湖北省鄂州市2019-2020学年高二上学期月考数学试卷 Word版

数学试题一选择题1．已知命题p：方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程＝1表示双曲线，则p是q的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要2．已知i为虚数单位，若，则a2019+b2020＝（）A．0B．1C．2D．33．若数据x1，x2，…，x10的标准差为5，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．5B．10C．15D．204．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线C1：，双曲线C2：的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C1与C2的离心率相同，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若，则双曲线C2的实轴长是（）A．32B．4 C．8D．166．如图所示，在直角坐标系xOy中，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，且OA＝OB，若点C和点E都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则△ABC与△BDE的面积的比值为（）A．B．C．D．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝2lnx+8x+1，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．209．已知f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则f'（0）为（）A．﹣5B．﹣120C．120D．510．设函数f（x）的导函数为f'（x），若，则f'（1）＝（）A．e﹣3B．e﹣2C．e﹣1D．e11．设a∈R，若函数y＝x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）12．已知函数f（x）＝ax3﹣3ax2+bx+1+2a﹣b，的最大值为M，则下列说法正确的是（）A．M的值与a，b均无关，且函数g（x）的最小值为﹣MB．M的值与a，b有关，且函数g（x）的最小值为﹣MC．M的值与a，b有关，且函数g（x）的最小值为2﹣MD．M的仅与a有关，且函数g（x）的最小值为2﹣M二、填空题13.如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，得y与x之间的线性回归方程为，则______．14.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是______ 岁．15.为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数，，…，和，，…，，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．16.圆的切线MT 过双曲线的左焦点F ，其中T 为切点，M 为切线与双曲线右支的交点，P 为MF 的中点，则______． 三、解答题17已知命题p ：，；命题q ：方程表示双曲线． 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m 的取值范围．18．某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日温差x （℃） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗）2325302616他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；并预报当温差为8℃时的种子发芽数．参考公式：，其中＝，19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，2AB =，1B C ⊥平面ABC ．（1）证明：平面11A ACC ⊥平面11BCC B ； （2）求二面角1A B B C --的余弦值． 20．已知函数1()x f x e x -=-．（1）求()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程；（2） 若存在4[0,1]3x ln ∈+，满足10x a e x --+<成立，求实数a 的取值范围．21已知抛物线E ：，圆C ：．若过抛物线E 焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 方程；在的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知椭圆C ：的离心率是，一个顶点是． Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．Ⅰ设椭圆C 的半焦距为求出b ，利用离心率求出a ，即可求解椭圆C 的方程；Ⅱ直线PQ 的斜率存在，设其方程为将直线PQ 的方程代入椭圆方程，消去y ，设 ，，利用韦达定理，通过，化简求出，求出m ，即可得到直线PQ 恒过的定点．23.已知函数在处的切线与直线平行。

求实数a 的值，并判断函数的单调性； 若函数有两个零点，，且，求证：。

数学答案一.填空题1-5ACBDD 6-10BBCBC 11-12二.填空题13. 14. 15 16 . 三，解答题17.解：对于任意，，若命题p 为真命题，则，所以； 若命题q 为真命题，则，所以，因为命题“”为真命题，“”为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题． 当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，，则， 当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，，则， 综上，或．19解：（1）证明：1B C ⊥Q 平面ABC ，1B C AC ∴⊥，1AC BC ==Q ，2AB =， 222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，1BC B C C =Q I ，AC ∴⊥平面11BCC B ， AC ⊂Q 平面11A ACC ，∴平面11A ACC ⊥平面11BCC B ．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0C ，0，0)，(1A ，0，0)，1(0C ，1-，1)，(1CA =u u u r ，0，0)，1(0CC =u u u u r，1-，1)，设平面11A ACC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则100n CA x n CC y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r gu u u u rr g， 取1y =，得(0n =r ，1，1)，平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)，设二面角1A B B C --的平面角为θ，则||2cos ||||2m n m n θ===r r g r r g ．∴二面角1A B B C --的余弦值为22．20解：（1）1()1x f x e -'=-，所以f '（2）1e =-，f （2）2e =-，所以()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为：(2)(1)(2)y e e x --=--， 即(1)y e x e =--；（2）由题意，1x a e x -<-，即()a f x <，令1()10x f x e -'=-=，得1x =．因为1x >时，()0f x '>，1x <时，()0f x '<，所以()y f x =在(,1)-∞上减，在(1,)+∞上增， 又04[0,1]3x ln ∈+时，所以()y f x =的最大值在区间端点处取到．而1(0)f e =，414(1)333f ln ln +=-，4114(0)(1)0333f f ln ln e -+=-+>，所以4(0)(1)3f f ln >+，所以()y f x =在4[0,1]3ln +上最大值为1e ，故a 的取值范围是1a e<．21.解：由题知，抛物线E 的焦点为，当直线的斜率不存在时，过点的直线不可能与圆C 相切， 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在， 设直线斜率为k ，则所求的直线方程为，即， 所以圆心到直线l 的距离为， 当直线l 与圆相切时，有， 所以所求的切线方程为或．由知，不妨设直线l ：，交抛物线于，两点，联立方程组，所以，， 假设存在点使，则．而，， 所以 ，即，故存在点符合条件．当直线l ：时， 由对称性易知点也符合条件． 综合可知在的条件下，存在点使．22解：Ⅰ设椭圆C 的半焦距为c ，依题意，得， 且 ， 解得 ，所以椭圆C 的方程是；Ⅱ易知，直线PQ 的斜率存在， 设其方程为，将直线PQ 的方程代入， 消去y ，整理得 ， ，设 ，， 则 ，，因为 ，且直线BP ，BQ 的斜率均存在， 所以 ， 整理得 ， 因为 ，， 所以 ， ，将代入， 整理得，将代入，整理得，解得，或舍去，所以，直线PQ恒过定点．【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，属于难题．23.解：Ⅰ函数的定义域为，，，解得，，，令，解得，故在上是单调递减，令0'/>解得，故在上是单调递增；证明：Ⅱ由，为函数的两个零点，得，两式相减，可得，即，，因此，，令，由，，则，构造函数，则0'/>，所以函数在上单调递增，故，即，可知，故．。