单源最短路径Dijkstra算法详解与教学设计
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法是图论中的一种贪心算法，用于求解最短路径问题。
该算法的贪心策略是：每次选择当前距离起点最近的节点作为中间节点，并更新起点到其它节点的距离。
通过不断选择距离起点最近的节点，并逐步更新起点到各个节点的距离，最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的具体实现包括以下几个步骤：
1. 初始化：将起点到各个节点的距离记为无穷大或者一个较大的值，将起点到自己的距离记为0。
2. 选择当前距离起点最近的节点作为中间节点。
这个过程可以通过维护一个距离起点最近的节点集合来实现，初始时集合中只包含起点。
3. 更新起点到与中间节点相邻的节点的距离，即对于每个与中间节点相邻的节点，如果从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离小于起点到该节点的距离，则更新起点到该节点的距离为从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到起点到终点的距离不再更新。
5. 最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为节点的数目。
如果使用优先队列来维护距离起点最近的节点集合，则算法的时间复杂度可以降为O(NlogN)，但是实际应用中优先队列的实现可能较为复杂。
Dijkstra算法可以用于有向图和无向图，但是不能处理带有负权边的图。
如果图中存在负权边，则可以使用Bellman-Ford算法来求解最短路径。
迪杰斯特拉算法详解
迪杰斯特拉算法详解简述 迪杰斯特拉算法是⼀种基于贪⼼法求有向图或⽆向图单源最短路的算法，其本质就是把顶点集划分为两部分，已求出最短路径的集合S和未求出最短路径的集合U，U集⾥⾯每个点都有⼀个边权，代表源点通过S集⾥的点到达U集的那个点的最短路径(注意这⾥的最短不⼀定是全局最短)，S⼀开始只有源点，U⾥⾯和源点的边权为路径本⾝，不相邻的边权为inf，通过贪⼼不断地把U集合⾥⾯的顶点加⼊S，直到求完源点到所有顶点的最短路径。
暴⼒时间复杂度为O(n⽅)，经过堆优化可为O(nlogn)。
思想过程 如何将集合U⾥的点⼀个⼀个加⼊集合S呢？ 我们发现，我们可以确定，U⾥⾯顶点的最⼩边权就是源点到该路径的最短路径。
例如该图： A和B直接和源点相邻，那么U集中最⼩边权对应的顶点就是源点到该顶点的最短路径，在此图就是源点到B点的最短路径为2，因为A点的边权5不是最⼩边权，所以在这⼀步还不能确定是不是最短路径。
那为什么U集⾥的最⼩边权就是源点到该点的最短路径呢？我们⽤反证法，假设最⼩边权不是源点到该点设为y的最⼩路径，那么必然存在⼀个点设为x，使得源点到x的距离加x到y的距离⼩于U⾥的最⼩边权，那么源点到x的距离就要⼩于这个最⼩边权，⽭盾！所以结论得证！ 在加⼊S集后，该点要对其他点的边权进⾏松弛，什么意思呢？U集合⾥⾯的边权是源点到该顶点的路径距离嘛，⼀开始只有和源点相邻的边，但随着S集合新点的加⼊，源点到其他点的距离会被改变，因为S集合有新的点x 加⼊，那么源点到其他的点的距离可能会被更⼩的源点到x的距离加x到其他点的距离取代，即如上图：B加⼊S之后，U集⾥⾯A的边权就可以更新为 源点-B+B-A，为4，4⽐5⼩，故更新。
所以每当有点加⼊S集的时候，都要对U⾥⾯的其他点的边权进⾏松弛。
于是不断地加⼊，松弛，加⼊，松弛，直到全部点都在S⾥⾯，就能跑出源点S到其余所有点的最短路径了。
算法模拟 因为S集和U集没有相同的部分，所以我们⽤⼀个集合加个标记就可以区分两个集合。
dijkstra例题详解
dijkstra例题详解Dijkstra算法是一种求解单源最短路径问题的贪心算法，它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出的。
Dijkstra算法可以解决有向有权图中单个源节点到其他所有节点的最短路径问题。
下面我们就来看一下Dijkstra算法的具体流程和实例。
一、Dijkstra算法的基本思想Dijkstra算法是一种基于贪心算法的思想，它采用了一种逐步逼近的方式来得到最短路径。
Dijkstra算法主要基于两个概念：1.已知最短路径节点集合S2.未知最短路径节点集合Q初始时，已知最短路径节点集合S为空，未知最短路径节点集合Q包含所有节点。
第一步，从未知最短路径节点集合Q中选取一个节点v，使得该节点到源节点的距离最短，并把这个节点加入到已知最短路径节点集合S中。
第二步，根据新加入的节点v，更新其他节点到源节点的距离。
如果节点w到源节点的距离通过v缩短了，那么就更新节点w的距离。
重复以上两个步骤，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的实现步骤具体实现Dijkstra算法的步骤如下：1.首先，初始化一个距离数组dis，保存源节点到每个节点的最短距离，初始化为INF（无穷大）。
2.初始化一个标记数组vis，保存每个节点是否已经走过，初始化为false。
3.设置源节点的距离为0，并将其放入优先队列中。
4.重复以下步骤，直到队列为空：从队列中取出距离源节点最近的节点u，将其标记为vis[u]=true。
遍历节点u的所有邻节点v，若vis[v]=false，则计算源节点到v的距离，并更新dis[v]。
将节点v放入优先队列中。
5.最终，dis数组中保存的就是源节点到每个节点的最短距离。
三、Dijkstra算法的例题详解现在我们来看一个Dijkstra算法的例题。
假设有一个无向有权图，图中有5个节点，给定起点s，节点之间的边和边权如下图所示。
给定起点s，求源节点s到每个节点的最短路径。
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法原理详细讲解如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。
线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。
（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）算法执行步骤如下表：Dijkstra算法的完整实现版本之算法的源代码样例图:输入格式:输出格式:输入时，将s,t,x,y,z五个点按照1,2,3,4,5起别名，输入格式按照下图例所示当提示Please enter the vertex where Dijkstra algorithm starts:时输入算法的起始点比如计算结果v1v4v2表示从点1到点2经过1，4，2为最短路径Dijkstra算法的完整实现版本，算法的源代码/* Dijkstra.cCopyright (c) 2002, 2006 by ctu_85All Rights Reserved.*/#include "stdio.h"#include "malloc.h"#define maxium 32767#define maxver 9 /*defines the max number of vertexs which the programmcan handle*/#define OK 1struct Point{char vertex[3];struct Link *work;struct Point *next;};struct Link{char vertex[3];int value;struct Link *next;};struct Table /*the workbannch of the algorithm*/{int cost;int Known;char vertex[3];char path[3];struct Table *next;};int Dijkstra(struct Point *,struct Table *);int PrintTable(int,struct Table *);int PrintPath(int,struct Table *,struct Table *);struct Table * CreateTable(int,int);struct Point * FindSmallest(struct Table *,struct Point *);/*Find the vertex which has the smallest value reside in the table*/int main(){int i,j,num,temp,val;char c;struct Point *poinpre,*poinhead,*poin;struct Link *linpre,*linhead,*lin;struct Table *tabhead;poinpre=poinhead=poin=(struct Point *)malloc(sizeof(struct Point));poin->next=NULL;poin->work=NULL;restart:printf("Notice:if you wanna to input a vertex,you must use the format ofnumber!\n");printf("Please input the number of points:\n");scanf("%d",&num);if(num>maxver||num<1||num%1!=0){printf("\nNumber of points exception!");goto restart;}for(i=0;i<num;i++){printf("Please input the points next to point %d,end with 0:\n",i+1);poin=(struct Point *)malloc(sizeof(struct Point));poinpre->next=poin;poin->vertex[0]='v';poin->vertex[1]='0'+i+1;poin->vertex[2]='\0';linpre=lin=poin->work;linpre->next=NULL;for(j=0;j<num-1;j++){printf("The number of the %d th vertex linked to vertex %d:",j+1,i+1);scanf("%d",&temp);if(temp==0){lin->next=NULL;break;}else{lin=(struct Link *)malloc(sizeof(struct Link));linpre->next=lin;lin->vertex[0]='v';lin->vertex[1]='0'+temp;lin->vertex[2]='\0';printf("Please input the value betwixt %d th point towards %d thpoint:",i+1,temp);scanf("%d",&val);lin->value=val;linpre=linpre->next;lin->next=NULL;}}poinpre=poinpre->next;poin->next=NULL;}printf("Please enter the vertex where Dijkstra algorithm starts:\n");scanf("%d",&temp);tabhead=CreateTable(temp,num);Dijkstra(poinhead,tabhead);PrintTable(temp,tabhead);return OK;}struct Table * CreateTable(int vertex,int total){struct Table *head,*pre,*p;int i;head=pre=p=(struct Table *)malloc(sizeof(struct Table));p->next=NULL;for(i=0;i<total;i++){p=(struct Table *)malloc(sizeof(struct Table));pre->next=p;if(i+1==vertex){p->vertex[0]='v';p->vertex[1]='0'+i+1;p->vertex[2]='\0';p->cost=0;p->Known=0;}else{p->vertex[0]='v';p->vertex[1]='0'+i+1;p->vertex[2]='\0';p->cost=maxium;p->Known=0;}p->next=NULL;pre=pre->next;}return head;}int Dijkstra(struct Point *p1,struct Table *p2) /* Core of the programm*/{int costs;char temp;struct Point *poinhead=p1,*now;struct Link *linna;struct Table *tabhead=p2,*searc,*result;while(1){now=FindSmallest(tabhead,poinhead);if(now==NULL)break;result=p2;result=result->next;while(result!=NULL){if(result->vertex[1]==now->vertex[1])break;elseresult=result->next;}linna=now->work->next;while(linna!=NULL) /* update all the vertexs linked to the signedvertex*/{temp=linna->vertex[1];searc=tabhead->next;while(searc!=NULL){if(searc->vertex[1]==temp)/*find the vertex linked to thesigned vertex in the table and update*/{if((result->cost+linna->value)<searc->cost){searc->cost=result->cost+linna->value;/*set the newvalue*/searc->path[0]='v';searc->path[1]=now->vertex[1];searc->path[2]='\0';}break;}elsesearc=searc->next;}linna=linna->next;}}return 1;}struct Point * FindSmallest(struct Table *head,struct Point *poinhead){struct Point *result;struct Table *temp;int min=maxium,status=0;head=head->next;poinhead=poinhead->next;while(head!=NULL){if(!head->Known&&head->cost<min){min=head->cost;result=poinhead;temp=head;status=1;}head=head->next;poinhead=poinhead->next;}if(status){temp->Known=1;return result;}elsereturn NULL;}int PrintTable(int start,struct Table *head){struct Table *begin=head;head=head->next;while(head!=NULL){if((head->vertex[1]-'0')!=start)PrintPath(start,head,begin);head=head->next;}return OK;}int PrintPath(int start,struct Table *head,struct Table *begin){struct Table *temp=begin->next,*p,*t;p=head;t=begin;if((p->vertex[1]-'0')!=start&&p!=NULL){while(temp->vertex[1]!=p->path[1]&&temp!=NULL)temp=temp->next;PrintPath(start,temp,t);printf("%s",p->vertex);}elseif(p!=NULL)printf("\n%s",p->vertex);return OK;}。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
dijkstra算法最短路径
《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。
它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。
Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。
然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。
最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。
举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。
如果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，路径长度为3。
Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。
因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。
二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。
首先，Dijkstra算法可以用于解决交通路网中的最短路径问题。
例如，在一个城市的交通路网中，如果一个乘客要从一个地方到另一个地方，那么他可以使用Dijkstra算法来查找最短的路径。
这样可以节省乘客的时间和金钱，也可以减少拥堵。
此外，Dijkstra算法还可以用于解决计算机网络中的最短路径问题。
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第 ６期
曲 靖 师 范 学 院 学 报
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｑ Ｕ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｎ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ ｌ － ３ ５ Ｎｏ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０ １ ６
２ ０ １ ６年 １ １ 月
单源 最 短 路 径 Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算 法详 解 与教 学设 计
杜衡 吉
（ 曲靖师范学院 信息工程 学院， 云南 曲靖 ６ ５ ５ ０ １ １ ）
摘
要： 《 离散数学》 是计算机专业 的一门重要专业基础课 ， 图论部分 又是课程 的重点 内容 ， 最短路
径算法属于难点 ， 学生学起来非常吃力． 经过 多年教 学总结 ， 对最短路径算法给 出详细分析 ， 结合教 学案 例给 出了任务驱动 的教学设计 ， 对本部分 内容的教学和学 习有着重要 的帮助．
关键词 ： 离散数 学； 图论 ； 最短路径 ； 教学设计 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６ Ｇ ６ ４ ２ ． ０ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９— ８ ８ ７ ９ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６— ０ ０ ６ ６— ０ ３
Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ算 法 是 典 型 的单 源 最 短 路 径 算 法 ， 用于 计算 图 中一 个 顶 点 到 其 它 各 顶 点 的 最短 路
｛ … ． ． ． … ｝ 是从顶点 Ｖ ｉ 到 的最短路 径， 和 是 这 条 路 径 上 的 中 间 顶 点 ， 那么 Ｐ
（ ｜ ｉ ｝ ， ｓ ） 必 定 是从 到 的最短 路径 ．
下面证明该性质 的正确性 ：
①初始时 ， ． ｓ 只包含源点， 即 Ｓ＝｛ ｝ ， 。 的 距离为 ０ ． Ｕ包 含 除 外 的其 他 顶 点 ， 即： Ｕ：｛ ｝ ． 定 义集 合 中的顶 点 的距 离 ： 若
（ ， ｖ ｉ ）＝。 。 ． 图 中通路 的权 是 指 的所 有 边
＝
图， 把图中顶点集合 分成两个集合 ， 第一个集 合Ｊ ｓ 为 已求出最短路径 的顶点集合 ， 初始时 ５中 只 有一个 源 点 ， 即 Ｓ＝｛ 。 ｝ ； 另 外一 个 集 合 用
表示 ， 该集 合 为未确 定 最短 路 径 的顶 点 集 合 Ｖ —Ｓ ． 接下 来每 求得 一条 最短 路径 ，就将从 中新 找到 的点 ｋ 加 入到 集合 ｓ中 ， Ｓ＝Ｓ ｕ｛ ｋ ｝ ， 同
， … ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６—０ ９— ２ ２
作者简介 ： 杜衡 吉 ， 曲靖 师范学院信 息工程 学院讲师 ， 主要从事计算数 学及计 算机应 用研 究
・
６ ６・
杜衡 吉： 单源最短路径 Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算 法详 解与教 学设计
与 中顶点 ｋ 相邻 ， 则ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｋ ） ＝ （ 。 ， ｋ ） 正常
有 权值 ， 若 ％与 ｋ 点 不相邻 ， 则ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｋ ）＝ 。 。 ．
（ ２ ） Ｓ ＝｛ Ａ， Ｃ ｝ ， Ｕ＝｛ Ｂ ， Ｄ ， Ｅ ， Ｆ ｝ ， 此时最短 路径 ： Ａ － ＋ Ａ： ０ Ａ ． ＋ ｃ： ３ ．
３ Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ算 法描 述
１ ） 算法 思想 ： 设 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ， Ｗ＞ 是 一 个 带权
１ 基 本 概 念
带权 图 Ｇ＝ ＜Ｖ ， Ｅ， Ｗ＞， 其 中 Ｗ： Ｅ —Ｒ，Ｖ ｅ ∈Ｅ， 伽（ ｅ ） 称作 ｅ的 权．若 和 相邻 ｅ＝（ ￡ ， ｖ ｉ ） ， 记 ｗ（ ｖ ， ｖ ｊ ）＝Ｗ（ ｅ ）， 若 和 不 相邻 ，记
对 问题 的描述 ： 设ｎ ， ｍ 带权 图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ， Ｗ ＞， Ｖ＝｛ ０ ， 秽 Ｉ ， …， 一 １ ｝ ， Ｅ＝｛ ｅ １ ， ｅ ２ ， …， ｅ ｝ ， ｒ ｔ 个 顶点 ， Ｉ ｎ ， 条边 ， 假设每条边 ｅ ｉ 的长度（ 权） 为伽 ｉ ，
Ｐ （ ｊ ｃ ， ｓ ）＋ Ｐ（ ５ ， ） ． 若Ｐ （ ｋ ， ｓ ） 不是从 到 的最 短距 离 ， 那 么必 定存 在 另一 条 从 到 的最 短
假 设 Ｐ（ ｉ ， ）＝ ｛ … ． ． ． … ｝ 是从 顶
点 到 的最短路 径 ， 则有 Ｐ（ ｉ ， ）＝ Ｐ（ ｉ ， ． 】 ｝ ）＋
径． Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算法求最短 路径 在很 多专业课程 中
都有 介绍 ， 如《 离散数 学 》 、 《 数 据结构 》 等 课程 ．
的权值 之 和 ， 记 作 Ｗ（ Ｌ ） ， 对任 意 的 “ ， ∈Ｖ ， １ １ ， 和
之 间 的最短 路径 指 的是 １ １ ， 和 之 间边 权最小 的 通 路 ．
时 Ｕ＝Ｕ一｛ ｋ ｝ ， 直到图 中全部顶点都加入 到 ｜ ｓ
中， 算 法就 结束 了． 上 述 过 程 是按 最 短 路 径 长度
的递增次序依次把第二个集合 中的顶点加人 ５
２ 最短 路 径 的 最优 子 结 构性 质
最优 子 结 构 性 质 描 述 ： 如 果 Ｐ（ ， ）＝
中． 在加 入 的过 程 中 ， 总保 持从 源 点 。 到 Ｓ中各 顶 点 的最 短路 径 长度 不 大于从 源 点 到 中任 何 顶点 的最 短路径 长度 ． ２ ） 算法 步骤 ：
路径 Ｊ Ｐ ｋ ， ｓ ） ， 那么 Ｐ ｉ ， Ｊ ）＝ Ｐ（ ｉ ， ）＋ Ｐ ｋ ， ｓ ）＋
Ｐ（ ｓ Ｊ ）＜Ｐ（ ， ） ． 则 与 Ｐ（ ， ＿ 『 ） 是 从 到 的最 短 路径 相矛 盾 ， 因此该 性质 得证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单源最短路径就是从 Ｇ中找到源点 到其余各 点 的最 短路 径．