004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律
04 3-1 质点和质点系的动量定理
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况
t2 t2 n n n Fi外 dt＋ Fi内 dt m i v i m i v i 0 i 1 i 1 t1 i 1 t1 i 1 n
3-4 动能定理
一、功与功率
1、功
•恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移 方向上的分量与位移大小的乘积
F m
F
S
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 p/2，功W为正值，力对物体作正功； p /2，功W=0， 力对物体不作功； p /2，功W为负值，力对物体作负功，或 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N· m
i i i
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F Fi 0
则系统的总动量守恒，即
讨论
ex dp ex i F , F 0, P C dt
p pi
保持不变 .
i
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
W＝F S dW＝F dS
•变力的功 分成许多微小的位移元，在每一个 位移元内，力所作的功为
Z
dr
b
F
dW F dr F cos dr
总功
a O
Y
W
•合力的功
B
A
B X F dr F cosdr
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
“神州”号飞船升空 神州” 神州
1. 变质量问题
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为 ，由于外力 F 的作用 ，速度为v， 和质量的并入， 时刻， 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 ， 时间内， 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 时间内 ， 与 合并前的速度为 u，根据动量定理有 ，
∑∫
i
t2
t2
v f id t
t1
t2 r r ∑∫ fidt = ∫ (∑ fi )dt i t1
∑
i
v fi = 0
t1
i
r fi
mi
质点系
r Fi
∑∫
i t1
t2
v f i dt = 0
内力的冲量 之和为零 质点系的重要结论之二
t2
则，质点系的动量定理
r r r 积分形式） ∫ F外dt = P P0 （积分形式）
dM ∫ dV = M u M ∫ V0 0
M0 火箭的质量比 N M
i
r f
质点系
r F
质点系中的重要结论之一 外力 external force 系统外部对质点系内部 外部对质点系内部质点的作用力 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 约定：系统内任一质点受力之和写成
内力之和
r r Fi + f i
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 利用质点系 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 获最简形式。 的特点加以化简 获最简形式。 质点i 使用动量定理： 第1步，对 质点 使用动量定理： 步
质点和质点系的动量定理
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
m1v1 m1v10 m2v2 m2v20
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
m1v1 m1v10 m2v2 m2v20
因内力F12 F21 0，故将两式相加后得：
t2
t1
(F1
逆风行舟的分析：
返回 退出
(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合 矢量叠加原理，或以分量形式进行计算：
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2x
mv1x
分量表示
Iy
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fzdt
mv2z
mv1z
上式表明：某方向上所受外力的冲量，等
于该方向上动量的增量．
力的累积效应
F 对时间积累
I， p
F 对空间积累
W，E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
一 冲量 质点的动量定理
➢ 动量 p mv
F
dp
d(mv)
Fdt
dtdp
dd(tmv)
t2
t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
➢ 冲量（矢量） I
t2
Fdt
t1
F
dp
d(mv)
dt dt
I
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力
作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内
大学物理质点和质点系的动量定理
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
质点动量定理质点动量守恒定律
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
习题：释放匀质软链条，求桌面支撑力
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
初始静止释放（左图）求下落到（右图）状态课外调研：“水上漂”的蜥蜴
常矢量
碰撞
根据动能对碰撞分类
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
弹性碰撞(elastic collision)
对心碰撞
碰撞前
假定水平面光滑，质量块2初始静止。
非对心碰撞
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
已知，可以求解
习题：已知且。
质心定义
质心是质点系统的平均位置，按质点质量
进行加权平均得到。
为总质量
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
例：均匀杆的质心
均匀杆的质心位于杆的中点
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
例：直角三角形面的质心(x C ,y C )
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
质点系统总动量：
质心加速度
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
典型问题
•火箭发射
长征二号F搭载神州十一号飞船(相对火箭
喷气速度)
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
系统(火箭+喷气)质量守恒=>。
大学物理质点和质点系的动量定理
01
03
详细描述：冲量被定义为力和力的作用时间的乘积， 是改变物体动量的量。在直线运动中，冲量等于物体
动量的变化量。
04
总结词：冲量概念
质点在曲线运动中的动量定理应用
总结词：复杂应用 总结词：刚体运动
详细描述：质点在曲线运动中，动量定理的应用 需要考虑力的方向和大小随时间的变化。通过分 析力和速度的变化，可以深入理解物体运动的规 律。
质点
在物理学中，质点是一个理想化的模 型，用于描述具有质量的点在空间中 的运动。质点不考虑形状、大小和旋 转，只考虑其位置和质量。
质点系
质点系是由两个或多个质点组成的系 统。这些质点之间可以相互作用，如 万有引力、弹性力等。
动量的定义和计算方法
• 动量：物体的动量定义为质量与 速度的乘积，用符号p表示。计 算公式为p=mv，其中m为物体 的质量，v为物体的速度。
详细描述：刚体运动是质点在曲线运动中的一种 特殊情况，其特点是物体形状和质量分布不随时 间改变。动量定理在刚体运动中可以用来分析旋 转和角速度的变化。
质点系在碰撞中的动量定理应用
总结词：碰撞分析
详细描述：质点系在碰撞过 程中，动量定理是重要的分 析工具。通过分析碰撞前后 的动量和力的关系，可以确 定碰撞的性质（弹性、非弹 性）和能量损失情况。
总结词：动量守恒定律
详细描述：在理想情况下， 没有外力作用时，质点系内 的动量是守恒的。动量守恒 定律是动量定理的一种特殊 情况，广泛应用于物理和工 程领域。
03 质点和质点系的动量定理 的推导和证明
动量定理的推导过程
初始状态 假设一个质点在某个时刻的速度 为 (v)，质量为 (m)，则该质点的 动量为 (p = mv)。
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004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律1、选择题：1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动。
A 以3 m/s 的速率向右与静止的B 碰撞，A 和B 的质量分别为1kg 和2kg ，碰撞后A 、B 车的速度分别为-1 m/s 和2 m/s ，则碰撞的性质为：［ ］(A) 完全弹性碰撞 (B) 完全非弹性碰撞 (C) 非完全弹性碰撞 (D) 无法判断 答案：（A ）2. 完全非弹性碰撞的性质是：［ ］(A) 动量守恒，机械能不守恒 (B) 动量不守恒，机械能守恒 (C) 动量守恒，机械能守恒 (D) 动量和机械能都不守恒 答案：（A ）3. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回，B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向右运动，如图．则A 和B 的质量分别为［ ］ (A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg(C) m A =3 kg, m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg 答案：（B ）4. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则［ ］(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小 (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大(C) A 、B 的动量增量相等 (D) A 、B 的速度增量相等 答案：（C ）5. 12N 的恒力作用在质量为2kg 的物体上，使物体在光滑平面上从静止开始运动，设力的方向为正方向，则在3s 时物体的动量应为[ ](A)36kg m/s -⋅ (B)36kg m/s ⋅ (C)24kg m/s -⋅ (D)24kg m/s ⋅ 答案：（B ）6. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为［ ］(A) 9 N·s (B) -9 N·s (C)10 N·s (D) -10 N·s 答案：（A ）7. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动． A 以2 m/s 的速率向右与静止的B 对心碰撞，A 和B 的质量相同，假定车A 的初始速度方向为正方向，则碰撞为完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞时车A 的速度分别为：［ ］(A) v A =0m/s ，v A =2 m/s (B) v A =0m/s ，v A =1 m/s (C) v A =1m/s ，v A =0 m/s (D) v A =2m/s ，v A =1 m/s 答案：（B ）8. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿水平光滑轨道垂直撞击墙面，撞击后被反弹，假设撞击为完全弹性碰撞，并规定碰撞前质点运动方向为正方向，则质点作用于墙面的冲量为[ ](A) mv (B)2mv (C) -mv (D) -2mv 答案：（B ）9. 质量为0.02kg 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为0.98kg 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为［ ］(A) 2 m/s (B) 4 m/s (C) 7 m/s (D) 8 m/s 答案：（B ）10. 质量为1kg 的小球，沿水平方向以速率5m/s 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，假设碰撞作用时间为0.1s ，则碰撞过程中小球受到的平均作用力为[ ](A) 50N (B) -50N (C)100N (D) -100N 答案：（D ）11. 一新型机枪每分钟可射出质量为0.020kg 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时枪对射击者的平均作用力大小为[ ](A) 0.267 N (B) 16 N (C)240 N (D) 14400 N 答案：（C ）12. 一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）[ ](A) 比原来更远 (B) 比原来更近 (C) 仍和原来一样远 (D) 条件不足，不能判定 答案：（A ）13. 有两个完全相同的木块同时从同一高度自由落下，在下落过程中有一水平方向飞来的子弹（其质量不可忽略不计）击中其中的一个木块，并与木块一起下落，则[ ] (A)两木块同时落地 (B)被击中的木块后落地 (C)被击中的木块先落地 (D)无法判断 答案：（A ）14. 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正方形ABC D 的水平光滑轨道运动。
质点越过B 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为[ ] (A) mv(B)(C) (D) 2mv 答案：（B ）15. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）［ ］ (A) 总动量守恒 (B) 总动量在任何方向的分量均不守恒(C) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒 (D) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒 答案：（D ）A B16. 一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将［］(A) 保持静止(B) 向右加速运动(C) 向右匀速运动(D) 向左加速运动答案：（A）17. 以大小为4N.s的冲量作用于8kg的物体上，物体最后的速率为[ ](A) 0.5m/s(B) 2m/s (C) 32m/s (D) 无法判断答案：（D）18. 质量为m的铁锤竖直向下打桩，最后静止在桩上，设打击的时间为t, 碰撞前锤的速率为v, 锤的重力为G，在打击过程中铁锤所受合力的平均值大小应为[ ](A) mv/t+G(B) mv/t-G (C) mv/t(D) G答案：（C）19. A、B两木块质量分别为m A和m B，且m B＝2m A，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动量之比p KA/p KB为[ ](A) 1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D)-1:1答案：（D）20. 一质量为m的物体，以初速v 从地面上抛，如果抛射角θ＝30°和θ＝90°（初速度与水平面的夹角），忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，物体动量增量的绝对值[ ](A) θ＝90°的大(B) θ＝30°的大(C) 相同(D)无法判断。
答案：（A）21. 炮车以仰角α发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m和M，炮弹相对于炮筒出口速度为v，不计炮车与地面间的摩擦，则炮弹发射时炮车的反冲速度大小为[ ](A)cos/mv Mα⋅(B)cos/()mv M mα⋅+(C)cos/()mv M mα⋅-(D)/mv M答案：（B）22. 质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动．质点越过B角时，质点作用于轨道的冲量的大小为[ ](A) mv(B)(C) (D) 2mv答案：（C）23. 如图所示．一斜面固定在一小车上，一物块置于该斜面上．在小车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动. 此时斜面上摩擦力对物块的冲量的方向[ ](A) 是水平向前的 (B) 只可能沿斜面向上(C) 只可能沿斜面向下 (D) 沿斜面向上或向下均有可能 答案：（D ）24. 有一质量为M （含炮弹）的炮车，在一倾角为θ 的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v 0时，从炮内射出一质量为m 的炮弹沿水平方向。
欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率为[ ] (A)θm M cos0v (B) 0cos Mv θm (C) 0()cos M m v m θ- (D) 0()cos M m v θm-答案：（A ）25. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在水平圆轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为[ ](A) 2m v (B) v /Rmg π (C) 0 (D)22)/()2(v v R mg m π+答案：（B ）2、填空题1. 质量为m 的小球在光滑平面上，沿水平方向以速率v 0撞击一垂直的墙面，被垂直弹回的水平速率仍为v 0，则碰撞过程中，小球的受到墙壁的冲量大小为__________。
答案：-2mv 0（动量定理）2. 一木块质量为M ，静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m 速度为v 的子弹水平地射入木块，并和木块一起运动，则射入后木块的速度大小为_________。
答案：mv /(M+m ) （动量守恒）3. 两物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动。
开始时，B 静止，物体A 的动量为 P A = P 0，式中P 0为正值常量；碰撞后物体A 的动量为 P A1 = 0.5P 0。
则碰撞后物体B 的动量为：P B1＝____________。
答案：0.5P 0 （动量守恒）4. 一木块质量为m ，静止地放置在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过木块，设子弹穿过所用的时间为∆t ，木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块的速度大小为_ _。
答案：/F t m ∆ （动量定理）5. 一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用。
若物体的初速度大小为零，则在2s 末物体速度的大小等于___________。
答案： 14 m · s -1（动量定理）6. 一质量为m 的物体，原来以速率v 向北运动，它突然受到外力打击，变为向西运动，速率仍为v ，则外力的冲量大小为___________。
答案：2m v （动量定理）7. 一质量为m 的物体，以初速0v从地面竖直上抛，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，物体动量增量的大小为__________。
答案： 2m v 0（动量定义）8. 质量为M 的平板车，以速度v在光滑的水平面上滑行，一质量为m 的物体从h 高处竖直落到车子里，两者一起运动时的速度大小为__________。
答案：MvM m+（动量定理）9. 有一质量为M 的物体，在光滑的水平面上沿直线滑行，当它滑到某处速率为v 0时发生爆炸，从主体上射出一质量为m 的小块沿原方向水平飞行，此时主体的速度为零，则小块射出时对地的速率v ＝__________。