2-1一二次曲线插值及曲线拟合2

一、概述
大家知道，船体型线图是通过船体三组不同的剖面 投影得来的，是一组三向光顺的曲线。 这些曲线是船舶建造的基础，在数学放样大量应用以 前，主要是采用手工放样，这样的劳动强度大，误差大， 大大阻碍了造船工业的发展。从本世纪60年代初成功研究 出了应用计算机进行数学放样，大大推动了造船向数字化、 自动化发展。 本课题要讨论的主要内容是：如何根据给定的型值 生成需要的型线。
2 y x 如对于函数 ，其曲线经过点 (1,1), (0,0), (1,1) ，但是反过
来我们不能说通过上述3点的曲线就是 y x 2 ，我们知道， 也过上面的 个点。 ( y 1) 2 1 y x x 23
所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通 过已知型值点 。
也显然有： N0 ( x0 ) 1, N0 ( x1 ) 0, N0 ( x2 ) 0
N1 ( x1 ) 1, N1 ( xபைடு நூலகம் ) 0, N1 ( x2 ) 0 N 2 ( x2 ) 1, N 2 ( x0 ) 0, N 2 ( x1 ) 0
满足通过三点 的条件。
由
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
p(2.3) 0.368 10.6 1.077 15.2 0.291 20.3
得
18.377
p ( x ) f ( x)
因
故
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
由插值函数概念 f (x) ≈p (x)，所以ln3.16≈1.1505。
例题2
已知函数 f ( x) 通过下列三个点：
x0 1.1 x1 1.7 x2 3.0
f ( x0 ) 10.6 f ( x1 ) 15.2 利用二次插值求 f (2.3) 的近似值。 f ( x2 ) 20.3
它要求曲线必须严格地点 点通过已知的点，就像一 个一个的点“插”了上去。
所选的曲线（函数）必须要点点通过已知的型值点，那 么这个函数应该是什么样的呢？ 3、插值函数的概念 要使曲线点点通过已知型值点，我们必须要选取合适 的函数表达式。
在给的坐标系中，给定一系列型值点 ( xi , yi )(i 0,1, 2, , n)， 通过这些型值点必然存在一函数 f ( x) ，但是这一函数的表 达式可能很难或者根本无法写出，我们给出一简单函数， 使其也点点通过已知型值点，即 p( xi ) yi (i 1,2, , n) ，我们就 称为 p( x) 函数 f ( x) 的插值函数。 曲线插值是一种操作的方法。而插值函数是利用插值 的方法所得到的一个新的函数，是插值的一个应用。 4、线性插值 如图某函数 f ( x) 通过两点 ( x0 , y0 )
f (2.3) 18.377
6、拉格朗日（Lagrange）插值 由前面的讨论，我们可以发现二次插值比一次插值要 精确，那么如果我们再增加一个插值点则可以得到三次插 值势必更加精确。 根据基函数的形式，我们只 要根据基函数的书写规律，很容 易就可以写出其插值函数。 当插值点的个数取i+1时：
N i ( x)
N 0 ( x) ( x x1 ) ( x0 x1 ) N1 ( x) ( x x0 ) ( x1 x0 )
0
f ( x)
( x0 , y0 )
( x1 , y1 )
这里令： 显然有：N
( x0 ) 1
N 0 ( x1 ) 0
N1 ( x0 ) 0
N1 ( x1 ) 1
N1 ( x) (3.16 3.1) (3.2 3.1) 0.6
代入数据得：
N 0 ( x) (3.16 3.2) (3.1 3.2) 0.4
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 0.4 1.1314 0.6 1.1632
1.15050
由上面的基函数的形式非常方便地就可以写出相应的 插值函数，但是基函数的形式好像比较复杂，基函数的形 式有没有什么规律可以遵循呢？
观察基函数的形式： N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
这就是原函数的插值函数。
5、二次插值 从图形中可以发现：用直 线段来代替曲线来近似求 x * 处的函数值误差是很大的。 如果再增加一个插值点其插 值结果必然会更接近原函数值， 效果要比线性插值好。 显然：通过三点的简单函数 为二次函数，图形为抛物线。 我们称这种插值为二次插 值或抛物线插值。
f ( x)
解：令简单函数 p( x) 为函数 f ( x) 的插值函数 应用基函数的形式，根据基函数的书写规律写出基函数。
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
这里
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
这是一系列的分式：
分子中：可以发现除了 ( x xi ) 外全部都出现了。 分母中：可以发现除了 ( xi xi ) 外全部都出现了。 分子、分母项数相同，形式非常接近。
（1）分子中不出现 ( x xi ) 项；
基函数书写规律：
（2）分母中不出现
( xi xi )
项；
（3）分子分母项数相同，形式类似。
二、曲线插值
1、问题引出
给定一系列离散的点，通过这些点可以建立相应的曲 线。
一般情况下，我们可以选择曲线使其点点通过这些 点，这种生成曲线的方法，称为插值方法。
2、插值的概念 已知某函数过点（1，3），（2，5），（4，11），那 么该曲线过点（5，17）吗，f（2.5）＝？ 通过一系列点 ( xi, yi ) ，理论上讲应存在相应的函 数表达式，而且还不一定唯一。 但是，反过来说，如果某函数通过规定的一系列点， 我们也不能说它就是要求的函数表达式。
图2-4-1 龙格现象
“龙格”现象
三、曲线拟合
曲线插值要求所选用的曲线必须点点通过已知点，但 是有些时候由于种种原因可能致使型值点本身就不准确， 甚至有错误，这样插值得到的曲线也必然是不合理的。 在实际的应用中，我们还经常采用另外一种得到曲线 的方法，即曲线拟合。 这种方法不要求曲线严格地通过所有的型值点，而只 是要求曲线符合离散点分布的总体轮廓，同时保证偏离原 始点尽可能地小。 曲线拟合的方法有许 多种，这里主要介绍最小 二乘法。
k 0 k i n
f ( x)
( x xk ) ( xi xk )
n
i (0,1,2,, n)
(i= 0,1,2, …, n)
则：
p x Ni x yi
i 0
可见，拉格朗日插值其实就是将线性插值、二次 插值推广到一般形式的产物。
那么是不是插值点的个数越多得到的插值函数就越精确呢？ 事实上，在一定的范围内确实是这样，但是一旦插值 点的个数超过6个后就会出现“龙格”现象。 在实际的应用中，一般都不采 用高次插值，大家思考为什么？ （1）当插值的次数较高时，得到的 插值函数必然也是高次的，求解比较 困难，失去了“简单”函数的意义。 （2）当函数的次数越高时，函数越 不稳定，容易出现局部振荡现象， 即所谓的“龙格”现象。
最小二乘法
1、最小二乘法原理
根据测量结果： AC＝80.325 CB＝25.675 AB＝105.998
根据几何学AC＋CB＝AB 显然二者之间是矛盾的，究其原因是因为在测量过程 中存在一定的误差。 误差是无法完全消除的，但是要使误差达到最小，也 就是说要找到最优值。
A
x1 x2
C
B
由于误差存在，无论 x1 x2 取什么值 x1－80.325＝0，x2 －25.675＝0，x1＋x2－105.998＝0都将不可能同时成立 。 为了解决这一矛盾，把方程写成如下形式： x1－80.325＝r1 x2－25.675＝r2 x1＋x2－1055.998＝r3 r1 ，r2 ，r3 表示误差
例题1
由四位自然对数表查得
用线性插值求 ln 3.16
解：这里我们取
x0 3.1, x1 3.2, f ( x0 ) 1.1314, f ( x1 ) 1.1632
ln 3.1 1.1314， ln 3.2 1.1632
我们利用基函数的形式求解。
N 0 ( x) ( x x1 ) ( x0 x1 ) N1 ( x) ( x x0 ) ( x1 x0 )
( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )
f ( x)
( x1 , y1 )
x*
( x1 , y1 )
( x2 , y 2 )
6、基函数 通过点 ( x0 , y0 ) 和 ( x1 , y1 ) 的线性 插值函数写成两点式为：