函数的表示法
函数的表示法知识点
函数的表示法1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。
列表法：便于查出函数值。
图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
函数的表示法
1.2.2 函数的表示法1．函数的表示法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1305 km，设计时速300～350 km/h．建成后，若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x时后，路程为y km，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)图象法以自变量x的值为横坐标，与之对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x，f(x))，这些点组成的图形称为函数f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法．比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系．(3)列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．H与Q 之间的对应关系，也就是函数关系．2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项A，B，值域为{y|0≤y≤2}，不满足题意，而C中当0＜x＜2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数．故选D．答案：D【例1－2】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域．分析：购买x听，需钱数2x元，但需注意函数的定义域是{1,2,3,4}，只有4个元素．解：(解析法)y＝2x，x∈{1,2,3,4}．(列表法)(图象法)2．分段函数(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．谈重点 学习分段函数两要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量x 的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值y 的取值范围的并集．(2)【例2－①f (x )＝211521.x x x x ⎧+≤≤⎨<⎩，，， ②f (x )＝21 2.x x x x +∈⎧⎨≥⎩R ，，，③f (x )＝223151.x x x x +≤≤⎧⎨≤⎩，，， ④f (x )＝2301 5.x x x x ⎧+<⎨-≥⎩，，，A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④解析：对于①，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．对于②，当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数．对于③，当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数．对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系． 答案：B谈重点 分段函数的判断 不能从形式上判断一个式子是否为分段函数，关键看其是否符合函数的定义．【例2－2】如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．因此该分段函数的定义域为[－1,0) [0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1) [－1,0]＝[－1,1)．答案：[－1,2] [－1,1)【例2－3】已知函数f(x)＝2000x xx⎧>⎨≤⎩，，，，求f(2)，f(－3)的值．解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．∵－3≤0，∴f(－3)＝0．点技巧处理分段函数问题有技巧(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；(2)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．3．映射(1)映射的定义一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．谈重点对映射的理解(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．(2)映射与函数的联系【例3－1】下列对应是A 到B 上的映射的是( ) A ．A ＝N *，B ＝N * f ：x →|x －3|B ．A ＝N *，B ＝{－1,1，－2} f ：x →(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q f ：x →3xD ．A ＝N *，B ＝R f ：x →x 的平方根解析：对于A 项，A 中的元素3在B 中没有与之对应的元素，故不符合．对于B 项，对任意正整数，(－1)x 为1或－1，在B 中都有唯一的1或－1与之对应，故符合．对于C 项，A 中的0在f 作用下无意义，故不符合．对于D 项，正整数在实数集R 中有两个平方根与之对应，故不符合． 答案：B【例3－2】已知集合A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →21x x +．(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？ 分析：已知对应关系，分别代入求值即可． 解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得11212113x x ==+⨯+，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13．(2)B 中元素49，即4219x x =+，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4．4．函数解析式的求法求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知f (x )＝x 2－1，求f (x ＋x 2)时，有f (x ＋x 2)＝(x 2＋x )2－1． (2)待定系数法：已知f (x )的函数类型，要求f (x )的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．例如，一次函数可以设为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；二次函数可以设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)等．(3)拼凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(4)换元法：令t ＝g (x )，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替f (g (x ))解析式中所有的t 即可．(5)方程组法：已知f (x )与f (g (x ))满足的关系式，要求f (x )时，可用g (x )代替两边的所有的x ，得到关于f (x )及f (g (x ))的方程组．解之即可得出f (x )；例如，已知f (x )＋2f (－x )＝4x 2－x ，求f (x )的解析式． 解：以－x 代替x 可得：f (－x )＋2f (x )＝4x 2＋x ， 联立方程组：()()222()4()24f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-⎪⎨-+=+⎪⎩，，解得f (x )＝243x ＋x ． (6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 【例4】求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )； (2)已知f1)＝x＋f (x )；(3)已知12f x ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )；(4)已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )． 分析：(1)已知f (x )是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)1＝t ；也可用拼凑法，将x＋＋1的式子；(3)用x 替换1x，构造关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的方程组，解方程组求出f (x )；(4)利用赋值法，令x －y ＝0，求出f (0)的值，再令y ＝0，求得f (x )，也可令x ＝0，求出f (y )，进而可得f (x )．解：(1)设所求的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x 对任意x ∈R 成立，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ．由恒等式性质，得220a a b =⎧⎨+=⎩，，∴11.a b =⎧⎨=-⎩，∴所求二次函数为f (x )＝x 2－x ＋1．(2)(方法一)＋1＝t ，则t ≥1，即x ＝(t －1)2，则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1．故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(方法二)∵＋1)2＝x＋＋1， ∴x＋＋1)2－1．∴f1)＝1)2－1＋1≥1． ∴f (x )＝x 2－2，x ≥1．(3) 12f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (x )＝x ，将原式中的x 替换为1x，得2f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1x． 于是得关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的方程组12(),112(),f f x x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得f (x )＝233xx -(x ≠0)．(4)(方法一)∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立，故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0．再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x ．(方法二)令x ＝0，得f (y )－2f (y )＝－y 2－3y ，即－f (y )＝－y 2－3y ． 因此f (y )＝y 2＋3y ．故f (x )＝x 2＋3x ．点技巧 解含有两个变量的解析式的方法—赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来定．5．函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法： ①描点法：描点法是作函数图象的基本方法．根据函数解析式，列出函数中x 与y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表—描点—连线”．②利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f (x )＝1的图象为平行于x 轴的一条直线；一次函数的图象，例如f (x )＝－3x ＋1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f (x )＝2x 2－x ＋1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f (x )＝kx(k ≠0，且k 为常数)，当k ＞0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k ＜0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线．③变换作图法：1°平移：y ＝f (x )――-------------→向左平移a 个单位长度y ＝f (x ＋a )y ＝f (x )――------------→向右平移a 个单位长度y ＝f (x －a ) y ＝f (x )――------------→向上平移b 个单位长度y ＝f (x )＋b y ＝f (x )――----------→向下平移b 个单位长度y ＝f (x )－b 2°对称：y ＝f (x )―----------―→关于x 轴对称y ＝－f (x )y ＝f (x )――--------→关于y 轴对称y ＝f (－x )y ＝f (x )――---------→关于原点对称y ＝－f (－x )y ＝f (x )――-------------→保留x 轴上方图象，再把x 轴下方图象对称到上方y ＝|f (x )|； y ＝f (x )――-------------→保留y 轴右边的图象，再在y 轴左边作其关于y 轴的对称图象y ＝f (|x |)． (2)分段函数图象的作法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1，f 2(x )，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要； ②画函数y ＝f 2(x )的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要； ③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象．注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏．________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________【例5－1】作出下列函数的图象：(1)y＝1＋x，x∈Z；(2)y＝x2－2x，x∈[0,3)．解：(1)函数y＝1＋x，x∈Z的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图①所示；(2)因为0≤x＜3，所以函数y＝x2－2x，x∈[0,3)的图象是抛物线y＝x2－2x位于0≤x＜3之间的一部分，如图②所示．图①图②辨误区作函数图象三注意(1)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，例如函数y＝1＋x，x∈Z的图象就是一些离散的点；(2)画函数的图象时要注意函数的定义域，例如函数y＝x2－2x，x∈[0,3)的定义域为区间[0,3)，故其图象不是整条抛物线，而应是抛物线的一部分；(3)一般用描点法作图象，作图时要先找出关键点，再连线．例如本题画函数y ＝x2－2x，x∈[0,3)的图象时，要先描出两个端点及顶点，再依据二次函数的图象特征作出函数图象，注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点．【例5－2】作下列各函数的图象．(1)1,01,,1xy xx x⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩；(2)y＝|x－1|； (3)y＝|x|－1．解：(1)这个函数的图象由两部分组成：当0＜x＜1时，为双曲线1yx=的一段；当x≥1时，为直线y＝x的一段，如图①．图①图②(2)(方法一)所给函数可写成1111x xyx x-≥⎧=⎨-<⎩，，，，是端点为(1,0)的两条射线，如图②．(方法二)可以先画函数y＝x－1的图象，然后把其在x轴下方的图象对称到上方．如图③．图③图④图⑤(3)(方法一)所给函数可写成1010x xyx x-≥⎧=⎨--<⎩，，，，如图④．(方法二)可以先画出函数y＝|x|－1在y轴右侧，即y＝x－1(x≥0)的图象，然后按照关于y轴对称作出函数y＝|x|－1在y轴左侧的图象即可．如图⑤．【例5－3】作出下列函数的图象．(1)y＝|x＋2|－|x－5|；(2)y＝|x－5|＋|x＋3|．分析：要画图象，先化简解析式，据x不同的取值范围去掉绝对值符号．解：(1)7(2]23(25]7(5)xy x xx-∈-∞-⎧⎪=-∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，，；其图象如图a．图a图b(2)22(3)8[35]22(5).x xy xx x-+∈-∞-⎧⎪=∈-⎨⎪-∈+∞⎩，，，，，，，，其图象如图b．点技巧含绝对值的函数图象的作法含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象．6．与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值．已知分段函数f(x)的解析式，求f(a)时，首先要根据a所在的范围来确定函数的对应关系，再将x＝a代入相应的对应关系即可，如：已知f(x)＝10π000x xxx+>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，求f(－1)．因为－1＜0，此时f(x)＝0，所以f(－1)＝0．(2)已知函数值，求自变量的取值．f (x )是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能取值范围逐段进行讨论．即：设分段函数f (x )＝1122()()f x x I f x x I ∈⎧⎨∈⎩，，，，已知f (x 0)＝a ，求x 0．步骤如下：①当x 0∈I 1时，由f 1(x 0)＝a ，求出x 0；②验证x 0是否属于I 1，若是则留下，反之则舍去；③当x 0∈I 2时，由f 2(x 0)＝a ，求出x 0，判断x 0是否属于I 2，方法同上； ④写出结论．(3)已知f (x )，解不等式f (x )＞a ．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围(即解不等式)的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上，然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围，再与这段定义域求交集即可．即对于分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1 x ，x ∈I 1，f 2 x ，x ∈I 2，f (x )＞a 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ∈I 1，f 1 x >a ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ∈I 2，f 2 x >a .其他分段函数仿照解决．【例6－1】已知函数f (x )＝21222221 2.x x x x x x x +≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，， (1)求f (－5)，f (，52f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，∈(－2,2)，52-∈(－∞，－2]知，f (－5)＝－5＋1＝－4，f()＝()2＋2()＝3－，52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝52-＋1＝32-，∵32-∈(－2,2)，∴253333222224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，即a ＋1＝3，a ＝2＞－2，不合题意，舍去； 当－2＜a ＜2时，f (a )＝a 2＋2a ，即a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a＝－3．∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1，即2a －1＝3，a ＝2，符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2．【例6－2】已知f (x )＝222 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩，，，若f (x )＞2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )＞2，得x ＋2＞2，解得x ＞0，故x ＞0；当x ＜－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )＞2，得－x －2＞2，解得x ＜－4，故x ＜－4．综上可得，x ＞0或x ＜－4．辨误区 求解分段函数问题三注意 (1)求f (f (a ))的值时，应从内到外．．．．依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．．．．例如本题(2)易忽略对所得值的验证而得到三个解，解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集．．，最后求并集．．．．例如【例6－2】中，在x ≥－2时，由x ＋2＞2，解得x ＞0后，需与x ≥－2求交集，得x ＞0；当x ＜－2时，由－x －2＞2，得x ＜－4，与x ＜－2求交集，得x ＜－4．然后求x ＞0与x ＜－4的并集得最后结果．7．函数图象的简单应用函数图象可以直观地显示函数的变化规律，使抽象的问题变得更加形象．图形与数的结合(数形结合)是解决数学问题的一件利器．函数图象的应用主要体现在以下几个方面： (1)由图象确定解析式解决“已知函数图象，求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何(据此设定相应的函数解析式的类型——定性)，图象有关特征点坐标如何(据此确定解析式的系数——定量)．例如，若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为__________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式．答案：f(x)＝[)[)[)33,2,0, 213,0,2, 22,2,4.x xx xx⎧+∈-⎪⎪⎪-+∈⎨⎪⎪∈⎪⎩(2)根据具体问题所表示的函数关系判断函数的图象解决此类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，把它转化为曲线的变化情况，问题即可解决．(3)利用函数的图象，求函数的值域或最值．解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象．例如，若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )A．2 B．1 C．－1 D．无最大值解析：由题目可获取的信息是：①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；②f(x)是两个函数中的较小者．解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出f(x)的图象，再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象．故x＝1时，f(x)max＝1，应选B．答案：B(4)研究函数图象的交点个数解决这类问题的关键是正确画出函数的图象，结合图象分析．【例7－1】已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x ＜1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴12k b b +=⎧⎨=⎩，，解得12k b =-⎧⎨=⎩，，∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ＜1)．同理，x ＞3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ＞3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)． ∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1．∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上可知，函数的解析式为y ＝22(1)42(13)2(3).x x x x x x x -+<⎧⎪-+-≤≤⎨⎪->⎩ ， ， 点技巧 分段函数解析式的写法 如果所求的解析式是分段函数，则应综合在一起，写成分段形式，且各段的自变量的取值范围写在各段后的括号内．【例7－2】如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h 和时间t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；同理可分析第三个图、第四个图都是正确的． 故只有第一个图不正确，因此选A ． 答案：A【例7－3】设x ∈R ，求函数y ＝2|x －1|－3|x |的值域． 分析： 解：当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2． 当0≤x ＜1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2． 当x ＜0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2．因此y＝21520120.x xx xx x--≥⎧⎪-+≤<⎨⎪+<⎩，，，，，其图象如下图．由图象可知，该函数的值域为(－∞，2]．【例7－4】当m为何值时，y＝m和y＝x2－4|x|＋5的图象有四个交点？_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________解：画出y＝x2－4|x|＋5＝22450450x x xx x x⎧-+≥⎪⎨++<⎪⎩，，，的图象，如图．再画出y＝m的图象，由图象可以看出：当1＜m＜5时，两个函数图象有四个交点．8．函数在生活中的应用(1)求实际问题中函数的解析式，其关键是充分利用已知条件建立关于变量x，y 的等式．确定函数的定义域时，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义和其他限制条件．正确建立关于变量x，y等式的前提是找到含有变量x，y的关键词，如，长度、面积、体积、利润、总费用、路程＝速度×时间等等，往往依赖于已有的生活经验．比如，某客运公司确定客运票价的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)是行程数x(km)的函数，借助于生活经验：票价＝路程×单价，则当0＜x≤100时，y＝0.5x，当x＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ，则有0.50100100.4100.x x y x x <≤⎧=⎨+>⎩，，，(2)解实际问题时常用到分类讨论和数形结合的思想，这是历年的高考热点，也是今后高考命题的方向．其解题步骤是：①审题，弄清题意，恰当设未知数，分析变量及其取值范围； ②建立函数模型，将实际问题转化为数学问题； ③解决数学问题即函数问题；④将数学问题的结论还原为实际问题的结论．【例8－1】将长为a 的铁丝折成矩形，其中一条边长为x 时，矩形的面积为y ． 求：(1)y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如果矩形的面积为216a ，那么矩形的两边长分别是多少？解：(1)由于矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )．则面积y ＝122a x x ⎡⎤(-)⎢⎥⎣⎦＝－x 2＋2a x ． 又020x a x >⎧⎨->⎩，，解得0＜x ＜2a ，即函数的定义域为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (2)令－x 2＋2216a a x =，解得4ax =．由于0＜4a ＜2a ，则12(a －2x )＝4a ．故此时矩形的两边长都是4a．【例8－2】某汽车以52 km/h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．分析：因为行驶速度不一样，所以s 与t 的关系需用分段函数表示． 解：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5＜t ≤6.5时，s ＝260；当6.5＜t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)．所以52052605 6.526065( 6.5)6.510.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪+-<≤⎩，，，，， 辨误区 “先分后合”求分段函数的解析式 首先根据不同定义域写出相应的函数解析式，最后再合并．因为分段函数是一个函数，而不是几个函数．。
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
函数的表示法
函数的表示法1．函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．①解析法就是把两个变量的函数关系，用一个数学表达式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．②列表法就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系．③图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系．2．分段函数在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．对分段函数的概念必须注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)分段函数的图象是由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．3.映射(1)A到B的映射与B到A的映射往往不同；(2)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（允许B中元素没有被A中元素对应）；(3)A中元素与B中元素，可以是“一对一”，“多对一”不能是“一对多”．(4)函数是集合A，B为非空数集的一种特殊映射，映射是函数概念的推广题型一映射概念的理解例1：(1)在下列对应关系中，哪些能构成A到B的映射？,(2)设集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是()A.f:,y＝xB.f:xy＝xC.f:xy＝xD.f:x→y＝点评：在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情形．只能是“多对一”或“一对一”形式．变式迁移1:判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射.（1）A=（2）A=R,B=对应关系f:(3)A=Z,B=Q，对应关系f:(4)A=,对应关系f:。
变式迁移2:下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？（1）A=R,B=R,f:x；（2）A=,B=;(3)A=[0,+],B=R,f:x(4)A＝{x|x是平面内的矩形}，B＝{x|x是平面内的圆}，f：作矩形的外接圆．题型二分段函数的图象及应用例2：求下列函数的图象及值域：y＝；点评：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移:作出下列各函数的图象：(1)y＝1－x，x∈Z；（2）y＝|x－1| (x∈R)．例3：分段函数的求值问题;已知函数f(x)＝(1)求f[f()]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．变式迁移：设f(x)＝若f(a)>a，求实数a的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法1．函数的表示方法：列表法，图象法，解析法；2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则3．函数图象的一类基本变换①：将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像；②：将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像；③：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；④：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像．4．函数值域的求法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；配方法：若函数是二次函数形式，可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上的二次函数最值的求法；分离常数法：形如的函数值域为；反函数法：如求函数的值域，解出，，解得；判别式法：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式1．关于分段函数的叙述,正确的有( )分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；若分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，那么A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．已知，则（ ） A． B． C． D．3．函数的图象是（ ） A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．不是对称图形4．已知，则 5．函数y=的定义域为______________，值域为___________________6．函数的图像是（ ）7．已知，则8．函数的值域是1．B 2．A 3．B 4． 5．［－1，2］，［0，］ 6．A7． 8．函数的单调性1．增函数和减函数 对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有 >,则说在这个区间上是减函数．2．单调性和单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数．3．证明函数单调性的一般步骤⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性．4．复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为： “同增异减”．1．下列命题正确的是（）A．定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数B．定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数C．若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数D．若在区间上为增函数且，那么。
(整理版)函数的表示法解读
函数的表示法解读函数有三种常用的表示方法解析法意义列表法意义图像法意义相互转化1、解析法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式.优点：①简明、全面地概括了变量间的关系，便于运用解析式研究和应用函数的性质.②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值.2、列表法即列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.3、图像法即用图像表示相对应的函数值.优点：能直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，使我们可通过图像来研究函数的某些性质.特别提示以下两类问题值得我们很好地研究：①如何在条件下确定函数：欲确定一个函数，即是要设法得到这个函数的表示，这时要注意从解析式能否确定、是否可以列出相应的表格和是否可以作出函数的图像这三个方面去考虑，通常情况下的优先考虑是设法求出函数的解析式②在给出函数表示方法的根底上研究函数的性质：无论是用哪一种方法表示出函数，都已经确定了函数中两个变量之间的关系，这一关系反映了该函数的各种性质，具体研究时，主要围绕函数的定义域、值域、图像等方面思考，注意数形结合思考问题4.难点疑点突破〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果函数解析式的构造时，可用待定系数法；复合函数f［g(x)］表达式时，可用换元法，这时要注意自变量的取值范围；当表达式简单时，也可用配凑法，假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组，消参的方法求出f(x).〔2〕函数的图像是函数关系的一种表示形式，它反映了从“图形〞方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质，也可以帮助我们记忆各类函数的根本性质.函数的图像可能是一条光滑的直线，也可能是直线或折线或其中的一局部，还可能是一些间断点.描点法是作函数的图像的根本方法.。
什么是函数函数有几种表示方法
什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。
在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。
一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。
函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。
下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。
通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。
例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。
图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。
通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。
表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。
通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。
公式表示
函数还可以通过数学公式表示。
数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。
通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。
函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。
不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。
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鸡西市第十九中学学案
例2. 某儿童服装商店一年内销售额
来如图．请用列表法表示图中的函数关系．
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析
分析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.
例1：某市“招手停”公共汽车票价规则如下：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，然后作出函数的图象．
2. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件
、如图所示：等腰梯形底分别为1,2==BC AD AD MN ⊥交AD 于M ，交折线于N ，记作x AM =，试将梯形。