高数A第十章测验答案
高等数学第十章模拟考试题答案(宁夏理工学院)
一、填空题1. 1<x ， 1≥x ；2. 1>p ， 1≤p ；3. 条件收敛；4. 绝对收敛；5. 发散；6. R= 3，[-3,3) ；7. R= 1，[-1,1] ；8. R= 1，（-1,1)； .一、判定下列级数的收敛性： 1.()∑∞=--112121n n n 因为()112121n 21--≤-n n ，又∑∞=-1121n n 收敛，由比较审敛法知，()∑∞=--112121n n n 收敛 . 2.∑∞=1n 1sin 1n n因为11n 1s i n1l i m 23=∞→nnn ,又∑∞=1231n n收敛,由比较审敛法知，∑∞=1n 1sin 1n n收敛 .3.∑∞=++1211n n n因为111n1lim 2=++∞→nn n ，又∑∞=11n n发散,由比较审敛法知，∑∞=++1211n n n 发散. 4.∑∞=+1211n n 因为22111n n ≤+，又∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知，∑∞=+1211n n 收敛 .5.()∑∞=+1n 1ln 1n 因为()n +≥+11n 1ln 1，又∑∞=+111n n 发散,由比较审敛法知，()∑∞=+1n 1ln 1n 发散. 6.;231∑∞=⋅n nnn 因为11133(1)2limlim 1322n n n n n n nnu n u n +++→∞→∞+⋅==>⋅，由比值审敛法知，∑∞=⋅123n n n n 发散. 7.;31n 2∑∞=n n 因为()，131331lim lim 2121<=+=+∞→+∞→nn n nn n n n u u 由比值审敛法知，∑∞=⋅123n nn n 收敛. 8.;3sin113∑∞=+n n n π因为()，1313sin 3sin1limlim 13231<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ由比值审敛法知，∑∞=+1133sin n n n π收敛.9.；∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nn因为()，15454541lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→+∞→n n n nn n n n u u由比值审敛法知，∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nn 收敛. 10.∑∞=+11n n n. 因为,011lim≠=+∞→n n n 由级数收敛的必要条件知，∑∞=+11n n n发散. 二、求下列幂级数的和函数1.∑∞=-11n n nx收敛半径，11lim lim1=+==∞→+∞→n na a R n n n n 当1-=x 时，幂级数成为发散级数()∑∞=--111n n n ，当1=x 时，幂级数成为∑∞=1n n ，是发散的. 因此收敛域为（-1,1) .设()∑∞=-=11n n nx x s ，于是()==⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎰⎰⎰∑∞=-∞=-dx nx dx nx dx x s n xn xxn n 1010011xxx n n -=∑∞=11， 两边对x 求导得()()().1,1,1112-∈-='⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x x s 2.∑∞=--11212n n n x ；由()()()()，2121211212lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =+-=-+∞→+∞→令,12<x 知级数的收敛区间为().1,1- 又当1±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=--±=-±1112121121n n n n n ，发散.因此收敛域为().1,1- 设(),12112∑∞=--=n n n x x s 于是 ()∑∑∑∞=∞=-∞=--=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='102212112111212n n nn n n x x n x n x x s ， 故级数的和函数 ()()().1,1,11ln 2111020-∈-+=-='=⎰⎰x x xdx x dx x s x s xx3. ∑∞=++11414n n n x ；由()()()()，4145415414lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =++=++∞→+∞→令,14<x 知级数的收敛区间为().1,1-又当1±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=++±=+±1114141141n n n n n ，发散.因此收敛域为().1,1- 设()∑∞=++=11414n n n x x s ，于是()∑∑∑∞=∞=+∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='114441411411414n n nn n n x x x n x n x x s ，故级数的和函数()()().1,1,a r c t a n 2111ln 4110440-∈-+-+=-='=⎰⎰x x x x x dx x x dx x s x s xx4.∑∞=--122212n n nx n . 由()()()()，222212112212lim lim x x n x n x u x u n n n nn n =-+=-∞→+∞→令,1212<x 知级数的收敛区间为().2,2-又当2±=x 时，级数为()∑∑∞=∞=--=±-1122,2122212n n n n n n 发散. 因此收敛域为().2,2- 设(),212122∑∞=--=n n nx n x s ，于是 ()∑∑⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121120102212202121212212n nn n n xn xn n n n n xx x x dx x n dx x n dx x s 22x x-=两边对x 求导，得()()2222222xx x x x s -+='⎪⎭⎫⎝⎛-=,().2,2-∈x . 三、将下列函数展开成x 的幂级数，并指出展开式成立的区间: 1. x e 3;因为(),!0+∞<=∑∞=x n x e n nx将3x 代替x ,即得()().!3!303+∞<==∑∑∞=∞=x n x n x e n nn n nx2.x cos由 ()()()+∞<<∞---=∑∞=--x n x x n n n 1121!121sin ,得 ()'=x x sin cos()()()()()()()()∑∑∑∑∞=∞=--∞=--∞=---=--='⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=02122111211121!21!221!121!121n n n n n n n n n n n n n x n x n x n x().+∞<<∞-x 3. ()x e x -1+;由(),!0+∞<=∑∞=x n x e n n x知()()().!1!00-+∞<-=-=∑∑∞=∞=x n x n x e n nn n n x 于是 ()()()()()100111111!!(1)!nn n n nn xx xn n n x xnx x ee xex x n n n +∞∞∞---===+=+=-+-=+--∞<<+∞+∑∑∑211x+；由()()11110<-=+∑∞=x x x n n n，得 211x +()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<-<-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∞=∞=22,12212100x x x x n n nnn nn即 4.6512+-x x ；由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---=+-311312112131216512x x x x x x ，由()1110<=-∑∞=x x x n n 知， (),22222121121111∑∑∞=+∞=<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n nn n x x x x(),33333131131111∑∑∞=+∞=<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n nn n x x x x 所以6512+-x x =()223121111<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n n n n5. ()x +3ln ;因为ln(3)ln 3ln(1)3xx +=++()()()10011ln 1'113333333313n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-=--<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪+⎝⎭∑∑１１＝ 积分得()dx x x x⎰++=+0313ln 3ln ()()()∑∑⎰⎰∑∞=-∞=+∞=+⋅-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11010001313ln 313ln 313ln n n n n n n n x n xn n n n n xdx x dx x()33x -<≤.6.()221x -. ()∑∑∑∞=-∞=∞=='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11002221221221211212121n n n n n n n nxx x x x x .2111∑∞=+-=n n n nx 由12<x，得展开式成立的区间为22<<-x .。
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
高等数学第十章答案
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f(ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f(ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f(ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f(ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V与ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f(ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f(ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f(ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f(ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。
证： 设〔α1，α2，α3〕＝〔ε1，ε2，ε3〕A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。
设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 〔g1,g2,g3〕＝〔f1,f2,f3〕〔A ˊ〕1-＝〔f1,f2,f3〕011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s)证：对s 采用数学归纳法。
高数答案第10章
第 10 章 （之1）（总第53次）* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)a b ∧= ．答：65π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为 ．答：||||b a =．** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ． 解：∵a P P ||0， ∴a t P P=0， 而P P r r 00+=，∴a t r r+=0∴P 点的径向量为 a t r+0．** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π32，求：（1）b a ⋅； （2）)2()23(b a b a +⋅-； （3）b a )(； （4）b a 23-．解：（1）〉〈=⋅b a b a a ,cos b 332cos 32-=⨯⨯=π．（2）()()b a b a223+⋅-b a b a 44322+-=()3634342322-=-⨯+⨯-⨯=．（3）()133-=-=⋅=bb a a b．（4）()()b a b a b a 2323232-⋅-=-b a b a124922-+=()108312342922=-⨯-⨯+⨯=，3610823==-b a．** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π31，求：（1）b a b a -+)(；（2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）()()b a ba b a--=-⋅2b a b a 222-+=213cos 5425422=⨯⨯-+=π，∴21=-b a，()()()b a b a b a ba ba--+=+⋅-2122b a -=215422-=7213-=． （2）()()b a ba-+⋅25b a b a 32522--=03cos543524522=⨯⨯-⨯-⨯=π，∴向量b a b a-+,25垂直．** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a -=+，∴ 22b a b a -=+，∴()()()()b a ba b a ba --=++⋅⋅，∴b a b a b a b a222222-+=++， ∴0=⋅b a， ∴b a⊥．***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角． 解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→--OA →---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→--OC ，则有 →--AB →--=OB →---OA ，→--CB →--=OB →---OC →--=OB →--+OA ，→--AB →--⋅CB →--=OB (⋅→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22=-=→--→--OA OB ，∴ 半圆的圆周角必为直角．第 10 章（之2）（总第54次）B教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数1.填空题*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．答：（4,5,3-)**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则 D 点为______ ． 答：（5,8,7--）**(3) 已知{}{}a b z =-=-45314,,,,,，且 a b a b +=-，则z =______ ．答：8-**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求qp ,之值及交点坐标．解：令AB 与y 轴相交于C 点，即C 为AB 的中点，则C 点的坐标为 )21,235,22(+-+-p q ， 又C 点在y 轴上，所以021,022=+=+-p q，即 1,2-==p q ， 故C 点的坐标为)0,1,0(，即交点的坐标为)0,1,0(．**3.设A,B 两点的坐标分别为()()1,0,1,1,2,0-．求 （1）向量AB 的模； （2）向量AB 的方向余弦； （3）使AB AC 2=的C 点坐标．解：（1）}2,2,1{-=， 则32)2(1222=+-+=，所以的模为3． （2）32cos ,32cos ,31cos =-==r βα．（3） 设C 的坐标为（x ,y ,z ），由2-= 则2)2(1)2(10=-+-⨯+=x ， 2)2(1)2(02-=-+-⨯+=y ， 3)2(1)2(1)1(=-+-⨯+-=z ，所以C 点的坐标为)3,2,2(-．**4. 求q p ,的值，使向量}4,,2{-p 与},0,1{q -平行，再求一组使此两向量垂直的q p ,值． 解：向量}4,,2{-=p u 与},0,1{q v -=平行，即：v uλ=，∴q p 4012-==-， ∴2,0==q p ， 向量u 与v 垂直时，0=⋅v u， ∴()()04012=⨯-+⨯+-⨯q p ． ∴21-=q ， p 为任意值．**5.求作用于某点三个力}5,4,3{},4,3,2{},3,2,1{321-=--==F F F 之合力的大小及方向．解：321F F F F ++=合{}{}{}{}4,1,25,4,34,3,23,2,1=-+--+=，合力的大小 21412222=++=合F，214cos ,211cos ,212cos ===γβα，其中γβα,,分别为合F与x 轴，y 轴，z 轴的夹角．** 6.试在xy 平面上求一与 }1,1,1{=a 成正交的向量．解：设所求向量为 {}z y x b ,,=， ∵ 在xy 平面上，∴0=z ， 且 0=⋅b a，即：{}{}01,1,10,,=⋅y x ， ∴0=+y x ，y x -=，取 1,1-==y x ， ∴ 向量 {}0,1,1-=b 与 {}1,1,1=a 正交． ** 7.设}2,2,1{-=a ，}4,0,3{-=b ，求：（1）j a⋅； （2）k b ⨯；（3）)()2(b a b a -⋅+； （4）)3()(b a b a -⨯+．解：（1）2)22(-=⋅+-=⋅j k j i j a ． （2）j k i k k i k b 33)43(-=⨯=⨯-=⨯．（3）)}4(2,2,31{}422),2(2,312{)()2(----⋅-⨯-⨯+⨯=-⋅+b a b a260)2()4()2(5}6,2,2{}0,4,5{-=⨯+-⨯-+-⨯=--⋅-=． （4）}24,40,32{}10,6,0{}2,2,4{)3()(---=-⨯--=-⨯+． ** 8.设}1,1,0{-=a ，}1,1,2{-=b ，求：（1）a b b a )(,)(； （2）a 与b 的夹角． 解：（1）11)1()2(}1,1,2{}1,1,0{)(22-=+-+-⋅-==b a ；(){}{}()2111,1,01,1,222-=-+-⋅-=⋅=aa b b a；（2）θcos =⋅， 即 θc o s 222⨯⨯=-， 则 22cos -=θ， 又 πθ≤≤0，所以 43πθ=，即a 与的夹角为43π．** 9.在yz 平面内求模为10的向量b ，使它和向量 k j i a 348+-= 垂直．解：∵ 向量b在yz 平面内， ∴ 可设坐标为 {}z y ,,0，∵ a b ⊥， ∴ 0=⋅a b，即：{}{}03,4,8,,0=-⋅z y ， ∴034=+-z y ，又 1022=+=z y b ， ∴6,8==y z ， 或 6,8-=-=y z ，∴向量b的坐标为：{}8,6,0 或 {}8,6,0--．*** 10. 试证明∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．其中321,,a a a 及321,,b b b 为任意实数．解：设b a,的坐标分别为{}{}321321,,,,,b b b a a a ，b a b a b a b a⋅≤〉〈⋅=⋅,cos ，即：232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤++，∴∑∑∑===≥⋅31312312i ii i ii iba ba．第 10 章（之3）（总第55次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1]**1.解下列各题(1) 平行于x 轴，且过点)2,1,3(-=P 及)0,1,0(=Q 的平面方程是______ ． 答：y z +=1(2) 与xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ． 答：Ax By d A B ++=+≠0022()(3) 过点)1,2,1(=P 与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为_____ ．答：x y z -+=0(4) 点 )1,2,6(0-=M 到平面 0622=++-z y x 的距离为=d ___________． 解： ()()222161222622=+-++-⨯+⨯-=d ．（5）平面3360x y --=是 （ ） （A ）平行于xOy 平面 （B ）平行于 z 轴，但不通过 z 轴 （C ）垂直于y 轴（D ）通过z 轴答：B**2.填表讨论一般方程0=+++D Cz Bx Ax 中，系数A,B,C,D 中有一个或数个等于零的解：0=+++D Cz By Ax ， （1）0,0≠=ABD C 平行于z 轴（不包括过z 轴）的平面．（2）0,0≠⋅==C B D A 过x 轴的平面（不包括过y 轴、z 轴的平面）．（3）)0(,0,022≠⋅≠+==B A B A D C 过z 轴的平面． （4）0,0==≠C A B 平面垂直于y 轴．3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：**（1）过点()2,3,1--=P 及()1,2,0-=Q 且平行于向量{}1,1,2--=l；解：所求平面的法向量n垂直于向量{}1,1,2--=l 与由点()2,3,1--=P 与点()1,2,0-=Q 构成的向量{}1,1,1-=，故取{}1,3,2112111=---=⨯=kj i l n．故可得所求平面方程为 ()()()023312=++-++z y x ， 即 0532=-++z y x ．**（2）过z 轴且垂直于平面0723=+--z y x ； 解：平面0723=+--z y x 的法向量 {}1,2,3--=n ，故所求平面法向量n与0n 垂直，与z 轴正交，故可取{}0,3,21123--=--=⨯=kj i k n n ，所求平面过z 轴，故此平面必经过原点()0,0,0， 故可得所求平面方程为 0032=+--z y x ， 即 032=+y x ．**（3）垂直于yz 坐标面，且过点()2,0,4-=P 和()7,1,15=Q ；解：由题意可知()2,0,4-=P 、()7,1,15=Q ，所以{}9,1,1=PQ ．又由题意可知所求平面法向量 n即与x 轴垂直，又与向量PQ 垂直，故可取{}1,9,0001911-==⨯=kj i i PQ n， 故可得所求平面方程为：()()()02109=+-+-z y ， 即： 029=--z y ．***4.自点)5,3,2(0-=P 分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程． 解：垂足分别为：)0,3,2(=A 、)5,3,0(-=B 和)5,0,2(-=C ，所以}5,3,0{},5,0,2{--=--=AC AB平面法向量为}6,10,15{530502--=----=⨯=kj i n故平面方程为：15106600x y z +--= ．*** 5． 过两点)3,4,0(-=M 和)3,4,6(-=N 作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上截距之和等于零，求此平面方程． 解：设平面方程为：x a y b z a b+-+=1，由于它过M N ,两点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++1346134ba b a b a b 解得：a b ==-326,,，故平面方程为： 2366x y z --= 或 63218x y z +-=． **6． 判断下列各组平面相对位置，是平行，垂直还是相交，重合．（1）ππ1221022430:,:x y z x y z -+-=-+-=（2）ππ122210220:,:x y z x y z ---=+-=解：（1）ππ12,法向量分别为n n n n 12211122242=-=-={,,},{,,}取π1上一点(,,)100，显然不在π2上，故ππ12,平行，不重合． （2）ππ12,法向量分别为n n n n 12212211220=--=-⋅={,,},{,,},故n n 21,垂直，从而ππ12,垂直．第 10 章（之4）（总第56次）教学内容：§10.3平面与直线[10.3.2，10.3.3]**1．解下列各题：（1） 过点M M 12321102(,,),(,,)--的直线方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ． 答：x y z +=-=--14221（2） 直线x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩2302260在xOz 坐标面上的交点为=P ____________，并利用该点的坐标，写出此直线的对称式方程和参数方程．答： )3,0,0(=P ．对称式方程为x y z 3435==-，参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+===3543t z t y tx（3）直线kzy a x =-=+21在平面3=-+z y x 上的充要条件是=a ______，=k _____． 答：2-=a ，3=k ．因为点)0,1,(a P -=在平面上，直线的方向向量{}k l ,2,1=→与平面的法向量{}1,1,1-=→n 必须垂直．**2．求经过点)2,0,3(-=A 且与两个平面1=+z x 及1=++z y x 同时平行的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,0,11=⊥n l，且 {}1,1,12=⊥n l ，∴ 可取 {}1,0,111110121-==⨯=k j i n n l，∴ 所求直线方程为：2013-==-+z yx ．**3．求经过点)0,1,2(-=A 且与两条直线z y x ==及11201-=-=+zy x 同时垂直的直线方程．解：所求直线L 的方向向量 {}1,1,11=⊥l l ，且 {}1,1,02-=⊥l l，∴可取{}1,1,211011121-=-=⨯=kj i l l l，∴所求直线方程为：z y x =+=--1122． **4. 求出过点)3,4,1(--=A 且与下列两条直线⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=tz t y tx L 23142:2均垂直的直线方程．解：⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L，{}1,4,211-=⊥n l，{}0,3,121=⊥n l∴ 可取 {}10,1,3211-=⨯=n n l，23114223114223142:2+=-+=-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=z y x t z t y tx t z t y t x L ，∴ 可取 {}2,1,42-=l ，1l l ⊥，且2l l⊥．∴ 可取 {}1,46,1221-=⨯=l l l，∴所求直线方程为13464121--=+=+z y x ． **5.求通过点()5,1,20-=M 且与直线12131-=-=+zy x 相交并垂直的直线方程． 解法一：直线132131:1--=-=+z y x L 上取一点()0,1,11-=M ，过点0M 与直线1L 的平面π的法向量n ，则1l n ⊥ 且 10M M n ⊥，∴{}{}{}6,12,105,0,31,2,3101-=-⨯-=⨯M M l ，故n 可取为 {}3,6,5-=n ．因所求直线L 过点0M 点且与1L 相交，故L 亦在平面π上，故 {}28,14,0,1--=⨯⊥n l n l ， 故可取 {}2,1,0=l．故所求直线方程为251102+=-=-z y x ． 解法二：过点0M 作垂直于直线1L 的平面π：()()()051223=+--+-z y x ，即01323=--+z y x直线1L 与平面π的交点M 的坐标满足： ⎪⎩⎪⎨⎧-====⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+=--+13211213101323z y x t t zy x z y x∴M 点坐标为()1,3,2-，∴{}4,2,00=M ， ∴所求直线方程为：251102+=-=-z y x ．** 6． 试求k 值，使两条直线7144933:,33541:21+=--=+--=+=-z y x L z y k x L 相交． 解：将第二条直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=1479433t z t y t x 代入第一条直线方程，有3441357173t k t t -=-+=--解得 k =2**7．求直线l x y z 112110:-=--=+与l x y z 211032:-=+=-之间的夹角． 解：l 1，l 2方向向量分别为S S 12110102=-=-{,,},{,,}，cos(,)||||S S S S 121212110∧==-，故l 1，l 2之间的夹角为 arccos 110． **8．已知直线1121-=-=+zp y x 和平面126=+-z y qx 垂直,求常数q p ,之值．解： {}{}2,6,//1,,2-=-=q n p l，∴3,42162=-=⇒-=-=p q p q ．**9．求过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 且在x 轴和y 轴上的截距相等的平面方程．解：过直线⎩⎨⎧=-+-=--+04207572z y x z y x 的平面束方程可设为()()(*)427572=-+-+--+z y x v z y x u令0==z y ，求得在x 轴截距v u vu x 2247++=，令0==z x ，求得在y 轴截距vu vu y -+=747．∵y x = ∴vu vu v u v u -+=++7472247，∴v u v u v u -=+=+722047或，即:5374=-=v u v u 或,代入（*）式，可得满足条件的平面有两个 （1）()()042757274=-+-+--+-z y x z y x ，即：027356=+-z y x ； （2）()()042757253=-+-+--+z y x z y x ，即：41101616=-+z y x ．***10. 求直线z y x ==在平面135=-+z y x 上的投影直线．解：直线L 的方向向量 {}1,1,1=→l ．在直线L 上取一点()0,0,0=A ，显然不满足方程135=-+z y x , ∴A 不在该平面上．设过A 做与平面135:0=-+z y x π的垂直的平面π．则平面π的法向量可取为 {}1,1,243511110---=-=⨯=kj i n l n，这就得到了π的方程为02=--z y x ．从而得到投影直线方程为⎩⎨⎧=--=-+02135z y x z y x ．第 10 章（之5）（总第57次）教学内容：§10.4空间曲面1. 选择题 *(1) 曲面z x y =+22是 （ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面 答：B** (2) 方程122=+z x 在空间表示 （ ）（A ）z 轴 （B ）球面（C ）母线平行y 轴的柱面 （D ）锥面答：C*(3) 方程x y z 2229251+-=-是 （ ） (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 双曲抛物面答：B*(4) 双曲面x y z 222491--=与yoz 平面 （ ） (A) 交于一双曲线(B) 交于一对相交直线(C) 不交 (D) 交于一椭圆答：C*2. 求以)1,1,1(),5,4,1(21==M M 为直径的两个端点的球面的方程． 解：M M 12,中点为)3,25,1(0=M ，M M 125=． 即直径为5，半径为5/2．故球面方程为()()()()x y z -+-+-=1523522222．即x y z x y z 222256100++---+= ．**3. 动点M 到两定点)0,0,4(),0,0,(21a P a P ==的两个距离之比等于1：2，求动点M 的轨迹方程．解：设动点M =(,,)x y zP M P M 1212::= 即 44222222[()]()x a y z x a y z -++=-++， 即 x y z a 22222++=() ．**4．动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离和它到xy 平面的距离相等,求动点M 的轨迹方程．解：动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离为 ()22212-++=z y x d ，动点M 到xOy 平面的距离为 212d d zd ==，∴动点M 的轨迹方程为 ()22222z z y x =-++， 整理得：4422-=+z y x 是旋转抛物面．**5. 求yOz 平面上曲线y z 221-=分别绕y 轴，z 轴而成的旋转曲面的方程． 解：绕y 轴 -+-=x y z 2221； 绕z 轴 x y z 2221+-=．6. 把下列方程化为标准形式，从而指出方程所表示曲面的名称并画出图形． **（1）01422222=-++-+y x z y x ； 解：01422222=-++-+y x z y x ，()()1422222=-+++z y y x x，()()142141222=-+++z y x ，是一个单叶双曲面， 中心为()0,1,10--=M ．**（2）09284222=--+--z y z y x ．解：09284222=--+--z y z y x ， ()()9224222=+---z z y y x ，()()4114222=+---z y x ，()()14114222=+---z y x ，是一个双叶双曲面，中心为()1,1,00-=M ．第 10 章（之6）（总第58次）教学内容：§10.5向量函数 空间曲线基本知识**1. 求曲线x y z x z 22216451230+-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪在xoy 平面上的投影柱面方程．解：消去z ，得x y x 2220241160+--=， 即为所求投影柱面方程．**2．求以曲线⎩⎨⎧=+-=++112222222z y x z y x 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程． 解：1311222222222=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++y x z y x z y x z消 故所求柱面方程为1322=-y x ．**3. 求曲线z x y x y z =+++=⎧⎨⎩221在各坐标平面上的投影曲线方程．解：消去z ，得x y x y 221+++=故在xoy 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧==+++0122z y x y x消去x ，得z y z y =--+()122故在yoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=+--=0)1(22x y z y z消去y ，得z x x z =+--221()故在xoz 平面上，投影曲线为 ⎩⎨⎧=--+=0)1(22y z x x z** 4．把曲面1222=++z y x 和1=+y x 的交线改写为母线分别平行于x 轴与y 轴的两个柱面的交线． 解：)1(11222⎩⎨⎧=+=++y x z y x由（1）消去x ()022*******=+-⇒=++-⇒z y y z y y ， 由（1）消去y ()022*******=+-⇒=++-⇒z x x z x x ，交线可写为⎩⎨⎧=-+=-+0220222222x z x y z y ．**5. 求由曲面322x y z +=和z y =-12所围成的立体在 xOy 平面上的投影区域．解：投影区域由交线⎩⎨⎧-==+22213y z zy x 在xOy 平面上投影曲线所围成 投影曲线为⎩⎨⎧=-=+013222z y y x ， 故投影区域为 ⎩⎨⎧=≤+012322z y x ．**6. 试求曲线()k e j e i t t r t t-++= 对应于0=t 点出的切线方程．解：()k e j e i t r t t-++=θ，∴此空间曲线的参数方程为 ()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===--t t t t e t z e t y t x e t z e t y t t x ''1'．∴在对应于0=t 时， 000010ee z e e y x --=-=-， 即：111--=-=z y x ．**7. 试求曲线()()()k t j t i t t r23sin 23cos 2++= 从0=t 到4=t 这一段的弧长．解：空间曲线的参数方程为()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t t y t t x t t z t t y t t x 2'3cos 6'3sin 6'3sin 23cos 22．∴ 弧长()[]()[]()[]dt t z t y t x s ⎰++=40222''' dt t t t ⎰++=422243cos 363sin 363ln 9209242+=+=⎰dt t ．。
高数下第十章的答案
3.设 ，求证 .
证明：因为 ，所以 ；
于是 .
4.设 ，求证 .
证明：已知 ，则 ；所以 .
5.讨论 在任一点处偏导数的存在性.
解：在（0,0）点
；
不在（0,0）点
.
6.求下列函数的二阶偏导数.
（1） ；（2） ；
（3） .
解：（1）
.
（2）
（3）
7.设 ，求 与 .
解：
.
8.设 ，求 、 、 、 .
3.在半径为R的半球内，求出体积最大的长方体的体积.
解：设长方体的在第一卦限内的顶点坐标为 ，则满足 ；则在半径为R的半球内，最大的长方体的体积为 ；即求 在 条件下的条件极值：作辅助函数 ，则 ；联立解得 ，负的舍去；由问题的实际意义知：在半径为R的半球内，体积最大的长方体的体积为 .
4.从斜边长为l的所有直角三角形中，求出周长最大的直角三角形.
；
.
（10）设 ，验证 .
（11）求下列函数的极值.
； .
解：（1）已知 ，则令
有 代入得
即 .
（2）在点 处，
；故不连续；
在点 处，
；故连续.
（3）要使函数 有意义，须使 ； ，所以函数 的定义域为 ；且 .
（4） .
.
.
（5）
.
（6）
.
（7）
；
.
（8）
；
所以 .
（9） 两边去对数得 ；再求导数得 解得 .
1.求下面复合函数的导数或偏导数.
（1）已知 ，求 .
（2）已知 ，求 .
（3）已知 ，求 .
（4）已知 ，求 .
（5）已知 ，求 .
（6）已知 ，求 .
高数第10章答案
高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题102222221.0x 0(3)arcsin ||||0(4)cot ()(n )14(6))x y y yz xy x x z x y x y n x y u r R y z r x y π+>->=≤≠=++≠≤+≤<<++=+2求定义域（1）z=lnxyxy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0且且为正整数（5）定义域为介于x 和2222(,)(,)(,),0.()110,(,)(,),,(1,)(,)(,)(1,),(1,)(),f (,)k k k k k z R z f x y f tx ty t f x y t yF xy t f tx ty t f x y t f f x y x x xy y y f x y x f f F x y x x x x +===≠∀≠======k 之间的空间部分以及球面若函数满足关系式则称该函数为k 次齐次函数。
试证k 次齐次函数z=f(x,y)可以表示为z=x 的形式证：对均有不妨令则即令则222222222()3(,),(,)(,)()(72)4(,,),(,,)(,,)()()5(,)tan ,(,)(,)()()tan(tan vx y w u v xy x yF x f u v u f xy x y f xy x y xy P f u v w u w f x y x y xy f x y x y xy x y xy xf x y x y xy f tx ty yxf tx ty tx ty t xy yxt x y xy y ++=++==++-+-=++=+-=+-=+-得证已知求解：已知求解：已知求解：0000002)61)2cos (2)lim123cos 123lim cos cos lim 1123lim(123)sin (3)limx y x x y y x x y x x xy x o y x y x y e y x y y x y e ye y x y x y xy →→→→→→→→→→→→→→→→==++++==++++x 求下列极限（1）解：解：由e 与在（0,0）连续则原式=00222200sin lim1lim 2ln(1)(4)lim x x y y x y x xyy y xy x y x y →→→→→→===+++解：2222222200000000y 00ln(1)lim lim 17lim )0(0,0)1ii (0,0).2x x y y x y x x y x y x y x y x y x y i y →→→→→→→→→→+++===++=+==解：试问解：沿趋于原极限=0x ）沿y=趋于原极限，由于沿不同的路径趋于x-1（0,0）极限值不等，故原极限不存在。