第十章 具有耦合电感的电路
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10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
第10章 含有耦合电感的电路
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2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
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重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
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10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
第十章具有耦合电感的电路
§10-1 互感
i 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，11、21与 1成正比，
i 12、22与 2成正比。即：
11 = L1 i1， 21 = M21 i1，
22 = L2 i2， 12 = M12 i2
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨( H)。
M 21
21 i1
§10-1 互感
例 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。
u1
dΨ1 dt
,
u2
dΨ2 dt
,
Ψ1 L1i1 Mi2 Ψ2 L2i2 Mi1
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
u1
磁通链和互感磁通链的代数和。即：
1= 11 + 12 2= 22+ 21
§10-1 互感
说明:
自磁通: 由本身电流在本身线圈中产生的磁通 22 11 互磁通 :由电流在临近线圈中产生的磁通 12 21 *若11、12方向相同1 11 12
若21、22方向相同2 21 22 若11、12方向相反1 11 12 若21、22方向相反2 22 -21
§10-1 互感
3、同名端
同名端是耦合电感不同线圈中这样两个端, 若电流从同
名端流入指向另一端, 则此电流在另一线圈中产生的互感
电压也从同名端指向另一端。
说明： 同名端标号：“”或“*”
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
i1 M i2
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1、互感元件的伏安关系 、 5、当两个线圈中都有电流，因为 当两个线圈中都有电流， di di u1 = uL1 + uM12 = L 1 + M 2 耦合电感线性且有M12=M21，所 dt dt 以各线圈电压为其自感电压和互 di2 di1 感电压之和（电阻电压不计时） 感电压之和（电阻电压不计时） u2 = uL2 + uM 21 = L dt + M dt
& & & [( R1 + R2 ) + jω( L1 + L2 + 2M)]I1 − [R2 + jω( L2 + M)]I3 = US
R3
& I3 & I3
C
& + ( R + R ) + j(ωL − 1 ) + 2M) I = 0 & − [R2 + jω( L2 + M)]I1 2 3 2 3 ωC
& I2
Z 22
Zref 2
2 XM = Z11
jX M & + U1 Z11 −
二、含空芯变压器的电路分析
& I1
R1
jω M
* j ω L1
& R2 I 2
+ & U −
1
* jω L 2
RL
1、直接列写方程法。 直接列写方程法。 2、受控源等效法。 受控源等效法。 3、互感消去法（两线圈有公共节点） 互感消去法（两线圈有公共节点） 4、反映阻抗法（原边等效电路或副边等效电路） 反映阻抗法（原边等效电路或副边等效电路）
1& 有条件③电感无穷大： & 有条件③电感无穷大： I1 = − I2 n
Le = L1 + L2 + 2M(加强)
②反接串联：电流从一个线圈的同名端流出，从另一个线圈 反接串联：电流从一个线圈的同名端流出， 同名端流入。 同名端流入。
Le = L1 + L2 − 2M(减弱 )
+ 1 & U
1− '
& I
M * L1
（*） ）
+1
L2 *
& I
L1 +L1+2M
& ⇒ U −' 1
第四节 理想变压器 φ 22 理想变压器的伏安关系： 一、理想变压器的伏安关系： 1 i1 φ 11 理想变压器是实际的铁心变压器的 + 一种抽象。有以下的理想化条件： 一种抽象。有以下的理想化条件： u1 N1 N2 − 无损耗。变压器原副边电阻为零， ①无损耗。变压器原副边电阻为零， 1' R1=0，R2=0。 全耦合。 ②全耦合。 原线圈的磁通全部穿过副 K(耦合系数 = M ) L1L2 线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈。 线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈。 电感无穷大。 ③电感无穷大。L1 = ∞，L2 = ∞，M = ∞。 φ 1）电压关系： 电压关系： 由条件② 由条件②得： 12 = φ22，φ21 = φ11 ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 = N1(φ11 + φ12 ) = N1(φ11 + φ22 ) = N1φ 所以有： 所以有： ϕ2 = ϕ22 + ϕ21 = N2 (φ22 +φ21 ) = N2 (φ22 +φ11) = N2φ 又有条件① 又有条件①R1=0，R2=0 n :1 u1 N1 dϕ dφ + + = =n u1 = 1 = N1 * u2 N2 * dt dt u2 u1 ⇒ & dϕ dφ U1 N1 u2 = 2 = N2 − − = =n dt dt & U2 N2
R1 , L1为原线圈的电阻和电感 ， I1 R2 , L2为副线圈的电阻和电感 ， M为两线圈的互感， 为两线圈的互感， + & Rl , XL为负载的电阻和电抗。 1 为负载的电阻和电抗。 U 列出原副边回路的电压方程： 列出原副边回路的电压方程：− & & & ( R1 + jX L1 ) I1 − jX M I2 = U1 & & − jX M I2 + ( R2 + jX L2 + Rl + jXl ) I2 = 0
2
⇒
j ω L1 &+ jω M I 2
i3
3
−
& I3
3
+jω M I&⇒ −
1
jω L 2
新节点
M
& & & U13 = jωL1 I1 + jωMI2 & & & U = jωMI + jωL I
& & & I3 = I1 + I2
23 23 1
i3
3
2 2
& & & & & & U13 = jωL1 I1 + jωM( I3 − I1 ) = jω( L1 − M) I1 + jωMI3 & & & & & & U = jωM( I − I ) + jωL I = jω( L − M) I + jωMI
& I 1 R1
jω( L1 + M)
a'
+ & US −
R3
& I2
R2
& I3
C
注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开 注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开 不可将有互感的两线圈
第三节 变压器原理 一、空 芯变压器的伏安关系 变压器一般有两个线圈， 变压器一般有两个线圈，与电 源相联的称为原线圈 原线圈， 源相联的称为原线圈，与负载相联 副线圈。 的称为副线圈 的称为副线圈。原线圈引出端称为 原边（初级） 原边（初级），副线圈引出端称为 副边（次级） 副边（次级），原边与副边没有电 的联系。其电路模型如图： 的联系。其电路模型如图：
2、受控源等效法 、
(
& I 1 R1
jω L1
2
a
jωL2
R3
1 1 1 & )Ua + + R1 + jωL1 R2 + jωL2 R − j 1 3 ωC & & & US jωMI2 jωMI1 = − + R1 + jωL1 R1 + jωL1 R2 + jωL2
−jω M I& +
+ & US −
+ u1 −
1
i2
M * L1 * L2
2
1'
i1
− u2 +
2'
− u1 +
1
i2
M * L1
2
1'
i1
L2 *
+ u2 −
2'
& & R2 I 2 I 1 R1 7、互感元件的VAR的相量形式 1 2 jω M + (计电阻电压时) + * * & & = ( R + jωL ) I ± jωMI & & & U2 U1 j ω L1 jω L 2 U1 1 1 1 2 − − & = ( R + jωL ) I ± jωMI & & U2 2 2 2 1 2'
& jω M I 1
+ −
& I2
R2
− jωM
jω(L2 + M)
& I3
C
& & & & Ua + jωMI2 + ( R1 + jωL1 ) I1 = US
& & & Ua − jωMI1 + ( R2 + jωL2 ) I2 = 0
3、互感消取法(两线圈有公共节点)
( 1 1 + R1 + jω( L1 + M) R2 + jω( L2 + M) & 1 US & = )Ua' + 1 R1 + jω( L1 + M) R3 − j(ωM + ) ωC
第十章 具有耦合电感的电路
第一节 互感线圈的电路模型 一、互感线圈的伏安关系 1、在线圈N1中通入交变电流产生 di1 1 的交变磁通， 的交变磁通，在本线圈感应电压 uL1 = L dt (自感电压)。 2、交变磁通部分或全部穿过线 交变磁通部分或全部穿过 部分或全部穿过线 di1 圈N2在N2产生感应电压u21 (互感 uM 21 = M21 dt 电压) 3、在线圈N2中通入交变电流 产生的交变磁通， 产生的交变磁通，在本线圈感 应电压(自感电压)。
L2 & & (3 （jωL I1 + jω L L2 I2） ) 1 1 L 1 & & & L2 1 再由（）得I = U1 − L2 I = U1 − 1 I 3 （） U2 & & & 1 由 得 = = 再由（ 1 2 2 & jωL1 L1 jωL1 n 1 L1 n （） U1 U 式得： 由（2）式得： & 2 =
& 解得1：I1 = & U1Z22 = 2 Z11Z22 − ZM & U1 Z11 − Z Z22