2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一课件新版北师大版
用公式法求解一元二次方程第1课时课件北师大版九年级上册数学
(2)定根:求出 b2－4ac 的值，并与
方程是否有根；
0
比较大小，判断
预习导学
(3)代值:在 b2－4ac≥0 的前提下，把a、b、c的值代入
−± −
求根公式 x＝
，计算后得到方程的根.
预习导学
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根可以由
来判定，我们把
b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法 .
，利用求根公式解一元
预习导学
·导学建议·
求根公式的推导是本节课的难点，要注意引导学生弄清楚
求根公式的推导过程，也就是Байду номын сангаас用“配方”法解字母系数的一
元二次方程的过程.
预习导学
公式法的应用与根的判别式
阅读教材本课时“例”及其后面的内容，完成下列问题.
1.公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)化简:把方程化为 一般情势 ，从而确定a、b、c的
，x2＝
.
………………第四步
合作探究
(1)小明解答过程是从第
因是
.
步开始出错的，其错误原
(2)写出此题正确的解答过程.
解:(1)一；原方程没有化成一般情势.
(2)∵a＝1，b＝－5，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－1)＝29，
±
∴x＝
，
+
−
∴x1＝
，x2＝
等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根(用公式法).
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4×1×(2m－3)＝16－8m＞0，
推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师
《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
推荐K12学习2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式素材新版湘教版
2.3 一元二次方程根的判别式素材一 新课导入设计情景导入置疑导入 归纳导入 类比导入悬念激趣我们学习了用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是什么？学生回答后课件展示，并强调每一步的注意事项：(1)把方程化为一般形式，进而确定a ，b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2－4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入求根公式，求出－b±b 2－4ac 2a的值，最后写出方程的根．接下来检验一下同学们的掌握情况：(1)x 2＋2x －2＝0；(2)(x －2)(1－3x)＝6.[说明与建议] 说明：帮助学生回忆一元二次方程及其解法，尤其是公式法解一元二次方程时，必须先检验根的判别式，判断方程是否有实数解，巩固所学知识的同时，感受数学问题的严谨性、规范性．建议：复习公式法求解一元二次方程时，强调必须先判断方程在实数范围内是否有解．素材二 教材母题挖掘44页例题不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2＋4x －3＝0；(2)4x 2＝12x －9；(3)7y ＝5(y 2＋1)．【模型建立】一元二次方程的根的个数和Δ＝b 2－4ac 与0的大小关系有关，所以牢记如下结论是解决此问题的关键．①b 2－4ac >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根．即：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； ②当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根．即：x 1＝x 2＝－b2a； ③当b 2－4ac <0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根．反之亦成立．【变式变形】1．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．[答案：Δ＝4(k －1)2≥0，故方程一定有实数根]2．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根，则p 与q 的关系是__p 2＝4q __．3.[通州一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)求证：无论a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．[答案：(1)根的判别式为：a 2－4a ＋8，变形为：(a －2)2＋4，不论a 取何值，判别式的值总大于0，故方程总有两个不相等的实数根 (2)0]4．[北京中考] 已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．解：(1)证明：∵a＝m ，b ＝－(m ＋2)，c ＝2，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)∵x＝－b±b 2－4ac 2a ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m.∵方程的两个实数根都是整数， ∴2m是整数，∴m ＝±1或m ＝±2.又∵m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2.素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用b 2－4ac 判定一元二次方程根的情况利用b 2－4ac 的值的情况可以确定一元二次方程的解的情况，很多时候不用解方程就可以判断方程解的情况：b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数解；b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数解；b 2－4ac ＜0，方程没有实数解．例 [自贡中考] 一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[命题角度2] 根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围利用方程根的情况与b 2－4ac 的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，从而确定字母系数的值或范围．在实际操作过程中，要特别注意二次项系数不能等于0这一限制条件．例 [中山中考] 关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B ) A ．m>94 B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－94素材四 教材习题答案P45练习1．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案] D2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)x 2＋3x －1＝0；(2)x 2－6x ＋9＝0；(3)2y 2－3y ＋4＝0；(4)x 2＋5＝25x .解：(1)Δ＝9－4×(－1)＝13＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×9＝0，只有一个实数根．(3)Δ＝9－4×2×4＝－23＜0，没有实数根．(4)Δ＝20－4×5＝0，只有一个实数根．P45习题2.31．一元二次方程3x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案]B2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2－4x ＋1＝0；(2)3x 2－6x ＋1＝0；(3)x (x ＋8)＝16；(4)(x ＋2)(x －5)＝1.解：(1)Δ＝16－4×3＝4＞0，有两个不等实根．(2)Δ＝36－4×3＞0，有两个不等实根．(3)Δ＝64＋64＞0，有两个不等实根．(4)Δ＝9＋44＞0，有两个不等实根．3．不解方程，利用判别式判断方程x 2－(1＋23)x ＋3＋3＝0的根的情况．解：Δ＝(23＋1)2－4(3＋3)＝1.有两不等实根．4．先阅读下面的材料：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ＞0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ＝0；如果方程没有实数根，那么Δ＜0.再解答下面的题目：当t 取什么值是，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋t ＝2t －1，(1)有实数根；(2)没有实数根．解：Δ＝1－4(1－t )＝4t －3(1)当4t －3≥0，即t ≥34时有实数根． (2)当t ＜34时无实数根．素材五 图书增值练习专题一 一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3． 已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )ax m 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．素材六 数学素养提升《欧拉帮忙算鸡蛋》一天，欧拉去买鸡蛋。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时 用公式法求解一元二次方程 教学课件
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数 根，故选 B.
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
点击视频 开始播放
二 公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
九年级数学教案--2.3用公式法求解一元二次方程(2)
导学案年级：九年级 上册第二章一元二次方程 第3节用公式法求解一元二次方程（2）学习目标：1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况预习案课前导学：1. 议一议：一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？尝试练习1.写出求根公式：2.用公式法解一元二次方程 ：（1） x 2-2x =1 （2）4y 2+12y+9=0学习案知识点拨一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在求解时， 起着重要的作用，我们可以根据 的值的符号来判断的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做___________________，通常用符号“ （读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即 =24b ac -(1)()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若△＞0 则方程______________________若△ =0 则方程________________若△＜0则方程_______________________（2）()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若方程有两个不相等的实数根，则__________若方程有两个相等的实数根，则___________若方程没有实数根，则____________课内训练1、不解方程判别下列方程根的情况：（1） x2+3x-1 =0 （2）2y2-3y+4=02、k取什么值时，方程x2－kx +4=0有两个相等的实数根？反馈案基础训练1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=04、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5、若方程2610-+=有实数根，则k的范围是_____________________。
用公式法解一元二次方程说课稿
2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。
我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。
通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。
一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。
（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。
解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。
情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。
（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。
难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。
学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。
三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16m
x2 16 12 .
2
即x2 96.
解这个方程,得
x1 x2
96 5.5.其中x 5.5不合题意, 舍去.
答 : 扇 形 的 半 径 约 为5.5m.
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的
小路,且它的宽都相等.
②当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根；
③当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 所以 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 即： b2 4ac
牛刀小试
用公式法解下列方程
x b b2 4ac 2a
关于x的方程的解是由方程 ax2 bx c 0
各项的系数的代数式组成的。
探究1 试一试
如果把 x b b2 4ac 中的a,b,c 用 3x2 9x 2 0
2a 3，-9，2来代替，你会发现什么呢？
x1
9
6
57
（16-2x）（12-2x）=
1 2
×16×12，
解得：x1=2，x2=12，
而矩形的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况
，故x2=12m不合题意； 故甲方案设计图中的道路的宽为2米．
达标测评
（乙方案）设小路宽ym，则得方程
（16-y）（12-y）=
1 2
×16×12，
解得：y1=4，y2=24，
步骤 3x2 9x 2 0
1.化
x2 3x 2 0
3
2.移项 3.配方
x2 3x 2 3
x2 3x ( 3)2 2 ( 3)2
2
32
ax2 bx c 0
x2 b x c 0 aa
x2
b
x
b
2
c
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=4-2 4×4×1=0,
x
（- - 4） 24
0
1 2
,
1
即：x1= x2=2
探究2 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园, 并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
你能给出设计方案吗?
12m
探究2 我—小明,我的设计我做主！
或
x2
9 6
57
与用配方法求的方程的结果是一样！
探究1
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
公式法
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求
解：把原方程化成一般形式，得： 4x2 4x 1 0
∵ a 4,b 4, c 1
b2 4ac (4)2 4 4 1 0
∴
x
4 0 24
x 40 8
x 41 82
∴ x1
x2
1 2
例题精讲 【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6．
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相
等.通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
16m
你认为小明的结果对吗?为什么?
你能将小明解答的过程重现吗?
12m
解 : 设小路的宽为xm,根据题意得
16 2x12 2x 16 12 .
2 即x2 14x 24 0.
老师提示:在检验时,方程
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
(3)
(2x-1)(x-2)
=-1;
3.x1
1;
x2
3 2
.
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
两个不相等的实数根
无实数根
(3)(x+1)(3x-5)=1
两个不相等的实数根
(4)25x2+20x+4=0
两个相等的实数根
1、x2-7x-18=0． 解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
牛刀小试
用公式法解下列方程
2、4x2 1 4x
解：化简为一般式得 4x2 4x 1 0
课堂小结 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
1、一元二次方程当时了 b2 4ac 0 方程的根为:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤；
3、根的判别式 b2 4ac
4、一元二次方程的在生活中应用----方案设计问题。
【义务教育教科书北师版九年级上册】
2.3 用公式法求解一元二次方程
学校：________ 教师：________
导入新课 1、知识回顾 说说下列关于x的方程中各项系数.
系数名称 3x2 9x 2 0
二次项系数
3
ax2 bx c 0 a
一次项系数
-9
b
常数项
2
c
导入新课 按配方法步骤解下列方程.
【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
探究1
你能用配方法解方程 3x2+2x+1=0吗?
【解析】
x2 2 x 1 0 33
(x 1)2 2 39
12m xm
你能通过解方程,帮我得到小路 16m
的宽x是多少吗?
解 : 设小路的宽为xm,根据题意得
16 x12 x 16 12 .
2 即x2 28x 96 0. 解这个方程,得
x1 4, x2 24(不 合 题 意, 舍 去).
xm
答 :小路的宽为4m.
典题精讲 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三 面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用 25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设 计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
b
2
a 2a a 2a
x2
b
x
b
2
c
b
2
a 2a a 2a
4.开方
x 3 19
2
12
x b b2 4ac
2a
4a 2
探究1
把 x b b2 4ac 进一步计算你发现了什么？
2a
4a 2
解： ∵ a 1，b 7, c 18
b2 4ac (7)2 4 1 (18) 121 0
∴
x 7 121 2 1
x 7 11
2
∴ x 7 11
2
，
x 7 11 2
∴ x1 9
， x2 2
例题精讲
2、4x2 1 4x
x2 2 x (1)2 1 1 0 3 3 93
∵ 20 9
(x 1)2 2 0 39
∴原方程无解．
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，原方程无解．
例题精讲
用求根公式法解一元二次方程
1、x2 7x 18 0
2、4x2 1 4x
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
（2）若塑胶运动场地总占
地面积为2430平方米．请问
通道的宽度为多少米？