特殊的一元二次方程的解法_知识讲解

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一元二次方程的几种特殊解法-精品文档

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一元二次方程的几种特殊解法关于一元二次方程的解法,有常用的有配方法、公式法、十字相乘法等。

但是有些一元二次方程可以有特殊的解法,使得方程的求解更加简便。

下面介绍几种特殊的方法。

一、利用一元二次方程的性质解题1.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0,(a≠0)。

若满足:ac±b+1=0,则两根为x1=±c,x2=±■。

证明:如果ac+b+1=0,则ac=-b-1,由求根公式得:x=■=■=■,即:x1=■=■,x2=■=■=■=c,如果ac-b+1=0,则ac=b-1,由求根公式得:x=■=■=■,即:x1=■=■,x2=■=■=■=-c。

例1 求解一元二次方程2x2-11x+5=0。

解析:这个一元二次方程显然有解,除了用十字相乘法,运用上述性质更加简便。

根据原方程,系数a=2,b=-11,c=5。

根据计算观察,ac+b+1=0。

根据上述性质,原方程的两根x1=■,x2=5。

2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0,(a≠0)。

若满足,a±b+c=0,则两根为x1=±1,x2=±■。

证明:如果a+b+c=0,则a=-b-c,由求根公式得:x=■=■=■,即:x1=■=■=1,x2=■=■。

如果a-b+c=0,则a=b-c,由求根公式得:x=■=■=■,即:x1=■=■=-1 x2=■=-■。

例2 求解一元二次方程56x2+127x-183=0。

解析:这个方程的系数比较大,用传统的求根公式、十字相乘法等计算量大,容易出错。

方程的系数a=56,b=127,c=-183,根据观察a+b+c=0。

根据上述性质,原方程的两根x1=1,x2=-■。

二、积差法求解一元二次方程积差法就是把一元二次方程的二次项与一次项因式分解,常数项因式分解,使得等号两边各因式的差相等,根据大小写出等式进而求方程的解。

1.二次项系数变为1,常数项为正数,如x2+bx+c=0(c>0)的一元二次方程。

资料:一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

资料:一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)撰稿:张晓新 审稿:杜少波【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程;2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程:(1)配方法解一元二次方程:将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-7x-1=0.【思路点拨】此题可以先将常数项右移,方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,使方程左边配成完全平方式,右边是非负数,再用直接开平方法就能解答此题.【答案与解析】将方程变形为x2-7x=1,两边加一次项的系数的一半的平方,得x2-7x+=1+,所以有=1+.直接开平方,得x-=或x-=-.所以原方程的根为x=+或x=-.【点评】一般地,用先配方,再开平方的方法解一元二次方程,应按以下步骤进行:(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;(4)用直接开平方的方法解此题.举一反三:【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0; (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2.两边都加4,得x2-4x+4=2+4.利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n的方程,即有(x-2)2=6.解这个方程,得x-2=或x-2=-.于是,原方程的根为x=2+或x=2-.(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8.两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得 x2+6x+32=-8+32,∴ (x+3)2=1.用直接开平方法,得x+3=±1,∴ x=-2或x=-4.类型二、配方法在代数中的应用2.若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【答案】B ;【解析】(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B.【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4】3.用配方法说明: 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0,∴(x+4)2+1>0,故无论x 取何实数,代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后,再分析代数式值得符号.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0, ∴当(x+4)2=0时,代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4.已知223730216b a a b -+-+=,求4a b -的值. 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ,可配成两个完全平方式. 【答案与解析】将原式进行配方,得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即223124a b⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴32a-=且14b-=,∴32a=,14b=.∴3131 4422422a b-=-=-=-.【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a.b的值.。

初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解

初中数学必备  一元二次方程的解法—知识讲解


x2

7 10
x
+
49 400

49 400


4
=
−10

x

7 20
2


49
400

4
=
−10

x

7 20
2

+
49 40

4
=
−10

x

7 20
2


111 40


−10


x

7 20
2


0
,∴
−10
x
+
7 4
2

=
25 16

直接开平方,得 x + 7 = 5 . 44

x1
=

1 2

x2
=
−3

【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1,方程(2)的二次项系数不是 1,必须先化成 1,才能配方,这是
关键
的一步.配方时,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式,然后用直接开平方法求解.同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程: (1) x2 − 4x −1 = 0 ;
【答案与解析】 (1)移项,得 x2 − 4x = 1 .
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 .

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程;2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程:(1)配方法解一元二次方程:将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-7x-1=0.【思路点拨】此题可以先将常数项右移,方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,使方程左边配成完全平方式,右边是非负数,再用直接开平方法就能解答此题.【答案与解析】将方程变形为x2-7x=1,两边加一次项的系数的一半的平方,得x2-7x+=1+,所以有=1+.直接开平方,得x-=或x-=-.所以原方程的根为x=+或x=-.【点评】一般地,用先配方,再开平方的方法解一元二次方程,应按以下步骤进行:(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;(4)用直接开平方的方法解此题.举一反三:【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0; (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2.两边都加4,得x2-4x+4=2+4.利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n的方程,即有(x-2)2=6.解这个方程,得x-2=或x-2=-.于是,原方程的根为x=2+或x=2-.(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8.两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得 x2+6x+32=-8+32,∴ (x+3)2=1.用直接开平方法,得x+3=±1,∴ x=-2或x=-4.类型二、配方法在代数中的应用2.若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【答案】B ;【解析】(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B.【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4】3.用配方法说明: 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0,∴(x+4)2+1>0,故无论x 取何实数,代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后,再分析代数式值得符号.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0,∴当(x+4)2=0时,代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4.已知223730216b a a b -+-+=,求4a b -的值. 【思路点拨】 解此题关键是把3716拆成91416+ ,可配成两个完全平方式. 【答案与解析】将原式进行配方,得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴32a-=且14b-=,∴32a=,14b=.∴3131 4422422a b-=-=-=-.【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a.b的值.。

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)责编:常春芳【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程;2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程: (1)配方法解一元二次方程: 将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的形式; ②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程:(1)(2015•岳池县模拟)2x 2﹣4x ﹣3=0; (2)(2015春•泰山区期中)3x 2﹣12x ﹣3=0.【思路点拨】方程(1) (2)的的次项系数不是1,必须先化成1,才能配方,这是关键的一步.配方时,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式,然后用直接开平方法求解.【答案与解析】解:(1)∵2x 2﹣4x ﹣3=0,∴,∴,∴x ﹣1=±,∴.(2)3x 2﹣12x ﹣3=0,3x 2﹣12x=3,x 2﹣4x=1,x 2﹣4x+4=1+4,(x ﹣2)2=5,x ﹣2=,x 1=2+,x 2=2﹣;【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】【变式】 用配方法解方程(1) (2)20x px q ++=2x 2+3=5x 【答案】(1)2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535((2424x x -+=-+ 251()416x -= 5144x -=± 123,12x x ==.(2)20x px q ++=222()(22p p x px q ++=-+224()24p p q x -+=①当240p q -≥时,此方程有实数解,12x x ==;②当240p q -<时,此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0.【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程,但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异,即思路一致.【答案与解析】 22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭A 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭ 274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭,即210740x x -+-<.故21074x x -+-的值恒小于0.【点评】证明一个代数式大于零或小于零,常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明.举一反三:【变式】试用配方法证明:代数式223x x -+的值不小于238.【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭.即代数式223x x -+的值不小于238. 3. (2015春•宜兴市校级月考)若把代数式x 2+2bx+4化为(x﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数,则k﹣m 的最大值是 .【答案】;【解析】解:x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4=(x+b )2﹣b 2+4;∴m=﹣b ,k=﹣b 2+4,则k ﹣m=﹣(b ﹣)2+.∵﹣(b ﹣)2≤0,∴当b=时,k ﹣m 的最大值是.故答案为:.【点评】此题考查利用完全平方公式配方,注意代数式的恒等变形.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值提高练习】【变式】(1)的最小值是 ;(2)的最大值是 . 2x 2+6x ‒3‒x 2+4x +5【答案】(1)222222333152632(3)323(()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦; 所以的最小值是152-2x 2+6x ‒3(2)22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+ 所以的最大值是9.‒x 2+4x +5 4. 分解因式:42221x x ax a +++-.【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+()()2221x x a =+--()()22(1)(1)x x a x x a =++-+-+.【点评】这是配方法在因式分解中的应用,通过添项、配成完全平方式,进而运用平方差公式分解因式.。

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容,解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。

本文将介绍两种解一元二次方
程的方法,因式分解法和求根公式法。

首先,我们来看因式分解法。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式,即(ax+m)(x+n)=0,然后令ax+m=0和x+n=0,分别求出x的值,即可得到方程的解。

举个例子,对于方程x^2+5x+6=0,我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0,然后令x+2=0和x+3=0,解得x=-2和x=-3,即方程
的解为x=-2和x=-3。

其次,我们来看求根公式法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

其中,b^2-
4ac被称为判别式,当判别式大于0时,方程有两个不相等的实根;当判别式等于0时,方程有两个相等的实根;当判别式小于0时,
方程没有实根,但有两个共轭复根。

举个例子,对于方程x^2-4x+4=0,我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21),化简后得到x=2,即方程的解为x=2。

综上所述,解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。

通过掌握这两种方法,我们可以轻松解决一元二次方程的问题,提高数学解题的效率和准确性。

希望本文对大家有所帮助,谢谢阅读!。

特殊一元二次方程的解法举例

特殊一元二次方程的解法举例

特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例. 例1. 解方程:7751522x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x 152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x 152,则原方程可转化为:76t t ∴0762t t 071t t ∴01t 或07t ∴7,121t t ∴1152x x 或7152x x 由1152x x 得:052x x ,解之得:5,021x x ; 由7152x x 得:0852x x ,此时方程无解. 综上,原方程的解为5,021x x . 例2. 解方程:022x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022x x ,解之得:1x (2x 舍去);当0x 时,原方程可化为:022x x ,解之得:1x (2x 舍去). 综上所述,原方程的解为1,121x x . 解法2:原方程可化为:022x x ∴021x x ∵02x ∴1,01x x ∴1,121x x ∴原方程的解为1,121x x .解法3:(图象法)原方程可化为:x x 22设x x g x x f )(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示. ∵两个函数的图象有两个交点1,1和1,1∴方程x x 22有两个实数根,且根为1,121x x ∴原方程的解为1,121x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362x x x .例3. 解方程:484321x x x x. 解:483241x x x x∴48654522x x x x设t x x552,则有:4811t t ∴49,48122t t ∴7,721t t xy–1–2–3123–1–2123O当7552x x时,解之得:2335,233521x x ; 当7552x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521x x . 习题2. 方程027422x x 的所有根的和为_________. 习题3. 已知实数x 满足01122x x x x,那么x x 1的值是【】(A )1或2(B )1或2 (C )1 (D )2。

一元二次方程的解法配方法—知识讲解

一元二次方程的解法配方法—知识讲解

一元二次方程的解法配方法—知识讲解配方法是求解一元二次方程的一种常用方法。

它的思路是通过配方将二次项的求解转换为一次项来求解,然后再将一次项的根带回去求解二次项的根。

下面我们来详细讲解一元二次方程的配方法。

设一元二次方程为ax^2+bx+c=0,我们先通过移项把方程化为标准形式。

1. 移项将方程整理为:ax^2+bx=-c。

2.通过加减乘除等操作,将方程两边的二次项系数a化为1,即将方程整理为:x^2+b'x+c'=0,其中b'=b/a,c'=-c/a。

接下来的步骤就是配方的过程了。

3.在方程的两边同时加上一个常数k,使方程右边成为一个完全平方形式,即(x+b'/2)^2=x^2+b'x+(b'/2)^24.将方程右边的完全平方形式写成两项的形式,并引入一个新的常数k',使方程变为:(x+b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^2,其中k'为常数。

5.方程的左边是一个完全平方形式(x+b'/2)^2,所以方程右边也必须是一个完全平方形式。

接下来的步骤就是解方程中的一次项的相关过程了。

6.方程右边的完全平方形式可以展开为x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2,所以将方程右边展开,得到:x^2+(b'/2)x+(b'/2)^2=k'-c'+(b'/2)^27.方程左边是二次项的完全平方形式,所以方程右边展开之后的结果中,x^2与x相互抵消,剩下的部分为b'x。

8.将方程右边展开之后的结果与方程左边进行比较,得到:x^2+(b'/2)x=k'-c'。

9.由于x^2和x两项不能相互抵消,所以方程左边与右边展开之后的结果中,b'x的系数必须相等,即b'/2=0。

最后的步骤就是求解方程的根了。

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一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法—知识讲解(提高)【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义,会把一元二次方程化为一般形式;2.掌握直接开平方法和因式分解法解方程,会应用此判定方法解决有关问题;3.理解解法中的降次思想,直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.要点诠释:识别一元二次方程必须抓住三个条件:(1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程,缺一不可.2.一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程,都能化成形如,这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.要点诠释:(1)只有当时,方程才是一元二次方程;(2)在求各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式,指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论(1)若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1;反之也成立,即若x=1是一元二次方程的一个根,则a+b+c=0.(2)若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1;反之也成立,即若x=-1是一元二次方程的一个根,则a-b+c=0.(3)若一元二次方程有一个根x=0,则c=0;反之也成立,若c=0,则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程:(1)直接开方法解一元二次方程:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据:平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类:①形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解.若,则;表示为,有两个不等实数根;若,则x=O;表示为,有两个相等的实数根;若,则方程无实数根.②形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解,两根是.要点诠释:用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义,应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负数的形式,就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次式的积;③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.(2)常用的因式分解法提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.要点诠释:(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点:①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是否关于x的一元二次方程:(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a;(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1.【答案与解析】(1)经整理,得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0,其中,由于对任何实数a都有a2≥0,于是都有a2+2>0,由此可知a2+2≠0,所以可以判定:对任何实数a,它都是一个一元二次方程.(2)经整理,得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0,其中,当m≠1且m≠-1时,有m2-1≠0,它是一个一元二次方程;当m=1时方程不存在,当m=-1时,方程化为4x=0,它们都不是一元二次方程.【总结升华】对于含有参数的一元二次方程,要十分注意二次项系数的取值范围,在作为一元二次方程进行研究讨论时,必须确定对参数的限制条件.如在第(2)题,对参数的限定条件是m≠±1.例如,一个关于x的方程,若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式,仅当m-4≠0,即m≠4时,才是一元二次方程(显然,当m=4时,它只是一个一元一次方程4x-3=0).又如,当我们说:“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时,实际上就给出了条件“a-1≠0”,也就是存在一个条件“a≠1”.由于这个条件没有直接注明,而是隐含在其他的条件之中,所以称它为“隐含条件”.类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1,求出它各项的系数,并指出参数m的取值范围.【答案与解析】将原方程整理为一般形式,得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0,由于已知条件已指出它是一个一元二次方程,所以存在一个隐含条件m2-8≠0,即 m≠±.可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±),b=-(3m-1),c=m3-1.参数m的取值范围是不等于±的一切实数.【总结升华】在含参数的方程中,要认定哪个字母表示未知数,哪个字母是参数,才能正确处理有关的问题.举一反三:【变式】关于x 的方程的一次项系数是-1,则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解(根)3.已知m ,n 是方程2210x x --=的两根,且(7m 2-14m+a)(3n 2-6n-7)=8,则a 的值等于 ( )A .-5B .5C .-9D .9【答案】C ;【解析】根据方程根的定义,m ,n 是方程x 2-2x-1=0的两根,∴ m 2-2m-1=0,n 2-2n-1=0.变形可得:7m 2-14m =7,3n 2-6n =3.将变形后的式子代入已知等式中可得:(7+a)(3-7)=8,解得a =-9.【总结升华】当看到式子很复杂,别着急,注意与已知条件联系,运用根的定义,注意观察已知等式的特点,将7m 2-14m 与3n 2-6n 看作整体,运用整体代入法求解. 举一反三:【变式】(1)x=1是的根,则a= .(2)已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0,求m 的值.【答案】(1)当x=1时,1-a+7=0,解得a=8.(2)由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49. 【答案与解析】把x-3看作一个整体,直接开平方,得x-3=7或x-3=-7.由x-3=7,得 x=10.由x-3=-7,得 x=-4.所以原方程的根为x=10或x=-4.【总结升华】应当注意,如果把x+m 看作一个整体,那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程,也就是可用直接开平方法求解的方程;这就是说,一个方程如果可以变形为这个形式,就可用直接开平方法求出这个方程的根.所以,(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标.举一反三:【变式】解方程: (1)(3x+1)2=7; (2) 9x2-24x+16=11.【答案】(1)解:(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=± (注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=, x2=.(2)解:9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=, x2=.类型五、因式分解法解一元二次方程5.解方程:(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2=0【答案与解析】设x+1=m,2-x=n,则原方程可变形为:2220m mn n-+=.∴ (m-n)2=0,∴ m=n,即x+1=2-x.∴121 2x x==.【总结升华】若把各项展开,整理为一元二次方程的一般形式,过程太烦琐.观察题目结构,可将x+1看作m,将(2-x)看作n,则原方程左端恰好为完全平方式,于是此方程利用分解因式法可解.举一反三:【变式】方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是________.【答案】将(x+2)看作一个整体,右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解.即(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,(x+2)[(x-1)-2]=0.∴ (x+2)(x-3)=0,∴ x+2=0或x-3=0.∴ x 1=-2 x 2=3.6.如果2222()(2)3x y x y ++-=,请你求出22x y +的值.【答案与解析】设22x y z +=,∴ z(z-2)=3.整理得:2230z z --=,∴ (z-3)(z+1)=0.∴ z 1=3,z 2=-1.∵ 220z x y =+>,∴ z =-1(不合题意,舍去)∴ z =3.即22x y +的值为3.【总结升华】如果把22x y +视为一个整体,则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.此题看似求x 、y 的值,然后计算22x y +,但实际上如果把22x y +看成一个整体,那么原方程便可化简求解。

这里巧设22z x y =+再求z 值,从而求出22x y +的值实际就是换元思想的运用.易错提示:忽视220x y +>,而得223x y +=或221x y +=-.。

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