北京市2020届高考数学选填综合题的解题策略少算巧算(2页)
北京市2020届高考数学选填综合题的解题策略少算巧算
例1已知函数(
)f x k =，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为
[1,1]a b ++，则实数k 的取值范围是D
（A ）()1,-+∞（B ）(]1,0-（C ）1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（D ）1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦
例2
已知函数01,()1, 1.x f x x x
⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为D （A ）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）59,{1}44⎛⎤ ⎥⎝⎦U （C ）59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
U 例3要得到函数sin(2)3y x π
=-的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象D （A ）向左平移
3π个单位（B ）向左平移6
π个单位 （C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位 例4如图，在中，
，，是
的中点，则AD BC =u u u r u u u r g B
（A ）3 （B ）4
（C ）5
（D ）不能确定
例5已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u r u u u r 的最大值是D （A
）B
）C ）4（D ）8
例610名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45
．则第二名选手的得分是____．16 例7紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为B
（A ）100cm 3
（B ）200cm 3
（C ）300cm 3
（D ）400cm 3
例8设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是A
（A ）若2αβπ+<，则sin sin 2αβ+< （B ）若2αβπ+<
，则cos cos 2αβ+< （C ）若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+> （D ）若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>
例9已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是D
（A ） （B ）（C ） （D ）
例10已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：
①()f x 的最大值为2；
②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0；
③()f x 的任何一个极大值都大于1.
其中所有正确命题的序号是.①②③。
北京市2020届高考数学选填综合题的解题策略运动观点(2页)
北京市2020届高考数学选填综合题的解题策略运动观点例1设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨-⎩＞ ①若a =0，则f (x )的最大值为_______2_____________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________(,1)-∞- _________.例2 函数11()1f x x x x=-+-,设1x 、2x 、3x 是曲线()y f x =与直线y a =的三个交点的横坐标,且123x x x <<，则下列命题错误的是B（A ）存在实数a ，使得324x x ->（B ）任给实数a ，都有314x x -> （C ）存在实数a ，使得211x x -> （D ）任给实数a ，都有321x x ->例3在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为C（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4例4已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤；②(0)y x =≤≤； ③1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是（ C ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 例5设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ B ）（A ） （B ）[2, （C ） （D ）[1,例6已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，则与平面平行的直线MN 有D （A ）0条 （B ）1条（C ）2条 （D ）无数条例6*已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线MN 有B（A ）0条 （B ）1条（C ）2条 （D ）无数条 例7若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1[22； ②存在点P 使得1PQ ∥平面b ；③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是D（A ）①②③ （B ）②③（C ）①③ （D ）①②。
2020版高考数学填空题解题技巧
2
2 特殊值法
当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示结果是 一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊 角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结 论．为保证结果的正确性，一般应多取几个特例．
例4 (2017北京)能够说明“设 a ， b ， c 是任意实数．若 a b c ，则 a + b c ”是假命题 的一组整数 a ， b ， c 的值依次为________．
1
1 直接法
直接求解型试题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算得出正确论．解 决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算 过程．解题过程中要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．
例 1 (2019 年全国Ⅱ卷)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时， f (x) = −eax ．
由①+②得， f (x + 3) = − f (x) ，所以 f (x + 6) = f ((x + 3) + 3) = − f (x + 3) = f (x) ，即
f (x) 是以6为周期的周期函数，于是 f (2018) = f (336 6 + 2) = f (2) = − 1 ． 4
例6 在△ ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若a、b、c 成等差数列，则
若 f (ln 2) = 8 ，则 a = _____．
【解析】当 x 0 时，−x 0 ， f (−x) = −e−ax ．因为函数 f (x) 为奇函数，所以当 x 0 时，
f (x) = − f (−x) = e−ax ，所以 f (ln 2) = e−aln2 = (1)a = 8 ，所以 a = −3 ． 2
高考数学选填题解法
高考数学选填题解法原则与策略： 1.小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏． 一、直接法1、设复数z 满足z (1＋i)＝i －3，则复数zi 的虚部为( )A ．2B ．2iC ．1D ．1i 2、将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos 2x3、(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.4、(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝____________.5、如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( ) A.56 B.23 C.25D.456、(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 二、特值法：通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法． 要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．1、已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. 3、已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有( ) A ．f (x )＜－1 B ．－1＜f (x )＜0 C ．f (x )＞1D ．0＜f (x )＜14、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )5、△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ， ，则m 的取值是（ ） A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、26、()11,lg lg ,lg 22a b a b P Q a b R +⎛⎫>>==+=⎪⎝⎭，则 （ ） ()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q <<7、若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a8、已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有 （ ）A 、11010a a +> B 、21020a a +< C 、3990a a += D 、5151a =9、直三棱柱ABC —A /B /C /的体积为V ，P 、Q 分别为侧棱AA /、CC /上的点，且AP=C /Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是（ ）（A ）12V （B ）13V （C ）14V （D ）15V10、双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α等于（ ）A ．e B ．e 2 C ．e 1D ．21e11、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x |，0＜x ≤2，log 2(4－x )，2＜x ＜4，若f (a )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，72C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，17－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，72 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，17－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，72 三、排除法（包括代入验证法）：1、若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ）A ．（1，2]B ．（0，23]C ．[21，22]D ．（21，22]2、将函数 的图象按向量a=(,0)6π-平移以后的图象如图所示，则平移以后的图象所对应的函数解析式是（A 、sin()6y x π=+B 、sin()6y x π=-C 、sin(2)3y x π=+D 、sin(2)3y x π=- 3、如图，单位圆中AB 的长度为x ，()f x 表示弦AB2倍，则函数()y f x =的图象是（ ）4、对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（ ）A 、(),0-∞B 、(,2]-∞C 、[0,2]D 、(0,2) 5、已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图象是( )四、估值法1、已知球O 的直径FC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠AFC ＝∠BFC ＝30°，则棱锥F -ABC 的体积为( )A ．33B ．23 C. 3D ．12、若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a3、已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 4、已知)2(524cos ,53sin πθπθθ<<+-=+-=m m m m ，则2tan θ等于 （ ） A 、m m --93 B 、|93|m m -- C 、31D 、55、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A ）9/2B ）5C ）6D ）15/2 五、数形结合法1、曲线[]12,2)y x =+∈-与直线(y k x =-两个公共点时，k 的取值范围是（ ）A 、5(0,)12B 、11(,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)1242、函数)1(||x x y -=在区间A 上是增函数，则区间A 、(]0,∞- B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0C 、[)+∞,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 EABCFD3、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角θ的取值范围是（ ）A 、,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、函数()y f x =的反函数112()3xf x x --=+，则()y f x =的图象（ ）。
北京高考数学解题技巧第版
北京高考数学解题技巧第版第二部分：解题技巧1.充分利用题目的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确答案。
2.技巧：“代入排除法”、“特殊值法”、“极端思想”、“图象法”、“逆向思维”一、排除代入法使用说明：比较各选项的异同，找出区别，代入验证逐一排除。
1.若函数)2(log ax y a-=在区间]1,0[上是减函数，则a 的取值范围为（ ）A(0,1) B(1,2)C(0,2) D(2,+∞)2.函数(),313x x x f +=则不等式()()01222>++-x f x f 的解集（ ） A.()()+∞---∞-,1212,B.()12,12---C.()()∞+-∞-，31, D.()3,1-3.若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的区域是一个三角形，则a 的范围是（ ）Ａ.43a ≥ Ｂ.01a <≤ Ｃ.413a ≤≤ Ｄ.01a <≤或43a ≥4.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,log 0,log 212x x x x x f ， 若()()f a f a >-，则a 的范围是（ ） A.()1,0(0,1)-Ｂ.()(),11,-∞-+∞Ｃ.()()1,01,-+∞ Ｄ.()(),10,1-∞-5.函数2(12)()2()a xf x x a -=+图象如图所示，则a 的范围是（ ）A. （0，12）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-211， C. （0，1） D.（1，+∞）课后作业：1.求函数()23log 12-=-x y x 的定义域（ ）Ａ.),1(1,32+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛ Ｂ．),1(1,21+∞⎪⎭⎫⎝⎛ Ｃ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32 Ｄ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 2. 若),(1,log 1,4)3()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<--=是x x x a x a x f a 增函数，则a 范围（ ）A.（1，+∞）B.（－∞，3）C.[53，)3 D.（1，3）3.(理)椭圆22221()x y a b a b+=>>0右焦点F ，直线ca x 2=其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则离心率的范围（ ） A.20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B.10,2⎛⎤⎥⎝⎦C. )21,1⎡-⎣D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.★（10,西城一模，文）若椭圆上存在点P ，使xy1-1O得点P 到两个焦点的距离之比为2：1， 则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．]31,41[B ．]21,31[ C ．)1,31( D ．)1,31[参考答案：1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 课后作业答案：1.A 2.D 3.B 4.D二、特殊值法使用说明：满足题目要求，选取“特殊数据”、“特殊函数（直线、点）”、“特殊位置（中心、 无穷远处）”进行验证。
2020高考数学选择题解题技巧
2020高考数学选择题解题技巧高考数学选择题占总分值的五分之二，其解答特点是“四选一”，怎样才能快速、准确、无误地选择好这个“一”呢？下面就是小编给大家带来的高考数学选择题解题技巧，希望大家喜欢！高考数学选择题解题技巧选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，原因在于它有与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强，题材内容相关相近、真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强，题材内容多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强.因此，只要抓住了选择题的如上特点，就能很好的完成选择题的解答.本文例析解答选择题的几种方法，以期对大家有所帮助.一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密推理和准确计算，从而得出正确结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，常用此法.例1 关于函数f（x）=sin2x-（23）|x|+12，看下面四个结论：①f（x）是奇函数；②当x>2015时，f（x）>12恒成立；③f（x）的最大值是32；④f（x）的最小值是-12.其中正确结论的个数为（）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析f（x）=sin2x-（23）|x|+12=1-cos2x2-（23）|x|+12=1-12cos2x-（23）|x|∴f（x）为偶函数，①错.∵当x=1000π时，x>2015，sin21000π=0，∴f（1000π）=12-（23）1000π<12，②错.又∵-1≤cos2x≤1，∴12≤1-12cos2x≤32，从而1-12cos2x-（23）|x|<32，③错.又∵sin2x≥0，-（23）|x|≥-1，∴f（x）≥-12，当且仅当x=0时等号成立，可知④正确.故应选A.题后反思直接法是解答选择题最常用的基本方法，中、低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确答案.二、特例法也称特值法、特形法，就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例法有特殊的数值、数列、函数、图形、角、位置等.例2 设函数f（x）=2-x-1，x≤0x（1/2），x>0，若f（x0）>1，则x0的取值范围为（）.A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）解析∵f（12）=22<1，∴12不符合题意，∴排除选项A、B、C，故应选D.图1例3 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图1所示，则b的取值范围是（）.A.（-∞，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，+∞）解析设函数f（x）=x（x-1）（x-2）=x3-3x2+2x.此时a=1，b=-3， c=2， d=0. 故应选A.题后反思这类题目若是脚踏实地来求解，不仅运算量大，而且很容易出错，但通过选择特殊值进行运算，则既快又准.当然，所选值必须满足已知条件.三、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论.例4 直线ax-y+b=0与圆x2+y2-2ax+2by=0的图像可能是（）.解析由圆的方程知圆必过原点，∴排除A、C选项.因圆心为（a，-b），由B、D两图中的圆可知a>0，-b>0.而直线方程可化为y=ax+b，故应选B.题后反思用排除法解选择题的一般规律是：①对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用排除法，能剔除几个就先剔除几个；②允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；③如果选择支中存在等效命题，因答案唯一，故等效命题应该同时排除；④如果选择支存在两个相反的或互不相容的，则其中至少有一个是假的；⑤如果选择支之间存在包含关系，须据题意定结论.四、验证法又叫代入法，就是将各个选择支分别代入条件去验证命题，能使命题成立的就是应选答案.例5 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立”的只有（）.A.f（x）=1xB.f（x）=|x|C.f（x）=2xD. f（x）=x2解析当f（x）=1x时，|f（x1）-f（x2）||x1-x2|=1|x1x2|<1. ∴|f （x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立. 故选A.例6 若圆x2+y2=r2 （r>0）上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是（）.A.[4，6]B.[4，6）C.（4，6]D.（4，6）解析圆心到直线4x-3y+25=0的距离为5，则当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D.题后反思代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度.五、数形结合法“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法.例7 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）（x∈R）的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数为（）.A.2B.3C.4D.无数个图2解析如图2，在同一直角坐标系中，做出函数y=f（x）及y=log3|x|的图像，由图像可得其交点的个数为4个，故选C.例8 设函数f（x）=2-x-1，x≤0，x1/2，x>0.若f（x0）>1，则x0的取值范围为（）.A.（-1，1）B. （-∞，-2）∪（0，+∞）C.（-1，+∞）D. （-∞，-1）∪（1，+∞）图3解析如图3，在同一直角坐标系中，做出题设函数f（x）和直线y=1的图像，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，则要使f （x0）>1，只要x0<-1或x0>1. 故选D.题后反思这种数形结合的解题策略，在解答有些选择题时非常简便有效，但一定要熟悉有关函数图像、方程曲线、几何图形等，否则错误的图像反会导致错选.六、逻辑分析法分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法.分析法可分为定性分析法和定量分析法.例9 若定义在区间（-1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是（）.A.（0，12）B.（0， 12]C.（12，+∞）D.（0，+∞）解析要使f（x）>0成立，只要2a和x+1同时大于1或同时小于1成立，当x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），则2a∈（0，1），故选A.题后反思分析法对能力要求较高，在解题过程中须保持平和心态，仔细分析，认真验证.七、极端值法从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程.例10 对任意θ∈（0，π2），都有（）.A.sin（sinθ）B.sin（sinθ）>cosθ>cosθ（cosθ）C.sin（cosθ）D.sin（cosθ）解析当θ→0时，sin （sinθ）→0，cosθ→1，cosθ（cosθ）→cos1，故排除A、B；当θ→π2， cos（sinθ）→cos1，cosθ→0，故排除C，∴选D.例11 设a=sinα+cosα，b=sinβ+cosβ，且0<α<β<π4，则（）.A.aB.aC.aD.a2+b22 解析∵0<α<β<π4，若令α→0，则a→1，b→2，a2+b22→32，易知：1<1.5<2<1.5.∴应选A.题后反思有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果.八、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”.图4例12 如图4，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D. 152解析由已知条件可知，EF∥面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，∴VF-ABCD=13×32×2=6.而该多面体的体积必大于6，故选D.题后反思有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行正确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的结论.估算省去了很多推导过程和复杂计算，节省了时间，显得快捷，其应用非常广泛，它是人们发现问题、研究问题和解决问题的一种重要方法.求解选择题的方法还有归纳推导法、割补法、无招胜有招等方法，限于篇幅，不再赘述.高考数学选择题解题技巧。
2020届高考数学(理)解题方法指导：小题小做,巧妙选择(Word版,含答案).doc
小题小做 巧妙选择一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233【答案】A【解析】依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 【对点训练】1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞)【答案】D【解析】由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}， 则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3. 二、数形结合法根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．【例2】 (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【答案】D【解析】当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.【对点训练】1．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2【答案】A【解析】作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．2．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.三、验证法将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．【例3】 (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a c D ．log a c <log b c【答案】C【解析】法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<c <1，∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12，对于A,412＝2,212＝2，2>2，∴选项A 不正确．对于B,4×212＝42，2×412＝4,42>4，∴选项B 不正确．对于C,4×log 212＝－4,2×log 412＝－1，－4<－1，∴选项C 正确．对于D ，log 412＝－12，log 212＝－1，－12>－1，∴选项D 不正确． 故选C ．法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c ，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时， a c －1<b c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0， ∴a lg b >blg a.又∵0<c <1，∴lg c <0. ∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． 【对点训练】(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】C【解析】法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x－cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C ．法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C ．四、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )【答案】C【解析】根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝sin(－2x)1－cos(－x)＝－sin 2x1－cos x＝－f(x)，所以f(x)＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝sin 21－cos 1＞0，f(π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A、D，选C．【对点训练】1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()【答案】D【解析】∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D.2．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()【答案】B【解析】当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ． 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.五、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．【例5】 (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】 A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．【对点训练】(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D. 六、极端值法选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．【例6】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3【答案】B【解析】由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.故选B.【对点训练】如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1【答案】B【解析】将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有11111C C C C V V V 3AB -A B -AA B A -AB ==.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．七、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．【例7】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. 【对点训练】若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.。
高考数学选择题满分答题技巧
查找错题， 分析病因， 对症下药， 这是重点工作。
（ 3）阅读《考试说明》和《试题分析》 ， 确保没有知识盲点。
（ 4）回归课本， 回归基础， 回归近年高考试题， 把握通性通法。
（ 5）重视书写表达的规范性和简洁性，
掌握各类常见题型的表达模式，
避免“会 而不对， 对而
不全”现象的出现。
（ 6）临考前应做一定量的中、低档题， 以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，
分的考生少之又少 , 所以 , 你不要幻想 先易后难 , 分段得分 . 着在高考时数学能够拿满分 . 换个角度思考 ,
学习再好的学生也会出现一些错误 , 所以 , 遇到难题感到做不下去实际上很正常 , 就看你如何能够从这些
难题上尽可 能多的争到分数 . 在这个时候 , 分段得分就很重要了 . 一定要把每个能想到的与 题目考查范围
一般可在 五分钟之内做完下面几件事： （ 1）填写好全部考
（ 2）调节情绪， 尽快进入考试状态， 可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择
或填空题（一旦
解出， 信心倍增， 情绪立即稳定） ； （ 3）对于不能立即作答的题目， 可一边通览， 一边粗略地分为 A 、B 两类： A 类指 题型比较熟悉、
容易上手的题目； B 类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，
其次， 填空题的解构， 往往是在一个正确的命 也可以是结论） ， 留下空位， 让考生 独立填上，
考查方法比较灵活， 在对题目的阅读理解上， 较之选择题有时会显得较 为费劲。 当然并非常常如此，
这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题的考点少， 目标集中。 否则， 试题的区分度差， 其考
试的信度和效度都 难以得到保证。 这是因为：填空题要是考点多， 解答过程长， 影响结论的因素多，
2020高考数学必胜秘诀(十二)高考数学填空题的解题策略
2020高考数学必胜秘诀（十二）高考数学填空题的解题策略――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十二、高考数学填空题的解题策略数学填空题在前几年江苏高考中题量一直为4题，从去年开始增加到6题，今年尽管保持不变，仍为6题，但分值增加，由原先的每题4分增加到每题5分，在高考数学试卷中占分达到了20%。
它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形状短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公平、准确等。
依照填空时所填写的内容形式，能够将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，因此高考题中多数是以定量型咨询题显现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
近几年显现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，因此对正确性的要求比解答题更高、更严格，«考试讲明»中对解答填空题提出的差不多要求是〝正确、合理、迅速〞。
为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
〔一〕数学填空题的解题方法 1、直截了当法：直截了当从题设条件动身，利用定义、性质、定理、公式等，通过变形、推理、运算、判定得到结论的，称为直截了当法。
它是解填空题的最差不多、最常用的方法。
使用直截了当法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
例1、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加竞赛。
3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种〔用数字作答〕。
【高考解题策略】2020年高考数学选择题的解题策略
2020高考选择题解题策略——北京四中：吕宝珠考情解读【解答选择题的基本策略】要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。
一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。
解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.1. 直接法有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。
这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关 公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合 理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对 号入座”作出相应的选择.从而确定选择支的方法。
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。
221.sin cos ( )3A {|22}445B {|22}44C {|}443D {|}44Z Z Z Z x x x x k x k k x k x k k x k x k k x k x k k ππππππππππππππππ-+∈++∈-+∈++∈例 若＞，则的取值范围是 ．＜＜，．＜＜，．＜＜，．＜＜，2222 sin cos cos -sin 0cos 2032. D.22sin cos sin cos D.Z x x x x x k x k k x x y x y x ππππ++∈==由＞，得＜，即＜，所以：＜＜，故选另解：数形结合法：由已知得＞，画出和的图象，由图象可知选解：例2.设 a ，b ，c 为实数，，记集合，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能是（ ）A. 且B. 且C. 且D.且解：选D .2. 特例法有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。
15种策略速解2020年高考数学客观题
Җ㊀北京㊀肖志军１(特级教师)㊀张㊀浩２㊀㊀数学客观题(选择题和填空题)在高考试题中占有较大的分值,能够快速准确地解答好这类试题,是考生取得优异成绩的关键因素．有些考生解答这类题时,一味地用常规方法埋头推算,往往是小题大作,既容易出错,又浪费时间．若能根据这类题的特点实施速解,可以达到事半功倍的效果．现结合２０２０年的高考试题阐述速解的１５种策略．１㊀巧取特殊,速选答案根据特殊与一般的辩证关系,命题在一般情况下成立,则在特殊情况下必成立,在某些特殊情况下不成立,则在一般情况下也不成立．有些数学客观题,用常规方法直接求解比较困难,但通过对满足条件的特殊情况进行分析,往往可以发现共性,速选答案．例１㊀(２０２０年浙江卷１０)设集合S ,T ,S ⊆N ∗,T ⊆N ∗,S ,T 中至少有２个元素,且S ,T 满足:①对于任意x ,y ɪS ,若x ʂy ,都有x y ɪT ;②对于任意x ,y ɪT ,若x ＜y ,则y xɪS ．下列命题正确的是(㊀㊀)．A ．若S 有４个元素,则S ɣT 有７个元素B ．若S 有４个元素,则S ɣT 有６个元素C ．若S 有３个元素,则S ɣT 有５个元素D ．若S 有３个元素,则S ɣT 有４个元素分别给出具体的集合S 和集合T ,利用排除法排除错误选项,即可得到正确答案．若取S ＝{１,２,４},则T ＝{２,４,８},此时S ɣT ＝{１,２,４,８},包含４个元素,排除选项C ．若取S ＝{２,４,８},则T ＝{８,１６,３２},此时S ɣT ＝{２,４,８,１６,３２},包含５个元素,排除选项D ．若取S ＝{２,４,８,１６},则T ＝{８,１６,３２,６４,１２８},此时S ɣT ＝{２,４,８,１６,３２,６４,１２８},包含７个元素,排除选项B．故A 正确．例２㊀(２０２０年浙江卷４)函数y ＝x c o s x ＋s i n x 在区间[－π,π]的图象大致为(㊀㊀)．取x 为一小正数,可知函数值为正,故选项B ,D 错误．取x 为一小负数,可知函数值为负,可知选项C 错误．故选A．例３㊀(２０２０年北京卷１０)２０２０年３月１４日是全球首个国际圆周率日(πD a y )．历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的 割圆术 相似,数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正６n 边形的周长和外切正６n 边形(各边均与圆相切的正６n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为２π的近似值．按照阿尔 卡西的方法,π的近似值的表达式是(㊀㊀)．A．３n (s i n ３０ʎn ＋t a n３０ʎn)B ．６n (s i n ３０ʎn ＋t a n３０ʎn )C ．３n (s i n ６０ʎn ＋t a n６０ʎn)D．６n (s i n ６０ʎn ＋t a n６０ʎn)取n ＝１,选项B ,πʈ６(１２＋３３)＞６(１２＋１２)＝６;选项C ,πʈ３(３２＋３)＝９２３;选项D ,πʈ６(３２＋３)＝９３．三个答案都与π的真实近似值有较大差距,是不可能的,故选A ．２㊀回归定义,重视本源例４㊀(２０２０年山东卷７)已知P 是边长为２的正六边形A B C D E F 内的一点,则A P ң A Bң的取值范围是(㊀㊀)．A．(－２,６)㊀㊀B ．(－６,２)C ．(－２,４)㊀㊀D．(－４,６)０２㊀㊀图１A Bң的模为２,根据正六边形的特征,可得A Pң在A Bң方向上的投影的取值范围是(－１,３),结合向量数量积的定义,可知A Pң A Bң等于A Bң的模与A Pң在A Bң方向上的投影的乘积,所以A Pң A Bң的取值范围是(－２,６),故选A．例５㊀(２０２０年全国卷Ⅲ理３)在一组样本数据中,１,２,３,４出现的频率分别为p１,p２,p３,p４,且ð４i＝１p i＝１,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(㊀㊀)．A．p１＝p４＝０ １,p２＝p３＝０ ４B．p１＝p４＝０ ４,p２＝p３＝０ １C．p１＝p４＝０ ２,p２＝p３＝０ ３D．p１＝p４＝０ ３,p２＝p３＝０ ２标准差是刻画一组数据离散程度的一个量,四个选项中p１＝p４,p２＝p３,两边的数１,４出现频率大的样本的离散程度大,标准差就大,故选B．３㊀抓住关键,化难为易在所解问题中,常会有一些起关键作用的量,即题眼 ,若能抓住关键,就相当于抓住了解题的金钥匙,常可化难为易．㊀㊀图２例６㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理７)设函数f(x)＝c o s(ωx＋π６)在[－π,π]的图象如图２所示,则f(x)的最小正周期为(㊀㊀)．A．１０π９㊀㊀B．７π６㊀㊀C．４π３㊀㊀D．３π２由图可得函数图象过点(－４π９,０),将它代入函数f(x),可得c o s(－４π９ω＋π６)＝０,又因为(－４π９,０)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以－４π９ω＋π６＝－π２,解得ω＝３２,所以函数f(x)的最小正周期为T＝２πω＝２π３２＝４π３,故选C．４㊀利用结论,快速决断要注意掌握课本㊁其他资料上,或老师讲过的㊁自己总结的相关结论,直接应用这些结论,有时能大大简化解题过程,确有一步到位之感．例７㊀(２０２０年全国卷Ⅲ文３)设一组样本数据x１,x２, ,x n的方差为０ ０１,则数据１０x１,１０x２, ,１０x n的方差为(㊀㊀)．A．０ ０１㊀㊀B．０ １㊀㊀C．１㊀㊀D．１０一组数据变为原来的a倍,方差变为原来的a２倍,所以所求数据方差为１０２ˑ０ ０１＝１,故选C．㊀㊀图３例８㊀(２０２０年江苏卷１３)在әA B C中,A B＝４,A C＝３,øB A C＝９０ʎ,D在边B C上,延长A D到P,使得A P＝９,若P Aң＝m P Bң＋(３２－m)P Cң(m为常数),则C D的长度是．P,D,A三点共线,B,D,C三点共线,则有P Dң＝２３[mP Bң＋(３２－m)P Cң]＝２３mP Bң＋(１－２３m)P Cң．P Dң用P Bң,P Cң线性表示,且前面的系数之和等于１,这一结论在向量中经常用．即有P Dң＝２３P Aң,从而P D＝６,D A＝３,又A B＝４,A C＝３,øB A C＝９０ʎ．设øA D C＝øA C D＝θ,C D＝x(xʂ０),在әA D C和R tәA B C中c o sθ＝３２＋x２－３２２ˑ３ˑx＝３５,解得x＝１８５．当x＝０时,点D与点C重合,满足题意．综上,C D的长度是１８５或０．５㊀分类讨论,化整为零根据实际情况,把所要研究的对象分成几类来讨论,使每一类变得较为简单和具体,便于操作．分类时要注意避免重复和遗漏．例９㊀(２０２０年浙江卷９)已知a,bɪR且a bʂ０,对于任意xȡ０均有(x－a)(x－b)(x－２a－b)ȡ０,则(㊀㊀)．A．a＜０㊀㊀B．a＞０㊀㊀C．b＜０㊀㊀D．b＞０对a分a＞０与a＜０两种情况讨论,结合三次函数的性质分析即可得到答案．１２因为且ʂ０,设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －２a －b ),则f (x )的零点为x １＝a ,x ２＝b ,x ３＝２a ＋b ．当a ＞０时,则x ２＜x ３,x １＞０,要使f (x )ȡ０,必有２a ＋b ＝a ,且b ＜０,即b ＝－a 且b ＜０．当a ＜０时,则x ２＞x ３,x １＜０,要使f (x )ȡ０,必有b ＜０．综上,一定有b ＜０．故选C ．６㊀数形结合,以图助算 数缺形时少直观,形少数时难入微． 对于一些具有几何背景的数学题,若能构造出与之相应的图形进行分析,则能在数形结合㊁以图助算中获得形象直观的解法．例１０㊀(２０２０年北京卷６)已知函数f (x )＝２x－x －１,则不等式f (x )＞０的解集是(㊀㊀)．A．(－１,１)㊀㊀B ．(－ɕ,－１)ɣ(１,＋ɕ)C ．(０,１)㊀D．(,)(,)㊀㊀图４f (x )＞０等价于２x ＞x ＋１,在同一平面直角坐标系中作出y ＝２x和y ＝x ＋１的图象,如图４所示．两函数图象的交点坐标为(０,１),(１,２),不等式２x ＞x ＋１的解为x ＜０或x ＞１．故不等式f (x )＞０的解集为(－ɕ,０)ɣ(１,＋ɕ),故选D ．例１１㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１４)设a ,b 为单位向量,且|a ＋b |＝１,则|a －b |＝．㊀㊀图５如图５所示,构造几何图形,O A ң＝a ,O B ң＝b ,以O A ,O B 为邻边作平行四边形O A P B ,O P ң＝a ＋b ,B A ң＝a －b ,依题意|O A ң|＝|O B ң|＝|O P ң|＝１,平行四边形O A P B 是两个等边三角形构成的菱形,易知|a －b |＝|B A ң|＝３．７㊀特征分析,以点带面通过分析具体问题的局部特征,如位置特征㊁符号特征㊁范围特征,常可达到以点带面,速得答案的目的．例１２㊀(２０２０年北京卷８)在等差数列{a n }中,a １＝－９,a ５＝－１．记T n ＝a １a ２ a n (n ＝１,２, ),则数列{T n }(㊀㊀)．A．有最大项,有最小项B ．有最大项,无最小项C ．无最大项,有最小项D．无最大项,无最小项首先求得数列{a n }的通项公式,通过分析数列{a n }的符号特征和数值大小,得到数列{T n }的符号特征及最值情况．由题意可知,等差数列的公差d ＝a ５－a １５－１＝－１＋９５－１＝２,则其通项公式为a n ＝－９＋(n －１)ˑ２＝２n －１１．注意到a １＜a ２＜a ３＜a ４＜a ５＜０＜a ６＝１＜a ７＜ ,得T １＜０,T ２＞０,T ３＜０,T４＞０,T ５＜０且T i ＜０(i ȡ６,i ɪN ),当n ȡ６时T n 单调递减,无最小值,{T n }中存在最大项．故选B ．８㊀未知代换,直达彼岸例１３㊀(２０２０年江苏卷１２)已知５x ２y ２＋y ４＝１(x ,y ɪR ),则x ２＋y ２的最小值是．令x ２＋y ２＝t (t ＞０),则x ２＝t －y ２,代入已知得５(t －y ２)y ２＋y ４＝１,整理得４(y ２)２－５t y ２＋１＝０,将其看成关于y ２的一元二次方程,由t ＞０及方程的特点可知此方程有两个正数解,则Δ＝２５t２－１６ȡ０,又因为t ＞０,则t ȡ４５,即x ２＋y ２的最小值是４５．９㊀合理转化,简捷判断例１４㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１１)已知☉M :x ２＋y ２－２x －２y －２＝０,直线l :２x ＋y ＋２＝０,P 为l 上的动点．过点P 作☉M 的切线P A ,P B ,切点分别为A ,B ,当|P M | |A B |最小时,直线A B 的方程为(㊀㊀)．㊀㊀图６A ．２x －y －１＝０B ．２x ＋y －１＝０C ．２x －y ＋１＝０D ．２x ＋y ＋１＝０圆的方程可化为(x －１)２＋(y －１)２＝４,点M 到直线l 的距离为d ＝|２ˑ１＋１＋２|２２＋１２＝５＞２,所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知,A ,P ,B ,M四点共圆,且A B ʅMP ,所以把|P M | |A B |转化为２２４S әP A M ,进一步转化为４|MP |２－４,|P M | |A B |最小即|MP |最小,当直线MP ʅl 时,|MP |最小,又MP ʅA B ,故l ʊA B ,直线A B 与直线l 斜率相同,结合图形A B 在y 轴上的截距是负数,故选D ．１０㊀建系设点,巧渡难关有些数学试题,看似复杂,甚至感到无从下手,但只要建立恰当的平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算,便可很快突破难点,巧渡难关．例１５㊀(２０２０年天津卷１５)如图７所示,在四边形A B C D 中,øB ＝６０ʎ,A B ＝３,B C ＝６,且A D ң＝λB C ң,A D ң A B ң＝－３２,则实数λ的值为;若M ,N 是线段B C 上的动点,且|MN ң|＝１,则DM ң DN ң的最小值为．图７因为A D ң＝λB C ң,所以A D ңʊB C ң,øB A D ＝１８０ʎ－øB ＝１２０ʎ,AB ң A D ң＝λBC ң A B ң＝λ|B C ң| |A B ң|c o s １２０ʎ＝－９λ＝－３２,解得λ＝１６．以点B 为坐标原点,B C 所在直线为x 轴建立图８所示的平面直角坐标系x B y ．因为B C ＝６,所以C (６,０),因为|A B |＝３,øA B C ＝６０ʎ,所以A 的坐标为A (３２,３３２)．图８又因为A D ң＝１６B C ң,则D (５２,３３２),设M (x ,０),则N (x ＋１,０)(其中０ɤx ɤ５),故DM ң＝(x －５２,－３３２),DN ң＝(x －３２,－３３２),DM ң DN ң＝(x －５２)(x －３２)＋(３３２)２＝x ２－４x ＋２１２＝(x －２)２＋１３２．综上,当x ＝２时,DM ң DN ң取得最小值１３２．１１㊀构造函数,技高一筹有些题目中的数量关系繁杂㊁抽象,使学生不易入手,但若学生能根据实际情况构造出与题目相关的函数,就可以使数量关系变得清晰明了,确有技高一筹之感．例１６㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理１１)若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A ．l n (y －x ＋１)＞０㊀㊀B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０㊀D．l n |x －y|＜０由２x －２y ＜３－x －３－y ,可得２x －３－x ＜２y－３－y ,令f (t )＝２t －３－t ,因为y ＝２x为R 上的增函数,y ＝３－x为R 上的减函数,所以f (t )为R 上的增函数,所以x ＜y ．因为y －x ＞０,所以y －x ＋１＞１,所以l n (y －x ＋１)＞０,因为|x －y |与１的大小不确定,故C 与D 无法确定．故选A．例１７㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１２)若２a＋l o g ２a ＝４b＋２l o g ４b ,则(㊀㊀)．A ．a ＞２b ㊀㊀B ．a ＜２bC ．a ＞b ２㊀D ．a ＜b２设f (x )＝２x＋l o g ２x ,则f (x )为增函数,因为２a ＋l o g ２a ＝４b ＋２l o g ４b ＝２２b＋l o g ２b ＜２２b＋l o g ２２b ,所以f (a )＜f (２b ),则a ＜２b ．故选B ．１２㊀大胆估算,合理猜选有些以计算题形式出现的选择题,不必经过繁杂而精确的计算,只需大体估算一下,便可快速得到答案．例１８㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理６)数列{a n }中,a １＝２,a m ＋n ＝a m a n ．若a k ＋１＋a k ＋２＋ ＋a k ＋１０＝２１５－２５,则k ＝(㊀㊀)．A．２㊀㊀B ．３㊀㊀C ．４㊀㊀D．５在a m ＋n ＝a m a n 中,令m ＝１,可得a n ＋１＝a n a １＝２a n ,a n ＋１a n＝２,所以数列{a n }是以２为首项,２为公比的等比数列,则a n ＝２ˑ２n －１＝２n,a k ＋１＋a k ＋２＋ ＋a k ＋１０＝２１５－２５,估算可知最后一项一定比２１５小,又不可能小于等于２１３,所以a k ＋１０＝２１４,从而a k ＝２４,k ＝４,故选C ．１３㊀函数思想,心中常想例１９㊀(２０２０年江苏卷１４)在平面直角坐标系x O y 中,已知P (３２,０),A ,B 是圆C :x ２＋(y －３２１２)２＝３６上的两个动点,满足P A ＝P B ,则әPA B 面积的最大值是．设圆心C (０,１２)到直线A B 距离为x ,则|A B |＝２３６－x ２,|P C |＝１,所以S әP A B ＝１２ˑ２３６－x ２(x ＋１)＝(３６－x ２)(x ＋１)２,把S әP A B 看成以x 为自变量的函数,令y ＝(３６－x ２)(x ＋１)２(０ɤx ＜６),yᶄ＝２(x ＋１)(－２x ２－x ＋３６)＝０,解得x ＝４(负值舍去)．当０ɤx ＜４时,y ᶄ＞０;当４ɤx ＜６时,yᶄɤ０,因此当x ＝４时,y 取最大值,即S әP A B 取最大值为１０５．１４㊀直觉思维,一步到位例２０㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理５)若过点(２,１)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线２x －y －３＝０的距离为(㊀㊀)．A．５５㊀B ．２５５㊀C ．３５５㊀D．４５５过点(２,１)与两坐标轴都相切的圆,很容易直觉想到以(１,１)为圆心,以１为半径的圆,如图９,易知(１,１)到直线２x －y －３＝０的距离为|２－１－３|５＝２５５．故选B．图９１５㊀多招并用,联合作战例２１㊀(２０２０年天津卷９)已知函数f (x )＝x ３,x ȡ０,－x ,x ＜０．{若函数g (x )＝f (x )－|k x ２－２x |(k ɪR )恰有４个零点,则k 的取值范围是(㊀㊀)．A．(－ɕ,－１２)ɣ(２２,＋ɕ)B ．(－ɕ,－１２)ɣ(０,２２)C ．(－ɕ,０)ɣ(０,２２)D．(－ɕ,０)ɣ(２２,＋ɕ)注意到g (０)＝０,所以要使g (x )恰有４个零点,则方程|k x －２|＝f (x )|x |恰有３个实根,令h (x )＝f (x )|x |,即y ＝|k x －２|与h (x )＝f (x )|x |的图象有３个不同交点．因为h (x )＝f (x )|x |＝x ２,x ＞０,１,x ＜０．{当k ＝０时,y ＝２,如图１０,y＝２与h (x )＝f (x )|x |有１个交点,不满足题意．当k ＜０时,如图１１,此时y ＝|k x －２|与h (x )＝f (x )|x |恒有３个交点,满足题意．当k ＞０时,如图１２,当y ＝k x －２与y ＝x ２相切时,联立方程得x ２－k x ＋２＝０,令Δ＝０得k ２－８＝０,解得k ＝２２(负值舍去),所以k ＞２２．综上,k 的取值范围为(－ɕ,０)ɣ(２２,＋ɕ)．故选图１０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１１图１２此题是倒数第２题,有较大难度,解答此题既用到了转化与化归思想,又用到了数形结合和分类讨论思想,属于多种策略联合使用解题．数学客观题的解法较多,因题而异,各有千秋,各种解法不是孤立的,而是相互渗透㊁相互补充的．解题时要根据题型采取 多兵种联合作战 的策略,这必将大大提高解答此类题的速度,真正达到准㊁巧㊁快的目的．(作者单位:１．北京工业大学附属中学２．北京市朝阳区教育研究中心)４２。