0016质系动量定理
质点系动量定理和质心运动定理
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
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第三章 动量 牛顿运动定律
x2 xc m1 xc x1 m2
距离与质点质量成反比.
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点
2 2 aB aB a B y 1.31g x
a Bx arctan 27 20 a By
A
y D O B
aA
W
aD W aB
x W
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结束
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.3 质点系相对于质心系的动量
质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参 考系平行. 质点系相对质心坐标系的动量
只决定于系统的外力，内力不
影响质心的运动.
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结束
第三章 动量 牛顿运动定律 3.说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 因与m有关，所以是动力学概念.
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几
何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
xc
m1 y1 m2 y2 m3 y3 yc m1 m2 m3 y
m2
1 ( 1) 2 ( 1) 3 1 0 3 21 1 ( 2) 2 1 3 2 yc 1 3 21
*C 页 下页
质点系动量定理
h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有 由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻 件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。 解：取锤为研究对象。作用在锤 上的力有重力Q锤与锻件接触后 锻件的反力。但锻件的反力是变 力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
质点系动量定理
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
质点系的动量定理___概述说明以及解释
质点系的动量定理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述质点系的动量定理是经典力学中重要的基本定律之一，它描述了质点系在外力作用下动量的变化情况。
动量是物体运动状态的重要属性，通过研究质点系统的动量变化可以揭示物体与外界环境之间相互作用的规律以及运动过程中涉及的能量转化和传递。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对质点系的动量定理进行概述和解释。
首先在引言部分进行总体说明，并介绍文章整体结构。
接着，在第二部分将详细介绍质点系的动量概念和动量定理原理，并通过应用实例进行案例分析。
第三部分将阐述动量定理的具体解释和推导方法，包括简单系统和复杂系统下推导方法以及实际应用中可能出现误差和修正方法。
第四部分将探讨动量定理在物理实验中的应用，包括实验装置和步骤介绍、数据处理与分析，以及结果讨论与验证有效性。
最后，在结论与展望部分进行对质点系动量定理的总结评述，并对未来研究方向给出展望和建议。
1.3 目的本文旨在全面介绍和解释质点系的动量定理，通过对动量定理的阐述和案例分析，帮助读者深入理解该定理的物理意义和运用方法。
同时，通过对动量定理在物理实验中应用的讨论，探究其在实际场景中的有效性和适用性。
最后，对质点系动量定理进行总结评价，并提出未来研究方向的展望和建议。
2. 质点系的动量定理2.1 动量概念介绍在物理学中，质点是指大小可忽略不计、仅具有质量和速度的物体。
动量则是一个质点运动状态的重要属性，它定义为质点的质量乘以其速度。
动量可以用数值表示，并且具有方向。
2.2 动量定理原理动量定理是描述物体受力作用时其动量变化规律的基本定律。
根据动量定理，当一个外力作用在一个系统上时，系统的动量将会改变，并且改变值等于外力对系统施加的冲量（冲击力在时间上积分）。
根据牛顿第二定律和牛顿第三定律可得到以下数学表达式：F = ma （牛顿第二定律）F = Δp/Δt （冲击力定义）其中，F代表外力，m代表物体的质量，a代表物体受到外力产生的加速度，Δp代表动量改变值（即冲击力），Δt代表时间间隔。
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
第十二章动量定理_理论力学
第十二章动量定理1质系动量的计算质系的动量或式中m为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。
2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。
3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即对于刚体系可表示为式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。
4.变质量质点运动微分方程5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质系上外力系中的未知约束力。
另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。
动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。
质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。
质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1质系动量定理如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为。
牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。
对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。
为外力的主矢量，为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得(12-2)上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主矢量，而与内力系无关。
在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为(12-3)强调说明两点：1、质系动量的变化只决定于外力的主矢量。
质点系和动量
(2) t=7 秒时刻木箱速度； m
解：(1) 根据动量定理： F/N
30
0 4 7 t/s
F/N 30
0 4 7 t/s
[例4-2] 质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送
带的速率为v ，它与行李间的摩擦系数为μ， 试计算：(1)
行李将在传送带上滑动多长时间? (2) 行李在这段时间内运
y方向： (N Mg mg)dt musin — (2) 0
θ
讨论： 1. 若炮车与地面没有摩擦 2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹 3. 自锁现象，即 v=0 时，炮身不动
END
§4.2 质心 质心运动定理
质点 1. 物体的大小、形状可忽略时
2. 运动过程中，物体各部分运动相同
说明
(1) 反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。 (2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加 原理。或以分量形式进行计算。
(3) 冲击、 碰撞问题中估算平均冲力。
F F(t)
t (4)动量定理适用于惯性系，在非惯性系中，只有添加惯 性力的冲量后才成立。
[例4-1] m=10 kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运 动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为
一、质心
c
c c
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在 平均意义上代表着质量分布的中心。
设由n个质点组成的质点系, m1 、m2、m3…、mi 分别是各质点的质量, r1、r2、
…、ri分别是各质点的位置矢量, 则
z
质心的位矢： c
分量式：
O
y
x
质量连续分布的物体：
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B
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解： 取x和 为广义坐标
y
x
O
A
d d t[m Axm B(xlcos)]0
mAg
N
vr
d d t(m B lsin)N m A gm Bg
B ve
mBg
取单摆B为研究对象
m B (l x c o s) m B g s in
T
(mAmB)xmBl(cos2sin)0 lxcosgsin0
x
A
O
mA g
xA
静止 平衡位置
k
mB g B
m A X 02 c o st N B m A g m B g
NB
N B ( m A m B ) g m A X 02 c o st
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B块跳起的条件为NB = 0，即
x
( m A m B ) g m A X 02 c o st 0
Fx m2e2sint Fy m1gm2gm2e2cost
M Fy Fx
为何没求M？
动约束力与 2平方成正比。工程上常在电动
机和基础之间安装具有弹性和阻尼的橡胶垫 以减小基础的动反力，这种方法称为隔振。
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例4
若上例中电动机没有用螺栓固定，各处摩 擦不计，初始时电动机静止。试求：
静止 平衡位置
XO
k
B
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解： 取系统为研究对象，画受力图。
块A作简谐振动，初始条件为
xA t0 X0
xA t0 0
所以 xAX0cost
xAX0sint xAX02cost
系统的动量为
p x m A x A m B x B m A X 0s int
质系动量定理
m1 m2
y
O1 e O2
由此可见，当转子偏心的
O
电动机未用螺栓固定时，
s
x
将在水平面上作往复运动
L
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谢 谢！
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质系动量守恒定理
质点系动量守恒
R(e) 0 dp R (e) dt
p C1
质心运动守恒
R(e) 0 maC R(e)
vC C2
C1、 C2 均为常矢量，由初始条件确定。
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实例分析
太空中拔河，谁胜谁负？
系统不受外力作用，所以动量守恒
1. 转子以匀角速 转动时电动机外壳
在水平方向的运动方程； 2. 电动机跳起的最小角速度。
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O1 e O2
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解 (1). 电动机外壳在水平方向的运动方程
xC （0） =L
xC(t)m 1(Ls)m m 12 (L m 2esins)
由xC(0) =xC (t) ： s m2 esin
质心运动定理揭示了动量定理的实质：
质系质心运动状态的变化仅仅确定于外力主矢。
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质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动 与力之间的关系
ma F
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体 运动与力之间的关系
maC R(e)
在研究质心的运动时，可以将质系的质量及所 受的外力均集中到质心而研究质点的运动。
是摩擦力使自行车前进， 而不是人蹬自行车的力！
人蹬自行车的力是内力，内力不能改变整个质 系的动量。但内力可改变质系中部分质点的动量。
关于这一问题的进一步解释，可在学过动能定 理后再讨论。
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实例分析
• 在《吹牛大王历险记》 中，吹牛大王说：他可 以拉自己的头发，把自 己从泥潭中拔出来。
拉头发的力是内力，内 力不能改变整个质系的动量。 但内力可改变质系中部分质 点的动量－－把头发拔出来！
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质心运动定理
dpd(mvC) R(e) dt dt
质量不变系统
maC R(e)
质系的质量与质心加速度的乘积等于作用于 质系上外力系的主矢量 — 质心运动定理
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例1
质 量 分 别 为 mA 和 mB 的 两 个 物块A和B，用刚度系数为k 的弹簧联结。B块放在地面 上，静止时A块位于O位置。 如将A块压下，使其具有初 位移X0，此后突然松开，如 所示。求地面对B块的约束 力NB。又X0多大时，B块将 跳起？
x
O
A
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ห้องสมุดไป่ตู้
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质系动量定理的投影形式
固结于惯性参考系的坐标系Oxyz
dp dt
R (e)
dpx dt
a
n r
B
a
t r
ae
N ( m A m B ) g m B l(s i n 2 c o s) mBg
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例3
所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其 外壳和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴 的中心O1；转子质量为m2，由于制造或安装时 的偏差，转子质心O2不在转轴中心上，偏心距
A
X0 m(mAA 2 cmoBs)gt
O
mA g
xA 静 止
平衡位置
X0minm m AA m 2BgmA kmBg
k
mB g B
通过这个例题，你是否明白：
NB
为什么在起跳前，你必须先曲膝盖？
什么是简化的物理模型？
如何从受力的角度解释起跳？
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例2
椭圆摆由质量为mA的滑块A和质量为mB的单 摆B构成。滑块可沿光滑水平面滑动，AB杆 长为l，质量不计。试建立系统的运动微分 方程，并求水平面对滑块A的约束力。
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x
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实例分析
炮弹在空中爆炸
第一块炮弹碎片落地前和落地后质心的 运动轨迹？
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实例分析
美国“挑战者号”升空爆炸 （1986-1-28,第10次飞行）
几点启发：
动量定理贯穿在 所有的物理事件 中，关键是你能 否注意到。
几个例子： •电影演员能否在 空中飞来飞去？ •能否如此登月
O1O2 = e，已知转子以等角速 转动。试求电动
机机座的约束力。
O1 e O2
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y
解：建立坐标系O1xy，画受力图
由质系动量定理有：
O1
x
m 10m 2e2sintFx m 10m 2e2costFym 1gm 2g
m 1g O 2
m 2g
支座的约束力为：
R (e) x
dp y dt
R (e) y
dpz dt
R (e) z
思考：系列公式是否成立？
dp dt
R (e)
dp n R(e) n dt
d(pn) R(e) n dt
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实例分析
• 人骑自行车在水平路面 上由静止出发开始前进。 是什么力使它有向前运 动的速度？
初始时刻 任意时刻
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p0, vC 0 pm AvAm BvB0
P ( m A m B ) v C 0 v C 0 不分胜负！
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实例分析
跳水运动员在空中运动， 其质心
mx 0
m
y
g
x vx(0)t
y
2gmt
2
vy
(0)t
y(0)
y
质心作抛物线运动