高等数学第12章第12章D12_2数项级数及审敛法
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D112数项级数及审敛法40245共45页
n1sin1n 发散.
例. 判别级数
ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln
(1
1 n2
)
～
n
1
2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
例.
判别级数
n2
ln
1
10
n
的敛散性 .
解:
lim
n
n
1 ln10
n
lim
x
x ln10
x
x xlim10ln9
p 级数
p1, 级数收敛
121p31pn1p p1, 级数发散
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
例. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
而级数
k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
例. 判别级数
解: 因为
un
1 n 1 n2
收敛,
故 原级数收敛.
例 : 判别级数
的收敛性
解: 令
则
2 n1(n 1)!
lim u n1 lim (n 1)n1
u n n
n
2nn!
nn
2 1 e
故 原级数收敛.
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 nl i mnun,则
为正项级
证明提示: nl i m nun,对任意给定的正数
n1(2n1) 2n
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
D122数项级数及审敛法40458
第二节
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n
n 1
(n1,2, )有界 .
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 u n 为正项级
数, 且 nl i mnun,则
n 1
(1)当 1时 ,级数收 ; 敛
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
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定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n
n 1
(n1,2, )有界 .
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 u n 为正项级
数, 且 nl i mnun,则
n 1
(1)当 1时 ,级数收 ; 敛
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
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定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
D112数项级数及审敛法4037633页PPT
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 limun1 , 则
(1)
当
1
时,
n
级数收敛 ;
un
(2) 当1或 时, 级数发散 .
证: (1) 当1时,
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 收敛, 则有
n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
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例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
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发散 .
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2) 若 p1,因为当
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 limun1 , 则
(1)
当
1
时,
n
级数收敛 ;
un
(2) 当1或 时, 级数发散 .
证: (1) 当1时,
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 收敛, 则有
n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
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例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
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发散 .
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2) 若 p1,因为当
高数同济12.2常数项级数的审敛法
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
例3 判别如下级数的敛散性 : (1)
1 n1
1
n 1
; (2)
1 n ( n 2 1)
,
n 1
(1)
n1
n1
n 2
1 n
P—级数
p 1 2
1,发散
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
n 1
1 1 ; (4) 2 ln n n n1 n 1 (ln n )
n 1
n 1
收敛 发散
(3)u n
1 1 1 n 2 , 2 2 n( n 1) ( n 1) n n1
1 1 收敛. 收敛, 2 2 n1 n 2 ( n 1) n 1 n
n 1 n 1 n 1 n 1
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 而级数 发散, n 1 n 1 1 发散. 级数 n( n 1) n 1
1 , n( n 1) n1
1
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
一、正项级数及其审敛法 比较判别法的极限形式:
un 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim l, n v n n 1 n1
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l 0 时， 若 (3) 当 l 时 ,
n
lim
1 1
1 n 3
2019年-第十二章第二节数项级数及审敛法-PPT精选文档
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
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un,vn
是两个正项级数,
lim
例2. 证明级数
n1
证: 因为
1 n(n 1) 发散 .
1 n(n1)
1 (n1)2
1 (n1,2,) n1
而级数
n1 n
1
1
k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n 1
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
高数同济六版课件D122数项级数及审敛法
*
令 因此 收敛, 绝对收敛.
四、绝对收敛级数的性质
高数同济六版
其和分别为
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
(P263 定理9)
(证明见 P263～P266)
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
则对所有乘积
按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,
设级数
与
都绝对收敛,
发散 .
发散 ,
*
2) 若
高数同济六版
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
*
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切
证明级数
高数同济六版
发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2.
*
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
*
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
高数同济六版
例如 , p – 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 .
*
例6. 证明级数
高数同济六版
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
01
3 (1), (2) ; (1), (3), (5), (6) ; (2), (3), (5)
02
作业
备用题
高数同济六版
判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 发散 , 故原级数发散 .
令 因此 收敛, 绝对收敛.
四、绝对收敛级数的性质
高数同济六版
其和分别为
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
(P263 定理9)
(证明见 P263～P266)
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
则对所有乘积
按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,
设级数
与
都绝对收敛,
发散 .
发散 ,
*
2) 若
高数同济六版
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
*
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切
证明级数
高数同济六版
发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2.
*
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
*
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
高数同济六版
例如 , p – 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 .
*
例6. 证明级数
高数同济六版
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
01
3 (1), (2) ; (1), (3), (5), (6) ; (2), (3), (5)
02
作业
备用题
高数同济六版
判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 发散 , 故原级数发散 .
第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛资料
234
un1 n (n 1)!
2) 1 1 1 1 (u1n)n1 1 1
2! 3! 4!
n! n!
收敛
1 n 收1 敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
发散
收敛
三、两类收敛——绝对收敛与条件收敛
定义1: 若
收敛 , 则称原级数 绝对收敛 ；
练习：1、
证明：
lim
n
2n n! nn
0
2、判别级数的敛散性
(1)
an
(a 0)敛散性
n1 1 a2n
练习：
1、证明：lim n
2n n
n!
n
0
证明：设
un
2n n nn
!
,
lim un1 u n
n
lim
n
2n1(n 1)! (n 1)n1
/
2n n! nn
lim
n
(1
2 1
)n
2 e
1
n
由比值审敛法知：
1 2
(
un
un
)
( n 1, 2 , )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
n1
注:（1）若级数 un 发散，级数 un 不一定发散；
n1
n1
（2）若用达朗贝尔比值法或柯西根值法判定级数 un 发散， n1
定义2: 若
发散 ,但
收敛 ;
则称原级数
例如
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分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn un 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
*四、绝对收敛级数的性质
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
(P263 定理9)
都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
(证明见 P263～P266)
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S . (P265 定理10) 说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 11 1 1 考虑强级数 p 1 11 1 2 p 1 2 (n 3 p p n p 1 p的部分和) p 1 n (n 1 n 2 1) 1 1 1 n n p1 1 p 1 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n 1 1 1 n (n 1) n (n 1) n 1
结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim un
n n
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1
u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
收敛
部分和序列
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N N , 对一切 n N ,
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1) 2
1 发散 k 2 k
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n