2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A 题 车灯线光源的优化设计 参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略)
二. 模型的建立
建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W ，B,C 点的光强度分别为)(l h B W 和
)(l h C W ，先求)(l h B 和)(l h C 的表达式，再建立整个问题的数学模型.
以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为60
2
2y x z +=，焦点坐标为
（0,0,15）。

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量
设反射点的坐标为Q )60,
,(2
2y x y x +.记入射向量为a ,该点反射面外法线方向为b ,不难得到反射向量c
满足
.22b b
b
a a c ⋅-= 记2
22y x r +=,由
)
1,30/,30/(),
1560,,(2-=--=y x b r w y x a
从而得),,(z y x c c c c =
的表达式
)
900(6081000036001800900
)
9002(900
22242
222
++-+=
+--=+=r wy r r c r r y w c r xyw c z y x
注意到反射光通过C 点,应有
60
/25015,
2600,
2r kc y kc x kc z y x -=-=-=
其中k 为常数. 从上述第一式可解得0=x 或wy
r k 2900
2+-=.由此得反射点坐标满足以下两
组方程:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
--±=-=⎪⎩⎪⎨
=--++-+++-223459005200)2600(133750.021060000001350810000
)8100009360000()46800001498200(1800)2600(y y x w w y w y w y w y y w y
通过计算可知,存在56.10-≈C w ,当C
w w 0
>时第一组方程不存在满足2236≤r 的实根,即无反射点. 而当C w w 0<时,有两个反射点2,1),60/,,0(2=i y y Q i i i .
而第二组方程仅当5609.18119.3-<<-w 时存在满足2
236≤r 的一对实根,即有两
个反射点),60
,
,(2
2y x y x +±记为43,Q Q . 若反射点的坐标为),,(z y x Q ,则位于点)15,,0(w P 的单位能量点光源经Q 点反射到C
点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为 2
4cos PQ
L πβ=
其中
2222)1560/()(-+-+=
r w y x PQ
而β为反射向量与z 轴的夹角,
.60
/25015cos 2QC
r -=β
2))(),(l h l h C B 的表达式
长l 的具有单位能量的线光源位于点)15,,0(w P 的长dw 的微小线光源段反射到C 点的能量密度为 ,/)()(4
1
l w f w E i i ∑==
其中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=--∉--∈=⎪⎩⎪⎨⎧=-∉-∈=4
,3,]5609.1,8119.3[,0]5609.1,8119.3[,4cos )(2
,1,],30[,0],2/[,4cos )(20002
i w w PQ w f i w w w l w PQ w f i
i
i C C
i i i πβπβ
长l 的具有单位能量的线光源反射到C 点的能量密度为 .)()(2
/2
/⎰-=
l l C dw w E l h
类似可得)(l h B 的表达式.相应的反射点方程为
⎪⎩
⎪⎨
⎧
--±=-=⎪⎩⎪⎨
=--++-+++-223459002600)1300(137500.010530000001350810000
)8100004680000()23400001498200(1800)1300(y y x w w y w y w y w y y w y
相应的,78.00-≈B
w 而第二组方程的有两个反射点的范围为].7800005
.0,906.1[--∈w
3） 优化设计的数学模型
设线光源的功率为W , 则它反射到B 点和C 点的能量密度分别为W l h B ⋅)(和W l h C ⋅)(.问题的数学模型为:
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤≤1
)(2)(.
.min 0
0W l h W l h t s W C B l l
三. 模型的求解
)(),(l h l h C B 可以用数值积分求得. )(l h B 应具备下列性质：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤<↓≤≤↑=<<=0
''
0,,20,0)(l l l l l l w l l l h B B
B B
B B 其中B l 为起亮值，'
B l 为最大值点，0l 为考察的最大范围，例如取为20mm 。

)(l h
C 也有类似的
性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解)(2)(l h l h C B =,记其解为*l l =,再求出
'',C B l l ,不难看出'
'C
B l l <且*l 落在),(''
C B l l 之中。

令)(/2)(/1***l h l h w B C ==现证*w 为问题之最优值。

事实上，对可行域中任一),(w l ，
当,*l l ≥有,)(/2)(/2**w l h H l h H w B B =>≥（用到*l l ≥时↓B h ）。

当*l l <，有**)(/)(/w l h H l h H w C C =>≥，（用到*l l <时↑c h ）。

这就证明了*w 的确是最小值。

事实上数值结果为62.3,22.6,16.3*'
'
≈≈≈l l l C B .
四. 反射光亮区的计算
分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。

所有这些亮点的集合即为反射光亮区。

亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x 轴，纵坐标为y 轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x 轴对称的.
五. 注记
(1) 计算))(( ),(l h l h C B 的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(或C)点的反射能量密度.
但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).
(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。

如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。

此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。