数学建模初等模型
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学模型-初等模型
原则：使 rA , rB 尽可能小。
确定分配方案 利用 rA 和 rB 讨论，当增加1席时，应该分 配给A还是B。 不失一般性可设 p1 n1 > p2 n2，即对A不公 平。当再增加1席时，关于 pi ni (i = 1, 2)的不等 式有以下可能： 1. p1 (n1 + 1) > p2 n2， ，这说明即使A方增加 1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分 给A方；
模型构成
记第 k 次渡河前此岸的商人数 x k ，随从数为 y k . 将二维向量 s k = ( x k , y k ) 定义为状态。 安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合， 记做 . S x k , y k = 0,1,2,3.
x = 0 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; S = ( x , y ) x = 3 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; x = y = 1, 2
数学模型的特点
折衷 渐近 强健 可转移 非预制 条理 技艺 局限
可转移性
一个模型时现实对象抽象化、 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产 物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移 它不为对象的所属领域所独有， 到另外的领域。在生态、经济、 到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内 建模就常常借用物理领域中的模型。 建模就常常借用物理领域中的模型。
开设目的
对数学教育而言，既应该让学生掌握 准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理， 也需要培养学生用数学工具分析解决实际 问题的意识和能力。传统的数学教学体系 和内容偏重于前者，开设数学建模课程则 是加强后者的一种尝试。 另外，开设本课也是为了一年一度的 “全国大学生数学建模大赛”做一些准备 工作。
建
又设(2) p1 = 1020, p2 = 1000, n1 = n2 = 10, p1 n1 − p2 n2 = 102 − 100 = 2 。 则
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模初等模型ppt课件
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
理学院 4
模型构成
xx
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院 7
xx
2.1.2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
11
理学院
xx
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
4 x 15 15 x
0.8
t 2.5
计算起来很简单。
理学院 12
xx
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
xx
第二章 初等模型
理学院 2
黑
第二章 初等模型
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模之初等模型
初等模型——贷款、税收等问题一、房贷款小李夫妇欲购一套价值10万元的房子，俩人现有积蓄4万元。
需向银行贷款6万元，准备25年还清，假定银行贷款利息为月息1%，每月还款数一定，一月还一次，问每月需还多少钱，给出一般数学模型。
1、重述问题（略） 2、符号及假设：设总贷款额为M 元，n 个月还清，月息r ，每月还款额为定值x ，每月月底还钱。
3、模型的建立与求解：第1月底还欠多少钱：()1M r x +-第2月底还欠多少钱：()()()()21111M r x r x M r x r x +-+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ 第3月底还欠多少钱：()()()()()()232111111M r x r x r x M r x r x r x ⎡⎤+-+-+-=+-+-+-⎣⎦… …第n 月底还欠多少钱：()()()()()()121111111nn n n nr M r x r x r x r x M r xr--+-+-+-+--+-=+-由于n 个月还清，因此有()()1110nnr M r xr+-+-=()()()1111111nn nr x M r Mr r r ⎛⎫+∴=∙=+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭将M =60000元，n =25×12=300，r =0.001 代入得 x =232 (231.5970) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.01 代入得 x =632 (631.9345) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.02 代入得 x =1203 (1203.1643) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.03 代入得 x =1800 (1800.2536)前后一共交了多少钱69479.1189580.35360949.29540076.08 nx⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其它不变，还款期限为10年530.849563701.94860.8257103299.081322.8858158746.301853.3951222407.41 x→⎧⎪→⎪=⎨→⎪⎪→⎩注：人民银行历次贷款利息调整对照表1、建设银行“乐得家”个人住房贷款系列产品的贷款期限、贷款成数、利率2、每万元借款还款对照表3、示例说明某客户购买面积为140平方米的商品住房，价格为2500元/平方米，需支付35万元。
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C 6.95104 (0.8 3 / 2) / 2m3 0.24升
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是
pwDh(v r sin ) / v
淋雨总量为 C pwD[dr cos h(v r sin )]/ v
N
N q
表示总人数
表示总席位数
20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4 席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 10
4
0.8 C 6.95 10 ( 1.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。
假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 11.3 104 m3 1.13升
情形2
60
C 6.95104[1.5 (0.4 3 3) / v]
3）风速保持不变。4）你一定常的速度 v米/秒跑完全程 D米。
3 模型建立与计算
1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S 2wh 2dh wd
(米2 )
D 雨中行走的时间 t (秒) v
) 降雨强度 I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 I (m / s)
地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探
讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行 走的速度
2 模型假设及符号说明
1）把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w米，厚度 d米。 淋雨总量用 C 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。
对A 的相对不公 平值；
同理，可定义对B 的相对不公平值为：
p1 p2 若 ， 则称 n1 n2 p2 n2 p1 n1 p2n1 rB (n1 , n2 ) 1 p1 n1 p1n2
对B 的相对不公 平值；
建立了衡量分配不公平程度的数量指标
rA , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。 3 建模 若A、B两方已占有席位数为 n1 , n2 , 用相对不公平值 讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。
C t ( I / 3600 0.01 S (米3 ) 10( D / v) I / 3600 S（升） )
模型中 D, I , S为参数，而v为变量。 结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。
若取参数D 1000 , I 2厘米/小时, 米 h 1.50米, w 0.50米, d 0.20米,即S 2.2米2。
B
C
100
10
10
102
1020 10
D
1000 10
100
102-100 =2
C,D的不公平程度大为改善！
2） 相对不公平
p n
表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。 则A吃亏,或对A 是不公平的。
p1 p2 n1 n2
定义“相对不公平”
p1 p2 若 ， 则称 n1 n2 p1 n1 p2 n2 p1n2 rA (n1 , n2 ) 1 p2 n2 p2n1
p1 p2 不失一般性， 若 ， 有下面三种情形。 n1 n2
情形1
p1 p2 ， n1 1 n2 p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 说明当对A 不公平时，给A 单
情形2
位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
令 90 ，则0 90 。
C 6.95104[(0.8sin(90 ) 6 cos(90 )) / v 1.5] C 6.95104[(0.8 cos 6 sin ) / v 1.5]
当 0 90时，C可能取负值，这是不可 能的。
一 雨中行走问题
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校
离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花 时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一 路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。 但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力
取参数r 4m / s, I 3600 2cm / s, p 1.39106
6.95 104 C (0.8 sin 6 cos 1.5v) v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。 情形1
90
出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从
你的前面落到身上情形。
因此，对于这种情况要另行讨论。
•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 pwDh(r sin v) / v 淋雨总量为 C pwD[dr cos h(r sin v)]/ v
取v 6m / s, 30时， C 6.95 10 4 (0.4 3 6) / 6m3 0.77升。
4 结论
若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。
2）考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 r（米/秒） 雨滴的密度为 p, p 1 表示在一定的时刻 在单位体积的空间
雨滴下落 的反方向
w
d
内，由雨滴所占的
v
称为降雨强度系数。 所以， I rp
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
5 注意
•关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 •雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。
二 席位分配问题
某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，
丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各
有多少个席位？ 1 问题的提出 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 m 表示某单位的席位数 p p m q 表示某单位的人数
甲
乙 丙
103
63 34
10
6 4
103/10=10.3
63/6=10.5 34/4=8.5
中
差 好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33
公平程度
中 好 差
一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A
103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果
系别 人数
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 14.7 104 m3 1.47升 情形3 90 180
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
C 6.95104[(0.8sin 6 cos ) / v 1.5]
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
p2 (n1 1) rB (n1 1, n2 ) 1 p1n2
p1 (n2 1) rA (n1 , n2 1) 1 p2 n1
p2 (n1 1) p1 (n2 1) p1n2 p2 n1
p2 n2 p1 (n1 1) p2 (n1 1) rB (n1 1, n2 ) 1 p1 (n1 1) p1n2 p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 情形3 n1 n2 1
位增加1席，对A 不公平。 计算对A 的相对不公平值
p1 n1 p2 (n2 1) p1 (n2 1) rA (n1 , n2 1) 1 p2 (n2 1) p2 n1
•顶部的淋雨量
C1 ( D / v)wd ( pr sin )
D / v表示在雨中行走的时间wd表示顶部面积， , r sin 表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量
C2 ( D / v)wh[ p(r cos v)]
•总淋雨量（基本模型）
pwD C C1 C2 (dr sin h(r cos v)) v
B
当
p1
p2
n1
p1
n1 n2
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
n2
p2
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。
1)
p1 p2 称为“绝对不公平”标 准。 n1 n2