四川省岳池县第一中学高中数学 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质导学案 理(无答案)新人教A版选修2-3
高中数学_杨辉三角“与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质授课人：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学任务分析】(1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.(2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.【教学目标】（1）知识和技能：掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.(2) 过程和方法：通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.(3) 情感态度和价值观：通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.【教学重点、难点】重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.【教法、学法】教法：问题引导、合作探究．学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想,①从课上交流展示中感知规律；②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质；③在探究证明性质中理解知识.【教学流程】例题及练习【教学过程】环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项”【师生活动】教师提出问题，学生复习回答.【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课“计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角.【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望.环节3：合作探究 发现规律【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。
精编版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C kn ＋1＝C k －1n ＋C kn . (2)二项式系数的性质1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ×)2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( ×)3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×)类型一与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146 C．164 D．461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案(1)B (2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C13n∶C14n＝2∶3，即14n－13＝23，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二二项式系数和问题例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T k＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35. 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992. ∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝270223x . (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k·2(52)3k x ＋，假设T k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 53k≥C k －153k －1，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－k )！k ！×3≥5！(6－k )！(k －1)！，5！(5－k )！k ！≥5！(4－k )！(k ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k ≤92，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x.反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C k 11x11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k ， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案358解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由条件知2n＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k1556k x -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45. 6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( )A ．展开式中的二项式系数之和是1 024B ．展开式的第6项的二项式系数最大C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a 10－k (－b )k ＝(－1)k C k 10a 10－k b k 知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确．二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 10．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．(1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，①所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002. (4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.13．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k8m k x 8－2k ， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1. 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 54<m ≤2，2≤m <72. 所以m 只能等于2.四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________. 考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得22n －2n＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 则T k ＋1＝C k10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k·x 10－2k .∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项 T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。
《1.3.2 杨辉三角与二项式系数性质》导学案
高一数学必修2-3 1.3--02《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案编撰 崔先湖 姓名 班级 组名 .【学习目标】1. 1掌握二项式系数的性质2利用二项式定理求有关系数的和【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 【学法指导】自主学习与合作学习相结合。
【导学学过程】 一 教材导读探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？()1b a +()2b a + ()3b a + ()4b a + ()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质问题2：设函数()rn C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2nr =.练习1① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 21二、题型导航题型一、单调性的应用【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.解题总结题型二 、二项式系数和的问题【例2】．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解题总结题型三 对称性的应用【例3】设二项式()*33312N n x x∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中第7项的系数与倒数第7项的系数之比为1:6.（1） 求n（2） 展开式中有多少项的系数是有理数，并求出。
高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修
高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修1、3、2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、知道“杨辉三角”的特征，并能记住二项式系数规律2、能够记住二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题【重点难点】重点：二项式系数的性质及其应用难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1、二项式定理2、二项展开式的特征【学习过程】阅读教材第32页至第33页的内容，回答下列问题知识点一：杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，试根据杨辉三角的特点说说二项式系数有何性质？对于( a+b)n展开式的二项式系数____________________，从函数角度看，可阅读教材第33页至第35页的内容，回答下列问题知识点二：二项式系数的重要性质问题1:对称性：二项展开式中，与首末两端“_______”的两项的_____________；即=，=，……，=、问题2:增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。
当时，二项式系数是逐渐________，由对称性可知它的后半部分是逐渐_______的，且在中间取到最大值；当n为偶数时，中间一项的二项式系数________取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数_____________相等，且同时取得最大值、问题3:各项二项式系数的和：( a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n（1）的展开式为___________________________________；（2）在上式中令得___________________；（3）=____________________、【例题精析】例1、已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数、例2、设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(1)a1＋a2＋…＋a8＝________；(2)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝________；(3)a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________、例3、求的展开式中系数最大的项、【基础达标】A1、已知=a，=b，那么=__________；A2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；B3、(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为()A、1B、64C、243D、729B4、设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A、2B、3C、4D、5C5、设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2、D6、若的展开式的二项式系数之和为64，求展开式中的常数项、【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（）（A）第15项 (B)第16项 (C)第17项 (D)第18项B2、已知（1—2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7则a1+a2+…+a7=___________a1+a3+ a5+a7=__________a0+a2+a4+a6=__________【学习反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
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式系数的性质导学案
第13课时
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
学习目标
掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.
学习过程
一、学前准备
复习：（课本P37B2）求证：
.
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处）
问题1：计算展开式的二项式系数并填入下表：
展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
◆应用示例
例1．（课本P34例3）试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
◆反馈练习
1.（课本P35练1）填空：
（1）的各二项式系数的最大值是；
（2）;
(3).
2.（课本P35练2）证明（是偶数）.
三、当堂检测
1.（课本P40A(7)）的展开式中，系数最大的项是第项.
2.已知为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是.
3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.
A.-7
B.7
C.-28
D.28
2.（课本P35练3）写出从1到10的二项式系数表.
课后作业
1．（课本P37A7）利用杨辉三角，画出函数
的图象.
2.（课本P37A8）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
3.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.。
高中数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案
1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等．(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，＝□03C r－1n＋C r n.即C r n＋12．二项式系数的性质在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. (3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a ＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C312＝274.拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1](1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案(1)n2－n＋22(2)2n－132解析(1)由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2二项展开式的系数和问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．[解]在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C010＋C210＋…＋C1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C110＋C310＋…＋C910＝29＝512.(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510, 故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r ·(3)r x r ， 所以a 2k －1<0(k ∈N *)． 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解]令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n.＝2n＝32，n＝5.∴22n2n(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∵T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大， 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0. 2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3x n(n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1答案 D解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，令x ＝12，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得： a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59. 解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.A 级：基础巩固练一、选择题1．在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A ．第6项B ．第5项C ．第5,6项D ．第6,7项答案 A解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 2．(1＋x )n (3－x )的展开式中各项系数的和为1024，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 B解析 由题意知(1＋1)n (3－1)＝1024，即2n ＋1＝1024，所以n ＝9.故选B.3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第5项和第6项D ．第5项和第7项答案 D解析 由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第5项和第7项．4．若多项式x ＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 0＋a 2＋…＋a 8＝( )A ．509B ．510C ．511D ．1022 答案 B解析 令x ＝0得0＝a 0＋a 1＋…＋a 9＋a 10.①令x ＝－2得－2＋(－2)10＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10.② ①＋②得210－2＝2a 0＋2a 2＋…＋2a 10， ∴a 0＋a 2＋…＋a 10＝29－1. 又由x 10的系数为1知，a 10＝1， ∴a 0＋a 2＋…＋a 8＝29－1－1＝510.5．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项 答案 B解析 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.二、填空题6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析 根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6满足等式．7．在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________．答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.8．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.答案 1解析 令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 三、解答题9．已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值； (2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数． 解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n ， 所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019， 所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，① f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2018－a 2019＝0，② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )， 所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8，g (x )中含x 6项的系数为1＋2×C 67＋3C 68＝99.B 级：能力提升练10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧8！×2r ！(8－r )！≥8！(r －1)！(8－r ＋1)！，8！r ！(8－r )！≥8！×2(r ＋1)！(8－r －1)！.解之得5≤r ≤6，因为r ∈N ，所以r ＝5或r ＝6. 所以系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.。
四川省岳池县第一中学高中数学 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质导学案 理(无答案)新人教A版选修2-3
§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.课前预习案教材助读（预习教材P 32~ P 35，找出疑惑之处）复习1：写出二项式定理的公式： ⑴ 公式中r n C 叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.⑵ 在nb a )(+展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 ，各项系数分别是 .复习2：求102⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.课内探究案一、新课导学探究点一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？ ()1b a +()2b a +()3b a +()4b a +()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二 二项式系数的性质问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）探究点二：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =. 试试： ① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.试试：nb a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21二、合作探究例1求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.小结：在n b a )(+展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.例2 证明：在n b a )(+展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式：⑴ 化简:1111511311111C C C C +⋅⋅⋅+++ ;⑵ 求和：n n n n n n C C C C 2222210+⋅⋅⋅+++.小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.※ 动手试试练1. ① 在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）② 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可）练2. 若()772210721x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-， 则=+⋅⋅⋅++721a a a ，=+++7531a a a a=+++6420a a a a .【归纳总结】※ 学习小结 1. 二项式系数的三个性质2. 数学方法 ： 赋值法和递推法※ 知识拓展早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。
(新课程)高中数学《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案2 新人教A版选修2-3
1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一课时一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n nn n n n C C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++， ∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++ ∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数 解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+， ∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C。
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§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
课前预习案
教材助读
（预习教材P 32~ P 35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式： ⑴ 公式中r n C 叫做 ， 二项展开式的通项公式
是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在n
b a )(+展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a 的次数规律是 ，
b 的次数规律是 ，各项系数分别是 .
复习2：求10
2⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
课内探究案
一、新课导学
探究点一：杨辉三角
问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？ ()1b a +
()2b a +
()3b a +
()4b a +
()5b a +
()6b a +
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以
n ＝6为例）
探究点二：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =. 试试： ① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项
B 第３项
C 第４项
D 第５项
② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：n
b a )(+的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10
即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21
二、合作探究
例1求()1012x +的展开式中系数最大的项．
变式：在二项式(x-1)11
的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在n b a )(+展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2 证明：在n b a )(+展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式：⑴ 化简:11
11511311111C C C C +⋅⋅⋅+++ ;
⑵ 求和：n n n n n n C C C C 2222210+⋅⋅⋅+++.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
※ 动手试试
练1. ① 在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）
② 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大的是
第 项为 . （用符号表示即可）
练2. 若()772210721x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-， 则=+⋅⋅⋅++721a a a ，=+++7531a a a a
=+++6420a a a a .
【归纳总结】
※ 学习小结 1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
※ 知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。
这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。
这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
三、当堂检测
1. 在12x x ⎛+ ⎪⎝
⎭的展开式中，系数最大的项是 第 项；
2. 在()99
1x -的展开式中，二项式系数最大的是
第 项，项系数最小的项是第 项；
3. 计算109182910101033331C C C -+--+L = ⎪⎩⎪⎨⎧各二项式系数的和增减性与最大值对称性
4. 若()9
29012912x a a x a x a x -=++++L ，则 129a a a +++L ＝ ； 5. 化简：=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++11
110110n n n n n n n n C C C C C C
四、课后反思
课后训练案
1. ⑴ 求1233⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()15x
y y x -展开式的中间两项.
2. 已知()n x +1的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.。