优化方案(新课标)高考数学一轮复习第八章第1讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第八章 第1讲 知
能训练轻松闯关
1．(2015·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6 B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
解析：选D ．由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－3
3
，又α∈[0，π)，所以α＝
5π
6
． 2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0 D ．3x ＋y ＋3＝0
解析：选D ．由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0．
3．已知函数f (x )＝a x
(a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a
表示的直
线是( )
解析：选C ．∵x ＜0时，a x
＞1，∴0＜a ＜1．
则直线y ＝ax ＋1
a
的斜率0＜a ＜1，
在y 轴上的截距1
a
＞1．故选C ．
4．(2015·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l ，若经过点(a ，0)和(0，b)，且a∈N *
，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ．由题意得1a ＋3
b
＝1⇒(a －1)(b －3)＝3．
又a ∈N *，b ∈N *
，故有两个解⎩⎪⎨
⎪
⎧a ＝2b ＝6或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4. 5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )
A ．[－2，2]
B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．[－2，0)∪(0，2]
D ．(－∞，＋∞)
解析：选C ．令x ＝0，得y ＝b
2，令y ＝0，得x ＝－b ，
所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14
b 2≤1，所以b 2
≤4，所以b 的取值
范围是[－2，0)∪(0，2]．
6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3．又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5．
答案：y ＝3x ＋5
7．(2015·贵州贵阳模拟)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2
k
．令－
3<1－2k <3，解得k <－1或k >1
2
．
答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 8．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2
＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．
解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横
截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2
－a ＋4＝(a －12
)2＋
154，当a ＝1
2
时，面积最小． 答案：12
9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3，4)；
(2)斜率为1
6
．
解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k
－3，3k
＋4，
由已知，得(3k ＋4)(4
k
＋3)＝±6，
解得k 1＝－23或k 2＝－8
3
．
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝1
6
x ＋b ，它在x 轴上的截距是
－6b ，
由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1．
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．
10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；
(2)直线l 在x 轴上的截距为－3．
解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，
于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6
m
．
由题意得－1
m
＝1，解得m ＝－1．
(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6．
由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2
．
法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6．由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2．
1．(2015·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2
的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
解析：选C ．法一：因为点(
m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0，
欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2
的最小值．
而（m －0）2＋（n －0）2
表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．
当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为2． ∴m 2＋n 2
的最小值为4．
法二：由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，
直线与两坐标轴交于A (52，0)，B (0，10
3)，
在Rt △OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝（52）2＋（103）2＝25
6
，
斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2
的算术平方根，
∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝1
2
AB ·h ，
∴h ＝OA ·OB AB ＝52×
10325
6
＝2，
∴m 2＋n 2的最小值为h 2
＝4．
2．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上有一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 解析：依题意得AB 的方程为x 3＋y 4＝1．当x ＞0，y ＞0时，1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝xy
3
，
即xy ≤3(当且仅当x ＝3
2
，y ＝2时取等号)，故xy 的最大值为3．
答案：3
3．(2015·江苏苏州调研)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．
解析：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故
k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．
又k PA ＝－2－（－1）
1－0
＝－1，
k PB ＝－1－10－2
＝1，
∴－1≤k ≤1．又当0≤k ≤1时，0≤α≤π
4
；
当－1≤k ＜0时，3π
4
≤α＜π．
故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π．
答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π
4．求曲线y ＝x 3
－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围． 解：记曲线上点P 处的切线的倾斜角是θ，
∵y ′＝3x 2
－1≥－1，∴tan θ≥－1，
∴θ为钝角时，应有θ∈[3π
4
，π)；
θ为锐角时， tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是[0，π2)∪[3π
4
，π)．
5． 已知直线l 过点P (0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．
解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a )． ∵点P (0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．
又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4． ∴点B 的坐标是(4，0)．
因此，过P (0，1)，B (4，0)的直线l 的方程为x 4＋y
1
＝1，
即x ＋4y －4＝0．。