江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题 含答案 精品

2017～2018学年度第一学期高三年级12月份月考联考数 学 试 题考试时间：120分钟 卷面分值：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1．已知集合{}32<<-=x x A ，{}40<<=x x B ，则=⋂B A ▲ ． 2．已知命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定为 ▲ ． 错误！未找到引用源。

3．函数x y 2log 1-=的定义域为 ▲ ．4．函数x e x f x +=)(的零点在区间(1,)()k k k Z -∈内，则k = ▲ ．5．已知a x p ≥:，032:2≥--x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．数列{}n a 为等比数列，11=a 且741531+++a a a ,,成等差数列，则公差=d ▲ ．7．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥--0104022y y x y x ，则x y 的最小值为 ▲ ．8．经过点()02，且圆心是直线2=x 与直线4=+y x 的交点的圆的标准方程为 ▲ ．9．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ ． 10．将函数)32cos(2π+=x y 的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位长度后，所得函数为奇函数，则=ϕ ▲ ． 11．在矩形ABCD 中，AB=，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1=⋅，则⋅的值为 ▲ ．12．已知函数2)(-=x x x f 在[]a ，0上的值域为[]10，，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数x x e e x f xx3)(3++-=-，若0)1()12(=-+-b f a f ，则bb a a 11222+++的最小值为 ▲ ．ODCBAS14．若函数)(x f 在[]b a ，上存在唯一的x )(b x a <<满足)()()()(a f b f x f a b -='-，那么称函数)(x f 是[]b a ，上的“单值函数”.已知函数m x x x f +-=23)(是[]a ，0)21(>a 上的“单值函数”，当实数a 取最小值时，函数)(x f 在[]a ，0上恰好有两点零点，则实数m 的取值范围是_ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量)cos ,(sin αα= ，)3,1(=b ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，若⊥， （1）求α的值； （2）若)2,6(,53)sin(ππββα∈=-，求角β的大小．16．（本小题满分14分）如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点． （1）求证：CN⊥平面ABB 1A 1； （2）求证：CN∥平面AMB 1．M C 1B 1A 1C17．（本小题满分14分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 错误！未找到引用源。

及其矩形附属设施EFGH 错误！未找到引用源。

，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R 错误！未找到引用源。

，矩形的一边AB 在直径上，点C 错误！未找到引用源。

、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3π=∠BOG ，错误！未找到引用源。

设θ=∠BOC（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为)(θf 错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的表达式；（2）当θcos 为何值时，能符合园林局的要求？18．（本小题满分16分）已知圆O ：122=+y x 与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B（1）若过点)23,21(C 的直线l 被圆O 截得的弦长为3，求直线l 的方程； （2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PO PA 2=(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；（3）设),(11y x M ，Q ()22,y x 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1QM 、2QM 与y 轴分别交于()m ,0和()n ,0，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分） 已知函数f (x )=x －xb，g (x )=x a ln 2． （1）若0=b ，函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像相切，求a 的值； （2）若0>a ，1-=b ，函数)()()(x g x xf x F +=满足对任意12,(0,1]x x ∈（x 1x 2），都有2121113)()(x x x F x F -<-恒成立，求a 的取值范围； （3）若1=b ，函数)(x G =f (x )+ g (x ),且G(x )有两个极值点x 1,x 2,其中x 1⎥⎦⎤⎝⎛∈310，，求)()(21x G x G -的最小值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的满足a 1=1，前n 项的和为n S ，且11241n n n n n a a a a S ++-=-（*n N ∈）． （1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；（3）设n bn a c n ⋅=2错误！未找到引用源。

，若21≤≤λ错误！未找到引用源。

，求对所有的正整数n 都有n c k <+-2322λλ成立的k 的取值范围．2017～2018学年度第一学期高三年级12月份月考联考数学答案1． ()30， 2．3． (]2,0 4．05． 3≥a 6． 3 7．31 8． ()()42222=-+-y x 9．324 10． 125π11．2 12． []211+，13．49 14． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2740，15. 解：（1）a b ⊥，sin 0a b αα∴⋅==，…………………………………2分sin αα∴=，（显然cos 0α≠，否则sin 0α=与22sin cos 1αα+=矛盾．） sintan cos ααα∴==（不交代cos 0α≠扣2分）…………………………………5分 (,)2παπ∈23πα∴=． ………………………………………………………………7分（2）62ππβ<<且23πα=，62ππαβ∴<-<，又3sin()5αβ-=，4cos()5αβ∴-===．…………10分413sin sin[()]sin cos()cos sin()()525βααβααβααβ∴=--=---=--⨯= ………………………………………………………………14分 16.证明：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥CN， ∵AC=BC，N 是棱AB 的中点，∴CN⊥AB，∵AA 1∩AB=A，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CN⊥平面ABB 1A 1…………………………………………………………………………7分 （2）取AB 1的中点P ，连结NP 、MP ．∵P 、N 分别是棱AB 1、AB 的中点，∴ NP∥BB 1且NP=12BB 1， ∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱CC 1的中点，且CC 1∥BB 1， CC 1= BB 1，∴CM∥BB 1，且CM=12BB 1，∴CM∥NP，CM=NP ． ∴四边形CNPM 是平行四边形，∴CN∥MP．∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1，∴CN∥平面AMB 1．…………………………14分 17．解：（1）由题意，，，且为等边三角形，所以，，，，． 6 分 （2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令………………9分当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值. ………………12分答：当满足时，符合园林局要求. ………………14分18．解：（1）︒1 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：21=x ，符合题意。

……2分 ︒2若直线l 的斜率存在，设l 的方程为：)21(23-=-x k y ，即0322=+--k y kx ∴点O 到直线l 的距离()()22223-++-=k k d∵直线l 被圆O 截得的弦长为3∴1)23(22=+d ∴33=k ，此时l 的方程为：013=+-y x ∴所求直线l 的方程为21=x 或013=+-y x ……5分 （2）设点P 的坐标为()y x ，，由题得点A 的坐标为()01，-，点B 的坐标为()10，由PO PA 2=可得()222221y x y x +=++，化简可得()2122=+-y x ……7分∵点P 在圆B 上，∴()()21001222+≤-+-≤-r r ∴220≤<r∴所求r 的取值范围是220≤<r ……10分（3）∵()11y x M ，，则()111y x M --，，()112y x M -， ∴直线1QM 的方程为)(112121x x x x y y y y +++=+令0=x ，则211221x x y x y x m +-=同理可得211221x x y x y x n -+=∴()()2221212222212221212221211221211221)1()1(x x x x x x x x y x y x x x y x y x x x y x y x mn ----=--=-+⋅+-=1= ∴n m ⋅为定值1……………………16分19．解：(1)若b=0，函数f(x)=x 的图像与g(x)=2alnx 的图像相切，设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为y=，所以得.所以a=.……3分(2)当a>0,b=-1时，F(x)=x 2+1+2alnx ，F ＇(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]递增.不妨设0<x 1<x 21，原不等式F(x 2)-F(x 1)<3()，即F(x 2)+< F(x 1)+.设h(x)= F(x)+ = x 2+1+2alnx+，则原不等式h(x)在(0,1]上递减……7分即h ＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a -2x 2在(0,1]上恒成立.设y=-2x 2,在(0,1]上递减，所以y min =3-2=1，所以2a 1，又a>0，所以0<a .……10分(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x)=x +2alnxG /(x)=,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根，∴x 1x 2=1, x 1+x 2=－2a,x 2=,2a=,G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G()= 2[] 令H (x )=2[], H ＇(x )=2()lnx=当时，H/(x) <0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为120ln 31633H -⎛⎫=⎪⎝⎭即G(x 1)-G(x 2) 的最小值为20ln 3163-…………16分20．解：（1）令n=1得a 2=3．…………2分 （2）因为11241n n n n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①． 所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．………………5分因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a a a a a ++++=---． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． …………8分 （其它解法酌情给分）（3）由（2）知，因为b 1=，所以数列{}n b 的通项公式为b n =n．因为，所以，所以数列是常数列．由．………………11分所以因为所以数列{c n }为单调递增数列 当1n ≥时，c nc 1=，即c n 的最小值为………………14分由22-k+3<c n，仅当时取得，故.………………16分。