2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
2-1冲量及动量定理
为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得
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t
x1 x10 0 v1dt
t
x2 x20 0 v2dt
在相遇时，x1=x2=xc，于是有
t
前 进 方
0
风吹来
P0
P
向
I P
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
风对帆的冲量大小
初 末
P0 P
0dm dm
I P
由牛顿第 三定律
I P
方F阻向与 F横P 相反
龙骨P
F
t
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例题1 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到 受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1) △t=0.1s， (2) △ t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
m
质量为权重的平均值。
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由质心 C 的位矢：
rC
mi
m
ri
（m
mi）
z
···· C× mi rc ·· ·· ri
0
y
d
mrC
d
i
mi ri
dt
dt
x
mvC mivi P
i
质点系的动量可以看成一个“质点”的动量，
这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心
(T1 mg)t mV (mv)
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
第2章-动量守恒定律
0.6 N s
0
I mv 0
I 0.6 m 0.002kg 2 g v 300
2-1-3 动量守恒定律
质点系的动量定理：
t
t0
Fi dt P P0
有
当 Fi 0 时，
动量守恒定律：
P P0
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
其中：
பைடு நூலகம்
fi 0
f12 f21 m2
系统总末动量： P mi vi
系统总初动量：
F2
P0 mi vio
F1
m1
合外力的冲量：
t
t0
Fi dt
t
t0
Fi dt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 微分式：
dL M0 dt
质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：
t2 t1
t2
t1
M 0dt L2 L1
M 0 dt 称为“冲量矩”
n n 质点系的角动量： L Li ( ri pi ) i 1 i 1
dri dpi dL 两边对时间求导： pi ri dt dt dt dri dpi pi 0 ri ri Fi f i 上式中 dt dt dL ri Fi ri f i dt 上式中 ri fi 0 合内力矩为零
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
动量及动量守恒定律PPT
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
例1、质量为2.5g的乒乓球以10
m/s 的速率飞来，被板推挡后， 又以 20 m/s 的速率飞出。设两 速度在垂直于板面的同一平面 内，且它们与板面法线的夹角
v2 30o 45o n
分别为 45o 和30o，求：
I x 0 061Ns,
I y 0 0073Ns
I Ft
2 2 I Ix Iy 6 14 102 Ns
mv1 mv1
mv2
tan
解法二
Iy
Ix 2 2 Fx 6 1N , Fy 0 73N , F Fx Fy 6 14 N
应用余弦定理、正弦定理解三角形
0 1200, 6052'
为 I 与 x 方向的夹角
2 I Ft m2v12 m2v2 2m2v1v2 cos1050 6 14 102 Ns mv2 F t I F 6 14 N 0 sin sin 105 t I Ft sin 0 7866, 51052' mv2 0 0 0
4、质点的动量定理的应用
mv2 x mv1x （2）进而求平均冲力， Fx t 1 增大作用时间，缓冲 当PX 一定时，FX t
（1）由动量的增量来求冲量；
4、质点系的动量定理 一、质点系的动量定理 质点系（内力 f、外力F ） • 两个质点（ m1、m2 ）的系统
m1 : f , F1
o
x
一维运动可用标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
dx dx dP 2 dt F' v dt dt M 2 2 柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即： F v v
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、质点系的内力与外力 内力: 质点系内各个质点间的相互作用。 外力: 质点系外物体对系统内质点所施加的力。
系统内，内力是成对出现的。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
二、质心
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平 均意义上代表着质量分布的中心。
rC
r dm/m
(m dm)
分量式： xC x d m / m yC y d m / m
zC z d m / m
线分布 d m dl
面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心与重心是两个不同的概念，重心是地球对物 体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心 的位置不一定重合。
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对于N个质点组成的质点系：
m 1
r1,
,r2m,2,, ri,,mi，,rN，mN
质心的位矢：
rC miri / m
(m mi )
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m yC mi yi / m zC mi zi / m
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对于质量连续分布的物体
质心的位矢：
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 能量 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
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2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
一牛、顿冲第量 二定质律点的F动量d定p 理
F dt
d
p
dt
t2
t1
F
d
t
mv2
mv1
质点的动量定理
I
t2
Fdt
t1
冲量
I x
t2 t1
Fx
d
三、动量守恒定律
质点系动量定理
t2 t1
F外dt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
说明：
若
F外 0 ,
则
n
mi vi
恒矢量
i 1
1.上式是矢量式，计算时可以投影为标量式．
2.使用条件：
（1）系统所受合外力为零，系统的动量守恒．
（2）合外力在某一方向上的投影为零，则该方向上动量守恒．
质点系
F1
f12
m1
F2
f 21
m2
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
取t1t2质(F点1m1作f12为)d研t究对象(m1v1)
取t1t2质(F点2 m2作f2为1)研dt究对象(m2
v2
)
质点系
F1
f12
m1
F2
f 21
m2v2 )
系统受到的外力 系统的内力 系统动量的增量
根据牛顿第三定律
f12 f21 0
质点系 f12
f 21
对于多个质点组成的系统源自（ t2t1Fi外
fi内）dt (
mivi )
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
（1）天宫与神舟实现“软连接”后的共同速度； （2）连接过程中损失的动能。
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
分析：······系统的动量守恒。
解答：（1）在对接瞬间，神舟八号相对于地面 的速度v2 = v1 + v’。而对接后，它们的速度为v， 则：
t2 t1
F外dt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
I
t2 t1
F外dt
n p mivi
i 1
I p p0
n
p0 mi vi0
i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量
的增量。
——质点系动量定理
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
m1v1 m2 v1 v ' m1 m2 v
即 v = m1v1 m2 v1 v ' 7000.1 m s1
m1 m2
动能的变化为
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v22
1 2
m1
m2 v2
81 J
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
力不仅作用于质点，而且更普遍的说是作用 于质点系的。此外，力作用于质点或质点系往往 还有一段持续时间，或者持续一段距离，这就是 力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。
在这两种累积作用中，质点或质点系的动量、 动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下， 质点系内的动量或能量将保持守恒。动量守恒定 律和能量守恒定律不仅适用于机械运动，而且适 用于物理学中各种运动形式。
x N e e
泡利1930年提出中微子假设，实验1956年证明了它的存在。
4. 定律中各速度都是对同一惯性参考系而言的。
5. 定律说明内力只能改变系统内物体的动量，但 不能改变系统的总动量。
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
例2 天宫一号的质量m1=8.5103kg，飞行速度 v1=7000m·s-1 ；神舟八号的质量m2=8.1103kg。为有效 完成连接，神舟以相对速度v’=0.2m·s-1接近并与天宫实 现软连接。求：
速率和角度弹回来，设碰撞时间为 0.05s。求在此时间
内钢板所受到的平均冲力。
解 取钢球为研究对象，视为质点
根据质点的动 量定理
mv1
x
Ft mv2 mv1
Fxt mvcos (mvcos)
mv2
2mv cos
Fyt mvsin mvsin 0
y
F球
Fx
2mv cos
t
14.1N
t
mv2 x
mv1x
I y
t2 t1
Fy
dt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fz
dt
mv2 z
mv1z
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
例 1 一质量为 0.05kg、速率为10m·s-1 的钢球，以
与钢板法线呈 45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的
m2
将质点m1 和m2取为一个质点系
t2
t1
(F1
f12 )dt
t2 t1
(F2
f21)dt
(m1v1) (m2v2 )
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
t2
t1
2-1 [(F1
质点和质点系 的动量 定理
动量守恒定律
F2 ) ( f12 f21)]dt (m1v1
物理学简明教程
（3）对于碰撞、打击、爆炸等，系统动量近似守恒．
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
3.是物理学最普遍、最基本的定律之一，对宏观 物体及微观粒子均适用。
例如： 衰变是一个原子核 x 放出一个电子 e 后转化为
另一个原子核 N ，这一过程可表示为：
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 物理学简明教程
【章首问题】
道路交通安全法规要求汽车驾乘人员必须使用安全 带。你知道安全带的作用吗？ （1）安全带是为了将人固定在座椅上，减少颠簸； （2）只知道保护驾乘人员的安全，但不知道其中
的道理； （3）不系安全带会被罚款； （4）不知道，似无此必要。
F板 F球 方向指向钢板
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
二、质点系的动量定理
物理学简明教程
• 内力: 质点系内各质点间的相互作用力。
• 外力: 系统以外的其它物体对系统内任意一质
点的作用力。
➢ 一个力是内力还是外力 取决于所选系统的范围
➢ 正确区分外力和内力是 非常重要的