湖南省邵东县第一中学、娄底三中2020学年高二数学上学期第一次月考试题

湖南省邵东县第一中学、娄底三中2020学年高二数学上学期第一次月考试题时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分） 1．函数()ln 12x y x-=-的定义域为） （ ）A ．()1,2-B ．C ．()2,+∞D ．(),2-∞2．已知函数31(),0()3log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())5f f = （ ） A ．-5B ．5C ．15D ．15-3．设,a b r r 是不共线的两个向量，已知2,44BA BC a b a b =+=-u u u r u u u r r r r r ，2CD a b =-+u u r u r r，则 ( )A ．,,AB D 三点共线 B ．,,BCD 三点共线 C ．,,A B C 三点共线D ．,,A C D 三点共线4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A. B.C. D.5．根据如下样本数据得到的回归方程为.若＝7.9，则x 每增加1个单位，y 就( ) x 3 4 5 6 7 y 4.02.50.50.52.0A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位6．在ABC ∆中，10,52,30c a A ===︒则B = （ ） A ．105︒ B ．60︒ C ．15︒ D ．105o 或15o 7．执行如图所示的程序框图，若输出的3S =， 则判断框中应填入的条件可以是（ ） A ．10k < B ．9k < C ．8k < D ．7k < 8．已知数列满足，，则（ ）A.B. C. D.9．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( )A. B. C. D.10．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图象，其中0a ＞且1a ≠，则下列图象中可能正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．11．已知*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈L ，又函数1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+12．锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=，函数()cos 22sin sin 344f x x xx πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f B 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．3(,1) D ．13(,)2二、填空题（每题5分） 13．在中，，，面积为，则边长=_________.14．假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_______．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．16．设锐角ABC ∆三个内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,若3(cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．三、解答题17．（10分）已知函数2()sin 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.18．（10分）已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，若22a =，1237a a a ++=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.19．（12分）如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC 1D 1； (2)求证：AC⊥EF.20．（12分）某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o ，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？21．（13分）已知二次函数的图象与轴交于点,图象关于对称,且.（1）求的解析式;（2）是否存在实数,使的定义域与值域分别是,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.22．（13分）设数列的前项和为，已知（），且. （1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；一、单选题 1．函数()ln 12x y x-=-的定义域为A ．()1,2-B ．C ．()2,+∞D ．(),2-∞【答案】B2．已知函数31(),0()3log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())5f f =（ ） A ．-5B ．5C ．15D ．15-【答案】B3．设,a b r r 是不共线的两个向量，已知2,44BA BC a b a b =+=-u u u r u u u r r r r r ，2CD a b =-+u u r u r r，则( )A ．,,AB D 三点共线 B ．,,BCD 三点共线 C ．,,A B C 三点共线 D ．,,A C D 三点共线【答案】D4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. B.C. D.【答案】A5．根据如下样本数据得到的回归方程为.若＝7.9，则x 每增加1个单位，y 就( ) x 3 4 5 6 7 y 4.02.50.50.52.0A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位【答案】D6．在ABC ∆中，10,52,30c a A ===︒则B =（ ） A ．105︒ B ．60︒C ．15︒D ．105o 或15o【答案】D7．执行如图所示的程序框图，若输出的3S =，则判断框中应填入的条件可以是（ ）A ．10k <B ．9k <C ．8k <D ．7k <【答案】C8．已知数列满足，，则（ ）A.B.C.D.【答案】B9．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( )A. B. C. D.【答案】C10．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图象，其中0a ＞且1a ≠，则下列图象中可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D11．已知*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈L ，又函数1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C 【解析】()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，故()()F x F x -=-代入得()112,22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x =时，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令12t x =-，则112x t+=-上式即为()()12f t f t +-=，当n偶数时，()()()1210...1n n a f f f f f n N n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11111112201...222n n n f f f f f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2112nn =⨯+=+，当n奇数时，()()()1210...1n n a f f f f f n N n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11112201...n n n f f f f f f n n n n ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212n n +=⨯=+，综上所述，1n a n =+，故选C.12．锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=，函数()cos 22sin sin 344f x x xx πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f B 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C． D．1(2【答案】A 【解析】22b a ac -=Q ，22222cos b a c ac B a ac ∴=+-=+， 2cos c a B a ∴=+， sin 2sin cos sin C A B A ∴=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+Q ，sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A ∴=-=-，Q 三角形ABC 为锐角三角形，A B A ∴=-，2B A ∴=，3C A π∴=-，∴022302202B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩(3B π∴∈，)2π()cos 22sin sin 344f x x xx πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=cos 22sin cos cos(2)sin(2)34432x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++=--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin(2)6x π-，所以()sin(2)6f B B π=-,因为252,23266B B πππππ<<∴<-<, 所以1()12f B <<.故选：A二、填空题 13．在中，，，面积为，则边长=_________.【答案】414．假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_______．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】17615．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10.16．设锐角ABC ∆三个内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,若cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．【答案】⎝由cos cos )2sin a B b A c C +=及余弦定理可得222222)22a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=2sin c C ，2sin c C =，所以sin C =．又ABC △为锐角三角形，所以3C π=．由正弦定理可得sin sin b C c B ==．由02B π<<且2032B ππ<-<可得62B ππ<<，所以1sin 12B <<，所以<<，即c <<．故c 的取值范围为．三、解答题17．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）T π=；（2）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 212sin 22262x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ 所以T π=． （2）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得 ,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．18．已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，若22a =，1237a a a ++=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3-2nn a = ；（2）()52n n n T -=.【解析】（1）由已知得12111a 2,a a a q 7,q q =⎧⎨++=⎩ 则1a 4,1,2q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1a 1,2q =⎧⎨=⎩（舍去）. 所以131422n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）因为3nn 2n 2b log a log 23n -===-.所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列. 设数列{}n b 的前n 项和为n T , 所以()()n n 23n n 5n T 22+--==.19．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC 1D 1； (2)求证：AC⊥EF. 【解析】(1)如图所示，连接CD 1.∵P、Q 分别为AD 1、AC 的中点．∴PQ∥CD 1. 而CD 1⊂平面DCC 1D 1，PQ//平面DCC 1D 1， ∴PQ∥平面DCC 1D 1.(2)如图，取CD 中点H ，连接EH ，FH.∵F、H 分别是C 1D 1、CD 的中点，在平行四边形CDD 1C 1中，FH//D 1D. 而D 1D ⊥面ABCD ，∴FH⊥面ABCD ，而AC ⊂面ABCD ， ∴AC⊥FH.又E 、H 分别为BC 、CD 的中点，∴EH∥DB. 而AC⊥BD，∴AC⊥EH.因为EH 、FH 是平面FEH 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面EFH ， 而EF ⊂平面EFH ，所以AC⊥EF.20．某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o ，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB 的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【答案】(1) 40cos .AB α= (2)能符合要求 【解析】解：（1）过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为.H在直角三角形OHA 中，20OAOAH α∠＝，＝， 所以20cos AH α＝，因此240cos .AB AH α＝＝ （2）由图可知，点P 处的观众离点O 最远在三角形OAP 中，由余弦定理可知22222cos +3OP OA AP OA AP πα=+-⋅（） ()21340040cos 22040cos cos sin 2＝αααα⎛⎫+-⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭()24006cos 23sin cos 1ααα=++()4003cos23sin248003sin 216003πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当26πα=，即12πα=时，()max OP ＝8003＋1600，又()max OP ＝8003＋16003600< 所以60OP <所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求． 21．已知二次函数的图象与轴交于点,图象关于对称,且. （1）求的解析式;（2）是否存在实数,使的定义域与值域分别是,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）1；（3）存在，使的定义域与值域分别是.【解析】 （1）的图象与轴交于点，∴,图象关于对称，∴，由得，解得，∴.（2）存在，使的定义域与值域分别是.,对称轴为，①,是方程的其中两根,,或或,即,不满足.②,,,或,（i）,∴(舍去)；（ii）,∴.③若,,⇒,⇒.∵,∴(舍去),故存在，使的定义域与值域分别是.22．设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】分析：（1）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可判定数列是等比数列，进而求解数列的通项公式；（2）由（1），得，进而得到，即可利用放缩法，证得；详解：（1）在中令，得即，∵ 解得当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即，则，当时，当时，，综上，。