高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十一节轨迹方程的求法 理

第十一节轨迹方程的求法了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；②列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝{M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；④化简：把方程f(x，y)＝0化成最简形式；⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型．基础自测1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是( )A ．在△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|PA |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分，C 选项中是双曲线的一支．故选D.答案：D2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x 、－y )，由PA →·PB →＝x 2，得y 2＝x ＋6，因此选C.答案：C 3.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|F 2P |，则Q 的轨迹方程是________________．解析：提示：用定义法求轨迹方程．答案：(x ＋1)2＋y 2＝161．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是____________．解析： ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P ≤a 22，因为S △F 1F 2P ＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2≤12|PF 1|·|PF 2|＝a22.所以②③正确．答案：②③2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1，圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4，当l 的倾斜角为90°时，则与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.当l 的倾斜角不为90°时，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1(x ≠－2)并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1＝－4－627，x 2＝－4＋627，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187， 综上，|AB |＝187或|AB |＝2 3.1．(2013·盐城模拟)设M 、N 为拋物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作拋物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1.(1)求点P 的轨迹方程；(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．(1)解析：y ′＝2x ，设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝2m ，k 2＝2n ，切线方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，0，设P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋n 2，y ＝mn .①因为AB ＝1，所以|n －m |＝2，即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1，所以点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2.消去y 得x 2－kx －b ＝0，所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ，② 点P 到直线MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b 1＋k2，MN ＝1＋k 2|m －n |，所以S △MNP ＝12d ·MN＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n |＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，F 1、F 2为其左、右焦点，且△PF 1F 2的面积等于 2.(1)求椭圆E 的方程．(2)若M ，N 是直线x ＝－32上的两个动点，满足F 1M ⊥F 2N ，问：以MN 为直径的圆C 是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由S △PF 1F 2＝12·2c ·1＝2，∴c ＝ 2.∴两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．又椭圆E 过点P (2，1)，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)设M ，N 的坐标分别为－32，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，n ， 则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2，m ，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2，n .∵F 1M →⊥F 2N →，∴F 1M →·F 2N →＝0， 即94－2＋mn ＝0，mn ＝－14. 以MN 为直径的圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，m ＋n 2，半径为|m －n |2，∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝m －n 24， 即x 2＋y 2＋3x －(m ＋n )y ＋2＝0.令y ＝0，整理得x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， ∴以MN 为直径的圆C 必过定点(－1,0)和(－2,0)．。