004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
物理-动量守恒定律 火箭推进原理
2、守恒条件：合外力为零，或外力<<内力；
3、合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒；
Fix, y,z 0 pix, y,z 常量
4、适用范围： 惯性系中普遍适用。
一、动量守恒定律
例：炮车以 角发射一炮弹，炮 车质量为M，炮弹质量 为m，炮弹出口速度为u（对炮车），如图。
求：炮车反冲速度（炮车与地面磨擦力忽略不计）
•多级末速度： υf ui ln Ni
若 u1 u2 un u
υ f ui ln( N1 N 2 N n )
例 u＝2.8km / s N1 N2 N3 15
υ f 22.75km / s
•重力场中： υt u ln M0 gt
M
•自由场中： υt u ln M0
M
火箭质量比：
N M0 Mf
末速度： υ f u ln N
(1) 提高 u（现可达 u = 4.2 km/s）
(2) 增大 N（受一定限制）
Mg
二、火箭推进原理
单级末速度： υ f u ln N
为提高N，采用多级火箭
分析： 炮车+炮弹系统在水平 方向 动量 守恒
设炮弹对地速度为 υ
υ uV υ
u
ห้องสมุดไป่ตู้
V
υx
x
V
υx u x V ucosθ V
二、火箭推进原理 1、动力学方程
F外
M
dυ dt
u
dm dt
υ dυ
F外：火箭系统所受外力；
沿火箭飞行方向为正 u dm：喷气对火箭的反推力
dt
二、火箭推进原理
2、箭体飞行的理想速度
一、动量守恒定律
质点系动量定理
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
动量守恒定律
一般言之：设有 个质点 个质点， 一般言之：设有N个质点，则：
d (m v1 + m2v2 + m3v3) = F + F + F 1 1 2 3 dt
d (m v1 + m2v2 +⋯mnvn ) = F + F +⋯F 1 1 2 n dt
d (m v1 + m2v2 +⋯mnvn ) = F + F +⋯F 1 1 2 n dt …………(1)
∑I
i=1
n
i
= P −P 2 1
注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总 注意 只有质点系的外力才能改变质点系的总 动量.内力虽能改变质点系个别质点的动量 内力虽能改变质点系个别质点的动量， 动量 内力虽能改变质点系个别质点的动量， 但不能改变质点系的总动量。 但不能改变质点系的总动量。
三）质点系的动量守恒定理 若质点系所受合外力为零， 若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量 保持不变。 保持不变。
又设 t1 →t2 时间内质点总动量由 P → P 1 2 式两边积分: 对(3)式两边积分 式两边积分
∫
t1
t2
(F + F +⋯F )dt = ∫ dP 1 2 n
P 1
t2
P 2
……(4) ……(5)
有:
t2
Fdt +⋯+ ∫ F dt = P − P n 2 1 ∫1
t1 t1
即:
∑Ii = P2 − P 1
动量、冲量、动量守恒定理 动量、冲量、
Momentum、 Impulse、Law of Conservation of Momentum 、 、
质点动量定理质点动量守恒定律
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
习题：释放匀质软链条，求桌面支撑力
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
初始静止释放（左图）求下落到（右图）状态课外调研：“水上漂”的蜥蜴
常矢量
碰撞
根据动能对碰撞分类
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
弹性碰撞(elastic collision)
对心碰撞
碰撞前
假定水平面光滑，质量块2初始静止。
非对心碰撞
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
已知，可以求解
习题：已知且。
质心定义
质心是质点系统的平均位置，按质点质量
进行加权平均得到。
为总质量
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
例：均匀杆的质心
均匀杆的质心位于杆的中点
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
例：直角三角形面的质心(x C ,y C )
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
质点系统总动量：
质心加速度
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
典型问题
•火箭发射
长征二号F搭载神州十一号飞船(相对火箭
喷气速度)
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
系统(火箭+喷气)质量守恒=>。
动量及动量守恒定律
ex
m2
O
m 1 g yg
由质点系动量定理得：
F
ex
m1
y
dt dp
p vy
y
d p d( y v )
m2
O
yg d t d( y v )
则
dt 两边同乘以 y d y 则
y gdy ydy
牛顿运动定律: F合
dP
ma
dt 意义:已知质点在任意时刻的力，可解出质点在各个时刻的 加速度。若知道初始条件，可确定质点在任一时刻的速度、 位置和质点的运动轨迹。 困难：
(1)牛顿定律需要知道力随时间变化的细节；
在碰撞打击(宏观)、基本粒子的产生和湮灭(微观)一类问题中，力的作用时间 很短，力随时间变化很快，无法知道其中的细节；
二、质点系的动量定理
1、基本概念： （1）质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 （2）内力 系统内部各质点间的相互作用力
质点系
特点：成对出现、大小相等、方向相反。 结论：质点系的内力之和为零 i （3）外力 系统外部对质点系内部质点的作用力
Fi 0
质点系 F
2、由两个质点所组成的质点系的动量定理 质点系 t
F1
F12
m1
F 21
F2
m2
物理意义：作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
质点系的总动量的变化只与质点系所受的外力的矢量和有 关，与内力的冲量无关。 质点系内力的冲量不能影响质点系的总动量，而只能改变 质点系总动量在质点系内各质点间的分配
初始速度 v g 0 v b 0 0 m b 2 m g 则 p 0 0 推开后速度 v g 2 v b 且方向相反，则 p 0
大学物理质点和质点系的动量定理
01
03
详细描述：冲量被定义为力和力的作用时间的乘积， 是改变物体动量的量。在直线运动中，冲量等于物体
动量的变化量。
04
总结词：冲量概念
质点在曲线运动中的动量定理应用
总结词：复杂应用 总结词：刚体运动
详细描述：质点在曲线运动中，动量定理的应用 需要考虑力的方向和大小随时间的变化。通过分 析力和速度的变化，可以深入理解物体运动的规 律。
质点
在物理学中，质点是一个理想化的模 型，用于描述具有质量的点在空间中 的运动。质点不考虑形状、大小和旋 转，只考虑其位置和质量。
质点系
质点系是由两个或多个质点组成的系 统。这些质点之间可以相互作用，如 万有引力、弹性力等。
动量的定义和计算方法
• 动量：物体的动量定义为质量与 速度的乘积，用符号p表示。计 算公式为p=mv，其中m为物体 的质量，v为物体的速度。
详细描述：刚体运动是质点在曲线运动中的一种 特殊情况，其特点是物体形状和质量分布不随时 间改变。动量定理在刚体运动中可以用来分析旋 转和角速度的变化。
质点系在碰撞中的动量定理应用
总结词：碰撞分析
详细描述：质点系在碰撞过 程中，动量定理是重要的分 析工具。通过分析碰撞前后 的动量和力的关系，可以确 定碰撞的性质（弹性、非弹 性）和能量损失情况。
总结词：动量守恒定律
详细描述：在理想情况下， 没有外力作用时，质点系内 的动量是守恒的。动量守恒 定律是动量定理的一种特殊 情况，广泛应用于物理和工 程领域。
03 质点和质点系的动量定理 的推导和证明
动量定理的推导过程
初始状态 假设一个质点在某个时刻的速度 为 (v)，质量为 (m)，则该质点的 动量为 (p = mv)。
质点及质点系的动量定理资料
受外力的作用，所以
900
它们的动量守恒. 于是
1200
m1 , v
有 P1 P2 P3 0
m3 , v
1500
32
水平方向：m1v m2v cos600 m3v cos 300 0 竖直方向：m2v sin 600 m3v sin 300 0
联立求解可得三块物体的质量比为
m1 : m2 : m3 2 : 1 : 3
桌
面
绳子
对作
用力
，即T的
反作用力 T T
因为 T dP, 即dP可忽略不计。
由动量定理：
T dt 0 M vdx l
得 T M v dx M v2 M 2gx
l dt l
l
即
T T 2 M xg
2
l
将（2）式代入（1）式得
N M xg 2 M xg 3 M xg
l
0到 的/ 2过程中合外力的冲量.
解 用积分法求解如下：
I
t2
F
(t
)
dt
t1
F(t)
m
oR
t2
mR 2( cos
i
sin
j )dt
t1
2
mR
d
( cos
i
sin
j )dt
0
dt
I mR(i j )
用动量定理求解如下：
I
t2
F
(
t
)
dt
t1
P2 P1
m(v2 v1 )
(m y)g
Fy
m
dm o
37
故dW F dyi
(m y)gdy
(2) W y2(m y)gdy y1 10 0 (10 0.2 y) 9.8dy
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004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律1、选择题：1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动。
A 以3 m/s 的速率向右与静止的B 碰撞，A 和B 的质量分别为1kg 和2kg ，碰撞后A 、B 车的速度分别为-1 m/s 和2 m/s ，则碰撞的性质为：［ ］(A) 完全弹性碰撞 (B) 完全非弹性碰撞 (C) 非完全弹性碰撞 (D) 无法判断 答案：（A ）2. 完全非弹性碰撞的性质是：［ ］(A) 动量守恒，机械能不守恒 (B) 动量不守恒，机械能守恒 (C) 动量守恒，机械能守恒 (D) 动量和机械能都不守恒 答案：（A ）3. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回，B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向右运动，如图．则A 和B 的质量分别为［ ］(A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg (C) m A =3 kg, m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg 答案：（B ）4. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v v和B v v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则［ ］(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小 (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大(C) A 、B 的动量增量相等 (D) A 、B 的速度增量相等 答案：（C ）5. 12N 的恒力作用在质量为2kg 的物体上，使物体在光滑平面上从静止开始运动，设力的方向为正方向，则在3s 时物体的动量应为[ ](A)36kg m/s -⋅ (B)36kg m/s ⋅ (C)24kg m/s -⋅ (D)24kg m/s ⋅ 答案：（B ）6. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为［ ］(A) 9 N·s (B) -9 N·s (C)10 N·s (D) -10 N·s答案：（A ）7. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动． A 以2 m/s 的速率向右与静止的B 对心碰撞，A 和B 的质量相同，假定车A 的初始速度方向为正方向，则碰撞为完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞时车A 的速度分别为：［ ］ (A) v A =0m/s ，v A =2 m/s (B) v A =0m/s ，v A =1 m/s (C) v A =1m/s ，v A =0 m/s (D) v A =2m/s ，v A =1 m/s 答案：（B ）8. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿水平光滑轨道垂直撞击墙面，撞击后被反弹，假设撞击为完全弹性碰撞，并规定碰撞前质点运动方向为正方向，则质点作用于墙面的冲量为[ ](A) mv (B)2mv (C) -mv (D) -2mv答案：（B ）9. 质量为0.02kg 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为0.98kg 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为［ ］(A) 2 m/s (B) 4 m/s (C) 7 m/s (D) 8 m/s 答案：（B ）10. 质量为1kg 的小球，沿水平方向以速率5m/s 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向︒30壁内的方向为正方向，假设碰撞作用时间为，则碰撞过程中小球受到的平均作用力为[ ](A) 50N (B) -50N (C)100N (D) -100N 答案：（D ）11. 一新型机枪每分钟可射出质量为0.020kg 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时枪对射击者的平均作用力大小为[ ](A) N (B) 16 N (C)240 N (D) 14400 N 答案：（C ）12. 一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）[ ](A) 比原来更远 (B) 比原来更近 (C) 仍和原来一样远 (D) 条件不足，不能判定 答案：（A ）13. 有两个完全相同的木块同时从同一高度自由落下，在下落过程中有一水平方向飞来的子弹（其质量不可忽略不计）击中其中的一个木块，并与木块一起下落，则[ ] (A)两木块同时落地 (B)被击中的木块后落地 (C)被击中的木块先落地 (D)无法判断 答案：（A ）14. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正方形ABC D 的水平光滑轨道运动。
质点越过B 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为[ ] (A) mv (B)2(C) 3 (D) 2mv答案：（B ）15. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）［ ］(A) 总动量守恒 (B) 总动量在任何方向的分量均不守恒A BD(C) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒 (D) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒 答案：（D ）16. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将［ ］ (A) 保持静止 (B) 向右加速运动 (C) 向右匀速运动 (D) 向左加速运动 答案：（A ）17. 以大小为的冲量作用于8kg 的物体上，物体最后的速率为[ ](A) 0.5m/s (B) 2m/s (C) 32m/s (D) 无法判断 答案：（D ）18. 质量为m 的铁锤竖直向下打桩，最后静止在桩上，设打击的时间为t , 碰撞前锤的速率为v , 锤的重力为G ，在打击过程中铁锤所受合力的平均值大小应为[ ](A) mv /t +G (B) mv /t -G (C) mv /t (D) G 答案：（C ）19. A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动量之比p KA /p KB 为[ ](A) 1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D)-1:1 答案：（D ）20. 一质量为m 的物体，以初速0v从地面上抛，如果抛射角＝30°和＝90°m Mm Am B（初速度与水平面的夹角），忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中， 物体动量增量的绝对值[ ](A)＝90°的大 (B) ＝30°的大 (C) 相同 (D)无法判断。
答案：（A ）21. 炮车以仰角发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m 和M ，炮弹相对于炮筒出口速度为v ，不计炮车与地面间的摩擦，则炮弹发射时炮车的反冲速度大小为[ ] (A)cos /mv M α⋅ (B)cos /()mv M m α⋅+ (C)cos /()mv M m α⋅- (D)/mv M 答案：（B ）22. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过B 角时，质点作用于轨道的冲量的大小为[ ] (A) mv (B)2mv(C) 3mv (D) 2mv答案：（C ）23. 如图所示．一斜面固定在一小车上，一物块置于该斜面上．在小车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动. 此时斜面上摩擦力对物块的冲量的方向[ ](A) 是水平向前的 (B) 只可能沿斜面向上 (C) 只可能沿斜面向下 (D) 沿斜面向上或向下均有可能 答案：（D ）24. 有一质量为M （含炮弹）的炮车，在一倾角为的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v 0时，从炮内射出一质量为m 的炮弹沿水平方向。
Cθmθvϖv 0mM欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率为[ ] (A)θm M cos 0v (B) 0cos Mv θm (C) 0()cos M m v m θ- (D) 0()cos M m v θm-答案：（A ）25. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在水平圆轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为[ ](A) 2mv (B) v /Rmg π (C) 0 (D)22)/()2(v v R mg m π+答案：（B ）2、填空题1. 质量为m 的小球在光滑平面上，沿水平方向以速率v 0撞击一垂直的墙面，被垂直弹回的水平速率仍为v 0，则碰撞过程中，小球的受到墙壁的冲量大小为__________。
答案：-2mv 0（动量定理）2. 一木块质量为M ，静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m 速度为v 的子弹水平地射入木块，并和木块一起运动，则射入后木块的速度大小为_________。
答案：mv /(M+m ) （动量守恒）3. 两物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动。
开始时，B 静止，物体A 的动量为 P A = P 0，式中P 0为正值常量；碰撞后物体A 的动量为 P A1 = 。
则碰撞后物体B 的动量为：P B1＝____________。
答案： （动量守恒）4. 一木块质量为m ，静止地放置在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过木块，设子弹穿过所用的时间为t ，木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块的速度大小为_ _。
mv ϖR答案：/F t m ∆ （动量定理）5. 一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用。
若物体的初速度大小为零，则在2s 末物体速度的大小等于___________。
答案： 14 m · s 1（动量定理）6. 一质量为m 的物体，原来以速率v 向北运动，它突然受到外力打击，变为向西运动，速率仍为v ，则外力的冲量大小为___________。
答案：2mv （动量定理）7. 一质量为m 的物体，以初速0v ϖ从地面竖直上抛，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，物体动量增量的大小为__________。
答案： 2mv 0（动量定义）8. 质量为M 的平板车，以速度v ϖ在光滑的水平面上滑行，一质量为m 的物体从h 高处竖直落到车子里，两者一起运动时的速度大小为__________。