数学竞赛试题(2016年11月)
2016年浙江省高中数学竞赛卷
2016年浙江省高中数学竞赛卷一、选择题（每题6分，共48分）1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）A.0a =B.1a =C.1a =-D.a R ∈ 2.函数32()4sin sin 2(sincos )22x xf x x x =-+-的最小周期（ ）A.2πB.2πC.23πD.π3.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A.121C.1214.已知正三棱锥S ABC -，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2.若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）A.10B.15C.15D.155.已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-，有0()1f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为（ ）A.1[,0]2-B.4[,0]5-C.12[,]27-D.42[,]57-6.已知向量OA ，OB 垂直，且||||2O A O B ==.若[0,1]t ∈，则5|||(1)|12t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为（ ）A.B.26C.D.247.设集合*{(,)|,,}M x y x y N ==∈，则集合M 中的元素个数为 （ ） A.0B.1C.2D.38.记[]x 为不超过x 的最大正数，若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤，则集合S 所表示的平面区域的面积为（ ）A.52B.3C.92D.4二、填空题（第12题9分，其余每题7分，共51分）9.设()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意实数x ，有(2)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则f =.10.已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =-，12b =，1n n a b +=-，*123()n n n b a b n N +=-∈，则20152016b b +=.11.设a R ∈，方程||||2x a a --=恰有三个不同的根，则a =.12.已知两个底面重合的正四面体A OBC -和D OBC -，M ，N 分别为ADC 与BDC的重心.记OA =a ，OB =b ，OC =c ，若点P 满足OP x y z =++a b c，2MP PN = ，则实数x =，y =，z =.13.在ABC 中，4B π∠=，512C π∠=，AC =AC 的中点为D .若长度为3的线段PQ （P 在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为=.14.若关于,x y 的方程组33sin sin cos cos x m yx m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩有实数解，则正实数m 的取值范围为=. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则22224()()a b c a b c ++-++的最小值为=.三、解答题（第16题15分，第17、18题每题18分，共51分）16.设函数22,()(53)7()k R f x x k ak x a ∈=--++.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足12[,],[2,4]x k k a x k a k a ∈+∈++，则12()()f x f x ≥，求正实数a 的最大值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，经过点16(3,)5P ，离心率为35.过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，记PA ，PB 的斜率为1k ，2k . （1）求椭圆的标准方程；（2）若120k k +=，求实数k 的值.18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z --=，00z =.四、附加题（每题25分，共50分）19.设集合*{|20,1,6}A x N x =∈的十进制表示中数码不含，.证明：13x A x∈<∑. （注：1x A x∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和）20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示.若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法术.。
2016年高中数学竞赛b试题答案
2016年高中数学竞赛b试题答案2016年高中数学竞赛B试题的答案如下：选择题：1. 答案：A解析：根据题目所给条件，我们可以通过代入验证法或者排除法来确定正确答案。
例如，将选项A代入题目的等式中，如果满足条件，则A为正确答案。
2. 答案：B解析：此题考查了函数的性质，需要利用函数的单调性、奇偶性等性质来求解。
3. 答案：C解析：本题需要运用数列的通项公式和求和公式，通过计算来确定答案。
4. 答案：D解析：考查了几何图形的性质，需要通过几何证明或者代数方法来求解。
5. 答案：E解析：此题涉及到概率统计的知识，需要根据题目所给的条件，运用概率公式来计算。
填空题：1. 答案：3解析：根据题目所给的数列规律，可以推导出答案。
2. 答案：\( \sqrt{2} \)解析：此题考查了二次根式的性质，需要通过化简来求解。
3. 答案：5解析：根据题目所给的几何图形，可以利用面积公式来求解。
4. 答案：\( \frac{\pi}{4} \)解析：此题考查了三角函数的求值，需要运用三角函数的性质和公式。
5. 答案：\( x^2 - 4x + 3 \)解析：本题需要运用因式分解的方法来求解。
解答题：1. 答案：首先设未知数，然后建立方程组，通过解方程组来求解。
2. 答案：根据题目所给的函数表达式，我们可以利用函数的性质来求解。
3. 答案：此题需要运用数列的递推关系，通过递推公式来求解。
4. 答案：本题考查了几何证明，需要运用几何定理和公理来证明。
5. 答案：此题需要运用组合数学的知识，通过组合公式来求解。
请注意，以上答案和解析是根据一般性描述给出的，具体的题目内容和答案可能会有所不同。
如果需要针对具体题目的详细解析，请提供具体的题目内容。
2016全国数学邀请赛-(答案版)
培训题1.计算：9+99+999+9999+99999.2.计算：2016÷28÷4×7.3.计算：2014×2015+2013×2015－2012×2015－2011×2015.4.定义运算：a b=a－b+8，a⊗b=a×b－5。
求［25○－（4○×7）］○×3的值。
5.定义运算：a⊕+b=（a+b）÷6，若m⊕8=24，求m的值。
6.在下面的□中填入运算符号“+，－，×，÷”，使等式成立。
12□4□4=7□7□3.7.不求最后结果，将以下三个乘法运算按从大到小排列：a=2014×2016，b=2013×2017，c=2015×2015.8.把48写成两个质数的和，有几种写法？9.求最小的自然数a，使2015+a等于某个自然数的自乘.10.已知4个连续奇数的平均数是20，求最小的奇数.11.五个数9，17，x，x+5，34的平均数是21，求x.12.小杰从27起写了26个连续奇数，小强从26起写了27个连续自然数，然后他们分别将自己写的数求和，求这两个和的差.13.已知两个数的和是555，且较大数除以较小数得商12余9，求较大数与较小数的差.14.在一个带余除法的算式中，如果把被除数152写成125，则商会比原来的结果小3，且余数不发生变化，求余数.15.小明在做一道带余除法的运算时，把除数18看作15，结果商没有改变，但余数增加了12，求商的值.16.求一切除以6后余2的两位数的和.17.一个数被5除余l，被7除余3，被11除余7，这个数最小是多少？18.abc表示一个各位数字互不相同的三位数，若这个数是6的倍数，且a+c=13，则称这个数为“金六点”，三位数中“金六点”有多少个？19.六位数a2016b能被12整除，求这样的六位数中最大的一个。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年全国初中数学联赛试题及答案
2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （ ）A.12． ． C.1． 【答】A.∵2t ==+324<+，∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有 （ ）A ．9种．B ．10种．C ．11种．D ．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ， 所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）A ．6858．B ．6860．C ．9260．D ．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+，由22(121)2016k +≤得||10k <.取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为 （ ）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得222OC AC OA +=，即2224(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝ （ ）．．． D.12． 【答】D.作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以AH AM CD CM=，又1CD =，所以 AM AH CM= ① 设AM x =，则CM x =.在Rt △ABM中，可得AB AM AH BM ⋅==.=，解得x =x =舍去）.所以2CM =，12DM ==. 6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为 （ ） A.12． B. 23． C.34． D. 1． 【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤， 所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）B C1．已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．【答】2). 作CD AB ⊥于点D，易求得CD =，32AD =.设(C m，(A n ，结合题意可知0n m >>，(D n m，所以CD n m =-，AD m n =-，故2n m -=，32m n -=，联立解得2m =，n =所以，点C的坐标为(2)2. 2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝ ．【答】126︒.因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒，于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=.因为x 是三位数，所以10001003t x t+=≥，从而可得1000299t ≤，又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列，则M ＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤； 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤； 另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝ （ ）A ．0．B ．14． C ．34-． D ．2-． 【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，02b a-<，10a b ++=，所以0b <且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以14ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同.5．题目和解答与（A ）卷第5题相同.6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM ＝_______．【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =.在Rt △ADM中，由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为 ．【答】1007.由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.………………10分下面考虑： 22324M a ab b =---的值能否为1？若1M =，即223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，223a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.因此，22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ， ∴AC AB AD AC=，∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠，ANB ADM ∠=∠，∴△ANB ∽△ADM ，∴AN AB AD AM =， ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅，又AE AC =，∴2AE AM AN =⋅.……………………15分 以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ，与直线AM 交于另一点P ，显然：⊙F 与AB 切于点E .于是，由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =，∴点N 即为点P ，∴点N 在⊙F 上，∴FN FE DE ==.……………………25分三、（本题满分25分）已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值. （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解 （1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=， 即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=，所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分 又因为1xy yz zx ++≠，所以()0xyz x y z -++=，所以xyz x y z =++，因此，1111xy yz zx++=. ……………………15分（2）因为,,x y z 为正数，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++＝9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ ＝2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-＝222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解 因为5a b c ++=，22215a b c ++=，所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=，所以5ab bc ac ++=. ……………………5分 结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---，可得4735(155)abc -=- 50=，所以1abc =-. ……………………10分 而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分 同理可得225(4)b bc c a ++=-，225(4)c ca a b ++=-，所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，在等腰△ABC中，AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ⋅的值. 解 连接AE 、ED 、CF ，由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠，所以A 、E 、B 、D 四点共圆，于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称，所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠，所以A 、B 、F 、C 四点共圆，又AB AC =，所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠， ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ，所以AB AD AF AB =，所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。
2016奥赛试题及答案
2016奥赛试题及答案一、数学试题试题一：计算下列各式的值1. $5 \times 3 + 2$2. $9 - 4 \times (6 - 3)$3. $12 \div 4 + 6 - 2$答案一：1. $5 \times 3 + 2 = 15 + 2 = 17$2. $9 - 4 \times (6 - 3) = 9 - 4 \times 3 = 9 - 12 = -3$3. $12 \div 4 + 6 - 2 = 3 + 6 - 2 = 7$试题二：解方程1. $2x + 5 = 13$2. $3(x-4) = 21$3. $2x^2 - 8x + 6 = 0$答案二：1. $2x + 5 = 13$$2x = 13 - 5$$2x = 8$$x = 8/2$$x = 4$2. $3(x-4) = 21$$3x - 12 = 21$$3x = 21 + 12$$3x = 33$$x = 33/3$$x = 11$3. $2x^2 - 8x + 6 = 0$$x^2 - 4x + 3 = 0$$(x-3)(x-1) = 0$$x-3 = 0$ 或者 $x-1 = 0$$x = 3$ 或者 $x = 1$二、英语试题试题一：选择正确的单词填空1. The boy is ________ (tall, short)2. My sister has ________ (two, three) cats.3. Peter ________ (walks, run) to school every day.答案一：1. The boy is tall.2. My sister has three cats.3. Peter walks to school every day.试题二：根据所给情景，选择适当的句子1. 你想知道他今天的计划，应该说：a) What is your plan today?b) Can you tell me about your plan today?2. 你想对朋友说：“祝你好运！”应该说：a) Goodbye!b) Good luck!3. 你想问一个人是否需要帮助，应该说：a) Do you need help?b) How are you?答案二：1. b) Can you tell me about your plan today?2. b) Good luck!3. a) Do you need help?三、科学试题试题一：选择正确的答案1. 鱼是属于哪个动物类别？a) 鸟类b) 哺乳动物c) 鱼类2. 地球绕着什么旋转？a) 太阳b) 月亮c) 火星3. 铁是由哪两个元素组成的？a) 氧和氮b) 氢和氧c) 铁和碳答案一：1. c) 鱼类2. a) 太阳3. c) 铁和碳试题二：判断正误1. 水是一种无色无味的液体。
2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为◆答案：)310,332(--∈a ★解析：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ．2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5l og l og =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则vwl og 的值为 ◆答案：54 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==∙=u v u v w w ．2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：359 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ．2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点，A ，B ，C 是其地面圆周上的三点，满足090=∠ABC ，M 为线段AP 的中点。
2016总决赛答案 山东省大学生数学竞赛(专科)试卷
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷答案（非数学类，2016）一、填空题（每小题5分，共30分） 1. []1,3--和][3,1 2. 2ln a 3. ()(]0-0-，或，∞∞ 4.C x f +22)]([41 5. 23. 6.2 二、综合题（本题共70分，请写出相应演算步骤。
）1.（11分）设n a a a ,,,10Λ是满足0132210=+++++n a a a a n Λ的实数，证明多项式 n n x a x a x a a x f ++++=Λ2210)(，在)1,0(内至少有一个零点.解：令132)(132210+++++=+n x a x a x a x a x F n n Λ （4分） )(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=F （2分）又因为0132210=+++++n a a a a n Λ，所以0)1(=F （2分） 所以由罗尔定理知在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(='ξF即0)()(2210=++++=='n n a a a a f F ξξξξξΛ 得证 （3分）2. （11分）求不定积分dx x x )1ln(2⎰++. 解：⎰⎰++-++=++)1ln()1ln()1ln(222x x xd x x x dx x x （3分） ⎰+-++⋅=dx x xx x x 221)1ln( （4分）⎰++-++⋅=)1(1121)1ln(222x d xx x x （2分） C x x x x ++-++⋅=221)1ln( （2分）3. （16分）设)(x f 连续，dt xt f x ⎰=10 )()(ϕ，且A xx f x =→)(lim 0（A 为常数），求)(x ϕ'并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.解：当0≠x 时，令u xt =，则du dt x =⋅，当0=t 时0=u ，当1=t 时x u =， 所以xduu f du x u f x x x ⎰⎰== 0 0 )()( )(ϕ （4分） 所以当0≠x 时，2 0)()()(x du u f x xf x x⎰-='ϕ （2分） 由A xx f x =→)(lim 0知0)0(=f （1分） 又由dt xt f x ⎰=10 )()(ϕ和0)0(=f 知0)0(=ϕ （1分） 则2 0 00)(lim 0)0()(lim )0(x du u f x x x x x ⎰→→=--='ϕϕϕ22)(lim 0A x x f x ==→ （4分） 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-='⎰0 ,20,)()()(2 0 x A x x du u f x xf x x ϕ （1分） 又因为)0(22)(lim )(lim )()(lim )(lim 2 0 0202 0 00ϕϕ'==-=-=-='⎰⎰→→→→A A A x du u f x x xf x du u f x xf x xx x x x x （注意2 00)()(lim x duu f x xf x x ⎰-→直接用洛必达法则计算有一定问题，若直接用洛必达法则计算要得出结论，需证明)(x f '在0=x 处是连续的，而题设中没有此结论）所以)(x ϕ'在0=x 处连续 （3分）4. （16分）已知一开口向上的抛物线通过x 轴上的两点)0,1(A 和)0,3(B .（1）试证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积；（2）计算上述两个平面绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.解：由开口向上，通过x 轴上的两点)0,1(A 和)0,3(B ，得抛物线方程)0()34()3)(1(2>+-=--=a x x a x x a y （4分）（1）两坐标轴与该抛物线所围图形的面积 ()13122100443(23)33x s a x x dx a x x a =-+=-+=⎰ （2分）x 轴与该抛物线所围图形的面积()33 3222 114[43](23)33x s a x x dx a x x a =--+=--=⎰ （2分） 结论得证。
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罗 平 职 校 学 生 数 学 应 用 能 力 竞 赛 试 题
（满分：100分 时间：100分钟）
姓名： 班级： 分数： 一．选择题。
（每题2分，共40分）
1．阿拉伯数字是哪个国家或地区的人发明创造的？（ ）
A ．阿拉伯人
B ．欧洲人
C ．古印度人
D ．中国人 2．我国历史上第一个计算“圆周率”的人是（ ）
A ．华罗庚
B ．祖冲之
C ．陈景润
D ．秦九韶 3．勾股定理还有一种叫法（ ）
A ．祖冲之定理
B ．孙子定理
C ．欧拉定理
D ．毕达哥拉斯定理 4．今天是星期二，问：再过400天是星期几? （ ） A.一 B.三 C.五 D.七
5．已知三个点，可以画出多少条直线？（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．1条或3条
6．圆周率π是一个无理数，小数点后的第五位上的数字是什么？ （ ） A ． 9 B ． 6 C ． 5 D ． 2
7．“交通事故报警”电话号码是：（ ） A ．110 B ．119 C ．120 D ．122
8．小明哥哥在南京大学上学，今年1月18日寒假开始，3月1日开学，他的寒假有天? （ ）
A ．40天
B ．41天
C ．42天
D ．41天或42天
9．有鸡与兔若干，总头数与总脚数之比为2 ：5，那么鸡和兔的头数之比为( )
A ． 2 ：5
B ．1 ：2
C ．1：3
D ．3 ：1
10．在平面直角坐标系中，点(12)A ，
与点B (12)--，是关于( )对称 （ ） A ．X 轴对称 B ．Y 轴对称 C ．原点对称 D ．根本是不对称的
11．已知：0=⋅b
a 则下列说法正确的是（ ）
A ．0=a
B ．0=b
C ．0,0==b a
D ．中至少一个等于零b a ,
12．绝对值为本身的数是什么？（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．0
D ．非负数
13．在一次晚会上，主持人举起第一个牌，上面有1个三角形，举起第2个牌子，上面有
4个三角形，举起第3个牌子，上面有9个三角形，按这一规律发展，请估计第四个牌子中有多少个三角形？（ ）
A ．20个
B ．16个
C ．15个
D ．12个
14．19名战士要过一条河，现有一只小船，最多坐4人。
问：至少渡几次？（ ）
A ．5次
B ．6次
C ．7次
D ．8次
15．有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答：一半学生学数学，四分之一学
音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生。
（ ） A ．25个 B ．26个 C ．27个 D ．28个
16．你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。
最少
用天枰称几次就可以确定伪币（ ）
A ．2次
B ．3次
C ．4次
D ．5次
17．有只兔子掉进30公尺深的干井里。
它并不习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。
但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2公尺。
休息了一夜之后，它又继续努力，结果一样。
它要几天才能爬出干井？（ ）
A ．20天
B ．25天
C ．28天
D ．30天
18. 五条直线相交，最多能有多少个交点呢? （ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
19．有4位小朋友暑假互相通一次电话，他们一共打了多少 次电话。
（ ）
A ． 4
B ．5
C ． 6
D ．7 20．下图是正方体的表面展开图，和“超”相对的字是（ ）。
A ．信
B ．沉
C ． 越
D ．自
二．填空题。
（每题3分，共26分）
21. 有一家里兄妹四个，他们4个人的年龄乘起来正好是14，他们分别是
岁。
22．池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经100天就可长满整个池塘。
这些睡莲能长满
半个池塘需要 天。
23．有一根长8米长的方木，锯成等长的5段，表面积增加了1平方米，这根方木的体积
24．4张牌算24点！只能用加减乘除，每张牌只能用一次。
请计算如何由下面这些数计算
得到24（在横线上写出计算过程）：5， 5， 5， 1。
计算过程： 。
25．一个牧羊人，第一天发现少了2只羊羔，第二天发现又少了2只羊羔，第三天他认真
地寻找了一下，发现羊群中有一只披着羊皮的狼，原来羊羔被这只披着伪装的狼吃掉了。
请问，这只狼一共吃了 只羊羔？
26．一个两位数，个位数字是m ，十位数字是n ，则这个两位数可表示为 。
27．观察○●●○●●○●●……，在100个中●有 个，○有 个。
28．已知○+△=12，△ +△+ ○=15.那么○= ，△= 。
29．在一条长100米公路的两侧栽树，每隔10米栽一棵 ，一共要栽 棵？ 30．猜数学名词：
（1）考试不作弊： （2）剑穿楚霸王：
（3）一分钱一分货： （4）坐船须知： （5）两只羚羊打架： 从下面备选数学名词中，选择合适的一个词填入上面的横线中： 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项
31．下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
当他们各代表什么数字时，算式成立？将答案写在右边的横线上。
北京奥运 京奥运
奥运 + 运
2 0 0 8 答： 。
32．将1—9九个连续的自然数分别填入三角形边上的圆圈里，使每条边上的四个数字的和等于17。
33．有一天小明向老爸开口要钱，说：“ 爸爸给我一仟元。
”，老爸说：“如果你能用8个
越
超
着沉
信
自
相同的阿拉伯数字作成一千（你可以使用各种数学符号来运算），我就给你一仟元。
”请您帮忙解答：。
三．解答题。
（共34分）
34．（5分）兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱?
35．（5分）小明计算20道题目，规定做对一道题得5分，做错一道题反扣3分。
结果小明20道题都做，却只得了60分，问他做对了几题？
36．（5分）国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要几分钟。
37．（5分）一个矩形的周长是100cm，对角线长是x，试把矩形的面积表示为x的函数。
38．（7分有一个奇怪的家庭，成员有父亲．母亲．儿子．女儿．仆人和狗；当父亲不在儿子身边时，母亲会打儿子；母亲不在女儿身边时，父亲会打女儿；仆人不在狗身边时，狗见人就咬；现在他们来到河边，只有一艘船，船上只能坐两个人，或一人一狗，而且只有父亲．母亲．仆人会划船，请问他们该怎么过河？
39．（7分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据下图制作的。
该图是我国古代数学家赵爽（东汉末至，三国时代）为了证明勾股定理而发明的。
他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。
已知在正方形中ABCD中，ABE BFC CGD DHA
∆∆∆∆
、、、是全等的直角三角形，并且AB=c，AE=a，BE=b，求证：222
a b c
+=。