中考一轮复习《函数概念与平面直角坐标系》知识梳理

第9讲 函数概念与平面直角坐标系
．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并会求函数一、平面直角坐标系与点的坐标特征
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴，竖直的数轴叫y 轴，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限．
2．各象限内点的坐标特征
点P(x ，y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P(x ，y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P(x ，y)在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P(x ，y)在第四象限⇔x ＞0，y ＜0. 3．坐标轴上的点的坐标特征
点P(x ，y)在x 轴上⇔y ＝0，x 为任意实数； 点P(x ，y)在y 轴上⇔x ＝0，y 为任意实数； 点P(x ，y)在坐标原点⇔x ＝0，y ＝0. 二、特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x ，y)关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y)；关于y 轴的对称点P 2的坐标为 (－x ，y)；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y)． 2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同； 平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同． 3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相反．
4．点的平移
将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． 三、距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
点P(x ，y)到x 轴和y 轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x ，y)到坐标原点的距离为x 2
＋y 2
. 2．两点间的距离
(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝|x 1－x 2|. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝|y 1－y 2|
(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 2
1＋y 2
1. (4)点P 1(x 1,y 1)与点Q 1(x 2，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝2)21(2)21(y y x x -+-. 四、函数有关的概念及图象
1．函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．
2．常量和变量
在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法
函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． 4．函数图象的画法
(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点． 五、函数自变量取值范围的确定
确定自变量取值范围的方法：
1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的全体实数．
2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数．
3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．
4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
1．在平面直角坐标系中，点M(－2,3)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
2．点M(－2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(1，－2)
3．函数y=中的自变量x的取值范围是（）
A．x≥0 B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1
4．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）
A．B．C．D．
6．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值等于．
7．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
（1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
（2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
答案：
1． B
2． A
3． A
4． A
5．B
解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y=×1×=，
②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，
y=（2﹣x）×=x2﹣x+，
③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，
故选：B．
6．4或﹣
解：①当x≤2时，x2+2=8，
解得：x=﹣；
②当x＞2时，2x=8，
解得：x=4．
故答案为：4或﹣．
7．解：（1）由题意：“水平底”a=1﹣（﹣3）=4，
当t＞2时，h=t﹣1，
则4（t﹣1）=12，
解得t=4，
故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h=2﹣t，
则4（2﹣t）=12，
解得t=﹣1，
故点P的坐标为（0，﹣1），
所以，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣1）；（2）∵a=4，
∴t=1或2时，“铅垂高”h最小为1，
此时，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4．。