2010.6民大附中自主招生数学试卷
民大附中备考【京卷专练系列】数学试卷(1)
民大附中备考【京卷专练系列】数学试卷（1）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.1．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20°B．30°C．40°D．60°5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为23，则下列各图中涂色方案正确的是（）A．B． C．D．6．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+37．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（）A．4 B．8 C．8√2D．4√28．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5 9．已知点A（﹣1﹣√2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）2+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y110．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.11．二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为．12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为．13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数10 50 100 200 500 1000 2000事件发生的频率0.245 0.248 0.251 0.253 0.249 0.2520.251估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是．15．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是；顶点坐标是；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……18．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？19．（5分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …0 4 6 6 4 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．20．（5分）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．21．（5分）已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．22．（5分）石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果⊙O的半径为，求AB的长．24．（5分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y 轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=4+√3，BC=2√3，求⊙O的半径．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=k x交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图象可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞k x的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞4x；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜4x；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x﹣1，y4=4x，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=4x如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为．28．（7分）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y=4x x2，求a的值；（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（﹣1，0）的距离跨度；B（12，﹣√32）的距离跨度；C（﹣3，2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=√33x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C 的横坐标x c的取值范围．民大附中备考【京卷专练系列】数学试卷（1）答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．B二、填空题11．y=3x2﹣112．31013．0.2514．相交15．x＜﹣2或x＞816．解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题17．（1）（3，0）、（﹣1，0）；（1，﹣4）；（2）X …-1 0 1 2 3 …y …0 -3 4 -3 0 …18．10cm．19．（1）y=﹣(x+2)(x﹣3)=﹣x2+x+6 （2）x＜﹣2或x＞3．20．1621．5√322．解：（1）根据题意画图如下：一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率39= 13；（2）甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率927= 13四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=OBA=45°，∵∠AOC=150°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=15°，∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，∴∠CBD=∠D，∴CB=CD；（2）解：∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB=√2，∴AB=√OA2+OB2= 2．24．解：（1）S=﹣3x2+36x（0＜x＜9）；（2）6米．25．（1）A（1，0），C（0，5）；（2）y=x2﹣6x+5；（3）P的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．26．（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）5√33五、解答题27．解：（2）；（3）±1和﹣4；（4）x＞1或﹣4＜x＜﹣1．28．（1）①抛物线的解析式为y= x2②4；（2）四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，5）29．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：点A（﹣1，0）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；点B（12，﹣√32）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；点C（﹣3，2）到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+ ﹣（﹣2）=4；②圆（2）- 23≤ k ≤23（3）1 ≤x c ≤2。
2010年北京市民大附中自主招生考试数学试卷1
2010年北京市民大附中自主招生考试数学试卷一、选择题：（本题共30分，每小题3分）在下面各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你把正确答案前的字母填写在相应的括号中.1．（3分）根据不等式组解集示意图，可以表示下列不等式组（）B2．（3分）函数的自变量的取值范围是（）3．（3分）下列立体图形（如图）的俯视图是（）．C D4．（3分）（2003•苏州）如图，▱ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（）326．（3分）如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）28．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D 点，若AC=6，则弧AD的长为（）9．（3分）（2007•赤峰）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6．在AC 上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（）10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=a，∠BAC=18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=99°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）B二、填空题：（本题共24分，每小题4分）11．（4分）若，则= _________ ．12．（4分）如果⊙O 半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，那么AB 与CD 之间的距离是 _________ cm ．13．（4分）（2007•仙桃潜江江汉）如图，将边长为2cm 的正方形ABCD沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，若两个三角形重叠部分的面积是1cm 2，则它移动的距离AA ′等于 _________cm ．14．（4分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．有下列结论：①b 2﹣4ac ＜0；②ab ＞0；③a ﹣b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x 只能等于0．其中正确的是 _________ ．15．（4分）如图所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．可求得c= _________ ，第2009个格子中的数为 _________ ．16．（4分）如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均为等边三角形，点O 既是AC 的中点，又是A 1C 1的中点，则AA 1：BB 1= _________ ．三、解答题：（本题共66分，第17题、第18题各5分，第19题7分，第20题、第21题各6分，第22题7分，第23题9分，第24题10分，第25题11分）解答题应写出必要的解题步骤.17．（5分）求代数式的值，其中|a|=2，|b|=1．18．（5分）如图是某立体图形的三视图．（1）写出这个立体图形的名称；（2）根据图中数据，求这个立体图形的表面积．19．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BD上，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4．（1）求CD的长；（2）若EB=8，CB=10，求sin∠C的值．20．（6分）（2008•白银）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．21．（6分）列方程（组）解应用题：某校校庆活动中，花坛设计的一个造型需要摆放360盆鲜花，园林队的工人实际摆放的速度是原计划速度的1.2倍，结果提前1小时完成了任务，问工人实际每小时摆放多少盆鲜花？22．（7分）如图，⊙C经过坐标原点，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C上，∠B=30°，点D的坐标为（0，2），求A、C两点的坐标．23．（9分）已知关于x的方程x2﹣2bx+a﹣4b=0，其中a、b为实数．（1）若此方程有一个根为a2（a≠0），求代数式的值；（2）若对于任何实数b，此方程都有实数根，求a的取值范围．24．（10分）如图，已知边长为2的正方形ABCD，P是BC边上一点，E是BC边延长线上一点，过点P作PF⊥AP与∠DCE的平分线CF交于点F．AF与CD交于点G．（1）求证：AP=PF；（2）若AP=AG，试说明PG与CF有怎样的位置关系，并求△APG的面积．25．（11分）（2008•南通）已知双曲线y=与直线y=相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值；（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p﹣q 的值．。
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知某公司去年的营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为（）A. 元B. 元C. 元D. 元2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b的值为（）A. B. 63 C. 179 D. 1815.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（）A.B.C.D.6.则不等式＞（其中，，，为常数）的解集为（）A. B. C. D. 无法确定7.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x-1=0的实根x0所在的范围是（）A. B. C. D.8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC的距离为（）A. 1B.C. 2D.9.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（）A.B.C. 5D. 610.如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．12.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有______ 条鱼．13.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则折痕BC的长为______ ．14.小明原有63元，如图记录了他今天所有支出，其中饮料支出的金额被涂黑．若每5______ 元．15.E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=，则直径AB的长为______ ．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，当A1（0，3）、A2（-2，0）、A3（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A1旋转180°得到P1点；点P1绕着点A2旋转180°得到P2点；点P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1转180°得到点P4点…．继续如此操作若干次得到点P5、P6、…，则点P2的坐标为______ ，点P2017的坐标为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分），并把解集在数轴上表示出来．18.解不等式组＜19.先化简，再求值：（x-1）÷（-1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．20.保障房建设是民心工程，某市从2011年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2011年到2015年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．（1）小明看了统计图后说：“该市2014年新建保障房的套数比2013年少了．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．21.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．22.已知直线l：y=kx+2与直线m：y=x相交于P点，且点P的横坐标为1，直线l与x轴交于点D，与反比例函数G：y=的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），若DM+DN＜3，求n的取值范围．23.已知关于x的一元二次方程mx2-（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5的值．24.在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．（2）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）25.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2-m，n-1），则称点Q为点P的“δ点”．例如：点（-2，5）的“δ点”坐标为（4，4）．（1）某点的“δ点”的坐标是（-1，3），则这个点的坐标为______ ；（2）若点A的坐标是（2-m，n-1），点A的“δ点”为A1点，点A1的“δ点”为A2点，点A2的“δ点”为A3点，…，点A1的坐标是______ ；点A2015的坐标是______ ；（3）函数y=-x2+2x（x≤1）的图象为G，图象G上所有点的“δ点”构成图象H，图象G与图象H的组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，则k的取值范围是______ ．26.已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：四千零七十万元，则此营业额可表示为4.07×107元，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：A、a3•a2=a5≠a6，本选项错误；B、（a3）2=a6，本选项正确；C、a2+a4=a2（1+a2）≠2a2，本选项错误；D、（3a）2=9a2≠a6，本选项错误．故选B．结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．3.【答案】C【解析】解：由题意∵∴当m=6时，则m+1=7适合．故选C．本题从的整数大小范围出发，然后确定m的大小．本题考查了无理数的大小问题，本题从的大小出发，很容易求出m的值．4.【答案】D【解析】解：x2-2x-3599=0，移项得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=-59，∴2a-b=2×61-（-59）=181，故选D．配方得出（x-1）2=3600，推出x-1=60，x-1=-60，求出x的值，求出a、b的值，代入2a-b求出即可．本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．5.【答案】B【解析】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选：B．首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．6.【答案】A【解析】解：∵-m2-1＜2，-2＜n2+1，∴函数y=kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选A．首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．本题考查一次函数的性质，解题时应认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：方程x3+2x-1=0，∴x2+2=，∴它的根可视为y=x2+2和的图象交点的横坐标，当x=时，y=x2+2=2，y==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x2+2=3，y==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．故方程x3+2x-1=0的实根x所在范围为：＜x＜．故选：C．首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．8.【答案】B【解析】解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF=2，∴∠FBA=∠BAC=40°，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，∴∠ABC=180°-80°=100°，∴∠FBC=100°-40°=60°，∵四边形ABCD为菱形，∴DC=BC，∠DCA=∠BCA，∵FC=FC，∴△DFC≌△BFC，∴∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，在Rt△DFG中，∠DFG=30°，∴DG=DF=1，∴FG==，则点F到边DC的距离为，故选B．作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先根据菱形的性质：菱形的每一条对角线平分一组对角，得∠BAC=40°，由线段垂直平分线的性质得AF=BF=2，证明△DFC≌△BFC，得∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，由30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG、FG的长．本题考查了菱形和线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等，②菱形的每一条对角线平分一组对角，③垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；本题求点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长．9.【答案】B【解析】解：在△BEF与△CFD中∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∵BF=3，BC=12，∴CF=BC-BF=12-3=9，又∵DF===15，∴=，即=，∴EF=故选B．先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF 的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选D．如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．11.【答案】4【解析】解：设===a，∴x=2a，y=3a，z=am，∵==1，∴m=4，故答案为：4．可以设===a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．12.【答案】4000【解析】解：100÷=4000（条）．故答案为：4000．捕捞200条，若其中有标记的鱼有5条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，根据所占比例即可解答．．此题考查了用样本估计总体，本题体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．13.【答案】9+9【解析】解：连接OD，由题意得，OB=BD，OD⊥BC，∵OD=OB=BD，∴三角形OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COE=45°，在Rt△OBE中，∵∠OEB=90°，OB=OA=18，∠EOB=60°，∴∠EBO=30°，∴OE=OB=9，EB==9，在Rt△CEO中，∵∠CEO=90°，∠COE=45°，∴∠OCE=∠EOC=45°，∴CE=OE=9，∴BC=EC+EB=9+9．故答案为9+9．连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，分别在Rt△EOB，Rt△EOC中，求出CE、EB即可解决问题．本题考查翻折变换、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】3、8或13【解析】解：设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，整理后为（18-5x）元，∵18-5x≥0，x为正整数，∴1≤x≤3，当x=1时，18-5x=18-5=13；当x=2时，18-5x=18-5×2=8；当x=3时，18-5x=18-5×3=3．故答案为：3、8或13．设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，根据18-5x≥0、x为正整数，即可求出x的取值范围，再逐一分析即可得出可能剩下的钱数．此题主要考查了一元一次不等式的应用，利用已知表示出剩下的钱是解题关键．15.【答案】6【解析】解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=x，∴OE=OA-AE=x-x=x，OM=x，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=×=，在Rt△MOH中，MH====，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN==．解得x=6，故答案为：6．延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG 于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．16.【答案】（-4，-2）；（0，2）【解析】解：如图所示，点P2的坐标为：（-4，-2），∵由图形可得出：P点与P6重合，∴P点每6次循环一次，∵2017÷6=336…1，∴点P2017的坐标与P1坐标相同为：（0，2），故答案为：（-4，-2），（0，2）．利用已知得出对应点坐标，进而得出P点坐标变换规律，进而得出答案．此题主要考查了几何变换以及点的坐标确定位置，得出P点坐标变化规律是解题关键．17.【答案】0.25t+20.5；0.25t+20.5；0.19t+21.5【解析】解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t-150）=0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t-350）=0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t-350）=0.19t+21.5．（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）-（0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）方式二．①当350＜t＜360时，方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5，此时收费＞103，故此时选择方式二划算．（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可；（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．（III）计算出两种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．18.【答案】解：，＜∵解不等式 得：x≤1，解不等式 得：x＞-2，∴不等式组的解集为：-2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=（x-1）÷=（x-1）÷=（x-1）×=-x-1．由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=-1或x=-2．当x=-1时，原式无意义，所以x=-1舍去；当x=-2时，原式=-（-2）-1=2-1=1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.【答案】解：（1）小明的说法不正确，理由如下：∵2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，而2013年新建保障房的套数为750套，∴2014年新建保障房的套数为750×（1+20%）=900套，∴小明的说法不正确；（2）2011年新建保障房的套数为：600÷（1+20%）=500套，条形统计图补充如下：（3）这5年平均每年新建保障房的套数为=784套．【解析】（1）根据2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，求出2014年新建保障房的套数，即可得出答案；（2）根据2012年新建保障房的增长率及2012年新建保障房的套数，即可求出2011年新建保障房的套数；所求结果可补全条形统计图；（3）根据（2）中所求求出平均数即可．本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．21.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，∵AB=5，BD=3，∴AD=8，∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE，∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，∴==∴==∴DE=6，AE=10，即⊙O的半径为3；过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA，∴=，∴=，∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4；（2）连接EG，∵AE=10，AC=4，∴CE=6，∴CE=DE=6，∵DE为直径，∴∠EGD=90°，∴EG⊥CD，∴点G为CD的中点．【解析】（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出==，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；（2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根据等腰三角形的性质求出即可．本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．22.【答案】解：如图1，当x =1时，y =1，∴P （1，1），把P （1，1）代入y =kx +2中得：1=k +2，k =-1，∴直线l ：y =-x +2，分两种情况：当n ＞0时，如图2，∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），∴AD = =2 ，∵DM +DN ＜3 ，∴只要y =-x +2与y =有两个交点即可，∴-x +2= ，x 2-2x +n =0，b 2-4ac =4-4n ＞0，n ＜1，∴0＜n ＜1；当n ＜0时，如图3，当DM +DN =3 时，AM +DN = ， ∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），则M （- ， ），xy =n =- × =-， ∴- ＜n ＜0，综上所述：n 的取值范围是0＜n ＜1或- ＜n ＜0．【解析】先求P 点的坐标（1，1），代入y=kx+2中可求得k=-1，分两种情况进行讨论：①当n ＞0时，如图2，求出AD=2，所以交点M 、N 都能满足DM+DN ＜3，所以列方程求△＞0即可；②当n ＜0时，如图3，因为n 越小离两坐标轴越远，所以求DM+DN=3时的n值即可．本题考查了一次函数、反比例函数的交点问题，有难度，本题采用了分类讨论的思想，反比例函数系数的不同与一次函数交点的距离也不同，根据数形结合的思想进行计算．23.【答案】解：（1）∵△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2，∴不论m为何值，（2m-1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2==2+，x1•x2=，∵此方程的两个实数根都是整数，∴m的整数值为±1；（3）∵x1、x2是方程mx2-（2m+1）x+2=0的两个实数根，∴mx12-（2m+1）x1+2=0，mx22-（2m+1）x2+2=0，则mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，以上两式相加可得m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）=0，∴m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5=5．【解析】（1）由根的判别式△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2即可知；（2）根据韦达定理知x1+x2==2+，x1•x2=，由方程的两个实数根都是整数可得答案；（3）根据方程的解得定义得mx12-（2m+1）x1+2=0、mx22-（2m+1）x2+2=0，继而知mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，两式相加可得．本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．24.【答案】（1）证明：如图，在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，则∠AEB=∠EAB=（180°-40°）=70°，∴∠AEB=∠ADE=70°，∴AD=AE，∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，∵BD=BE-DE，CE=CD-DE，∴BD=EC，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AB=AC．（2）解： 当点D在边BC上时，∵∠ABC=x°，CA=AB，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=CA，∴∠ADC=∠CAD==90°-x°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴90-x=x+y，即：y=-x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x°，∵AC=CD，∴∠ACB=2∠D，∴∠D=∠ACB=x°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D=180°，∴x+y+x=180，即：y=-x+180，（0＜x＜90）③当点D在CB延长线上时，如图2，∵∠BAD=y°，∠ABC=x°，∴∠D=∠ABC-∠BAD=x°-y°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=AC，∴∠CAD=∠D=x°-y°，在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD=180°，∴x-y+x+x-y=180，∴3x-2y=180，∴y=x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．【解析】（1）首先在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，易证得AD=AE，继而可得△ADB≌△AEC（SAS），则可证得结论；（2）①由CD=CA，可表示出∠ADC的度数，又由三角形外角的性质，可得∠ADC=∠B+∠BAD，则可得方程：90-x=x+y，继而求得答案；②先确定出∠D=x，最后根据三角形的内角和即可得出结论．③同①②的方法即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，解（1）的关键是作出辅助线判断出△ADB≌△AEC，解（2）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的中考常考题．25.【答案】（3，4）；（m，n-2）；（4-m），n-2016）；-2≤k≤1【解析】解：（1）设这个点坐标为（m，n），∵这个点的“δ点”的坐标是（-1，3），∴2-m=-1，n-1=3，∴m=3，n=4，∴这个点的坐标为（3，4），故答案为（3，4）．（2）由题意A1（m，n-2），A2（m-2，n-3），A3（4-m，n-4），A4（m-2，n-5），A5（4-m，n-6），…由此规律可知A2015（4-m，n-2016）．故答案分别为（m，n-2），（4-m，n-2016）．（3）如图，由题意图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1）对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），∴x=-2，当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，∵当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，∴由图象可知，-2≤k≤1．故答案为-2≤k≤1．（1）设这个点坐标为（m，n），根据“δ点”的定义，列出方程即可解决问题．（2）从特殊到一般，先探究规律，利用规律即可解决问题．（3）画出图象，图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1），对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，观察图象，即可解决问题．本题考查二次函数综合题、解题的关键是理解题意，学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，在△ABE和△DGA中，∴△ABE≌△DGA，∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，∴∠GDF=∠GFD，∴GF=GD=AB=CD，∵GF=AF+AG=AF+BE，∴CD=AF+BE；（2）bCD=aAF+bBE理由是：延长EA到G，使得=，连接DG，即AG=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°，∵==，∴△ABE∽△DGA，∴∠1=∠2，=，∴∠GFD=90°-∠3，∵DF平分∠ADC，∴∠3=∠4，∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．∴∠GDF=∠GFD，∴DG=GF，∵=，AB=CD（已证），∴bCD=aDG=a（BE+AF），即bCD=aAF+bBE．【解析】（1）延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；（2）延长EA到G，使得=，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案．本题综合考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度，但主要考查学生的类比推理的思想，主要检查学生能否找出解题思路，注意：解题思路的相似之处啊．。
高考中央民大附中第一学期高三年级考试数学
第一学期高三年级考试数 学 试 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；共150分；考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题；本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ；B ；I ；φ≠⋂⊂⊂B A I B I A 且,,.则下面关系式正确的是 （ ）A ．（IA ）∪（IB ）=I B ．（IA ）∪B=IC ．A ∪B=ID ．（I （A ∩B ））∪（A ∩B ）=I2．已知函数)()(),0()(2x m f x m f a c bx ax x f -=+≠++=且；则m 等于（ ）A ．a b 2B ．－a b2 C ．ab D ．－ab 3．（理科）)43(11i ii+-+=（ ）A ．－4+3iB ．－4－3iC ．4+3iD ．4－3i（文科）为了得到函数y=cos(2x +4π)的图象；可以将函数y=sin （2x +2π）的图象（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度C ．向右平移4π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度4．已知函数=≤+=-)2(),0)(1lg()(12f x x x f 则（ ）A ．10B ．－10C ．311D ．－311 5．x y>0是|x+y|=|x |+|y|的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件6．已知点A （2；1）；B （3；－1）则向量OB OA 和的夹角等于 （ ）A ．2πB ．4π C ．3π D ．6π 7．已知n x x)1(530+的二项展开式的第六项是常数项；那么n 的值是（ ）A ．32B ．33C ．34D ．358．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2；过F 2做垂直于x 轴的直线与椭圆相交；一个交点为P ；若∠PF 1F 2=30°；那么椭圆的离心率是 （ ）A ．sin30°B ．cos30°C ．tan30°D ．sin45°9．已知正方体的棱长为a ；以正方体的六个面的中心为顶点的多面体的表面积是 （ ）A ．2833a B ．23aC ．2433a D ．2233a 10．（理科）正弦曲线y=sin x 上一点P ；正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ；则直线l的倾斜角的范围是 （ ） A ．),43[]4,0[πππ⋃ B ．),0[πC ．]43,4[ππD ．]43,2(]4,0[πππ⋃ （文科）函数)2121(2≤≤-=x x y 图象上一点P ；以点P 为切点的切线为直线l ；则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．),43[]4,0[πππ⋃ B ．),0[πC ．]43,4[ππD ．]43,2(]4,0[πππ⋃ 11．已知在直角坐标系中一点A （－3；1）；一条直线l ；x=1；平面内一动点P ；点P 到点A 的距离与到直线l 的距离相等；则点P 的轨迹方程是（ ）A ．(y+1)2=8(x －1)B ．(y －1)2=8(x+1)C ．－(y+1)2=8(x －1)D ．(y －1)2=－8(x+1)12．有5粒种子；每粒种子发芽的概率均是98%；在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ） A ．4×0.02B ．4C ．C 544×0.02D ．C 544第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题；本大题共四小题；每小题4分；共16分；把答案填在题中的横线上. 13．曲线；)22cos(3π+=x y 的所有对称中心的坐标是 .14．已知数列{a n }的前n 项的和2)13(3+=n n S ；则数列{a n }的通项a n = .15．已知双曲线1422=-y x 的虚轴的上端点为B ；过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的公共点；则直线l 的斜率的取值范围是 . 16．下面四个命题 ①过已知直线外一点；与已知直线平行的直线有且只有一条； ②过已知直线外一点；与已知直线垂直的直线有且只有一条 ； ③过已知平面外一点；与已知平面平行的直线有且只有一条； ④过已知平面外一点；与已知平面垂直的直线有且只有一条；其中命题的序号是 .三、解答题；本大题共6小题；共74分；解答应应写出文字说明；证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=；求；（1）函数f (x )的定义域； （2）函数f (x )的周期和值域. 18．（理科、本小题满分12分）已知函数224)4()(x x x f -+=；求； （1）函数的单调区间；（2）函数的最大值和最小值； （文科、本小题满分12分） 已知函数6)2()1(2131)(23++-++=x a x a ax x f 的极大值是f (－3)=15, （1）是否存在极小值？若存在求出极小值.若不存在说明理由；（2）求函数f (x )的单调区间.19．（本小题满分12分）如图；在四棱锥P—ABCD中；底面ABCD是边长为a的正方形；侧面PAD是等腰直角三角形；PA=PD；且侧面PAD⊥底面AC；求；（1）点A到平面PCD的距离；（2）二面角A—PB—C的大小.20．（理科、本小题满分12分）有三种产品；合格率分别为70%；80%和90%.在这三种产品中各抽取一件产品进行检测；以抽取的产品中不合格的产品的数量为随机变量ξ（精确到）.（1）写出随机变量ξ的概率分布列；（2）求ξ的期望.（文科、本小题满分12分）有三种产品；合格率分别为70%；80%和90%.在这三种产品中各抽取一件产品进行检测.求；（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件是次品的概率.21．（本小题满分12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0）；F是抛物线的焦点；且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列；线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N.（1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点；若|MN|=42；求△MPQ的面积.22．（本小题满分14分）已知数列；a, 2a+1, 3a －2, 4a+3, …, na+(－1)n (n －1), …的前n 项的和S n . （1）求该数列的前n 项的和S n ;（2）若212122+-+>n n n S S S ；求a 的取值范围.数学试卷参考答案一、选择题；DBAD ABDC BADC二、填空题；13．);)(0,2(Z k k ∈π14．⎩⎨⎧≥==)2(3)1(6n n a nn 15．)22,21( 16．①；④.三、解答题；17．解；（1）2202cos ππ+≠⇒≠k x x …………2分 得)(22Z k k x ∈+≠ππ……4分 （2）化简得 ).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f .……8分 所以 周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π……12分18．（理科）解；（1）332,0,0,4)34(22±==='--='x x y x x x y 得令.……4分 当－2<x <－332时；y ′>0；y 是增函数；当－332<x <0时；y ′<0, y 是减函数；8分当0<x <332时；y ′>0；y 是增函数； 当332<x <2时；y ′<0, y 是减函数； （2）由（1）得 02)(,8)0(6932)332(=±===±=f f y f y 极小值极大值所以最大值是6932；最小值是0.………………………………12分 （文科）解；（1）由y 极大值=f (－3)=15, 得a =1. …………2分 得y ′=x 2+2x －3； 令y ′=0；得x =－3, 或x =1, ……4分 判断 ,313)1(==f y 极小值 ……8分 （2）),1()1,3(),3,(+∞---∞和分别是函数的增区间、减区间和增区间.……12分.19．（1）PA ⊥平面PCD ；PA=22a ；…………4分 （2）做PP ′ // AB,得二面角P ′—PB —C 与二面角A —PB —C 互补.做P ′E ⊥PB ；得∠P ′EC 是二面角P ′—PB —C 的平面角.……………………8分解Rt △C P ′E ；得tan ∠P ′EC=26. 得二面角A —PB —C 的大小是π－arctan26.……12分20．（理科）（1）ξ 0 1 2 3P 0； ……8分（2）E ξ= 0.6. …………12分 （文科）（1）；………6分 （2）0.496. ……12分 21．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)；由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0.得线段AB 垂直平分线方程；),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y=0；得 x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0). ………………6分 （2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2.由抛物线的对称性；可设M 在第一象限；所以M(2, 4), N(6,0).直线PQ: y=x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64.……12分22．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+++=)(212)1()(22)1(为奇数为偶数n n a n n n n a n n S n ……8分（2）0)1(212212122>+-=+-+-a n S S S n n n ；得a<3……14分。
北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷
北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷一、单选题1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，3 B ．2，1，3- C ．−2，1，3 D ．2，1-，3- 2．巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．抛物线2(4)5y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．开口向下，(4,5)-B ．开口向上，(4,5)-C ．开口向下，(4,5)--D ．开口向上，(4,5)--4．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是( )A ． ()222x +=B ．(()222x -=C ．()222x -=-D ．()226x -= 6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）A ．0a <B ．0c >C ．0b >D ．20a b +>7．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．已知点()()()1212,2024,,2024P x Q x x x ≠在二次函数21y ax bx =++的图象上，则当12x x x =+时，y 的值为（ ）A ．1B ．2025C ．1-D ．2024二、填空题9．方程25x x =的解是．10．点()1,2P -关于原点的对称点的坐标为．11．如果关于x 的方程2310kx x +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 12．将抛物线223y x =-向右平移2个单位，向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2),(1,0)-，将线段AB 绕点(2,2)逆时针旋转α角()0180α︒<<︒，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则α为，点B 的对应点B '的坐标为．14．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点1E AE =，寸，10CD =寸，求直径AB 的长．小宇对这个问题进行了分析：（1）由直径AB CD ⊥于E ，可得5CE DE ==，其依据是．（2）连接OC ，则有OC OA =，在COE V中利用勾股定理列方程可求得OC 的长，从而得到直径AB 长为寸．16．如图，菱形ABCD 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD 的对称中心O 处，此时这个直角的两边分别交边,BC CD 于M ，N ，若ON CD ⊥，且2ON =，则MN 的长为．三、解答题17．解方程：233x x x -=+．18．如图，ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE V ．连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19．已知1x =是关于x 的方程2230x mx m -+=的根，求代数式2(2)(3)(1)m m m -+-+的值． 20．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点(0,3),(1,0)A B ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象；(3)写出当13x -<<时，函数值y 的取值范围．21．判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明）(1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；(2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．22．已知关于x 的一元二次方程22230x mx m --=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程恰有一个实根大于1-，求m 的取值范围．23．如图，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为t （单位：秒）．(1)①当运动停止时，t 的值为______.②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）(2)设PCQ △的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示），并写出t 的取值范围；②S 是否可以为7？若可以，请求出此时t 的值，若不能，请通过计算说明理由． 24．如图，MPN α∠=，点A ，B 在射线PN 上，以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆交射线PM 于点C ，D ．(1)如图1，当30α=︒时，若,AB 10CD 6==，求AP 的长；(2)如图2，若PC OB =，且AB ，求α的值．25．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．(1)经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求y 与x 满足的函数关系式．(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =--+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11x y ，，()21a y +，在抛物线22y x ax c =-+上．(1)抛物线的对称轴为______（用含a 的式子表示），当01a <<时，2y 与c 的大小关系为2y ______c （填“>”“<”或“=”）；(2)若110x -<<，且对于每个1x ，都有12y y >成立．①求a 的取值范围；②若抛物线还过点()33a y ，，求证：如果1230y y y <，那么()2130y y y ->．27．如图，在ABC V 中，90,45,ACB BAC D ∠=︒∠<︒为边AC 上一点（不与点A ，C 重合），点D 关于直线AB 的对称点为E ，连接BD ，将线段BD 绕点B 旋转，使点D 的对应点F 恰好在线段AE 的延长线上．(1)求证：12ABC DBF ∠=∠； (2)连接DF ，过点C 作AB 的垂线，分别交,AB DF 于点G ，H ．①依题意补全图形；②用等式表示DH 与HF 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a b ，对于点M 给出如下定义：将点M 向右（0a ≥）或向左(0)a <平移a 个单位长度，得到点M '，点M '关于点P 的对称点为N ，称点N 为点M 关于点P 的“联络点”．(1)若点(2,0)M -，点(1,1)P ，则点M 关于点P 的“联络点”的坐标为______；(2)如图，若点M 与点P 关于原点O 对称，点M 关于点P 的“联络点”为点N ，①求作：点M '和点N （尺规作图，保留作图痕迹）；②连接MN ，在MN 上取点T ，使PT x ∥轴，连接OT ，求证：14OT M N '=；(3)已知点C 是直线2y x =+上的动点，点D 是直线y x =-上的定点，点C 关于点D 的“联络点”为点E ，若线段CE 长的取值范围是CE ≥D 的横坐标D x 的取值范围．。
2010年广州民校联考数学试题及答案
2010年广州市17所民办初中新生入学检测题数学试卷时间：90分钟 分数：120分一、填空题（每小题3分，共21分）1．二十八亿九千零六万三千零五十，写作（ ），改写成以“亿”做作单位的数是（ ），省略万后面的尾数是（ ）。
2．如果A=60，B=42，那么A 、B 的最大公因是（ ），最小公倍数是（ ）。
3．在一个比例里，已知两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是（ ）。
4．一种树的成活率是98%，植树4800棵成活了（）棵，要种活2450棵树需要种树（ ）棵。
5．在比例尺是1：50000的图纸上，量及两点之间的距离是18厘米，这两点的实际距离是（ ）千米。
6．一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，他们的体积和是72立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，圆柱体的体积是（ ）立方分米。
7．一个正方形的边长增加2厘米，面积增加了20厘米，扩大后正方形的面积是（ ）平方厘米。
二、选择题（每小题1分，共4分）1.两根同样长的钢筋，从一根截去它的23 ，从另一根截去23米，余下的部分（ ）。
A 、第一根长 B 、第二根长 C 、相等 D 、无法比较2．小麦的出粉率一定，小麦的重量和磨成的面粉的重量（ ）A 、成反比例B 、成正比例C 、不成比例3．一个三角形三个内角度数比是2：3：5，这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形4．一个数按“四舍五入”法则保留一位小数是3.0，这个数可能是（ ）。
A 、3.81B 、3.04C 、2.896D 、2.905三、判断题（对的在括号内打“”，错的在括号内打“”，每小题1分，共5分）1.任意两个相等的自然数（0除外）都是互质数。
（ ）2．45克糖溶入100克水中，糖占糖水的45%。
（ ）3．a 、b 是两个不为零的数，若a 的12 等于b 的13 ，那么a 是b 的23。
（ ） 4．订《中国少年报》的数量和所用的总钱数成反比例。
重点中学自主招生数学试题 (2)
2021年统一招生考试数 学 试 题一、选择题:〔此题共36分, 每题3分〕 1. 14的算术平方根是〔 〕 A ．12- B ．12 C ．12± D ．1162. 不等式组⎩⎨⎧≤-<03,12x x 的解集是〔 〕A ．21<x B ．21>x C.3≤x D ．321≤<x3. 如下图的立体图形是由假设干个小正方体组 成，那么这个立体图形中有小正方体〔 〕个 A. 9 B. 10 C. 11 D. 124. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，假设AC =23, AB =4，那么∠BCD 的度数为〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 5. 假设一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且 与y 轴负半轴相交，那么〔 〕A ．k <0，b >0B ．k <0，b <0C ．k >0，b >0D ．k >0，b <0 6. 二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．37. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C，假设AB =8cm ， OC =3cm ，那么⊙O 的半径长为〔 〕A. 4 cmB. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm小正方体立体图形 ABCDED CBADE F B AC8. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点O ，点D 的坐标为(3，2)，那么点的坐标为〔 〕A. (-3，2)B. (-2，-3)C. (-2，3)D. (-3，-2) 9. 如图，这是某花农 2006年和 2007年种植百合、康乃馨判断以下说法合理的是〔 〕A. 2007年三种花的产量比2006年都有增加B. 2007年郁金香与康乃馨的产量之和为70万支C. 2006年郁金香产量大约是百合产量的九分之一D. 2006年和2007年的百合产量根本持平 10. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD 平分∠ACB 交 AB 于D 点，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已 知∠E =36°，那么∠B 的度数为〔 〕 A. 36° B. 45° C. 72° D. 75°11. 下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：A. 80B. 85C. 90D. 80，90 12.某社区从2021年1月份开始,每月举行一次“迎奥运健身走〞活动，1月份有 200人参加了健身走活动，平均步行距离为2km ，在大家的带动下有更多的居 民参加了这项活动，参加健身走的人数增长率是其平均步行距离的增长率 的2倍，2月份总步行距离为1 200km ，那么平均步行距离的增长率是〔 〕 A. 20% B.30% C. 50% D. 60%二、填空题:〔此题共16分, 每题4分 〕13. 如下图摆放一副三角板，那么图中∠1= 度．14. 点P (x , y )位于第二象限，并且y ≤x +4，x , y 为整数，写出一个．．符合 上述条件的点P 的坐标： ．15. 如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交CD 于F . 在不添加辅助线的情况下，请 写出图中一对相似三角形： ．116．如图, 平行四边形ABCD 中BC 边及此边长上的高 均为a , 平行四边形GCEF 中CE 边及此边长上的高均为b , 点B 、C 、E 在一条直线上，D 是CG上一点，那么图中阴影局部的面积为 ．三、解答题:(此题共68分;第17题10分，第18题8分, 第19题4分，第20题5分，第21题7分，第22题、第23题各8分, 第24题、第25题各9分) 解答题应写出必要的解题步骤.17. 计算：〔1〕计算： 22＋(4－7)÷32 +︒⋅60sin 12； 解：〔2〕先化简, 再求值: 221111a a a a a a -÷----, 其中a =12.解：18. 解以下方程或方程组：〔1〕2412-=+-x x x ; 〔2〕⎩⎨⎧=+=-.42,5y x y x 解：解：①②19. 如图是44 正方形网格，请你用两种不同的方法，在其中选取两个白色 的正方形并涂黑，使图中黑色局部是一个中心对称图形． 解：20. 如图，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请对你的判断加以证明． 解：21. 如图表示登山爱好者甲与游客乙沿相同的路线同时从山脚下出发到达山顶的过程中，两人各自行进的路程随时间变化的图象．请你根据图象提供的信息解答以下问题：〔1〕试写出在登山过程中，甲行进的路程S 1〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；乙行进的路程S 2〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；〔不需写出自变量t 的取值范围〕〔2〕当甲到达山顶时，乙行进到山路上某点A 处，求点A 距山顶的距离； 〔3〕在〔2〕条件下, 设乙从A 处继续登山, 甲到达山顶后休息1h ，沿原路下山, 在点B 处与乙相遇, 此时点B 与山顶的距离为1km, 相遇后他们 各自按原来的路线下山或上山,求乙到达山顶时,甲离出发地点多少km?解：BCDA EF22. 如图，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，CAC 交BD 于点E ，AE =2，EC =1． 〔1〕求证：DEC △∽ADC △； 〔2〕求⊙O 的直径；〔3〕AB 的延长线与⊙O 的切线CF 交于点F ，求∠F 的度数. 解：23. 设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x . 〔1〕假设21x 622=+x ，求m 值；〔2〕求代数式22212111x mx x mx -+-的最大值.解：24．如图1，AB =CB , ∠ABC =90︒, 点D 在AC 上，ED ⊥AC 于D ，交AB于E ，点M 为EC 的中点.〔1〕猜测线段BM 与DM 之间有什么关系? 写出你的猜测，并加以证明.解：图1〔2〕如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转180︒，第〔1〕问中的结论是否仍然成立？请说明理由. 解：图2〔3〕按如下要求操作：将△ADE 绕点A 逆时针旋转 〔图3所示〕，请在图4画出相应图形，并直接写出线段 BM 与DM 之间的关系.解：图3 图4α︒α︒A BC DEM BCMD AE25．如图，抛物线的顶点为A ()1,3 ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交 点为B ．〔1〕求抛物线的解析式；(2) 假设点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为菱形，求D 点的坐标； 〔3〕在x 轴上方的抛物线上是否存在点P , 使得△OPB 是底角为30°的等腰 三角形, 假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，说明理由． 解：备用图。
自主招生真题集萃
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D.11n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，F 是棱11A B 上的点，且11:1:3A F FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为（）A ．153 B.155C.53D.554.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ）A ．216y x = B.28y x =C. 216y x =-D. 28y x =-5.在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均等于2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离是（ ） A ．3B.2C.32D.226.若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,+∞7.如图，ABC ∆内接于O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交O 于G ，F ，交O 在A 点处的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则P A 的长为（ ）A ．5 B.6 C.7 D.228.数列{}n a 共有11项，11110,4,1,1,2,...,10k k a a a a k +==-==，满足这样的条件的不同数列的个数为 （ ）A ．100 B. 120 C.140 D.1609. i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则2221z z z i-+-+的最大值为（）A 1 B. 2 C. 1 D. 2+10.设σ是坐标平面按照顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射，用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用k σ表示连续k 次σ的变换，则234στστστσ是（ ） A ．4σ B. 5σ C. 2στ D. 2τσ二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11.（本题满分14分）设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+（1） 设1n n n b a a +=-，证明：若a ≠b ，则{}n b 是等比数列； （2） 若()12lim ...4n n a a a →∞+++=，求a 、b 的值12.（本题满分14分）在ABC ∆中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC 。
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2010年统一招生考试
数 学 试 题
一个是正确的, 请你把正确答案前的字母填写在相应的括号中. 1.根据不等式组解集示意图，可以表示下列不等式组（ ）
A ．32x x >-⎧⎨⎩≥
B ．3
2x x <-⎧⎨⎩≤
C ．32x x <-⎧⎨⎩≥
D ．3
2x x >-⎧⎨⎩≤
2. 函数x
y -=
11的自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x <1 B. x >1 C. x ≤1 D. x ≤-1 3. 下列立体图形（左图）的俯视图是（ ）
A B C D 4．平行四边形ABCD 中, 108C ︒∠=, BE 平分ABC ∠, 则ABE ∠等于（ ）
A. 18°
B. 36°
C. 72°
D. 108°
5．把239ab a -因式分解正确的是（ ） A ．a (9a +b )(9a -b )
B ．a 2)9(b a -
C ．a (3a +b )(3a -b )
D ．22)3(ab a -
6．如图，AB //C D //EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）
A ．4对
B ．3对
C ．2对
D ．1对
A B C
D
E
B A D
F
7．如果-2是方程022=+-bx x 的一个根，那么b 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 8．如图, △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =30°，以C 为圆心，
CA 为半径的圆交AB 于D 点，若AC =6，则弧AD 的长 为（ ） A. 2π B.
2π
3 C. π D. 4
π
3
9．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB =90︒，BC =3，
6AB =， 在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的 一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合， 则CE 的长度为（ ）
A ．2
3
B ．3
C ．23 D. 6
10．如图, 在△ABC 中, AB =AC =a , ∠BAC=18︒, 动
点P 、Q 分别在直线BC 上运动, 且始终保持 ∠P AQ =99︒．设BP =x , CQ =y ，则y 与x 之间
的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
C
D
二、填空题:（本题共24分, 每小题4分）
11．若,
52y x = 则y
x y x +-=______．
12．如果⊙O 半径为5cm, 弦AB//CD , 且AB =8cm , CD =6cm, 那么AB 与CD 之间的
距离是__________cm.
13. 如图, 将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角 线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移，得 到△A 'B 'C '，若两个三角形重叠部分的面积是 1cm 2，则它移动的距离AA '等于 cm.
A
B D
A B C D ()
E A B C P
14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示．有下列 结论: ① b 2-4ac <0；② ab >0；③ a -b +c =0； ④ 4a +b =0；⑤当y =2时，x 只能等于0. 其中 正确的是 .
15．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相
邻格子中所填整数之和都相等.
可求得a =_______，第2010个 格子中的数为_________.
16. 如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均为等边三角形， 点O 既是AC 的中点，又是A 1C 1的中点， 则AA 1∶BB 1= .
三、解答题:（本题共66分, 第17题、第18题各5分，第19题7分，第20题、 第21题各6分，第22题7分, 第23题9分, 第24题10分, 第25题11分） 解答题应写出必要的解题步骤.
17．求代数式2
421
b a b a a +--的值，其中| a |=2, | b |=1. 解：
18. 如图是某立体图形的三视图.
（1）写出这个立体图形的名称： （2）根据图中数据, 求这个立体图形的表面积. 解：
主视图
俯视图
左视图
C 1
B 1
O A 1
A
B
19. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、BD 上，EF //AB ，
DE : EA =2 : 3，EF =4. ( 1 ) 求CD 的长;
( 2 ) 若EB =8, CB =10, 求sin C 的值.
解：
20. 小明和小青玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们 正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小青从剩余的3张牌中也 抽出一张．
小明说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图（或列表）表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）若按小明说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 解：
F
E
A B C D
21．列方程（组）解应用题：
某校校庆活动中, 花坛设计的一个造型需要摆放360盆鲜花，园林队的工人实际摆放的速度是原计划速度的1.2倍，结果提前1小时完成了任务，问工人实际每小时摆放多少盆鲜花？
解：
22. 如图，⊙C经过坐标原点O，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C
上，∠B=30°，点D的坐标为（0，4），求A、C两点的坐标.
解：
23．已知关于x 的方程0422=-+-b a bx x ，其中a 、b 为实数.
（1）若此方程有一个根为a 2（a ≠0），求代数式
8242
2
++--b a a
a b 的值； （2）若对于任何实数b ，此方程都有实数根，求a 的取值范围. 解：
24．如图，已知边长为2的正方形ABCD ，P 是BC 边上一点，E 是BC 边延长
线上一点，过点P 作PF ⊥AP 与∠DCE 的平分线CF 交于点F ．AF 与CD 交于点G ．
（1）求证：AP = PF ；
（2）若AP =AG , 试说明PG 与CF 有怎样的位置关系, 并求△APG 的面积．
解:
F
P
G
E
D C
B
A
25．如图,已知双曲线k y x =与直线x y 3
1=相交于A 、B 两点．第一象限上的点 M (a ，b ) (在A 点左侧)是双曲线k y x
=上的动点.过点B 作BD //y 轴交x 轴 于点D ．过N （0，-b ）作NC //x 轴交双曲线k y x
=于点E ，交DB 于点C ． （1）若点D 坐标是（-9，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．
（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为12，求直线CM 的解析式． （3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，
求p -q 的值．
解:。