大学物理-质点和质点系的动量定理
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04 3-1 质点和质点系的动量定理
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况
t2 t2 n n n Fi外 dt＋ Fi内 dt m i v i m i v i 0 i 1 i 1 t1 i 1 t1 i 1 n
3-4 动能定理
一、功与功率
1、功
•恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移 方向上的分量与位移大小的乘积
F m
F
S
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 p/2，功W为正值，力对物体作正功； p /2，功W=0， 力对物体不作功； p /2，功W为负值，力对物体作负功，或 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N· m
i i i
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F Fi 0
则系统的总动量守恒，即
讨论
ex dp ex i F , F 0, P C dt
p pi
保持不变 .
i
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
W＝F S dW＝F dS
•变力的功 分成许多微小的位移元，在每一个 位移元内，力所作的功为
Z
dr
b
F
dW F dr F cos dr
总功
a O
Y
W
•合力的功
B
A
B X F dr F cosdr
大学物理-动量定理
碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。
poy m 2gh py 0
由： F yt py
即： N mg t m 2gh
N mg m 2gh t
t 1s, N 600N 600N 1200N t 0.1s, N 600N 6000N 6600N
y r N
o
mgr
可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲 击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。
2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反p0则
pp0
0 0
二、动量守恒定理
由质点系的动量定理：
t
( Fi )dt P P0 ΔP
t0
其中P
mi vi
Pi
当
Fi 0 时 P P0 0
静止状态，已知力 F 的大小与时间的关系为
2.5 104 t,0 t 0.02 F(t) 2.0 105 (t 0.07)2 ,0.02 t 0.07
式中 F 的单位是 N ，t 的单位是s 。
求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小； （2）物体末速度的大小。
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
③小球所受绳子拉力的冲量大小。
poy m 2gh py 0
由： F yt py
即： N mg t m 2gh
N mg m 2gh t
t 1s, N 600N 600N 1200N t 0.1s, N 600N 6000N 6600N
y r N
o
mgr
可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲 击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。
2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反p0则
pp0
0 0
二、动量守恒定理
由质点系的动量定理：
t
( Fi )dt P P0 ΔP
t0
其中P
mi vi
Pi
当
Fi 0 时 P P0 0
静止状态，已知力 F 的大小与时间的关系为
2.5 104 t,0 t 0.02 F(t) 2.0 105 (t 0.07)2 ,0.02 t 0.07
式中 F 的单位是 N ，t 的单位是s 。
求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小； （2）物体末速度的大小。
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
③小球所受绳子拉力的冲量大小。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
大学物理质点和质点系的动量定理
t1
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
3-1 质点和质点系的动量定理
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，动量定理分量形式
v v v v I = Ixi + I y j + Izk
I x = ∫ Fx dt = mv x − mv0 x
t0 t t
I y = ∫ Fy dt = mv y − mv0 y
t0 t
I z = ∫ Fz dt = mvz − mv0 z
t0
t2
参考系
t2 时刻
动量定理
v v mv1 mv2 S系 系 v v v v S’系 m( v1 − u ) m( v2 − u ) 系
∫t
t2
1
v v v F (t )dt = mv 2 − mv1
动量定理常应用于碰撞问题
v v v ∫t1 mv2 − mv1 F= = t 2 − t1 t 2 − t1
例 1 一质量为 0.05kg、速率为 、速率为10m·s-1 的刚球 , 以 角的方向撞击在钢板上, 与钢板法线呈 45º 角的方向撞击在钢板上 并以相同的 速率和角度弹回来. 速率和角度弹回来 设碰撞时间为 0.05s . 求在此时间 内钢板所受到的平均冲力 F . 建立如图坐标系, 解 建立如图坐标系 由动量定理得
答：冲量的方向是动量增量的方向。 冲量的方向是动量增量的方向。
问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 问题二：冲量大小或动量增量与哪两个因素有关？ 与哪两个因素有关
答：力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力与时间的增量；要产生同样的动量的增量， 力大力小都可以：力大则时间短些； 力大力小都可以：力大则时间短些；力小则时间 长些。只要力的时间累积即冲量一样， 长些。只要力的时间累积即冲量一样，就产生同 样的动量增量。 样的动量增量。
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
质点和质点系的动量矩和动量矩定理
质点和质点系的动量矩和动量矩定理今天我们进入第十一章的学习这篇文章先学习《11-1 质点和质点系的动量矩》《11-2 动量矩定理》一、质点和质点系的动量矩1、质点的动量矩M O(mv)=r×mv 质点的动量对点O的矩[M O(mv)]z=M z(mv) 质点对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
2、质点系的动量矩L O=∑M O(m i v i) 质点系的动量对点O的矩L z=∑M z(m i v i) 质点系的动量对z轴的矩[L O]z=L z 质点系对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩刚体平移时：可将质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。
定轴转动刚体：L z=∑M z(m i v i)=∑m i v i r i=∑m i(ωr i)r i=ω∑m i r i2令：J z=∑m i r i2——刚体对z轴的转动惯量，则：L z=J zω二、动量矩定理1、质点的动量矩定理设O为定点,有称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.投影式:2、质点系的动量矩定理——质点系动量矩定理，即：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
投影式:内力不能改变质点系的动量矩.例高炉运送矿石用的卷扬机如图，已知鼓轮半径为R，质量为m1，鼓轮对转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩为M。
小车和矿石总质量为m2，轨道倾角为θ。
设绳的质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
守恒定律质点动量矩守恒定律若M O(F)≡0 ，则M O(mv)=恒量；若M z(F)≡0，则M z(mv)=恒量例小球A、B 以细绳相联，质量均为m ，其余构件质量不计。
忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为ω0，当细绳拉断后，各杆与铅垂线成θ角，求这时的角速度ω。
解：1、取整体研究，受力分析知，系统受重力和约束力作用，外力对转轴的矩都等于0，因此系统对转轴的动量矩守恒2、列方程L z1=L z2L z1=2maω0a=2ma2ω0，L z2=2m(a+l sinθ)2ω今天的知识点你都掌握了吗？。
大学物理质点和质点系的动量定理
01
03
详细描述：冲量被定义为力和力的作用时间的乘积， 是改变物体动量的量。在直线运动中，冲量等于物体
动量的变化量。
04
总结词：冲量概念
质点在曲线运动中的动量定理应用
总结词：复杂应用 总结词：刚体运动
详细描述：质点在曲线运动中，动量定理的应用 需要考虑力的方向和大小随时间的变化。通过分 析力和速度的变化，可以深入理解物体运动的规 律。
质点
在物理学中，质点是一个理想化的模 型，用于描述具有质量的点在空间中 的运动。质点不考虑形状、大小和旋 转，只考虑其位置和质量。
质点系
质点系是由两个或多个质点组成的系 统。这些质点之间可以相互作用，如 万有引力、弹性力等。
动量的定义和计算方法
• 动量：物体的动量定义为质量与 速度的乘积，用符号p表示。计 算公式为p=mv，其中m为物体 的质量，v为物体的速度。
详细描述：刚体运动是质点在曲线运动中的一种 特殊情况，其特点是物体形状和质量分布不随时 间改变。动量定理在刚体运动中可以用来分析旋 转和角速度的变化。
质点系在碰撞中的动量定理应用
总结词：碰撞分析
详细描述：质点系在碰撞过 程中，动量定理是重要的分 析工具。通过分析碰撞前后 的动量和力的关系，可以确 定碰撞的性质（弹性、非弹 性）和能量损失情况。
总结词：动量守恒定律
详细描述：在理想情况下， 没有外力作用时，质点系内 的动量是守恒的。动量守恒 定律是动量定理的一种特殊 情况，广泛应用于物理和工 程领域。
03 质点和质点系的动量定理 的推导和证明
动量定理的推导过程
初始状态 假设一个质点在某个时刻的速度 为 (v)，质量为 (m)，则该质点的 动量为 (p = mv)。
大学物理动量守恒
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
2
2
Fx 6.1N Fy 0.7N F F x F y 6.14N
I x 0.061Ns I y 0.007Ns
I
I
2 x
I
2 y
6.14102 Ns
tg I y I x 0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
（2）动量守恒定律是关于自然界一切过程的最基本的 定律之一。
它适用于： 宏观粒子系统；电磁场；微观粒子系统 , 更普遍的动量守恒定律并不依赖牛顿定律。
（3）有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内 力相比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统 的作用，近似认为系统的动量是守恒的。像碰撞、打击、 爆炸等这类问题，一般都可以这样来处理。 （4）分动量守恒 若(F )x = 0，则 p末x = p初x，即动量的x方向分量守恒
过程量 状态量
（3）动能、动量都是表征物体运动状态的重要物 理量。
功
动能定理
反映力的空间累计
冲量 动量定理
反映力的时间累计
•冲量
小结
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理 •动量守恒定律
I Fdt＝ P
I＝P－P0
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
作业
习题册： 32-42
F1 m1• f1
m2 • f2 F2
·两式相加有
末
初(F1+F2)dt = p末- p初
或
I = P末- P初
系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量！
推广到n个质点有：
t2
3_1质点和质点系的动量定理
质点系动量定理：作用于系统的合外力冲量等于 质点系动量定理：作用于系统的合外力冲量等于 系统的动量增量。 系统的动量增量。 将上式推广到n个质点的系统， 将上式推广到 个质点的系统，质点系动量定理为 系统
3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 n n → → t2 v v v ∫ F 合外力 d t = ∑ m i v i − ∑ m i v i 0 = P − P 0
∫
t2
t1
v v v v v v v v (F1 + F2 +F12 + F21)dt = (m1v1 + m2 v2 ) − (m1v10 + m2 v20 )
v v 由牛III， 由牛 ，一对内力抵消 F12 + F21 = 0 ，故
∫
t2
t1
v v v v v v ( F1 + F2 )dt = ( m1 v1 + m2 v 2 ) − ( m1 v10 + m2 v 20 )
0 0
F合
O′ ′
r → → T → v T0 mg 0 I G = ∫ m g dt = − m g ∫ dt = − mg j T0
r v
3. 合力给物体的冲量 给物体的冲量
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
合力给物体的冲量为 力给物体的冲量为
→ → → → → v T0 → T0 → I合 = ∫ F合 dt = ∫ (T + m g)dt =m v2 − m v1 = m v − m v = 0 0 0
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
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Fx
2mv cos
t
14.1 N
方向与Ox 轴正向相同．
F' F
12
例2 一柔软链条长为l，
单位长度的质量为，链条放
在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围．由于某种扰 动,链条因自身重量开始下落.
m2
O
m1
y
y
求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．
dp
d(mv)
dt dt
I
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
3
分量表示 说明
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2x
mv1x
I y
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fzdt
mv2z
mv1z
n i 1
mi vi0
p
p0
作用于系统的合外力的冲量等于系统
动量的增量——质点系动量定理
F
ex
F1
F2
FN
I p p0
7
注意
➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
8
讨论
F
（1）
F
为恒力
I Ft
O t1
（2） F 为变力
I
t2 t1
Fdt F
(t2
t1)
F F
O t1
t2 t
t2 t
9
动量定F理常t1t应2 F用dt于碰m撞v问2 题mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p 一定时
t越小，则 F 越大
mv
mv1
mv2
F
10
例1 一质量为0.05 kg、
速率为10 m·s-1的刚球，以与
x
mv1
钢板法线呈45º角的方向撞击
O
某方向受到冲量，该方向上动量就改变．
4
二 质点系的动量定理 质点系
对两质点分别应用 质点动量定理：
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
m1v1 m1v10
m2v2 m2v20
5
t2
t1
t2
t1
(F1 (F2
F12 )dt F21)dt
力的累积效应
F
对时间积累
I， p
F 对空间积累 W，E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
1
一 冲量 质点的动量定理
➢ 动量 Fpdmp v d(mv)
dt dt
➢
冲量（Ft1t矢2dFt量dt）dpIp2d(pmt21 vF) dmtv2
mv1
dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
15
本章目录
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3-0 教学基本要求
3-1 3-2 *3-3
质点和质点系的动量定理 动量守恒定律 系统内质量移动问题
3-4 动能定理
3-5 保守力与非保守力 势能
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解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系
则 F ex m1g yg
由质点系动量定理得
F exdt dp
因 dp d(yv) d(yv)
ygdt d( yv)
m2
O
m1
y
y
yg dyv
dt
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yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则
y2gdy ydy dyv yv dyv
m1v1 m1v10
m2v2 m2v20
因内力F12 F21 0，故将两式相加后得：
t2
t1
(F1
F2
)dt
(m1v1
m2 v 2
)
(m1v10
m2 v 20
)
t2
t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
6
t2
t1
F exdt
n i 1
mi vi
在钢板上，并以相同的速率
mv2
和角度弹回来．设碰撞时间
为0.05 s．求在此时间内钢板
y
所受到的平均冲力．
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解 由动量定理得：
Fxt mv2x mv1x
x
mv cos (mv cos)
2mvcos
mv1
O mv2
Fyt mv2y mv1y
y
mvsin mvsin 0
F