北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题

北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试
高二数学（文科） 2015.7
考试时间100分钟； 满分120分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
1. 已知i 是虚数单位，则2i(1i)+= A ．22i -+
B ．22i +
C ．2i
D ．2i -
2．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}
22x
B x =>，则=B A
A ．{}13x x -<<
B ．{}13x x <≤
C ．{}12x x -≤<
D ．{}
2x x > 3．若sin cos 0αα<，则α是
A ．第一或第二象限角
B ．第一或第三象限角
C ．第一或第四象限角
D ．第二或第四象限角
4．已知函数()cos sin f x x x =-，()f x '为函数()f x 的导函数,那么π()6f '等于
A
B
C
． D
5．设0.3
2a =，4log 3b =，12
log 5c =，则
A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
6. 设,a b ∈R ，则“1a b >>”是“2
2
a b a b -<-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7. 若不等式组1,0,26,a
x y x y x y ⎧⎪⎪
⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是
A ．{}13a a a ≤≤>或5
B ．}{
13a a a <≤≥或5 C ．{}1a a <≤5 D ．{}
3a a ≤≤5
8. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x
f x =-.若函数
()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为
A ．1或8-
B ．2或8-
C ．1或7-
D ．2或7-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 9. 已知4sin ,(0,)52
ααπ
=
∈，则cos α= ；tan α= .
10.函数()lg f x x =的定义域是 .
11.已知平面向量(1
3)=-，a ，(42)=-，b ，若λ+a b 与a 垂直，则实数λ= .
12.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．若135c b B ===
，则
a = ；ABC △的面积S = ．
13.在数列{}n a 中，已知24a =，315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14.已知函数()e ln x
f x a x =-的定义域是(0,)+∞，关于函数()f x 给出下列命题：
①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 存在最小值；
②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；
③存在(,0)a ∈-∞，使得对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x >成立； ④存在(0,)a ∈+∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 15．（本小题满分12分） 在等差数列{}n a 中，32a =，942a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
2n n
b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
16.（本小题满分13分）
已知函数2
()sin cos 2
f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．
17.（本小题满分12分） 已知函数2
1()ln 2
f x ax x =
-，a ∈R . （I ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论)(x f 的单调性.
18.（本小题满分13分）
已知M 是由所有满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导函数为)(x f '，且对)(x f 定义域内任意的x ，都有1)(>'x f . （Ⅰ）判断函数x x x f sin 2)(+=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）若函数()ln g x x ax =+是集合M 中的元素，求实数a 的取值范围.
北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试
高二数学文科答案 2015.7
二、填空题（满分30分）
三、解答题（满分50分） 15．（本小题满分12分）
解：（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d .
因为39
42,
2,a a a =⎧⎨
=⎩
所以1122,
20.a d a d +=⎧⎨
-=⎩ ……………………………………………………………4分 解得11,1.2
a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………………………………………………6分
所以通项公式为：11
(1)2
n n a a n d +=+-=.………………………………………8分 （Ⅱ）因为1
(1)n b n n =
+， ……………………………………………………………9分
所以1
1111(1)()()2
23
1n S n
n =-+-++-+ =1
n n +. ……………………12分 16．（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）23
)2cos 1(232sin 21)(-
-+=
x x x f ………………………4分 x x 2cos 2
3
2sin 21-=
sin(2)3
x π
=-， …………………6分
所以函数()f x 的最小正周期为π． …………………7分
当22,32x k k ππ-=+π∈Z ，即5,12
x k k π
=
+π∈Z 时取得最大值为1.…………9分 （Ⅱ）令 222232k x k πππ
π-≤-≤π+，
得 5,1212
k x k k ππ
π-≤≤π+∈Z . 故函数()f x 的单调增区间为5[,],1212
k k k ππ
π-π+∈Z ． ………………13分
17. （本小题满分12分）
解：（I ）当2a =时，2121
()2.x f x x x x
-'=-=
(1)1f '=，(1)1f =，
曲线()y f x =在点（1，)1(f ）处的切线方程为l ：(1)(1)(1),y f f x '-=- 所以切线方程为l ：0x y -=. ………………4分 （II ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞. ………………5分
211
().ax f x ax x x
-'=-= ………………7分
（i ）若0,a ≤ ()0f x '<恒成立，则)(x f 在(0,)+∞上单调递减. ……9分
（ii ）若0a >，令()0f x '=
，则x =
当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：
所以()f x
在
上单调递减，在)+∞上单调递增. ……………12分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为x x f cos 2)('+=，当1cos -=x 时，1)('=x f 不符合条件②，
所以函数x x x f sin 2)(+=不是集合M 中的元素. ……………..4分 （Ⅱ）因为()g x 是集合M 中的元素，所以1
()1g x a x
'=+>对于任意0x >均成立. 即1
1a x
>-
(0)x >恒成立，即1a ≥. 令()()ln (1)G x g x x x a x =-=+-，依题意，()g x 是集合M 中的元素，必满足
1a ≥.
当1a ≥时，1
()10G x a x
'=
+->对任意0x >恒成立， 所以()G x 在()0,+∞上为增函数.
又(e )lne e e -a
-a
-a
-a
G a =+⋅-=(e 1)e 0-a
-a
a --<.
(e)=1+(1)e >0G a -，所以方程()()0G x g x x =-=有实根, 也符合条件① . 当1a <时，在101x a >
>-时，1
()1g x a x
'=+<与条件②矛盾. 综上1a ≥.…………. …………. …………. ………….……………..13分。