山东省济宁市梁山一中2012-2013学年高二3月质检 数学理

梁山一中2012—2013学年高二3月质量检测数学（理）一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.下列命题中是全称命题的是（ ） A ．圆有内接四边形 B.3> 2 C.3< 2D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 2.给出下列四个命题：①若0232=+-x x ，则1=x 或2=x②若32<≤-x ，则0)3)(2(≤-+x x ③若0==y x ，则022=+y x④若N y x ∈,,y x +是奇数，则y x ,中一个是奇数，一个是偶数，那么（ ） A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的逆否命题为假 D ．④的逆命题为假3. 已知p ：02<-x x ，那么p 的一个必要不充分条件是（ ）A.10<<xB.11<<-xC.3221<<x D.221<<x 4.⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2，|O 1O 2|=4，动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切，则动圆圆心轨迹是（ ）A ．椭圆B ．抛物线C ．双曲线D ．双曲线的一支 5.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．87 C ．1615 D ．06．已知函数3223624y x ax x =++-在2x =处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）A ．(23)，B ．(3)+∞，C ． (2)+∞，D ．(3)-∞，7．曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ）A ．43B ．89C ．83D ．498．已知函数x x x f 12)(3-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11≤≤-mB ．11≤<-mC ．11<<-mD ．11<≤-m9．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

如图①，在平行四边ABCD 中，)(22222AD AB BD AC +=+，那么在图②中所示的平行六面体1111D C B A ABCD -中，21212121DB CA BD AC +++等于（ ） A ．)(22122AA AD AB ++ B ．)(32122AA AD AB ++ C ．)(42122AA AD AB ++D ．)(422AD AB +10．已知函数)(),(x g x f 是定义在R 上可导函数，满足0)(')()()('<⋅-⋅x g x f x g x f ，且0)(,0)(>>x g x f ，对b c a ≤≤时。

下列式子正确的是（ ）A ．)()()()(c g a f a g c f ⋅≥⋅B ．)()()()(b g b f a g a f ⋅≥⋅C ．)()()()(b g a f a g b f ⋅≥⋅D ．)()()()(c g b f b g c f ⋅≥⋅11.经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =的两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于（ ） A ．16-B ．13-C ．12D ．12-12.已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( )A ．a ＝－4，b ＝11B ．a ＝3，b ＝3-或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米． 14.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________.15.已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“R x ∈∃0，022020=-++a ax x ”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值集合是____ ____．16.给出下列四个命题：①如果椭圆221369x y +=的一条弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线的斜率为21-； ②过点P (0,1)与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线共有3条。

③双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离为b 。

④已知抛物线px y 22=上两点),(21x x A ，),(22y x B 且OA ⊥OB(O 为原点),则221p y y -=。

其中正确的命题有 （请写出你认为正确的命题的序号）三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分） 已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 已知函数3()16f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，A 点坐标为(1,1)，B 点与A 点关于坐标原点对称，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为C 点，而点D 满足2PD PC = ，且有2PA PB ⋅=， （1）求点D 的轨迹方程； （2）求ABD ∆面积的最大值；（3）斜率为k 的直线l 被（1）中轨迹所截弦的中点为M ，若AMB ∠为直角，求k 的取值范围.20. （本小题满分12分）设双曲线的顶点为)1,0(±，该双曲线又与直线06315=+-y x 交于B A ,两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点）。

（1）求此双曲线的方程； （2）求AB21．（本小题满分13分） 已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f 。

（1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间； （3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=331)(，若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围。

22. （本小题满分12分）如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别分别在x 轴、y 轴上滑动，5=AB ，点M 是AB 上一点，且2=AM ，点M 随线段AB 的运动而变化. （1）求点M 的轨迹方程；（2）设1F 为点M 的轨迹的左焦点，2F 为右焦点，过1F 的直线交M 的轨迹于Q P ,两点，求2PQF S ∆的最大值，并求此时直线PQ 的方程.参考答案：1-5 AABDC 6-10 BCDCD 11-12 AA13.62 14. 6 15.2{-≤a a 或}1=a 16.①②③17.解：由2311≤--x 得102≤≤-x ， ∴﹁p 对应的解集}102{>-<=x x x A 或 由()001222>≤-+-m m x x 得m x m +≤≤-11， ∴﹁q 对应的解集}0,11{>+>-<=m m x m x x B 或 ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，且0>m∴B A ⊂，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010m m m ，∴30≤<m18.解：（1）'2()31f x x =+Q∴在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=， ∴切线的方程为1332y x =-；（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为200()31f x x '=+， ∴直线l 的方程为：23000(31)()16y x x x x x =+-++-． 又直线l 过点(00)，，2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-， 整理，得308x =-， 02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-，l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．19．解：（1）设(,)D x y ，(,2)P x y ，由2PA PB ⋅=得(1)(1)(21)(21)2x x y y -++-+=，即2244x y +=.（2）设(2cos ,sin )D θθ，ABD ∆面积12D S AB d =，其中D d 为点D 到直线AB 的距离，而12S =⋅≤（3）设直线l 的方程为y kx m =+， 联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=.由0∆>得2214m k <+ ①，设00(,)M x y ，由韦达定理及中点公式得02414km x k =-+，00214my kx m k =+=+， 由0MA MB ⋅= 可知22002x y +=，代入上式得2222(14)2116k m k +=+ ②，由①和②消去m得4k <-或4k >. 20．解：∵双曲线的顶点为)1,0(±，∴可设双曲线的方程为122=-mx y （0>m ）由⎩⎨⎧=+-=-06315122y x mx y 得033154)35(2=++-x x m ，设A （11,y x ），B （22,y x ） 当35=m 时，显然不满足题意 当35≠m 时，mx x --=+35315421且m x x -=35321又OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即04)(3152382121=+++x x x x ∴04353154315235338=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+-⋅m m ，∴31=m ， 经验证，此时0>∆，…9分∴双曲线的方程为1322=-x y （2）由（1）可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+49152121x x x x ，∴AB ＝2122124)(1x x x x k -+⋅+＝4494)15()315(122=⨯--⋅+ 21.（本小题14分）解：（1）222)1)(1()1(2)1()1(21)('+++-+=+-+=x ax ax x a x ax a x f 22)1)(1(2++-+=x ax a ax1,0220)1('=∴=-=a a f 即（2）)0,0()1)(1(2)('22≥>++-+=x a x ax a ax x f 若0)('0,2>≥≥x f x a 得 ）单调递增＋在（即∞0,)(x f若aa x x f a -==<<20)('20得令或aa--2（舍去）上是减函数在)2,0()(aax f -∴ ）上是增函数，＋在（∞-aa2 （3）1=a 由（2）得）上是减函数在（0,1)(x f )1,2ln )(1)(2ln ＝（值域即A x f x f <<∴ 又)1)(1()('2+-=-=x x b b bx x g 0<b上递增在时)1,0()(0)(')1,0(x g x g x ∴>∈∴）－＝（的值域b B x g 32,0)(∴由)()()1,0(),1,0(2121x g x f x x =∈∃∈∀使得23,132,-≤∴≥-⊆∴b b B A 即 22.解：（1）由题可知点AM 52=，且可设A （0x ，0），M （,x y ），B （0，0y ），则可得005352x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又5=AB ，即220025x y +=，∴22194x y +=，这就是点M 的轨迹方程。