04.比和比例

比和比例✧ 学习目标：1. 知道比和比值的意义，会用比的基本性质把一个比化成最简整数比，会由已知:a b 与:b c 求出a 、b 、c 这三个数的连比；2. 会求出两个量的比和比值，会在比的前项、后项和比值中，由已知其中任何两个量求出第三个量；3. 知道比例的意义，能用比例的基本性质判断四个数是否成比例，并会判断一个数是不是两个已知数的比例中项；4. 会解比例，会求比例式中的第四比例项；5. 会运用比和比例的知识解决简单的应用题．✧ 知识点归纳：1. 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记作:a b ，或写成ab，其中0b ≠；读作a 比b ，或a 与b 的比． a 叫做比的前项，b 叫做比的后项．前项a 除以后项b 所得的商．叫做比值． ◆ 比与比值的区别：比是两个数（量）相除，可以反映出两个数（量）的倍数关系；比值是除法的商，是一个数．可以用分数，也可以用小数或整数来表示比值． ◆ 单位不同的同类量在求比值时要统一单位，比值是没有单位的． 2. 除法、分数、比之间的关系和区别除法 a b ÷a 称为被除数b 称为除数 结果为商 商的不变性 除数不为0 分数 a b a 称为分子 b 称为分母 不是运算，本质是数 分数基本性质 分母不为0 比 :a ba 称为前项b 称为后项通过除法求出的结果叫比值比的基本性质比的后项不为0◆ 除法、分数、比的区别：除法是一种运算；比表示两个数或量得到关系；分数的本质就是数．在实际问题中分数也可以反映两个同类量的关系． 3. 比的基本性质，化最简整数比比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变． 最简整数比是指比的前项与后项都是整数．．，且它们互素．．．常用方法为：通过除法求比值，并用最简分数表示比值，再把它改写成比的形式． 4. 连比几个数（三个或三个以上）相连而作比，叫做几个数的连比．如::::a b c m n k =，表示::a b m n =，::b c n k =，::a c m k =．可见，连比是把几个比连写而得到的． 5. 三项连比的性质① 如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =．② 如果0k ≠，那么::::::a b c a b c ak bk ck k k k==．③ 如果::::a b c m n k =，那么a b cm n k==，::a b c 表示a 是m 份，b 是n 份，c 是k 份． ◆ 三项连比表示三个量之间的关系，把两个比写成连比，首先是找到两个比中都公有的量，我们称它为公共项．用比的基本性质使两个比中的中间量相等，写成连比．注意字母位置要和数字相对应． 6. 比例a ，b ，c ，d 四个量中，如果::a b c d =，那么就说a ，b ，c ，d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．其中a ，b ，c ，d 分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项． 7. 比例的基本性质如果::a b c d =或a cb d=，那么ad bc =．反之，如果a ，b ，c ，d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a cb d=． 8. 解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 9. 比例尺在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比例缩小，再画在图纸上．而在生产中，有时由于及其零件比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以后，再画在图纸上．这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比．一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，即:=图上距离实际距离比例尺，或=图上距离比例尺实际距离．比例尺有两种不同的表示形式：数值比例尺和线段比例尺．数值比例尺是用数字的比来表示的，为了计算简便，通常比例尺写成前项为1的比，如1:500或1500等． 线段比例尺是用注有数量的线段来表示的，所注的数量表示相对应的实际距离．例如，下图的线段是比例尺表示图上距离1cm ，对应的实际距离是50千米．✧ 例题（比和连比）：【例1】 求下列各比的比值，并把它们化为最简整数比． （1）14:21；（2）11:2；（3）12:69；（4）12.5分米：2米． 【分析】用比的前项除以后项，所得的商就是这个比的比值．如果比值是整数或最简分数，那么把它改写成比的形式，就能得到已知比的最简形式（即把已知比化为最简整数比）．当然也可以利用比的基本性质将已知比化为最简整数比． 【解】（1）比值为14214:211421213=÷==；最简整数比为14:212:3=．（2）比值为111:1122 22=÷=⨯=；最简整数比为11:2:12=．（3）比值为1212193:6969624=÷=⨯=；最简整数比为12:3:4 69=．（4）比值为12.5分米：2米=1.25米：2米555:22448==÷=；最简整数比为12.5分米：2米5:8=．【说明】要注意区别化简比与求比值的不同要求，更要理解两者实质上是相通的．要求基本方法结果求比值求出前项是后项的几倍或几分之几÷前项后项一个数化简比化成最简整数比，使前项和后项两数互素运用比的基本性质一个比上表罗列了求比值和化简比在解题要求、方法和结果几方面的区别，但在解题过程中，方法是相通的．在求最简整数比时，在已知比值的前提下，直接写出最简整数比比较简便．当然也可运用比的基本性质求得．如本例（3）1212:18:183:4 6969=⨯⨯=．【例2】（1）群丰农场去年的粮食产量和前年的粮食产量的比的值是1.08，前年的粮食产量是800吨，去年的粮食产量是多少吨？（2）把一种农药和水配制成药水，农药和水的比的比值是1150，现在有4千克农药，要和多少千克水混合？【分析】在这两道比的应用题中，比值都是已知的，未知的是前项和后项．设未知量为x，根据“÷=前项后项比值”这个关系式，求出x即可．比是有序的．因此在根据条件“杀虫剂与水的比值是1150”列方程，前项与后项的顺序不可颠倒．【解】（1）设去年的粮食产量为x吨．根据题意，得:800 1.08x=．解得 1.08800864x=⨯=（吨）．答：去年的粮食产量为864吨．（2）设需要和x千克水混合，根据题意，得1 4:150x=．解得144150600150x=÷=⨯=（千克）答：需要和600千克水混合．【说明】在比例式中，比的前项、后项和比值的关系相当于除法中被除数、除数和商的关系，如果已知任何两个数，一定可以求出第三个数．÷=前项后项比值；=⨯前项后项比值；=÷后项前项比值．【例3】 若:4:5x y =，:8:7x z =，求::x y z ．【分析】三项连比表示三个量之间的关系，把两个比写成连比，首先是找到两个比中都公有的量，我们称它为公共项．用比的基本性质使两个比中的中间量相等，写成连比．注意字母位置要和数字相对应． 【解】:4:58:10x y == :8:7x z =即::8:10:7x y z =．【例4】 用2份水泥、3份沙子和5份石头配置一种混凝土．配置6000千克这种混凝土，需要水泥、沙子、石头各多少千克？【分析】此类比例分配问题均可依据比例关系假设未知数．【解】设一份的重量为x 千克，那水泥重2x 千克，沙子重3x 千克，石头重5x 千克，依题意得：2356000x x x ++= 106000x = 600x =．水泥重60021200⨯=千克，沙子重60031800⨯=，石头重60053000⨯=千克．答：配置6000千克这种混凝土需要水泥1200千克、沙子1800千克、石头3000千克．【例5】 如图，两个平行四边形A 、B 有一部分重叠在一起，重叠部分C 的面积是平行四边形A 的面积的37，是平行四边形B 的面积的25．（1） 求平行四边形A 、C 、B 的面积的连比；（2） 如果平行四边形A 比平行四边形B 的面积小22cm 2，求平行四边形A 和平行四边形B 的面积．【分析】设平行四边形A 、B 的面积分别为a 、b ，重叠部分C 的面积为c ．根据质疑条件求出:a c 和:c b ，再求出连比::a c b ．从连比中得到:a b 后，加上已知条件2b a -=cm 2，就不难分别求出平行四边形A 和平行四边形B 的面积．【解】设平行四边形A 、B 的面积分别为a 、b ，重叠部分C 的面积为c ． （1）方法一：由已知c 是a 的37，c 是b 的25，得 :3:7c a =，:2:5c b =．将比做适当变换，得:7:314:6a c ==；:2:56:15c b ==． 由此可得::14:6:15a c b =．方法二：设重叠部分C 的面积为1c =，则平行四边形A 、B 的面积分别为317÷、215÷． 327575::1:1:1:1:6:(16):614:6:15753232a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=÷÷==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）方法一：由（1），得:14:15a b =．根据比的意义，设一份面积为x ，则平行四边形A的面积为14x ，平行四边形B 的面积为15x ．根据题意，得方程15142x x -=，解得2x =（cm 2）．1414228x =⨯=（cm 2），1515230x =⨯=（cm 2）． 方法二：同上得:14:15a b =．由此可知a 是b 的1415． 又a 比b 小2cm 2，故可得平行四边形B 的面积为141212215301515⎛⎫÷-=÷=⨯= ⎪⎝⎭（cm 2）；平行四边形A 的面积为30228-=（cm 2）． 答：平行四边形A 的面积为28（cm 2），平行四边形B 的面积为30（cm 2）．【例6】 甲、乙、丙三人共有藏书119本，甲藏书本数的3倍等于乙藏书本数的6倍，乙藏书本数的2倍等于丙藏书本数的4倍．甲、乙、丙三人各有藏书多少本？【分析】解本例的关键是求出甲、乙、丙三人藏书本数的连比．根据题意，甲藏书本数的3倍等于乙藏书本数的6倍，也就是说甲藏书的本数等于乙藏书本数的2倍．即甲乙藏书本数之比为2:1．同理乙、丙藏书本数之比也为2:1．可求出甲、乙、丙三人藏书本数的连比．又已知三人藏书的总数，即可用连比的意义分别求出甲、乙、丙三人的藏书数．【解】方法一：根据题意，得甲、乙两人藏书本数的比是2:14:2=；乙、丙两人藏书本数的比是2:1．所以，甲、乙、丙三人藏书本数的连比是4:2:1．甲的藏书本数是44119119684217⨯=⨯=++（本）； 乙的藏书本数是22119119344217⨯=⨯=++（本）； 丙的藏书本数是11119119174217⨯=⨯=++（本）． 方法二：同方法一求出甲、乙、丙三人藏书本数的连比是4:2:1．丙的藏书本数是119(421)17÷++=（本）；乙的藏书本数是17234⨯=（本）； 丙的藏书本数是17468⨯=（本）．答：甲、乙、丙三人分别藏书68本、34本和17本．【说明】本例是“比例分配”问题，要求把一个数按某种定比分为几个部分，而不是平均分配，如本例实际上是把119按4:2:1分成三部分，只要理解比的意义，联系已经学过的分数，这类问题不难解决．一般地，如果已知123x x x m ++=，123::::x x x a b c =，可以先求出表示“1”份的数p ，易知1()p m a b c m a b c=÷++=⨯++，于是可得1x ap =，2x bp =，3x cp =．练习（比的意义与性质）：1. 王涛的体重是35千克，李响的体重是40千克，下列说法错误的是（） A ．王涛的体重是李响体重的78B ．王涛与李响的体重比是7:8C．王涛与李响的体重比值是78D．王涛与李响的体重比值是78千克答案：D．2.() 4:524()15=÷=．答案：30；12．3.化简下列各比：（1）4:12_____________=；（2）240:320_____________=；（3）0.9:0.15_____________=；（4）10.3:_____________3=；（5）472:_____________58=；（6）31:1.375_____________8=．答案：（1）1:3；（2）3:4；（3）6:1；（4）9:10；（5）16:5；（6）1:1．4.6和8这两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的比是______________．答案：1:12．5.如果甲数是乙数的67，那么甲数与乙数的比是____________．答案：6:7．6.一个数的小数点向右移动三位，得到的数与原数的比是___________．答案：1000:1．7.正方形的一边长与它的周长的比是________．答案：1:4．8.两个正方形的边长的比是1:2，则它们的面积的比是_____________．答案：1:4．9.同样一篇文章，小强用8分钟打完，小丽用10分钟打完，则小强与小丽的打字的速度的最简整数比为________．答案：5:4．10. 从学校到区图书馆，小李用20分钟走完，小王用18分钟走完，他们的速度比是_____________．答案：9:10．11. 从A 地到B 地，骑自行车需1.75小时，如果乘汽车需75分钟，那么自行车与汽车的速度之比为____________．答案：7:5．12. 助动车2小时行了36千米，飞机2秒钟行了1200米，那么助动车与飞机所行的时间的比是_____________，它们的速度的比是_____________．答案：7200:2；5:600．13. 小明步行8千米需要2小时，小红步行6千米需要1.2小时．求小明与小红的速度的最简整数比．答案：4:5．14. 甲乙两人加工零件，甲3小时加工了126个零件，乙4小时加工了140个零件，求：（1） 甲乙两人加工零件的时间比； （2） 甲乙两人的工作效率的比．答案：（1）3:4；（2）42:35．15. 求下列各比的比值：（1） 4:7；（2） 1.60.32；（3） 45:54； （4）2:0.33； （5） 100kg :1000g ；（6） 1.2:120时时分．答案：（1）47；（2）5；（3）1625；（4）209；（5）100；（6）0.9．16. 求比值：0.6:18=小时分钟___________；20:2=千克吨___________；20:1.2=厘米米___________；1.25:500=升毫升___________．答案：2；1100；16；52．17.一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是___________．答案：12．18.规定一种新的运算a cad bcb d=-，则43:1012的比值为________．答案：12．19.如果两个数的比值是14，比的前项与后项同时扩大4倍，那么比值等于__________；一个比的前项扩大3倍，后项不变，则比值________；比的前项扩大2倍，比的后项缩小2倍，这个比的比值___________．答案：14；扩大3倍；扩大4倍．20.甲数是丙数的8倍，乙数是丙数的12倍，求甲数与乙数的比值．答案：23．21.（1）如果两个数的比值是1，那么这个比的前项与后项_____________相等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）（2）如果两个数的比值是真分数，那么这个比的前项__________后项．（填“>”或“<”）（3）如果两个数的比值是假分数，那么这个比的前项__________后项．（填“>”或“<”）答案：（1）一定；（2）<；（3）>．22.把下列各连比化为最简整数比：（1）12:20:28______________=；（2）0.75:2.5:1______________=；（3）235::______________346=；（4）12.4:2:2.375______________4=．答案：（1）3:5:7；（2）3:10:4；（3）8:9:10；（4）96:90:95．23.化简比：0.35:1.4:21．答案：1:4:60．24. 已知:0.5:0.8x y =，11:1:52y z =，求::x y z ．答案：::15:24:10x y z =．25. 根据下列条件，求::x y z ：（1） 如果:2:3x y =，:3:5y z =，那么::x y z =__________________； （2） 如果:4:5x y =，:4:7y z =，那么::x y z =__________________； （3） 如果:3:7x y =，:4:7y z =，那么::x y z =__________________；（4） 如果11::32x y =，:0.3:0.2y z =，那么::x y z =__________________；答案：（1）2:3:5；（2）4:5:7；（3）12:28:49；（4）2:3:2．26. （1）已知11:1:223a b =，:2:3b c =，求::a b c ；（2）已知1(2)::1:2:33x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求::x y z ．答案：（1）2:6:9；（2）1:12:6．27. 求下列各式中的x ：（1） 12:2473x =； （2）0.240.4x=； （3） 171: 3.720x =； （4）1112.55x = （5） 2:3(1):4x x =+；（6） 6223x =+．答案：（1）10；（2）0.6；（3）12；（4）15；（5）35；（6）7．28. （1）甲乙两个数的比值是45，乙数是10，甲数是多少？ （2）甲乙两个数的比是5:6，甲数是10，乙数是多少？答案：（1）8；（2）12．29.小杰的体重36千克，小明的体重比小杰体重的56还多15千克，求小杰与小明的体重的比值．答案：小明重45千克，小杰与小明的体重的比值为45．30.甲与乙的工作效率比是6:5，两人合作一批零件共计880个，乙比甲少做________个．答案：80．31.甲、乙两个正整数，它们的和是120，甲、乙两数之比为2:3，那么甲数是________．答案：48．32.六（一）班有男学生25人，男生人数与女生人数的比是5:4，求六（一）班共有学生多少人？答案：45人．33.一根绳子长132厘米，若按3:4分成两段，其中长的一段是多少厘米？答案：2．34.在等腰三角形中，两个角的度数之比为2:5，则该三角形的三个角分别是________．答案：40°，40°，100°或30°，75°，75°．35.一本书120页，小杰用三天看完，三天看的书页数之比是1:2:3，则第三天看书________页．答案：60．36.一种合金含有钢、铜和钛三种金属，钢、铜和钛三种金属的质量之比是18:5:3，一块重量5.2千克的这种合金中，这三个金属各含有多少千克？答案：钢3.6千克，铜1千克，钛0.6千克．37.甲、乙、丙三人一起花了820元买礼物，甲、乙出钱之比为5:2，乙、丙出钱之比为5:3，则甲出钱________元，乙出钱________元，丙出钱________元．答案：500，200，120．38.现有黄沙、水泥、石子各12吨，根据施工要求将黄沙、水泥、石子按2:3:5拌成混凝土，当水泥用完时，黄沙用了几吨？石子还缺几吨？答案：8；8．39.甲数和乙数的比是2:3，乙数和丙数的比是4:5．甲数是丙数的几分之几？甲数和丙数的比是多少？答案：815，8:15．40.某校六（1）班中参加排球队与乒乓球队的人数之比为2:3．参加排球队与足球队的人数之比为3:1．已知六（1）班有18人参加乒乓球队．六（1）班参加足球队的有几人？答案：排球队、乒乓球队、足球队的人数之比为6:9:2，参加足球的有4人．41.一个分数，分子和分母之和是100，如果分子加23，分母加32，新分数约分后是23，原来的分数是什么？答案：39 61．42.一圆的半径是5厘米，请问：（1）圆的半径每增加1厘米，周长会增加多少厘米？（2）当圆的半径减少1厘米时，新圆的面积是原来圆面积的几分之几？答案：（1）2π（cm）；（2）16 25．43.园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了总数的18，第二天栽了136棵，这时剩下的与已栽的棵数的比是3:5，这批树苗一共有多少棵？答案：1362725188=-棵．44.一个长方形的长与宽的比为15:7，先截去一个边长与原长方形的宽相等的正方形，得到新长方形的周长为30cm，求原长方形的长与宽各是多少厘米？答案：新长方形长与宽的比为8:7，30(87)2÷+=（cm），原长方形的长21530⨯=（cm），宽2714⨯=（cm）．45. 甲、乙两个正方形，甲的长是5cm ，宽是长的710；乙的长是7.5cm ，恰是它的宽的53倍，求甲、乙两个正方形的面积的比值．答案：甲面积352cm 2，乙面积1354．甲、乙两个正方形的面积的比值为1427．46. 一个两位数，十位数字与个位数字之比为2:3．若两个数位上的数字互换得到新的两位数与原两位数之差为18．求原两位数是多少？解：设原两位数的十位数字是2x ，则个位数字是3x ． 20330218x x x x +=+-，解得2x =． 答：原来两位数是46．47. 梯形的上底与下底比为1:4，在上底、高、下底构成的比例中，高是比例中项，梯形面积为20cm 2，求梯形的上底、下底和高．解：设上底为x cm ，则高为2x cm ，下底为4x cm ． (4)2202x x x+⨯=，解得2x =．答：梯形的上底、下底和高分别是2cm ，8cm 和4cm ．48. 某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套．问怎样安排工人工作才可使加工好的零件配套？解：设安排x 个工人做甲种零件，y 个工人做乙种零件，z 个工人做丙种零件， 由题意，15129321x y z==，::18:15:10x y z =． 做甲种零件的工人数为861836181510⨯=++（人）； 做乙种零件的工人数为861530181510⨯=++（人）； 做丙种零件的工人数为861020181510⨯=++（人）．49. 甲、乙、丙三人去书店买书，共带去54元，甲用去了自己钱的35，乙用去了自己钱的34，丙用去了自己钱的23，各买了一本相同的书，三人用去的钱数正好相等，那么甲和丙两人剩下的钱数共有多少元？解：332543⨯=⨯=⨯甲的钱数乙的钱数丙的钱数，即6661089⨯=⨯=⨯甲的钱数乙的钱数丙的钱数，所以::10:8:9=甲的钱数乙的钱数丙的钱数，甲原有1054201089⨯=++（元），丙原有954181089⨯=++（元），甲和丙两人剩下322011811453⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（元）．答案：14．50.答案：．51.答案：．例题（比例）：【例7】（1）下面每组的两个比是否能组成比例？如果能组成比例，那么把组成的比例式写出来：①20:5和1:4；②0.6:0.2和31:44．（2）下面每组中的四个数是否能组成比例？如果能组成比例，那么写出用这四个数组成的一个比例式：①12、13、4和6；②3、7、2和5．【解】（1）①因为20:54:1=，4:1和1:4不相等，所以20:5和1:4不能组成比例．②因为0.6:0.23:1=，31:3:144=，所以0.6:0.2和31:44能组成比例，比例式是31 0.6:0.2:44=．（2）①方法一：因为11:3:223=，6:43:2=，所以12、13、4、6能组成比例，其中一个比例式是11:6:4 23=．方法二：因为114623⨯=⨯，所以12、13、4、6能组成比例，其中一个比例式是11:6:423=．②方法一：（试验法）3:72:5≠（3:7与5:2是否相等可不必试），3:27:5≠，3:52:7≠．经过这四个数两两搭配，用比例的意义去检验，都不能组成比例．所以3、7、2和5不能组成比例．方法二：把3、7、2、5按从小到大的次序排列，得2357<<<．因为2735⨯≠⨯，所以这四个数不能组成比例．【说明】判断两个比能不能组成比例或者判断一个比例式是否成立（即是正确）基本的方法有两个：一是根据比例的定义判断，如解本例（2）的方法一；二是先假设比例式成立，再用比例的基本性质检查，如解本例（1）的①，假设20:51:4=，但51204⨯≠⨯，说明假设不能成立，从而得出不能组成比例的结论． 判断四个数能不能组成比例也可以应用比例的意义或比例的基本性质来试验，如果试验一次，不能判断能组成比例，必须继续一一试验（最多试验六次），直到能够得出明确的结论为止．这种方法叫穷举法，盘算起来比较麻烦．本例（2）②的方法二给出了一种简便方法，这是因为用比例基本性质检查四个数（a ，b ，c ，d ）中两个数的积是否等于另两个数的积，只有一下三种情况：a b ⨯与c d ⨯；a c ⨯与b d ⨯；a d ⨯与b c ⨯．如果设a b c d <<<，那么上述三种情形中，只有a d b c ⨯=⨯可能成立．这样，要判断这四个数是否能组成比例，只要判断a d ⨯与b c ⨯是否相等．【例8】 在3、5、12三个数中，再添一个数组成比例． 【分析】要判断四个数是否能成比例，只要判断在a b c d <<<中是否有ad bc =． 设所添的这个数为x ，那么3、5、12、x 四个数要组成比例．根据比例的基本性质，x 与3、5、12中的两个数相乘的积，等于另两个数相乘的积，于是有三种情形：1352x ⨯=⨯；1532x ⨯=⨯；1352x ⨯=⨯．每种情形都可先求出x 的值，再写出符合要求的比例． 【解】设添加的数为x ，如果1352x ⨯=⨯，那么56x =，可得比例515:3:62=或153:5:26=等；如果1532x ⨯=⨯，那么310x =，可得比例135:3:210=或313:5:102=等；如果1352x ⨯=⨯，那么30x =，可得比例1:35:302=或1:53:302=等．【说明】本例是开放题．开放题的主要特征是答案不唯一或可能出现的情况不唯一．如本例已知3、5、12，设第四个数为x ，由于比例中两个外项的积等于两个内项的积．在三个已知数中，哪两个数作为外项（或内项）并不确定，所以共有三种不同的情形．此外，每种不同情形得到的比例式都有四种不同的比例式，如30x =的情形下，还有比例式13:30:52=或15:30:32=．【例9】 解下列各比例：（1）:158:3x =；（2）49: 4.5:5x =．【解】（1）方法一：由:158:3x =，得3815x ⨯=⨯，815403x ⨯==． 方法二：由:158:3x =，得8153x =，8153x =⨯，815403x ⨯==．（2）方法一：由49: 4.5:5x =，得4.590.8x ⨯=⨯，90.884.55x ⨯==．方法二：由49: 4.5:5x =，得0.89 4.5x =，得0.8894.55x =⨯=．【例10】 已知:1:2a b =，求a bb+的值． 【解】方法一：由已知12a b =，得131122a b a b a b b b b +=+=+=+=． 方法二：由已知，得2b a =⨯，于是有233222a b a a a b a a ++⨯⨯===⨯⨯． 【说明】解比例的基本方法是应用比例的基本性质把比例式变形为简易方程求解．熟练以后，我买的可以得出如下规律：如果未知项是一个外项，那么只要用另一个外项去除两个内项的积；如果未知项是一个内项，那么只要用另一个内项去除两个外项的积．解比例时，灵活应用比和比例的性质，可以使计算简便．如用分数形式表示比例后，不仅在同一边的分子、分母可约分，而且在两边的分子或分母也可以约去公因数． 本例是已知:a b 的值，求雨a 、b 相关的比的比值．这类问题的解法很多．方法一是先找出未知比与已知比的关系1a b ab b+=+，然后将已知比代入，但是未知比和已知比的关系有时很难找出，所以方法一不是一般解法．方法二是从已知比出发，应用比例的基本性质，先求出前项与后项的倍数关系，再代入所求比求值．【例11】 （1）两个城市之间的距离是50千米，用1:1000000的比例尺画地图，在图上两个城市的距离应该是多少？（2）在比例尺是1:6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是多少千米？ 【分析】因为=图上距离比例尺实际距离，可以用解比例的方法求出实际距离．但要注意图上距离与实际距离的单位要一致． 【解】（1）设两城市的图上距离是x 厘米． 因为50千米 5 000 000=厘米，所以有5 000 000 1 0100 000x =． 5 000 00051 000 0001x =⨯=（cm ）． 答：图上距离应该是5厘米．（2）设南京到北京的实际距离为x 厘米． 1516000000x =． 15600000090000000x =⨯=（cm ）900=（km ）． 答：南京到北京的实际距离大约是900千米．【例12】 王先生骑自行车，30分钟行8千米，从家到公园有12千米，骑自行车需要多少分钟？【分析】由已知可求出王先生骑车的速度，于是已知距离可以求出需要骑车的时间． 【解】方法一：王先生骑车每分钟的速度是483015÷=（km ）．行12千米需要的时间是415121245154÷=⨯=（分）． 综合式是83012(830)121245308÷÷=÷=⨯=（分）． 方法二：设王先生从家到公园需骑车x 分钟，速度一定时所行的时间和距离成正比例．由题意列出下表，得比例式30分钟 8千米 ↓ ↓x 分钟12千米30812x =， 3012458x ⨯==（分）． 答：王先生从家到公园需骑车45分钟．【说明】在路程问题中，如果速度一定，所行的距离是跟着所行的时间变化的，而且时间扩大几倍，距离也扩大同样的几倍；时间缩小几倍，距离也缩小同样的几倍．我们说在速度一定时，行走的时间与距离成正比例．同样道理，单价一定时，物品的数量和总价也成正比例．如果两种量程正比例，那么一种量中任意两个数值的比等于另一种量中相应的两个数值的比．在接应用题时可先按题意列出表格，按表格中相同的次序列出比例进行解答．【例13】 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时30千米，6小时到达．如果要5小时到达，那么每小时需行多少千米？ 【解】方法一：甲乙两地的距离是306180⨯=（km ）．汽车的速度是180536÷=（千米/时）． 方法二：设每小时需要行x 千米，则由题意可得5306x ⨯=⨯． 306365x ⨯==（km ）． 答：每小时需要行36千米．【说明】本例中的时间与速度不成正比例．因为甲乙两地的距离一定．如果速度加快，那么行车时间就减少，并且速度扩大几倍，行车时间就减少到原来的几分之一；反之，如果速度缩小到原来的几分之一，那么行车的时间就扩大几倍．我们说，在距离一定时，行走的速度与时间成反比例．在解应用题时可以按题意列出表格如下，但是一定要反过来列出比例．6小时 30千米↓ ↓5小时 x 千米3065x =． 关于正比例和反比例，在以后还要学习，这里先有些了解．练习（比例和比例的性质）：52. 判断：如果89A B =，那么:8:9B A =．答案：×．53. 判断题：（下列各组中的两个比是否能组成比例，若能，则在题后的括号内打“√”；若不能，则打“×”）（1） 6:9和9:12（） （2） 1.4:2和7:10（）（3） 0.5:0.2和51:84（）（4）31:410和7.5:1（）答案：（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．54.2，3，5，7________（填“能”或“不能”）构成比例．答案：不能．55.4、6、8的第四比例项是_____________．答案：12．56.如果a、b、c的第四比例项为x，那么x为（）A、ab c⨯B、a cb⨯C、b ca⨯D、a bc⨯答案：C．57.如果4和x的比例中项是6，那么x=_____________．答案：9．58.已知4和b的比例中项是6，则b=________．答案：9．59.如果a b c d⨯=⨯，那么下列各式中错误的是（）A、b dc a=B、a cb d=C、c ba d=D、a cd b=答案：B．60.如果:3:2x y=，那么:y x=_____________．答案：2:3．61.如果4:3:y x=，那么:x y=_____________．答案：3:4．62.如果53x y=，那么:x y=_____________．答案：3:5．63.如果7:4:x y=，那么:x y=_____________．答案：7:4．64.如果2:3:4x=，那么x=_____________．答案：83．65.如果:4:5x y=，那么:_________:100x y=．答案：80．66.已知2121239⨯=⨯，用2和23作外项，写出一个比例式是_________________．答案：12 2:12:93=．67.把下面的等式改写成比例（至少写出两个不同的比例式）（1）340815⨯=⨯；（2）3443 5757⨯=⨯．答案：（1）3:815:40=或3:158:40=；（2）3434::5577=或3344::5757=．68.12的因数有_______________，选择其中四个因数，把它们组成一个比例是_______________．答案：1，2，3，4，6，12；1:23:66:12==．69.把4.5、7.5、12、310这四个数组成比例，其内项的积是________．答案：919 224⨯=．70.下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来（至少写出两个不同的比例式）（1）4、5、12和15；（2）2、3、4和5；（3）1.6、6.4、2和12；（4）12、13、16和14．。