【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.8.2函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)课堂达标
2024年高考数学专题复习第12讲函数y=Asin(ωx+φ)
− )=π,即
3
6
π
2π
由五点对应法得 2× +φ=π,得 φ= ,
6
3
2π
π
2π
则 f(x)=sin(2x+ )=cos( -2x- )
3
2
3
π
π
π
=cos(-2x- )=cos(2x+ )=sin( -2x),
6
6
3
解析 由图象知函数的周期 T=2×(
2π
T= =π,即 ω=2,
故选 BC.
理解
用
参数变化对函数图象
的影响.
-2-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=
振幅
Asin(ωx+φ)
A
(A>0,ω>0)
周期
2
T=
ω
频率
1
ω
T
2
f= =
相位
ωx+φ
初相
φ
-3-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)当x∈[0,
π
]时,求函数f(x)的最小值.
2
-14-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
考点一
考点二
考点三
课标导引
知识聚焦
核心考点
核心考点
考点四
π
3
3
.
2
3
1
(2)因为 f(x)=sin x+ cos x- sin
高三复习：函数y=Asin(wx+q)图像与性质含参考答案(学生版+教师版)
4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。
2015年-2019年高考数学分类考点14 函数y=Asin()的图象及三角函数模型的简单应用
考点14 函数y=Asin （x ωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )A.))(43,41(Z k k k ∈+-ππ B. ))(432,412(Z k k k ∈+-ππ C ))(43,41(Z k k k ∈+-D. ))(432,412(Z k k k ∈+- 【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选 D.由五点作图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2345241πϕϖπϕϖ,,解得ω=π, 4πϕ=，所以)4cos()(ππ+=x x f令z k k x k ∈+<+<,242πππππ，解得432412+<<-k x k ，z k ∈，故单调递减区间为))(432,412(z k k k ∈+-.2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )A.(k ∈Z)B.(k ∈Z)C.(k ∈Z)D.(k ∈Z)【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选 D.由五点作图知,,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos,令2k π<πx+<2k π+π,k ∈Z,解得2k-<x<2k+,k ∈Z,故单调递减区间为(k ∈Z).3.(2015·山东高考理科·T3) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选 B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 4.(2015·山东高考文科·T4)要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选 B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 5. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k 的部分图像确定函数的最大值,可得y max =3+k y min =k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ①k-3=2 ② 解之得M=8.6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【解题指南】求出函数f(x)的解析式，利用正弦函数的图像和性质进行判断。
【全版】数学(文)高考一轮复习课件第六章函数y=asin(推荐PPT
考纲要求
考纲研读
1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物 理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，ω，φ 对函 数图象变化的影响．
理解 A，ω，φ 的三角函 数的图象通过平移变换、周期变
10
【互动探究】
考点1 三角函数的图象及变换
π 一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离， 1．要得到函数 y＝sinx 的图象，只需将函数 y＝cos x－ 的图 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则 3 (2)若点 R 的坐标为(1,0)，
B．向右平移π6个单位
C．向左平移π3个单位
D．向左平移π6个单位
3．函数 y＝sin2x＋52π的图象的一条对称轴为( A )
A．x＝－π2 B．x＝－π4
C．x＝π8
D．x＝54π
5
4．函数 y＝sin3x－4π的图象的一个对称中心是( B )
A.－1π2，0
B.－71π2，0
C.71π2，0
14
【互动探究】
2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，x∈R的图象可
象( A ) 最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求φ
考点2 根据三角函数图象求解析式
最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求φ
(1)求 f(x)的最小正周期及φ的值； 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)．
D.1112π，0
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《函数y=Asin(ωx+φ)》课件ppt
依题意，将 y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到 f(x)的图象， 所以 y＝sinx－π4 —将—其—图—象—向—左—平——移—π3—个—单—位—长—度→ y＝sinx＋1π2的图象
—所—有—点—的—横—坐—标—扩—大—到——原—来—的—2→ 倍 f(x)＝sin2x＋1π2的图象.
C 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x－1π2＝cos2x－π6＝sin2x＋π3的图象，故 C 正确；
D 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6＝sin2x＋23π的图象，故 D 错误.
思维升华
(1)由y＝sin
ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移
φ ω
(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用
诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
跟踪训练1 (1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝ sin2x＋π3 ， 为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是
A.－32π＋3kπ，3kπ(k∈Z) B.3kπ，3kπ＋32π(k∈Z)
√C.－74π＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)
D.－π4＋3kπ，54π＋3kπ(k∈Z)
依题意，A－＋Ab＋＝b＝1，－3， 解得Ab＝＝－2，1， ∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1， 而 f 1π2＝1，f π3＝－1， ∴T4＝π3－1π2＝π4， 故 T＝π＝2ωπ，则 ω＝2，
北师大版数学高二必修4讲义 1.8-2函数y=Asin(ωxφ)的图像(二)
§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(二)内容要求 1.掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点). 2.理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性(难点)．知识点 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质 定义域 R值域 [－A ，A ] 周期T ＝2πω奇偶性φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数；φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数对称轴方程 由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得 对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得单调性递增区间由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )求得； 递减区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )求得(1)函数y ＝2sin(2x ＋π6)＋1的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 当2x ＋π6＝2k π＋π2时，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时最大值为3. 答案 C(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π，故选C. 答案 C题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最值问题【例1】 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．解 ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π. ∴π4≤2x ＋π4≤5π4. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1. ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤2，即－1≤y ≤ 2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为[－1，2]．规律方法 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[m ，n ]的值域的步骤： (1)换元，u ＝ωx ＋φ，并求u 的取值范围； (2)作出y ＝sin u (注意u 的取值范围)的图像； (3)结合图像求出值域．【训练1】 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值．解 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.【例2－1】 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6(x ∈R )．解 (1)T ＝2π2＝π. (2)T ＝2ππ2＝4.方向2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性与对称性【例2－2】 (1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( ) A.5π6 B.π2 C.π3D ．－π2解析 (1)令y ＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝±1，则2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π12(k∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．令y ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，则2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )．(2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋5π6.∴当k ＝0时φ＝5π6.故选A.答案 (1)x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )(2)A【例2－3】 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．解 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间就是函数u ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的递减区间．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 规律方法 1.关于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性与奇偶性(1)将ωx ＋φ看作整体，代入到y ＝sin x 的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝π＋k π，k ∈Z ，若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z ，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．2．求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)单调区间的四个步骤 (1)将ω化为正值．(2)根据A 的符号确定应代入y ＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间． (3)将ωx ＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x 的范围即为函数在R 上的单调区间．(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k 赋值求单调区间． 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图像关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝±1. 依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图像关于点M 对称，可知 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z . 又∵f (x )在[0，π2]上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0， ∴当k ＝1时，ω＝23； 当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或ω＝23.规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x 的系数，即将ωx ＋φ变为ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω后再观察x 的变化．(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx ＋φ看作整体，代入一般表达式解出x 的值．(3)对于值域问题同样是将ωx ＋φ看作整体，不同的是根据x 的范围求ωx ＋φ的范围，再依据图像求值域．(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数．【训练2】 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图像的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解 (1)∵x ＝π8是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一条对称轴， ∴2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，由此可得φ＝－3π4.(2)由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .课堂达标1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－1的图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－1 解析 3x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k π3(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π12，把x ＝π12代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－1，得y ＝－1，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－1.答案 D2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π3－5π12，－2k π3－π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π12，2k π3＋π4(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π12，2k π3＋5π12(k ∈Z ) 解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的递减区间就是y ＝sin(3x －π4)的递增区间．由2k π－π2≤3x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π3－π12≤x ≤2k π3＋π4(k ∈Z )． 答案 C3．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C ，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①图像C 关于直线x ＝11π12对称； ②图像C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C . 解析 由于2×11π12－π3＝3π2，故①正确．由于2×2π3－π3＝π，故②正确；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故函数f (x )为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可得函数y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像，故④不正确．答案 ①②③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解 (1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由2x －π6＝k π得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤56π，所以当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值2.课堂小结1．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性． 2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心实质上是其图像与x 轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x 轴垂直的直线.基础过关1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )A ．－π3，5π3，11π3 B ．－2π3，4π3，10π3 C ．－π6，11π6，23π6D ．－π3，2π3，5π3 解析 由题x ＝－π3，－π6时y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3≠0，故A 、C 、D 错．答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( ) A.π6 B.π3 C.π4D.π2解析 f (x ＋α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π4，f (x ＋3α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋6α－π4，因为f (x ＋α)＝f (x ＋3α)且α∈(0，π)， 所以2x ＋2α－π4＝2x ＋6α－π4. 所以α＝π2.故选D. 答案 D4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴12x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增．∴－π6≤12x ＋π3≤π2.解得－π≤x ≤π3.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案 [－π，π3]5．函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图像与x 轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．解析 函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图像与x 轴相交．∴4x ＋2π3＝k π，∴x ＝－π6＋k π4(k ∈Z )． 当k ＝1时，交点离原点最近坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，06．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.则当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，b －2a ＝－5，∴a ＝3，b ＝1.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－5，b －2a ＝4，∴a ＝－3，b ＝－2.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，∴A ＝5. ∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1.∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 能力提升8．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数 ( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B. 答案 B9．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像可由y ＝cos x 的图像向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．答案 D 10．ω为正实数，函数f (x )＝2sin ωπx 的周期不超过1，则ω的最小值是________．解析 由2πωπ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.答案 211．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.答案 x ＝－π612．已知方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在x ∈[0，π]上有两个解，求实数k 的范围． 解 令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x ≤π)，由图像可知，当1≤k ＜2时，直线y 2＝k 与曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在0≤x ≤π上有两个公共点，即当1≤k ＜2时，原方程有两个解．13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式；(2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？解(1)由图像知A＝2，φ＝0，T＝2，故ω＝π，f(x)＝2sin πx.设g(x)＝log a x，由图像知log a4＝－1，故a＝14，g(x)＝log14x.(2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为－2.故当g(x)≥－2时，可能有交点，由log14x≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知，f(x)＝g(x)共有17个解．。
【全程复习方略】高中数学 1.8.2函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)课时作业 北师大版必修4
函数y=Asin的图像与性质(二)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2013·天津高考)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )A.-1B.-C.D.0【解题指南】先确定2x-的范围,再根据正弦函数的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.2.(2014·泉州高一检测)函数y=sin2x的一个单调递增区间可以是( )A. B.C. D.【解析】选A.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故当k=0时的单调递增区间为.3.(2014·九江高一检测)已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2+y2=R2上,则f(x)的最小正周期为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由题意T==2R,由f(x)max=sin x=,则sin x=1,即x=,所以x=,故函数f(x)过点,又在圆上,所以+3=R2,故R=2,则f(x)=sin x,故T=2R=4.4.(2014·景德镇高一检测)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,所以2·+φ=kπ+,所以φ=kπ-(k∈Z),由此易得|φ|min=.故选A.5.已知函数y=sin,其中x∈.若函数的值域是,则a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为-≤x≤a,所以-≤2x+≤+2a,因为-≤y≤1,sin=-,故≤+2a≤π,解得≤a≤.6.若当x=时,函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是( )A.奇函数且图像关于点对称B.偶函数且图像关于点(π,0)对称C.奇函数且图像关于直线x=对称D.偶函数且图像关于点对称【解析】选C.由题意+φ=-+2kπ,k∈Z,故φ=-+2kπ,k∈Z,故y=f=-Asinx,故该函数为奇函数且图像关于直线x=对称.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南通高一检测)函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是.【解析】y=-3sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,则+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,≤x≤符合题意.答案:8.(2014·淮安高一检测)将函数y=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位,得到的图像对应的函数为f(x),若f(x)为偶函数,则φ的最小值为.【解析】由题意f(x)=sin,若f(x)为偶函数,则2φ-=+kπ,k∈Z,得φ=+(φ>0),k∈Z,当k=0时,φ的最小值为.答案:9.(2014·厦门高一检测)已知函数f(x)=sin2x+,则下列命题正确的是.①函数y=f(x)的图像关于点对称;②函数y=f(x)在区间上是增函数;③函数y=f是偶函数;④将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数y=f(x)的图像.【解析】①中f=sin=-≠0,错误;②中当x∈时,2x+∈,不是正弦函数的增区间,错误;③中y=f=sin=cos2x,是偶函数;④中将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到y=sin=cos2x的图像,错误.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·韶关高一检测)已知函数y=f(x)=sin,x∈R.(1)求函数f(x)的最大值及y取最大值时x的集合.(2)求函数f(x)的单调递减区间.(3)将函数y=sin的图像作怎样的变换可得到y=sinx的图像?【解题指南】(1)根据正弦函数的特点知当x+=2kπ+,k∈Z时y取最大值为1,求出x即可得出结果.(2)直接根据正弦函数的单调性求单调区间.(3)将y=sin的图像先向右平移,再进行左右伸缩变换.【解析】(1)当sin=1时,y取最大值y max=1,此时x+=2kπ+,k∈Z,即x=4kπ+,k∈Z,所以y取最大值1时,x的集合为.(2)令z=x+,则y=sinz的单调递减区间为(k∈Z),由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得4kπ+≤x≤4kπ+π,k∈Z.又z=x+在(-∞,+∞)上为增函数,故原函数的单调递减区间为(k∈Z).(3)将y=sin的图像向右平移个单位可得到y=sin的图像,再将所得图像的横坐标变为原来的可得到y=sinx的图像(答案不唯一).11.(2014·泰州高一检测)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图像如图所示.(1)求A,ω的值.(2)求f(x)的单调增区间.(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题指南】(1)通过函数的图像直接求A,利用函数的周期即可求出ω的值.(2)根据正弦函数的单调增区间,直接求f(x)的单调增区间即可.(3)通过x∈,求出函数的相位的范围,利用正弦函数的最值,直接求解f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1)由图像知A=1,由图像得函数的最小正周期为2=π,则由=π得ω=2.(2)由(1)得,f(x)=sin,因为-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z.所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调增区间为,k∈Z.(3)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以-≤sin≤1.当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值1;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.【一题多解】(3)结合已知函数的图像,因为∈且->-,所以x=时f(x)在上取得最大值1.x=-时f(x)在上取得最小值-.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·三亚高一检测)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R的最小正周期是π,且f(0)=,则( )A.ω=2,φ=B.ω=,φ=C.ω=2,φ=D.ω=,φ=【解析】选C.由题意ω=2,又f(0)=2sinφ=,故sinφ=,又|φ|<,故φ=.2.设函数y=2sin的图像关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈,则x0= ( )A. B.- C. D.-【解题指南】利用正弦函数的对称中心表示出x0,再确定当x0∈时的值.【解析】选B.令2x-=kπ,k∈Z,故x=+,k∈Z,又x0∈,故x0=-.【举一反三】若x0∈,则x0= .【解析】由x=+,k∈Z,x0∈知x0=或.答案:或3.(2014·潍坊高一检测)函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)的部分图像如图所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ( )A. B. C. D.1【解析】选C.由图像可知T=2×=π,故ω=2,又sin=0,-+φ=2kπ,|φ|<,得φ=,故f=sin,由图可知f的一条对称轴为x==,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则x1+x2=2×=,故f(x1+x2)=sin=.4.(2014·重庆高一检测)设函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,它的周期是π,则下列说法正确的是( )A.f(x)的图像过点B.f(x)的一个对称中心是C.f(x)在上是减函数D.将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图像【解析】选B.由周期是π可得ω=2,又+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,因为-<φ<,故φ=,故f=3sin,A中f=3sin=,错误;B中f=3sinπ=0,正确;C中当x∈时,2x+∈不是正弦函数的单调递减区间,错误;D中将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin≠3sin2x,错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·厦门高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤f对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是.【解析】因为f>f(π),故sin>sinφ,得sinφ<0,又f(x)≤f对x∈R恒成立,故f=±1,即sin=±1,+φ=+kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又sinφ<0,取φ=-,故f(x)=sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得:+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.答案:,k∈Z6.(2014·沂州高一检测)已知函数y=a-bcos2x+(b>0)的最大值为,最小值为-,则实数a,b的值为.【解题指南】利用f(x)=cos的最大值、最小值代入列方程组求值.【解析】f(x)=cos∈,故解得答案:,1【举一反三】本题若去掉条件b>0,试求实数a,b的值.【解析】当b>0时,解得当b<0时,由解得三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=Asin+m(A>0,ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P(x0,2+m)和Q.若f(x)在上最大值与最小值的和为5,求m的值.【解析】由题意知所以A=2,T=×2=π=,ω=1,所以f(x)=2sin+m,因为x∈,所以-≤2x+≤π,-≤sin≤1,所以f(x)max=2+m,f(x)min=-1+m,所以2+m-1+m=5,所以m=2.8.(2014·苏州高一检测)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图像上的任意两点,且角φ的终边经过点P(1,-),若=4时,|x1-x2|的最小值为.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,不等式mf+2m≥f恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)角φ的终边经过点P(1,-),tanφ=-,因为-<φ<0,所以φ=-.由=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即=,所以ω=3,所以f(x)=2sin.(2)令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,即-+≤x≤+,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(3)当x∈时,-≤f≤1,于是,2+f>0,mf+2m≥f,等价于m≥=1-,由-≤f≤1,得的最大值为,所以,实数m的取值范围是m≥.【拓展延伸】分离参数求参数的范围求参数的范围时,可以将参数分离出来,转化为一侧只含参数的不等式,则只求出另一侧式子的最大值、最小值即可求出参数的范围,如本题中将不等式变为m≥=1-,则求出式子的最大值后即得到实数m的取值范围.【变式训练】(2014·张掖高一检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图像如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位,得到y=g(x)的图像,求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图像在内所有交点的坐标.【解题指南】(1)根据图像求出T,A,再求出ω,利用图像的平移变换,求出φ,然后求函数y=f(x)的解析式.(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位,得到y=g(x)的图像,求出g(x)的解析式,求出函数y=f(x)+g(x),并且y=,求方程在(0,π)内所有的解,进而得交点的坐标.【解析】(1)由题图知A=2,T=π,于是ω==2,将y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,得y=2sin(2x+φ)的图像.于是φ=2×=,所以f(x)=2sin.(2)由题意得g(x)=2sin=-2cos,故y=f(x)+g(x)=2sin-2cos=2sin, 由2sin=,得sin=.因为0<x<π,所以-<2x-<2π-,所以2x-=或2x-=,所以x=或x=,所求点的坐标为或.。
2014-2015学年高中数学 1.8.2函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)课时作业 北
函数y=Asin的图像与性质(二)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2013·天津高考)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )A.-1B.-C.D.0【解题指南】先确定2x-的范围,再根据正弦函数的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.2.(2014·泉州高一检测)函数y=sin2x的一个单调递增区间可以是( )A. B.C. D.【解析】选A.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故当k=0时的单调递增区间为.3.(2014·九江高一检测)已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2+y2=R2上,则f(x)的最小正周期为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由题意T==2R,由f(x)max=sin x=,则sin x=1,即x=,所以x=,故函数f(x)过点,又在圆上,所以+3=R2,故R=2,则f(x)=sin x,故T=2R=4.4.(2014·景德镇高一检测)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,所以2·+φ=kπ+,所以φ=kπ-(k∈Z),由此易得|φ|min=.故选A.5.已知函数y=sin,其中x∈.若函数的值域是,则a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为-≤x≤a,所以-≤2x+≤+2a,因为-≤y≤1,sin=-,故≤+2a≤π,解得≤a≤.6.若当x=时,函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是( )A.奇函数且图像关于点对称B.偶函数且图像关于点(π,0)对称C.奇函数且图像关于直线x=对称D.偶函数且图像关于点对称【解析】选C.由题意+φ=-+2kπ,k∈Z,故φ=-+2kπ,k∈Z,故y=f=-Asinx,故该函数为奇函数且图像关于直线x=对称.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南通高一检测)函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是.【解析】y=-3sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,则+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,≤x≤符合题意.答案:8.(2014·淮安高一检测)将函数y=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位,得到的图像对应的函数为f(x),若f(x)为偶函数,则φ的最小值为.【解析】由题意f(x)=sin,若f(x)为偶函数,则2φ-=+kπ,k∈Z,得φ=+(φ>0),k∈Z,当k=0时,φ的最小值为.答案:9.(2014·厦门高一检测)已知函数f(x)=sin2x+,则下列命题正确的是.①函数y=f(x)的图像关于点对称;②函数y=f(x)在区间上是增函数;③函数y=f是偶函数;④将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数y=f(x)的图像.【解析】①中f=sin=-≠0,错误;②中当x∈时,2x+∈,不是正弦函数的增区间,错误;③中y=f=sin=cos2x,是偶函数;④中将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到y=sin=cos2x的图像,错误. 答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·韶关高一检测)已知函数y=f(x)=sin,x∈R.(1)求函数f(x)的最大值及y取最大值时x的集合.(2)求函数f(x)的单调递减区间.(3)将函数y=sin的图像作怎样的变换可得到y=sinx的图像?【解题指南】(1)根据正弦函数的特点知当x+=2kπ+,k∈Z时y取最大值为1,求出x即可得出结果.(2)直接根据正弦函数的单调性求单调区间.(3)将y=sin的图像先向右平移,再进行左右伸缩变换.【解析】(1)当sin=1时,y取最大值y max=1,此时x+=2kπ+,k∈Z,即x=4kπ+,k∈Z,所以y取最大值1时,x的集合为.(2)令z=x+,则y=sinz的单调递减区间为(k∈Z),由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得4kπ+≤x≤4kπ+π,k∈Z.又z=x+在(-∞,+∞)上为增函数,故原函数的单调递减区间为(k∈Z).(3)将y=sin的图像向右平移个单位可得到y=sin的图像,再将所得图像的横坐标变为原来的可得到y=sinx的图像(答案不唯一).11.(2014·泰州高一检测)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图像如图所示.(1)求A,ω的值.(2)求f(x)的单调增区间.(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题指南】(1)通过函数的图像直接求A,利用函数的周期即可求出ω的值.(2)根据正弦函数的单调增区间,直接求f(x)的单调增区间即可.(3)通过x∈,求出函数的相位的范围,利用正弦函数的最值,直接求解f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1)由图像知A=1,由图像得函数的最小正周期为2=π,则由=π得ω=2.(2)由(1)得,f(x)=sin,因为-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z.所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调增区间为,k∈Z.(3)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以-≤sin≤1.当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值1;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.【一题多解】(3)结合已知函数的图像,因为∈且->-,所以x=时f(x)在上取得最大值1.x=-时f(x)在上取得最小值-.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·三亚高一检测)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R的最小正周期是π,且f(0)=,则( )A.ω=2,φ=B.ω=,φ=C.ω=2,φ=D.ω=,φ=【解析】选C.由题意ω=2,又f(0)=2sinφ=,故sinφ=,又|φ|<,故φ=.2.设函数y=2sin的图像关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈,则x0= ( )A. B.- C. D.-【解题指南】利用正弦函数的对称中心表示出x0,再确定当x0∈时的值.【解析】选B.令2x-=kπ,k∈Z,故x=+,k∈Z,又x0∈,故x0=-.【举一反三】若x0∈,则x0= .【解析】由x=+,k∈Z,x0∈知x0=或.答案:或3.(2014·潍坊高一检测)函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)的部分图像如图所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ( )A. B. C. D.1【解析】选C.由图像可知T=2×=π,故ω=2,又sin=0,-+φ=2kπ,|φ|<,得φ=,故f=sin,由图可知f的一条对称轴为x==,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则x1+x2=2×=,故f(x1+x2)=sin=.4.(2014·重庆高一检测)设函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,它的周期是π,则下列说法正确的是( )A.f(x)的图像过点B.f(x)的一个对称中心是C.f(x)在上是减函数D.将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图像【解析】选B.由周期是π可得ω=2,又+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,因为-<φ<,故φ=,故f=3sin,A中f=3sin=,错误;B中f=3sinπ=0,正确;C中当x∈时,2x+∈不是正弦函数的单调递减区间,错误;D中将f(x)的图像向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin≠3sin2x,错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·厦门高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤f对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是.【解析】因为f>f(π),故sin>sinφ,得sinφ<0,又f(x)≤f对x∈R恒成立,故f=±1,即sin=±1,+φ=+kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又sinφ<0,取φ=-,故f(x)=sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得:+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.答案:,k∈Z6.(2014·沂州高一检测)已知函数y=a-bcos2x+(b>0)的最大值为,最小值为-,则实数a,b的值为.【解题指南】利用f(x)=cos的最大值、最小值代入列方程组求值.【解析】f(x)=cos∈,故解得答案:,1【举一反三】本题若去掉条件b>0,试求实数a,b的值.【解析】当b>0时,解得当b<0时,由解得三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=Asin+m(A>0,ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P(x0,2+m)和Q.若f(x)在上最大值与最小值的和为5,求m的值.【解析】由题意知所以A=2,T=×2=π=,ω=1,所以f(x)=2sin+m,因为x∈,所以-≤2x+≤π,-≤sin≤1,所以f(x)max=2+m,f(x)min=-1+m,所以2+m-1+m=5,所以m=2.8.(2014·苏州高一检测)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图像上的任意两点,且角φ的终边经过点P(1,-),若=4时,|x1-x2|的最小值为.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,不等式mf+2m≥f恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)角φ的终边经过点P(1,-),tanφ=-,因为-<φ<0,所以φ=-.由=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即=,所以ω=3,所以f(x)=2sin.(2)令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,即-+≤x≤+,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(3)当x∈时,-≤f≤1,于是,2+f>0,mf+2m≥f,等价于m≥=1-,由-≤f≤1,得的最大值为,所以,实数m的取值范围是m≥.【拓展延伸】分离参数求参数的范围求参数的范围时,可以将参数分离出来,转化为一侧只含参数的不等式,则只求出另一侧式子的最大值、最小值即可求出参数的范围,如本题中将不等式变为m≥=1-,则求出式子的最大值后即得到实数m的取值范围.【变式训练】(2014·张掖高一检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图像如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位,得到y=g(x)的图像,求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图像在内所有交点的坐标.【解题指南】(1)根据图像求出T,A,再求出ω,利用图像的平移变换,求出φ,然后求函数y=f(x)的解析式.(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位,得到y=g(x)的图像,求出g(x)的解析式,求出函数y=f(x)+g(x),并且y=,求方程在(0,π)内所有的解,进而得交点的坐标.【解析】(1)由题图知A=2,T=π,于是ω==2,将y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,得y=2sin(2x+φ)的图像.于是φ=2×=,所以f(x)=2sin.(2)由题意得g(x)=2sin=-2cos,故y=f(x)+g(x)=2sin-2cos=2sin, 由2sin=,得sin=.因为0<x<π,所以-<2x-<2π-,所以2x-=或2x-=,所以x=或x=,所求点的坐标为或.。
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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.8.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
与性质(二)课堂达标 北师大版必修4
1.函数y=2sin(4x+
6
π)的图像的两条相邻对称轴间的距离为( ) A. B. C. D.842
ππππ 【解析】选B.T=242ππ=，故两条相邻对称轴间的距离为4
π. 2.若函数f(x)=sin ωx (ω＞0)在区间[0]3π，上单调递增，在区间[,]32
ππ上单调递减，则ω=( ) 123A. B. C. D.2232
【解析】选C.由题意可知函数在x=3π时取得最大值，就是2k 32ωππ=π+,k ∈Z ，所以ω=6k+32
；只有k=0时，ω=32
满足选项． 3.函数y=cos(ωx －6π)的最小正周期为5π，则ω=( ) A.10 B.5 C.-10 D.±10 【解析】选D.由2||5
ππ=ω，解得：ω=±10. 4.函数f(x)=cos(4x+φ)的图像关于原点成中心对称，则φ＝( )
A.k π,k ∈Z
B.
2π+k π,k ∈Z C. 3π+k π,k ∈Z D. 6π+k π,k ∈Z 【解析】选B.函数f(x)=cos(4x+φ)的图像关于原点成中心对称，则函数为奇函数，故φ=
2
π+k π,k ∈Z. 5.(2014·泉州高一检测)已知定义在R 上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|≤
2π)满足：最大值为2，相邻两个最低点之间距离为π，将函数f(x)的图像向右平移6
π个单位长度，所得图像关于点(4
π,0)对称.求f(x)的解析式. 【解析】由题意可得，A=2,T=π，ω=2T π =2, 所以f(x)=2cos(2x+φ)，
将f(x)的图像向右平移6
π个单位长度，
可得函数y=2cos[2(x －6π
)+φ]=2cos(2x+φ－3π
),
此时图像关于点(4π
,0)对称,
则2×4π
+φ－3π=k π+2π
，
所以φ=k π+3π
，k ∈Z ，
因为|φ|≤2π
，
所以φ=3π
，
所以f(x)=2cos(2x+3π
).。