第7章组合变形
第7章应力状态和强度理论(答案)
17.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。
解：100x MPa σ=200y MPa σ=100x MPa τ=030α=-（1）cos 2sin 2211.622x yx yxασσσσσατα+-=+-=sin 2cos 293.32x yx MPa ασστατα-=+=（2）max 261.82x yMPa σσσ+==min 38.22x yMPa σσσ+==MPa 8.2611=σMPa 2.382=σ03=σ（3）13max 130.92MPa σστ-==7.2扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο30=α方向上的正应变。
设E=200GPa,0.3υ=。
解：表面上任一点处切应力为：max 59PTMPa W τ== 表面上任一点处单元体应力状态如图30sin 251MPa στα=-=-120sin 251MPa στα=-=()004303012013.310Eεσυσ-=-=⨯2σττ7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应变4100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递的功率。
解：表面任一点处应力为max 9550PPP T n W W τ==max 9550P W nP τ∴=纯剪切应力状态下，045斜截面上三个主应力为：1στ=20σ=3στ=-由广义胡克定律 ()11311E E υεσυστ+=-=又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550P W nP τ=，得109.4P KW =7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο60方向上的正应变460101.4-⨯=οε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。
材料力学组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
材料力学课本
材料力学电子教材淮阴工学院建筑工程系2006.12主要符号表符号AD、dEFF crF dF NF QGI y、I zI PI yzi y、i z k d M、M y、M z M x M eM sM uNnn rn stpPqR、rrS y、S zT tV cVεv dv vvεW 含义面积直径弹性模量集中力临界力动荷载轴力剪力切变模量惯性矩极惯性矩惯性积惯性半径动荷因素弯矩扭矩外力偶矩屈服弯矩极限弯矩循环次数安全因素，转速疲劳安全因素稳定安全因素总应力，压强功率均布荷载集度半径循环特征面积矩，静矩扭转外力偶矩时间余应变能应变能形状改变能密度体积改变能密度应变能密度重力，外力功，弯曲截面系数符号W cW PwθφγΔΔlεεuλµνσσbσbsσcrσ dσ eσpσrσsσuσ-1[σ]τ[τ]含义余功扭转截面系数挠度梁横截面转角，单位长度相对扭转角，体积应变相对扭转角，折减因数切应变位移伸长（缩短）变形线应变极限应变柔度长度系数泊松比正应力强度极限挤压应力临界应力动应力弹性极限比例极限相当应力，疲劳极限屈服极限极限应力对称循环疲劳极限容许正应力切应力容许切应力第一章绪论·基本概念§1-1 材料力学的任务§1-2 变形固体的概念及其基本假设§1-3 杆件及其变形形式§1-4 应力§1-5 位移和应变§1-6 材料力学的特点思考题思考题习题第二章轴向拉伸和压缩§2-1 概述§2-2 拉压杆件横截面上的正应力§2-3 应力集中的概念§2-4 拉压杆件的变形§2-5 拉伸和压缩时材料的力学性质§2-6 几种新材料的力学性质简介§2-7 拉压杆件的强度计算§2-8 拉压超静定问题§2-9 拉压杆联接件的强度计算思考题习题第三章扭转§3-1 概述§3-2 圆杆扭转时的应力§3-3 圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题§3-4 扭转时材料的力学性能§3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算§3-6 非圆截面杆的扭转思考题习题第四章平面弯曲§4-1 概述§4-2 梁横截面的正应力§4-3 梁横截面的切应力§4-4 梁的强度计算§4-5 非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面的弯曲中心§4-6 梁的极限弯矩和极限荷载法强度计算§4-7 梁的挠度和转角§4-8 梁的挠曲线近似微分方程§4-9 积分法计算梁的变形§4-10 叠加法计算梁的变形§4-11 梁的刚度计算§4-12 简单超静定梁思考题习题第五章应力状态分析§5-1 应力状态的概念§5-2 平面应力状态分析§5-3 基本变形杆件的应力状态分析§5-4 三向应力状态的最大应力§5-5 广义胡克定律·体积应变§5-6 应变能和应变能密度思考题习题第六章强度理论§6-1 强度理论的概念§6-2 四种常用的强度理论§6-3 莫尔强度理论§6-4 强度理论的应用思考题习题第七章组合变形杆件的应力分析与强度计算§7-1 概述§7-2 斜弯曲§7-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合§7-4 偏心压缩（拉伸）§7-5 截面核心§7-6 弯曲与扭转的组合思考题习题第八章压杆稳定§8-1 压杆稳定性的概念§8-2 细长压杆的临界力§8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳§8-4 压杆的稳定计算§8-5 提高压杆稳定性的措施思考题习题第九章动荷载和交变应力§9-1 概述§9-2 构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力§9-3 构件受冲击时的应力和变形§9-4 交变应力和疲劳破坏§9-5 交变应力的特性和疲劳极限§9-6 钢结构构件的疲劳计算思考题习题第十章杆件变形计算的能量法§10-1 概述§10-2 杆件的弹性应变能§10-3 虚力原理§10-4 卡氏第二定理§10-5 莫尔定理思考题习题附录A 平面图形几何性质习题附录B 型钢表习题答案参考文献作为绪论，本章将介绍材料力学的任务、研究范畴、研究对象、研究的基本方法以及材料力学课程的特点。
工程力学组合变形
内力图如图所示，危险截面为D截面， 其内力为：FN=-5kN，M=2.5kN.m
3) 应力分析：
FC
C
FAy FAx 30
A
L
D
L
B
F=10kN
FN
-
8.66kN
2.5kN.m
M
+
D截面旳上边沿点为危险点，为最大压应力。
矩形截面梁 宽b=40mm 高h=60mm
[]=120MPa
FC
P
R
Ｍ
二、组合变形工程实例
P
q
h
水坝
H
压弯组合变形:同步发生轴向压缩与弯曲
G1 D 烟囱
h
拉弯组合变形:同步发生轴向拉伸与弯曲
弯扭组合变形:同步发生弯曲与扭转 辘轳从深井中提水
P
P
三、组合变形旳研究措施 —— 叠加原理
对于组合变形下旳构件，在线弹性范围内、小变形 条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件 旳外力系，分别计算构件在每一种基本变形下旳内力、 应力或变形。然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形 旳组合情况，以拟定构件旳危险截面、危险点旳位置及 危险点旳应力状态，并据此进行强度计算。
max
FN A
M ≤ [ ]
W
max
FN M ≤ [ ]
AW
式中FN和M是指危险截 面旳轴力和弯矩，轴力拉为 正，压为负，弯矩则用绝对 值代入。
提议：进行危险点旳应力分 析时，绘出应力分布图！
对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，一般忽视了弯曲剪应 力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。
1. External force analysis and determine basic deformation 外力分析，拟定基本变形
工程力学-组合变形
s
强度条件为 nb
n
塑性材料 脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依 据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而 建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服 和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失 效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下， 为两个非零主应力，
则在 为坐标的平面坐标系中， 当 同号时，失效准则为
当 异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在 所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料 屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章 组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)
材料力学第七章组合变形
P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az
b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
故
h
5 21 z
34
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
cmax
B
Fp A
MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力
t
max
Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
《建筑力学》课件 第七章
【例 7-3】 图（a）中 20 号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和 集 中 力 F qa / 2 ， 已 知 钢 的 许 用弯 曲 正 应力 [ ] 160 MPa ， a 1 m 。试求梁的许可荷载集度 [q] 。
【解】 ① 将集中力沿两主轴分解。
Fy F cos 40 0.383qa
引起的正应力叠加，得最大应力 max 为
max
m ax
max
M z max ymax Iz
M y max zmax Iy
M z max Wz
M y max Wy
（a） （d） （g）
（b） （e）
（c）
图7-4
（f）
（h）
（i）
若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲梁的强度条件可表示为
max
3．应力分析
根据危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确 定危险点所在位置，并求出危险截面上危险点处的应力值。
4．强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料强度理论进行强度计
算。
第二节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
等直杆在横向力和轴向力共同作用下，杆件将发生弯曲与拉伸（压 缩）组合变形。图中的烟囱在横向力水平风力和轴向力自重作用下产生 的就是压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度EI较大的杆件，由于横向 力引起的挠度与横截面尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的附加弯矩 可以忽略不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆件截面上 的弯曲正应力和拉压正应力，然后按叠加原理求其代数和，即得到杆件 在拉伸（压缩）和弯曲组合变形下横截面上的正应力。
一、双向偏心压缩（拉伸）的强度计算
在偏心压缩（或拉伸）中，当外力F的作用线与柱轴线平 行，但只通过横截面其中一根形心主轴时，称为单向偏心压缩 （拉伸）；当外力F的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面 任何一根形心主轴时，称为双向偏心压缩（拉伸）。下面以双 向偏心压缩（拉伸）为例进行强度计算。
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F2
l/2
FN F2
弯矩（bending moment）
M max
F1l 4
FN图
所以跨中截面是杆的危险截面
F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力（Calculating stress of the danger point） F1 F F2 l/2 l/2
F2
2
A
M max W
一、受力特点 （Character of external force） 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力 二、变形特点（Character of deformation） 杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 F2 F1 F2
m m
z
e
y
b
h
解： （1）外力分析 将力 F2 向截面形心简化后, 梁上的外力有 轴向压力 力偶矩 F2 F1
Mz
F F1 F2
M z F2 e
m
m
（2）m-m 横截面上的内力有
z
轴力 弯矩
F F1 F2
M z F2 e
b h
e y
轴力产生压应力
FN F1 F2 A A
拉
y
即中性轴并不垂直于外力作用面。
z
F
中性轴 压
（3）当截面为圆形、正方形时，
Iy Iz ,
（所有通过形心的轴均为对称轴）
所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪个纵向平 面内，产生的均为平面弯曲。 y
z
F
中性轴
悬臂梁根部截面上的最大正应力:
y y
z
=
+
=
+
+
§ 7.2
斜弯曲
斜弯曲
杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）
不共面。
z
F y
斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个对称轴分解，于是得到两个 正交的平面弯曲。
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
z y
F y
Fy
z xy平面内的平面弯曲
Fy
2.叠加：对两个平面弯曲 进行研究；然后将计算 结果叠加起来。 y
研究对象（research object） 圆截面杆（circular bars） 受力特点（character of external force）
杆件同时承受作用在横截面上的外力偶矩和横向力作用
变形特点（character of deformation）
发生扭转和弯曲两种基本变形
F
B A C
l
一、 内力分析 （Analysis of internal force）
F F
1
Fa/2
1
FN M F Fa / 2 2F 2 2 A W 2 a a 1 2a a 2 a 6
2F / a 2 8 2 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a
开槽后立柱的最大压应力
a
a
例题3 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合, F2作用在 y 轴上.已知:F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截面 只出现压应力,求F2的偏心距e. F1 F2
件的内力、应力、变形等，可以由产生基本变形的载荷单独作用
下的内力、应力、变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次 序无关。������
叠加原理成立的条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
3、处理组合变形的基本方法 （Basic method for solving combined deformation） a.外力分析（Analysis of external force） 将外力简化分解,将组合变形分解为基本变形,使之每个力 （或力偶）对应一种基本变形 b.内力分析（Analysis of internal force ） 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形 c.应力分析（Stress analysis） 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的 应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
t max [ t ]
c max [ c ]
例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯截面系 数Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料 的许用应力为[]=125MPa.试校核横梁AB的强度. 解：（1） 分析AB的受力情况
Ｍz
F2 F1
弯矩产生的最大正应力
Mz F2 e 2 Wz bh / 6
（3）依题的要求,整个截面只有压应力
m
m
F1 F2 F2 e 2 0 A bh / 6
z
e
y
( F1 F2 ) / A bh2 得 e F2 6
中性轴的确定：
令 0,
拉
y
z sin y cos 0 Iy Iz
y Iz 则 tan tan z Iy
z
F
中性轴 压
y Iz tan tan z Iy
（1）中性轴只与外力F 的倾角及截面的几何形状 与尺寸有关； （2）一般情况下，
Iy Iz
D F x
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F A A
（3） 最大弯曲正应力
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
max
1.2FR Ay 0.6F Wz Wz
FRAy
FNBC
Fy
30°
FRAx A F
B
（4）危险点的应力
D F x
c max
0.866F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz
FN
（Bending normal stress）
Mz y Iz
y
FN M z y A Iz
3.危险截面的确定（Determine the danger cross section） 作内力图 F1 F2 l/2 F2
x
轴力（axial force）
F2 A
拉伸正应力
最大弯曲正应力
max
M max F1l W 4W F2 F1l A 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
t max max
五、强度条件（Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
F sin l 3 Fz l 3 , fz 3EI y 3EI y
F cosl 3 fy 3EI z 3EI z
Fy l 3
z
f z
总挠度：
f f y j fzk
f f y fz
2 2
f
F
fy
大小为：
设总挠度与y轴夹角为 ：
fz tan fy
L2 L2
Fz F sin
1 首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加 2 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表：
Wy 692.2cm3
Wz 70.758cm3
3 计算最大正应力并校核强度
max
4 讨论
Mz 217.8MPa Wy Wz
My
88.4% 115.6
Mz 115.6 MPa Wz
吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁 的侧面斜方向起吊。
§ 7.3 拉伸（或压缩）与弯曲的组合 （Combined axial loading and bending）
§ 7.1
1、组合变形的概念
概述
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。 钻 床
拉伸和弯曲的组合变形
工程实例
拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形
2、求解组合变形问题的基本方法——叠加法
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变
形下的内力和应力(变形)，然后进行应力(变形)叠加。 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则组合变形构
例题 已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷F， 与对称轴y成夹角。
求：根部截面上的最大正应力
y y
Fz
z
x
z
F F Fz F sin ,
Fy
Fy F cos
y
y
Fz
z
Mz=Fyx x=Fxcosφ
Fy
z
Mz
x
y
x (M y )
x (M y )
z
中性轴
My
Iz Fz I z tan tan Iy Fy I y
一般情况下，I y I z
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲， 而不是平面弯曲。
例：一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简 化为简支梁,如图示.图中l＝4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成， 许用应力［σ］＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用 在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁 的强度是否安全。 Fy F cos F