精品K12学习高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3
由于 E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为 D(ξ)＜D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比 较稳定．(11 分) 射击技术的比较要从数学期望和方差两个方面进行， 一般的，期望值大、方差小表明技术好． 所以，甲比乙的技术好．(12 分) 失分警示：这一步必不可少，缺少该步，会扣 1 分．
5．牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染， 已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ξ，则 D(ξ)等于________．
解析：因为 ξ～B(10，0.02)， 所以 D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.196
类型 1 求离散型随机变量的方差、标准差(自主研
因为乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
所以乙射中 7 环的概率为 1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.(3 分)
所以 ξ，η的分布列分别为：
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得(5 分) E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； (7 分)
×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2 ×0.4＝80， 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因 此甲生的学习成绩较稳定．
1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义． 设离散型随机变量X的分布列为：
高中数学第二章 随机变量及其分布教案 2.3离散型随机变量的均值与方差选修2-3
2．3离散型随机变量的均值与方差2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续若ξ是随机变量，bη是常数，则η也是随机变量并,=ξ+a,ab且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值x i（i=1，2，…）的概率为()ξ==，则称表P x p6. 分布列的两个性质：⑴P i≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01…k …nPnnq p C 0111-n nqp C …kn kk nqp C - …0q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1 23 …k… Pppq2q p …1k qp -…称这样的随机变量ξ记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1． 二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ4 5 6 7 8 9 10 P0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环； n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环． 故在n 次射击的总环数大约为+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x ++n n p x ，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …np n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax +++n n p b ax )(＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(5.若ξB （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ k n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n nq p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． 三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即同样，采用第 3 种方案，有于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0)= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ， 6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：85.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 123456P61 61 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×611＝3.5．＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×6抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量的分布列为求所收租车费η(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE4.⨯+⨯15=⨯+⨯+171.016181.0165.03.0∵η=2ξ+2∴=ηE2Eξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ=（）A．4；B．5；C．4.5；D．4.75答案：C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以 =ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP ⑵η的概率分布为η 0 1 2P 23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4．⑶的概率分布为=ξE 027.0189.098.03．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求Eξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1．∴ P (ξ=k )=P n (k )=C k n m1)k(1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m1)，故Eξ =n ×m 1=mn五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C Cξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C Cξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C Cξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 361222=C C∴ξ分布列为 （2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2A B A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，A B 队最后所得分分别为ξ，（1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0 根据题意知3=+ηξ，所以（Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
预习导航
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单
随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值高效演
2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
3.1 离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1．一批种子的发芽率为80％,现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为（）A．60 B．70 C．80 D．90解析：易知发芽的种子数X～B（100，0。
8)，所以E（X)＝100×0.8＝80.答案：C2．设ξ的分布列为ξ1234P错误!错误!错误!错误!又设η＝2ξ＋5A.错误! B。
错误! C.错误! D.错误!解析：E（ξ）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＝错误!，E(η）＝E(2ξ＋5)＝2E（ξ）＋5＝2×错误!＋5＝错误!.答案：D3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A．20 B．25 C．30 D．40解析:抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为错误!＝错误!.所以X～B 错误!。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
题型探究
类型一 求随机变量的方差与标准差
例1 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
1 2
1 4
a
(1)求X2的分布列；
解答
(2)计算X的方差；
解答
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解 因为Y＝4X＋3， 所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
解答
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出 错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝ E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用， 如D(aX＋b)＝a2D(X).
解答
反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第 二步代入相应的公式求解.若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从 二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).
跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； 解 用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1. ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p) (其中p为成功概率)
__n_p_(_1_－__p_) _
[思考辨析 判断正误]
1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( × ) 2.若a是常数，则D(a)＝0.( √ ) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.
( √)
跟踪训练1 已知η的分布列为
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课件新人
[变式训练] 已知随机变量 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1
P
1 2
1 3
m
若 η＝aξ＋3，E(η)＝73，则 a＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以 m＝16. 所以 E(ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 所以 E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－13a＋3＝73， 得 a＝2. 答案：B
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝
4.( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋n …＋xn.(
)
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量， 是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机 变量的均值反映随机变量取值的平均水平．(3)正确，由 均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn.
解析：(1)抛掷骰子所得点数 ξ 的分布列为：
ξ123456
P
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
所以 E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16
＝3.5.
(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币 正面向上的概率为 1－122＝34，且 X～B2，34，
所以均值是 2×34＝32. 答案：(1)C (2)32
归纳升华 求数学期望的步骤是： (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用数学期望公式进行计算．
[变式训练] 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现 播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变
2.3.2 离散型随机变量的方差
课前导引
问题导入
随机变量的期望显示了随机变量取值的平均水平，但这还不足以描述随机变量的其它特征.在许多实际问题中，除了考虑随机变量的期望，还要研究它的各个值与平均值之间的离散程度.而方差就反映出了随机变量与平均值之间的差别程度.
知识预览
1.方差、标准差.
则(x i-EX)2描述了x i(i=1,2, …,n)相对于均值EX的偏离程度.而DX=∑
=-
n
N
i
i
P
EX
X
1
2
)
(为这
些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作σX.
2.随机变量函数的方差
对随机变量函数y=ax+b(a、b的常数)而言，EY=E(ax+b)=aEX+b,则DY=a2DX
3.两点分布与二项分布的方差
(1)若X服从两点分布，则DX=p(p-p)
(2)若X—B(n,p),则DX=npq(q=1-p).
1。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学案新
2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3。
1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值。
2。
理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜,其中4个重5 kg，3个重6 kg,5个重7 kg。
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案X＝5,6，7.思考2 X取上述值时，对应的概率分别是多少?答案P（X＝5)＝错误!＝错误!，P（X＝6）＝错误!＝错误!，P(X＝7)＝错误!.思考3 如何求每个西瓜的平均重量？答案错误!＝5×错误!＋6×错误!＋7×错误!＝错误!.梳理(1）离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）均值的性质若Y＝aX＋b,其中a,b为常数，X是随机变量，①Y也是随机变量;②E(aX＋b）＝aE(X)＋b。
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2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX.思路分析：依题意，先应按分布列的性质，求出q 的数值后，再计算出EX 与DX. 解析：由于离散型随机变量的分布列满足 (1)p i ≥0,i=1,2,3,...; (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101)21(2122q q q q 解得 q=1-22 故X 的分布列为∴EX=(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-) =-2321++（-2）=1-2DX=［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-) =（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1 温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即 EX=（-1）×21+0×(1-2q)+1×q 2=q 2-21; DX=［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q)+［1-(q 2-21)］2×q 2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ），那么σX=)1(100p p DX -=，因为DX=100p(1-p) =100p-100p 2（0≤p≤1）把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p=21时，成功次数的标准差的最大值为5. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1. 三、方差的应用【例3】 海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2（单位：s ），其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.解：∵EX1=0,EX2=0∴EX1=EX2∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2∴DX1＜DX2由上可知，A面大钟的质量较好.温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.各个击破【类题演练1】若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为∴E ξ=0×(1-2a)+1×2a=2a ∴D ξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a =(1-2a)2a(2a+1-2a) =2a(1-2a)=-4［a-41］2+41 由分布列的性质得0≤1-2a≤1 且0≤2a≤1 ∴0≤a≤21∴当a=41时D ξ最大值为41； 当a=0或21时D ξ的最小值为0. 【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望E ξ与方差D ξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为 P （ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16； ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中， 故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032； ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中， 故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中， 故P （ξ=5）=（1-0.8）4=0.001 6，因此，它的分布列为E ξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.006 4+5×0.001 6=1.25.D ξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.006 4+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.【类题演练2】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而E ξ=0×（1-p)+1×p=p,D ξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2. (1)D ξ=p-p 2=-(p-21)2+41, ∵0＜p ＜1, ∴当p=21时，D ξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--, ∵0＜p ＜1,∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p 1,即p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则p （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,E ξ=0×(1-p)+1×p=p,D ξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤(21p p -+)2=41.所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.解析：依题意，有E ξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）. D ξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.D η=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.所以E ξ＜E η，说明甲的平均水平比乙高，又因为D ξ＜D η，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：甲乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。