山东省德州市武城县八年级数学上册12.3角的平分线的性质课后训练新版新人教版
人教版八年级数学(上册)12.3角的平分线的性质(第1课时) 课时习题(附参考答案)
12.3角的平分线的性质
（第1课时）
1. 用尺规作下列角的平分线：
2. 画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？ .
3.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）
A．DE=DF B．AE=AF C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF
4.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm,则△DEB的周长为_____________.
5.如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。
6.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D 出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。
7.如图，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC交于点P。
求证：AP=BP。
参考答案
1.略
2.三角形的三条角平分线相交于一点.
3.D
4. 6
5. 4
6.DE=DF=DG.
7.证明：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，∴PC=PD 在△PAC与△PBD中，
∵∠APC=∠BPD，∠ACP=∠BDP，PC=PD
∴△PAC≌△PBD，即AP=BP.。
新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)
12.3 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO＝∠EPOD 、PD ＝OD 3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定 21D A PO EB第2题图 第3题图 第4题图 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）DCA EBF E O D C ABA 、11B 、5.5C 、7D 、3.5 8.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ） （A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．二、填空题 9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是 ．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为 ．17.如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为 ．第16题图 第17题图 第18题图18. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．三、解答题19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C. 20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OCP 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F21.如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN ．22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，若∠A=90°，那么BC 、B A 、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．理由是：过点∴∠ACD+∠CAB=18的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．∵EF⊥AB EG⊥A G，。
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质学案(新版)新人教版
12.3角的平分线的性质自学案（一）学习目标1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2．探索并证明角的平分线的性质；3．能用角的平分线的性质解决简单问题。
（二）学习重点探索并证明角的平分线的性质。
（三）学习难点能用角的平分线的性质解决简单问题。
（四）课前预习1.点P 是∠BAC 内一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，由PE=PF ，PA=PA 得到△PEA ≌△PFA 的理由是（ ）A.HLB.ASAC.AASD.SAS2.如图,两条笔直的公路l 1,l 2相交于点O,村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C 到公路l 1的距离为4千米,则村庄C 到公路l 2的距离是( )A.3千米B.4千米C.5千米D.6千米3.如图，OP 平分AOB ∠，OA PA ⊥，OB PB ⊥，垂足分别为A,B 。
下列结论中不一定成立的是（ ）。
A.PA=PBB.PO 平分APB ∠C.OA=OBD.AB 垂直平分OP4.如图所示，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5，则AB 与CD 间的距离等于____.5.如图,现有一块三角形的空地,其三条边长分别是20m,30m,40m.现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分,分别种植不同种类的花,请你设计一种方案,并简单说明理由.（五）疑惑摘要预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨。
探究案典型例题例1、如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于E，且OE平分∠AOB. 求证：EA=EB.例2、如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.训练案课后作业一、选择题1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则下列结论错误的是( )A.PD=PEB.OD=OEC.PD=ODD.∠OPD=∠OPE2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.尺规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.如图,点D,P,E分别在OA,OC,OB上,且PD=PE,以下不能得出OC平分∠AOB的是( )A.OD=OEB.∠DPO=∠EPOC.∠ODP=∠OEPD.PD⊥OA,PE⊥OB二、填空题5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D, 且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离为.6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是.7.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .8.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°,则∠ADC的度数是.三、解答题9.如图,D是△ABC外角∠ACE的平分线上的一点,DF⊥AC于F,DE⊥BC交BC的延长线于E,求证:CF=CE.10.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.11.已知:如图,BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,求证:AD平分∠BAC.四、拓展提高如图,四边形ABDC中,∠D=∠B=90゜,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD;(2)求证:OA⊥OC;(3)求证:AB+CD=AC.。
人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)
人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（ ）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝ ．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 ．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 ．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。
人教版八年级数学上册练习 12.3《角的平分线的性质》
12.3 角的平分线的性质1．如图11-100所示，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，下列结论错误的是（）A．BD＋DE＝BC B．DE平分∠ADBC．DA平分∠EDC D．DE＋AC>AD2．如图11－101所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，则下列结论中错误的是（）A．DE＝DF B．AD上任意一点到E，F两点的距离相等C．AE＝AF D．BD＝DC3．如图11-102所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE＝AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A.①B．②C．①②D．①②③4．如图11-103所示，△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，P S⊥AC，垂足分别是R，S，若A Q＝P Q，P R＝P S，下面三个结沦：①A S＝A R：②Q P∥AR；③△B R P≌△C S P．其中正确的是（）A.①③B．②③C．①②D．①②③5．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BA C，BC＝10 cm，BD＝7 cm，则点D 到AB的距离是．6．如图11-104所示，在直线l上找一点，使这点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，则这个点是．7．如图11-105所示，已知O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和是．8．如图11-106所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P 到AB，BC，CA的距离相等．9．如图1l-107所示，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，且PM⊥AD，PN⊥CD．求证PM＝PN．10．如图11-108所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．（1）求证D在∠BAC的平分线上；（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗?试说明理由．11．如图11-109所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证PE＝PF．12．如图11-110所示，已知点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F，且BF＝CF．求证点F在∠A的平分线上．（提示：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边）13．如图11-111所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长?请说明理由．参考答案1．B[提示：由AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，可知DC ＝DE ，所以BD ＋DE ＝BD ＋CD ＝BC ，选项A 成立；DE ＋AC ＝DC ＋AC >AD ，选项D 成立；由AD 平分∠BAC ，∠DEA ＝90°，∠C ＝90°，可知∠EDA ＝∠CDA ，所以选项C 成立．]2．D [提示：利用角平分线的性质及全等三角形的有关知识可解本题．]3．D [提示：由ASA 可知Rt △ABE ≌Rt △ACF ，从而AC ＝AB ，又AE ＝AF ，故CE ＝BF ，从而可由AAS 得Rt △DFB ≌Rt △DEC ，有DE ＝DF ，又DE ，DF 分别垂直于AC ，AB ，故点D 在∠BAC 的平分线上．故①②③均正确．]4．C[提示：连接AP ，由P R ＝P S 及已知条件易证Rt △A R P ≌Rt △A S P （HL ），故A R ＝A S ，∠R AP ＝∠S AP ，又Q A ＝Q P ，故∠Q AP ＝∠Q PA ＝∠RAP .从而P Q ∥A R ，但无法证明△B R P ≌△C S P ．]5．3 cm[提示：由AD 平分∠BAC 知D 到AB ，AC 的距离相等，又BC ＝10 cm ，BD ＝7 cm ，故CD ＝3 ，又∠ACD ＝90°，则点D 到AC 的距离即是CD 的长，为3 cm ，故D 到AB 的距离也是3 cm ．]6．∠AOB 的平分线与直线l 的交点7．4[提示：过O 分别作AB ，CD 的垂线．则点O 到AB ，CD 的距离均等于OE ，故它们的和为4．]8．证明：过P 点分别作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥ BC 于 F ，PG ⊥CA 于G ．∵BM 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ．同理PF ＝PC ．∴PE ＝PF ＝PG ，即点P 到AB ，BC ，CA 的距离相等．9．证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，ABD CBD BD BD ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩A B =A B (已知)（已证）∴△ABD ≌△CBD （SAS ）．∴∠ADB ＝∠CDB （全等三角形的对应角相等），即DB 是∠ADC 的平分线．又∵PM ⊥AD ，PN ⊥ DC ，∴PM ＝PN ．10．（1）证明：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BED（公共边）和Rt △CFD 中()BED CFD EDB FDC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知（对顶角相等）∴Rt △BED ≌Rt △CFD（AAS ）．∴DE ＝DF （全等三角形的对应边相等）．∴D 在∠ BAC 的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．（2）解：成立．理由如下：∵点D 在∠BAC 的平分线上，且BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BED 和Rt △CFD 中，BED CFD DE DF EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （A S A ）． ∴BD ＝DC （全等三角形的对应边相等）．11．证明：连接AP ，在Rt △ABP 和△ACP 中，AB AC AP AP PB PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，（公共边），∴△ABP ≌△ACP （SSS ）∴∠BAP ＝∠CAP ．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF ．12．证明：如图11-112所示，连接BC ，作射线AF ．∵BD ⊥AM ，CE ⊥AN ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝∠BDC ＝∠CEB ＝90°．∵BF ＝CF ，∵∠DBC ＝∠ECB ．又∵BC ＝CB ，∴△BCD ≌△CBE ．∴BD ＝CE ，∴EF ＝DF ，∴点F 在∠CAB 的平分线上．13．解：能．过D 作DE ⊥AB ，交AB 于E 点，则E 点即可满足要求．理由：∵AD 平分∠CAB ，CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ．在Rt △ACD 和Rt △AED 中，,,CD DE AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）∴AC ＝AE ．∵AC ＝BC ，．BC ＝AE ．∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋EB ＝BD ＋DC ＋EB ＝BC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB ．（已证）。
八年级数学上册12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级
12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。
（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。
八年级数学上册12.3角的平分线的性质课后训练新版新人教版
角的平分线的性质课后训练基础巩固1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是( )．①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；③分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①2．三角形中到三边距离相等的点是( )．A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条中线的交点D．三条内角平分线的交点3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )．A．PD＝PEB．OD＝OEC．∠DPO＝∠EPOD．PD＝OD4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE ＋DE等于( )．A．2 cm B．3 cmC．4 cmD．5 cm5．在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为( )．A．2 cm,2 cm,2 c m B．3 cm,3 cm,3 cmC．4 cm,4 cm,4 cmD．2 cm,3 cm,5 cm能力提升6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝________.7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．9．如图，BN是∠ABC的平分线，点P在BN上，点D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角，求证：PD＝PE.10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.(1)试说明CF＝EB的理由；(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．11．如图，木工师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作∠AOB 的平分线，并说明理由．12．已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上．参考答案1．C。
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角的平分线的性质
课后训练
基础巩固
1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是( )．
①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；③分别以点D，
E为圆心，大于1
2
DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
2．三角形中到三边距离相等的点是( )．
A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点
C．三条中线的交点D．三条内角平分线的交点
3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )．
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OD
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE ＋DE等于( )．
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为( )．A．2 cm,2 cm,2 c m B．3 cm,3 cm,3 cm
C．4 cm,4 cm,4 cm D．2 cm,3 cm,5 cm
能力提升
6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝________.
7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．
8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．9．如图，BN是∠ABC的平分线，点P在BN上，点D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角，求证：PD＝PE.
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
(1)试说明CF＝EB的理由；
(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．
11．如图，木工师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作∠AOB 的平分线，并说明理由．
12．已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上．
参考答案
1．C
2．D点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．
3．D 点拨：由角平分线的性质得PE＝PD，进而可证△PEO≌△PDO，得OE＝OD，∠DPO＝∠EPO，但PD＝OD是错误的．
4．B 点拨：因为BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
所以DE＝EC，AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3 cm.
5．A 点拨：因为点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB 于点F，
所以设点O到三边AB，AC，BC的距离为x cm.
由三角形的面积公式得，1
2
×6x＋
1
2
×8x＋
1
2
×10x＝
1
2
×6×8，
解得x＝2(cm)．
6．60°点拨：因为CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，所以OC为∠AOB的平分线．
所以∠AOC＝30°.
所以∠DCO＝60°.
7．14 点拨：设BD＝9x，CD＝7x，
所以9x＋7x＝32，解得x＝2.
所以BD＝18，CD＝14.由于AD平分∠BAC交BC于点D，
则点D到AB的距离等于CD＝14.
8．120°点拨：点O到三边的距离相等，
所以点O是三个内角的平分线的交点．
又因为∠A＝60°，
所以∠B＋∠C＝120°，1
2
∠B＋
1
2
∠C＝60°.
所以∠BOC＝180°－60°＝120°.
9．证明：如图，过点P分别作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴PF＝PG.
又∵∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°，∴∠BDP＝∠PEG.在△PFD和△PGE中，
∵
,
,
,
FDP GEP
PFD PGE PF PG
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PFD≌△PGE(AAS)．
∴PD＝PE.
10．解：(1)∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，∠DEB＝∠C＝90°.在Rt△DCF与Rt△DEB中，
∵
,
, DF DB DC DE
=
⎧
⎨
=
⎩
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．
∴CF＝EB.
(2)AE＝AF＋BE.
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD.
又∵AD＝AD，∠C＝∠DEA＝90°，
∴△ACD≌△AED(AAS)．
∴AC＝AE.
由(1)知BE＝CF，
∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE.
∴AE＝AF＋BE.
11．解：方案：如图，(1)在射线OA上截取OM为一定的长度a，在OB上截取ON＝a；
(2)分别过点M，N作OA，OB的垂线，设交点为P；
(3)连接OP，则OP就是∠AOB的平分线．
理由：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，
所以Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．所以∠MOP＝∠NOP.
12．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵
,
,
,
BED CFD
BDE CDF BD CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BDE≌△CDF(A AS)．
∴DE＝DF.
∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BAD＝∠CAD，即点D在∠BAC的平分线上．。