2019年数学同步优化指导练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第一课时) 活页作业10 Word版含解析

活页作业(十) 导数与函数的单调性(第一课时)
1．当x >0时，f (x )＝x ＋2
x ，则f (x )的递减区间是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(2，＋∞)
D ．(0，2)
解析：由已知得f ′(x )＝1－2
x
2.
令f ′(x )＝1－2
x 2<0，得－2<x <2且x ≠0.
又x >0，∴0<x < 2.
∴函数f (x )的递减区间为(0，2)． 答案：D
2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( ) A ．sin 2x B ．x e x
C ．x 3－x
D ．－x ＋ln(1＋x ) 解析：选项B 中，y ＝x e x ，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0. ∴函数y ＝x e x 在(0，＋∞)内递增． 答案：B
3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )
A ．f (x )>g (x )
B ．f (x )<g (x )
C ．f (x )＝g (x )
D ．大小关系不能确定
解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0. 即[f (x )－g (x )]′>0，
∴f (x )－g (x )在(a ，b )上是增加的． ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )． ∴f (x )－g (x )>0.∴f (x )>g (x )． 答案：A
4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )
解析：函数f (x )在(－∞，0)上是增加的，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A ，C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．
答案：D
5．函数f (x )＝x ln x 的递增区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．⎝⎛⎭
⎫0，1e D ．⎝⎛⎭
⎫1
e ，＋∞ 解析：由导数公式表和求导法则，得
f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝⎛⎭⎫1
e ，＋∞时，
f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫1
e ，＋∞上是增加的． 答案：D
6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________． 解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)． 令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)
7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 解析：由已知得f ′(x )＝2x －1
x 2－x －2
.
令f ′(x )<0得x <－1或1
2<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区间
为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________． 解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12. 令y ′<0，得x <－2或x >2.
∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)
9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2. ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0. ∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＋2＝1，3－2b ＋c ＝6.即⎩
⎪⎨⎪⎧
b －
c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.
∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0， 解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2. 当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0； 当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.
∴f (x )的递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，递减区间为(1－2，1＋2)． 10．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －12x 2.
证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋1
2x 2(x >0)，
则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2
1＋x .
当x >0时，f ′(x )>0.
∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0. ∴当x >0时，ln(1＋x )>x －1
2
x 2.
11．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，32π B ．(π，2π) C ．⎝⎛⎭⎫32π，52π
D ．(2π，3π)
解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫32π，52π时，y ′＝x cos x >0. 答案：C
12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．
解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
13．函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－3
2，3内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．
解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－1
3，1，(2,3)， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－1
3，1∪[2,3)． 答案：⎣⎡⎦
⎤－1
3，1∪[2,3) 14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件． 解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.
答案：充分不必要
15．求证：方程x －1
2sin x ＝0只有一个根x ＝0.
证明：设f (x )＝x －1
2sin x ，x ∈()－∞，＋∞，
则f ′(x )＝1－1
2
cos x >0.
∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝0时，f (x )＝0，
∴方程x －1
2sin x ＝0有唯一根x ＝0.
16．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ， 求证：(1＋m )n >(1＋n )m . 证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋， ∴2≤m <n ，(1＋m )n >(1＋n )m ⇔
ln (1＋m )m >ln (1＋n )
n
. ∴构造函数f (x )＝ln (1＋x )
x (x ≥2)，
得f ′(x )＝x
1＋x
－ln (1＋x )x 2
.
由x ≥2，得0<x
1＋x <1，ln(1＋x )≥ln 3>1.
∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数． 又2≤m <n ， ∴
ln (1＋m )m >ln (1＋n )
n
. ∴(1＋m )n >(1＋n )m .。