解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，…………(2分) 所以10.700.065x -==，…………(4分)所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)；…………(5分) （2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄 “低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．…………(6分)故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，()57113320312===C C X P ,………… (8分) 故X 的分布列为：(11分)所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==．…………(12分)20. （本小题满分12分） 解：（1）由题意得，2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，…………(2分)又c =所以离心率c e a ==(5分) （2）设()()0000,0,0P x y x y <<，则220044x y +=，又()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--， 令0x =，得0022M y y x =--，…………(7分) 从而002112m y BM y x =-=+-，直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001N x x y =--，从而00221N x AN x y =-=+-，…………(9分) 所以四边形ABNM 的面积：()220000000000000024448411212212222x y x y x y x y S AN BM y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++--+==++= ⎪⎪----+⎝⎭⎝⎭ 000000002244222x y x y x y x y --+==--+从而四边形ABNM 的面积为定值…………(12分)21.（本小题满分12分） 解：(1) ()212ln 2g x a x a ax =-+, ()()222'a ax a g x a x x -=-=……………………1分 ①0a >时， ()g x 定义域为()0,+∞ 当 20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x <，故()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()'0g x >，故()g x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ………………3分 ②0a <时， ()g x 定义域为(),0-∞ 当 2,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时()'0g x >，故()g x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2,0x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()'0g x <，故()g x 在2,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ………………5分(2) 120121212x x ax x x a a+>⇔>⇔>- ()222121'0a f x a a x x x ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭，故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增 (7)分只需证： ()122f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，即证()2221f x f x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭(*) 注意到()()12111,,2f x f x f a ⎛⎫+== ⎪⎝⎭不妨设1210x x a <<<. 令()()()22221112ln 22ln 2F x f x f x a x a ax a x a ax a a x xa⎛⎫⎛⎫=-+-=----+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，………9分 则()()()()322222241122'0222ax a a a F x x x ax ax x ax -=--+=-≤--- 1x a ∀≥，……………11分 从而()F x 在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单减，故()210F x F a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 即得(*)式. ………………12分 22.（本小题满分10分）解：（1）.由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，……(1分) 即圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5。