【精】2020学年四川省南充市白塔中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2018-2019学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在空间直角坐标系中，已知点Q（﹣3，1，4），则点Q关于xOz面的对称点的坐标为（）A．（3，﹣1，﹣4） B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（﹣3，﹣1，4）2．（5分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．90 B．120 C．180 D．2003．（5分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为（）A．B．C．4 D．84．（5分）若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．91.5 B．92.5 C．91 D．925．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x﹣y+1的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．27．（5分）直线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，那么l的方程为（）A．3x﹣y﹣13=0 B．3x﹣y+13=0 C．3x+y﹣13=0 D．3x+y+13=08．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，直线y=ax﹣的图象可能是（）A．B． C．D．10．（5分）样本数据：﹣2，﹣1，0，1，2的方差为（）A．B．2 C．1 D．2.511．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．412．（5分）Rt△ABC中，斜边BC为4，以BC中点为圆心，作半径为1的圆，分别交BC于P、Q 两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值为（）A．4+B．3+C．D．14二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把十进制数89（10）化为五进制数，则89（10）=（5）．14．（5分）用辗转相除法求出153和119的最大公约数是．15．（5分）在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为．16．（5分）已知m∈R，则直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣4与圆x2+y2﹣10x+4y+20=0的位置关系为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17．（10分）已知直线l经过点A（﹣1，﹣3），且其倾斜角等于直线x﹣y=0的倾斜角的4倍．求直线l的方程并用一般式表示．18．（12分）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．19．（12分）已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x﹣2y+1=0和y ﹣1=0，求△ABC各边所在直线方程．20．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．21．（12分）已知P（﹣2，﹣3）和以Q为圆心的圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9．（1）求出以PQ为直径的圆Q1的一般式方程．（2）若圆Q和圆Q1交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．22．（12分）有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．2018-2019学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在空间直角坐标系中，已知点Q（﹣3，1，4），则点Q关于xOz面的对称点的坐标为（）A．（3，﹣1，﹣4） B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（﹣3，﹣1，4）【解答】解：根据空间直角坐标系中，点关于坐标面对称的特点知点关于那一个面对称，则面上所包含的两个字母的符号不变，不包含的那个字母对应的数字要变，∴Q（﹣3，1，4），关于xoz面的对称点坐标（﹣3，﹣1，4）故选：D．2．（5分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．90 B．120 C．180 D．200【解答】解：60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中可以抽取30人，每个个体被抽到的概率等于：，∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知×160=8，解得x=200，故选：D．3．（5分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：由题意可得：直线l1的方程为6x+8y﹣14=0，因为直线l2的方程为6x+8y+1=0，所以根据两条平行线间的距离公式d=可得：直线l1与l2的距离为=．故选：B．4．（5分）若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．91.5 B．92.5 C．91 D．92【解答】解：由茎叶图知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序为：87，89，90，91，92，93，94，96．在中间两位的数据是91，92；所以样本的中位数是（91+92）÷2=91.5．故选：A．5．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．6．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x﹣y+1的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．2【解答】解：由z=2x﹣y+1，得y=2x﹣z+1，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z+1，由平移可知当直线y=2x﹣z+1，经过点B时，直线y=2x﹣z+1的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即C（﹣1，）．将C的坐标代入z=2x﹣y+1，得z=﹣2﹣+1=﹣，即目标函数z=2x﹣y+1的最小值为﹣．故选：C．7．（5分）直线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，那么l的方程为（）A．3x﹣y﹣13=0 B．3x﹣y+13=0 C．3x+y﹣13=0 D．3x+y+13=0【解答】解：∵线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，∴直线l的斜率为：==﹣3，∴直线l的方程为y﹣4=﹣3（x﹣3），即3x+y﹣13=0，故选：C．8．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选：C．9．（5分）如图，直线y=ax﹣的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：方程直线的可以看作一次函数，其斜率a和截距异号，只有A符合，其斜率和截距都为负．故选：A．10．（5分）样本数据：﹣2，﹣1，0，1，2的方差为（）A．B．2 C．1 D．2.5【解答】解：样本数据：﹣2，﹣1，0，1，2的平均数为：=（﹣2﹣1+0+1+2）=0，∴方差为：S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2．故选：B．11．（5分）P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．4【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），半径r=2，由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴S PAOB=2S△PAO=，在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA2=PO2﹣r2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4，所求四边形PAOB的面积的最小值为8．故选：C．12．（5分）Rt△ABC中，斜边BC为4，以BC中点为圆心，作半径为1的圆，分别交BC于P、Q 两点，则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值为（）A．4+B．3+C．D．14【解答】解：由题意，OA=OB=2，OP=OQ=1△AOP中，根据余弦定理AP2=OA2+OP2﹣2OA•OPcos∠AOP同理△AOQ中，AQ2=OA2+OQ2﹣2OA•OQcos∠AOQ因为∠AOP+∠AOQ=180°，所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2×22+2×12+（2×1）2=14．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把十进制数89（10）化为五进制数，则89（10）=324（5）．【解答】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．故89（10）=324（5），故答案为：324．14．（5分）用辗转相除法求出153和119的最大公约数是17．【解答】解：153=119×1+34，119=34×3+17，34=17×2．∴153与119的最大公约数是17．故答案为17．15．（5分）在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为．【解答】解：在正方体内，到各面的距离大于1的点位于一个边长为1的小正方体内，小正方体的体积为1，大正方体的体积为33=27，∴所求概率为．故答案为：．16．（5分）已知m∈R，则直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣4与圆x2+y2﹣10x+4y+20=0的位置关系为相交．【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣4，可化为m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+4）=0，由，可得x=7，y=﹣3∴直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣4恒过（7，﹣3）而72+（﹣3）2﹣70+4×（﹣3）+20=﹣4＜0∴点（7，﹣3）在圆x2+y2﹣10x+4y+20内则直线直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣4与圆x2+y2﹣10x+4y+20=0相交．故答案为：相交．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17．（10分）已知直线l经过点A（﹣1，﹣3），且其倾斜角等于直线x﹣y=0的倾斜角的4倍．求直线l的方程并用一般式表示．【解答】解：假设直线x﹣y=0的倾斜角是A，那么有tanA=，A=，设过A点直线的倾斜角是B，那么B=4A=，那么直线L的斜率k=tanB=tan4A=tan=﹣，∴直线方程是：y+3=﹣（x+1），即：直线方程为x+y+3+=0．18．（12分）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【解答】解：（1）第一小组的频率为0.010×10=0.1，第二小组的频率为0.015×10=0.15，第三小组的频率为0.015×10=0.15，第五小组的频率为0.025×10=0.25，第六小组的频率为0.005×10=0.05，所以第四小组的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3．频率/组距=0.3÷10=0.03，故频率分布直方图如图（2）平均分超过60分的频率为0.15+0.25+0.05+0.3=0.75，所以估计这次考试的及格率为75%．第一组人数0.10×60=6，第二组人数0.15×60=9，第三组人数0.15×60=9，第四组人数0.3×60=18，第五组人数0.25×60=15，第六组人数0.05×60=3，所以平均分为=71．（3）成绩在[40，50）的有6人，在[90，100]的有3人，从中选两人有，他们在同一分数段的有，所以他们在同一分数段的概率是．19．（12分）已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x﹣2y+1=0和y ﹣1=0，求△ABC各边所在直线方程．【解答】解：设B（x B，1）则AB的中点∵D在中线CD：x﹣2y+1=0上∴，解得x B=5，故B（5，1）．同样，因点C在直线x﹣2y+1=0上，可以设C为（2y C﹣1，y C），根据=1，解出y C=﹣1，所以C（﹣3，﹣1）．根据两点式，得直线AB的方程为y﹣3=（x﹣1）；直线BC的方程为y﹣1=（x﹣5）；直线AC的方程为y﹣3=（x﹣1）化简得△ABC中直线AB：x+2y﹣7=0，直线BC：x﹣4y﹣1=0，直线AC：x﹣y+2=0．20．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得=5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．21．（12分）已知P（﹣2，﹣3）和以Q为圆心的圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9．（1）求出以PQ为直径的圆Q1的一般式方程．（2）若圆Q和圆Q1交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）由圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9可得圆心Q（4，2）．∴线段PQ的中点Q1（1，﹣），|PQ1|=．∴以PQ为直径，Q1为圆心的圆的方程为（x﹣1）2+（y+）2=；（2）∵∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，∴∠PAQ=90°．∴直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）由于交点A，B既在圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上，又在圆（x﹣1）2+（y+）2=上．两方程相减可得：6x+5y=25，即为直线AB的方程．22．（12分）有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．【解答】解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y﹣4=（x﹣6），令y=0，得到x=OM=，所以当a＞1，即a+1＞0，a﹣1＞0时，△OMQ的面积S=××4a=10×[]=10×[（a﹣1）+]+20≥10×2+20=40，当且仅当（a﹣1）=时（a=2）取等号；所以当Q的坐标为（2，8）时，面积S的最小值为40．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。