第9章 质点系动量定理

t1
t2
∫ mv2 y − mv1y = Fy d t =I y
t1
t2
∫ mz
t1
21
质点系动量定理
投影形式
d dt
( mv
x)
=
Fx
d dt
( mv
y)
=
Fy
d dt
( mv
z)
=
Fz
守恒形式
d (mv) = F dt
t2
∫ mv2x − mv1x = Fx d t =I x t1 t2
内力：所考察的质点系内各质点 之间相互作用的力。
∑Fi =0
∑M
i O
=
0
F´e Fe
F´i Fi
考察的质点系
6
质点系动量定理
第9章 质点系动量定理
§9-1 动量定理 §9-2 质心运动定理 §9-3 本章讨论与小结
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质点系动量定理
几个有意义的问题
？ 太空拔河，谁胜谁负
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质点系动量定理
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
质点系动量定理
理论力学
基 础 部 分 — 动力学
第9 章 质点系动量定理
2012年11月13日
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质点系动量定理
质点系动力学普遍定理概述
一、质点系动力学普遍定理的特征
理论上： n个质点构成的质点系动力学问题，可通过 建立3n个微分方程联立求解。
实际上： ◆联立求解大规模微分方程组(尤其是积分 问题)非常困难；
建立图示Oxy坐标系，则
yA = 2lsinϕ
y vA
A
vA = y&A = 2lωcos ϕ
xB = 2lcosϕ
vB = x&B = −2lωsin ϕ
ωC
Oϕ
vB
px = −2lmωsinϕ py = 2lmωcosϕ
p = −2lmωsinϕ i + 2lmωcosϕ j
Bx
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质点系动量定理
质点动力学基本方程：
质点系
ma = ∑ F
单个质点
可见：假想把整个质点系的质量集中于质心，且作用于 质点系上的全部外力也都集中于质心，则质点系质心的 运动相当于一个质点的运动。
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质点系动量定理
例如： 定向爆破
vC
α
根据质心的运动轨迹及需要堆积土石块的位置，可 以设计质心的初始发射倾角和速率大小。
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质点系动量定理
∑ maC = F e
3. 只有外力才能改变质点系质心的运动，内力不能改变 质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
例如：
汽车靠什么外力启动？
——静滑动摩擦力
思考：当汽车制动时，又是什么外力使汽车的质心运动
停止的呢？
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质点系动量定理
4. 质心运动守恒定律
∑ maC = F e
d dt
(mivi
)
=
Fi
= Fie
+ Fii
∑ ∑ ∑ d dt
(mi
vi
)
=
Fie +
Fi i
∑ ∑ d dt
(mivi
)
=
d dt
(mivi
)
=
dp dt
∑∑ ddpp==
ddt t
FFi e e ——质点系的动量定理
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢。
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质点系动量定理
思考：在上例中，若曲柄OC和连杆AB均为均质杆，且 质量分别为 m1 和 2m1，则系统的总动量又为多少？
A
ωC Oϕ
B
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质点系动量定理
二、动量定理 1. 质点的动量定理
d (mv) = F dt
即：质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。
上式改写为 两边积分得
d( m v ) = F d t = d I
d p =∑Fe
dt
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 外力系的主矢。
结论：只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变 整个质点系的动量。
d p = ∑dIe
——微分形式
∑ p 2 − p1 = I e ——积分形式
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质点系动量定理
投影形式
d p =∑ Fe
dt
∑ d p x =
质点系外力系的主矢。
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质点系动量定理
讨论：
∑ maC = F e
1. 应用时应取投影形式
直角坐标系
∑ maCx = Fxe
∑ maCy = Fye
∑ maCz = Fze
思考：写出在自然轴系中的投影形式。
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质点系动量定理
2. 与质点动力学基本方程的比较 质心运动定理：
∑ m aC = F e
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质点系动量定理
[思考题] 长均为l、质量均为m的均质杆OA、OB在O处 光滑铰接，求图示两种运动状态时，系统的动量。
v
v
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质点系动量定理
[思考题] 图示四连杆机构中，各均质杆长度为O1A＝ O2B＝AB＝20 cm，质量相等，均为m＝1 kg。在图示瞬
时，杆O1A转动的角速度ω = 2 rad/s，O1A与O2B两杆的
即质心沿该轴的位置坐标保持不变。
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质点系动量定理
5. 刚体系统
设第 i 个刚体 M i , a Ci ，则有
∑ ∑ M iaCi = F e
或
∑ ∑ M i&r&Ci = F e
∑ ∑ ∑ 直角坐标投影式：
M i aCix = M i &x&Ci = Fxe
∑ ∑ ∑ M iaCiy = M i &y&Ci = Fye
∫ mv2 y − mv1y = Fy d t =I y t1 t2
∫ mv2z − mv1z = Fz d t =I z t1
若 F = 0 ，则 mv = 常矢量，质点作惯性运动； 若 Fx = 0 ，则 mvx = 常量，质点沿 x 轴作惯性运动。
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质点系动量定理
2. 质点系的动量定理
任一质点 i ： 整个质点系：
若 ∑ Fxe = 0 ，则 px = p0x = 常量。
——质点系动量守恒定律
注意：内力虽不能改变 整个质点系的动量，但 可以引起系统内各质点 动量的传递。
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质点系动量定理
[例9-3] 质量为M 的大三角块，放于光滑水平面上，斜 面上另放一质量为m的小三角块。求小三角块滑到底时， 大三角块的位移。
mivi m
∑ aC =
miai m
注意： ◆ 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的 位置重合；
◆ 静力学中确定重心的方法可用来确定质心的 位置；
◆ 质心与重心是两个不同的概念，质心比重心 具有更加广泛的力学意义。
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质点系动量定理
三、质点系的外力与内力
外力：所考察的质点系以外的物 体作用于该质点系中各质 点的力。
◆工程中，通常需要了解质点系整体的运 动，而不是每一个质点的运动。
2
质点系动量定理
质点系整体运动状 态的物理量（动量 、动量矩、动能）
质点系动力 学普遍定理
作用于质点系的力 系特征量（主矢、 主矩、功）
质点系动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定 理、动能定理及其推论。
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质点系动量定理
二、质点系的质心
px = mvCx = mx&C py = mvCy = my&C pz = mvCz = mz&C
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质点系动量定理
[例9-1] 试计算图示三种情形刚体的动量。
Oω
(a)
vC
C
(b)
ω
C
(c)
(a) 长为 l、质量m的均质细杆，角速度为ω 。
(b) 质量为m的均质滚轮，质心的速度为vC 。
(c) 质量为m的均质轮，绕中心转动，角速度为ω 。
解：选整个系统为研究对象。
受力分析：如图所示 ∑ Fxe = 0
运动分析：小三角块的绝对速度
va = v + vr
由质点系动量守恒定律，有 v px = p0x = 0
M (−v) + m(vr x − v) = 0
Mg mg vr
FN
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质点系动量定理
M (−v) + m(vr x − v) = 0
设第i个刚体 M i , vCi ，则系统动量：
∑ p = M ivCi
∑ ∑ px = M vi Cix = M i x&Ci ∑ ∑ py = M vi Ciy = M i y&Ci ∑ ∑ pz = M ivCiz = M i z&Ci
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质点系动量定理
[例9-2] 椭圆规机构
vA
已知：OC＝AC＝CB＝l；滑块
dt
F
e x
∑ d p y =
dt
F
e y
∑ d p z =
dt
F
e z
∑ p2 − p1 = I e
∑ p2x − p1x =
I
e x
∑ p2 y − p1y =
I
e y
∑ p2z − p1z =
I
e z
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质点系动量定理
守恒形式
d p =∑ Fe
dt
若 ∑ F e = 0 ，则 p = p0 = 常矢量；
z 若 ∑ F e = 0 ，则 aC = 0 , vC = 常矢量，
即质心作匀速直线运动；
z 若开始时系统静止，即vC0 = 0 ，则 rC = 常矢量，