传热学第二章 稳态导热

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系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
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4 付里叶定律(Fourier’s Law)
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②通过多层平壁的导热
t1
多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 q 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成
t2 t3 t4
假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合
面上各处的温度相等
r1
1 1
t1 q
t1t2 q
r2
2 2
t2
t3 q
r3
3 3
t3t4 q
t1
r1
q
t2 r2 t3 r3
(b)无内热源，导热系数为常数时
t
a(x2t2
y2t2
z2t2)
(c)常物性、稳态
2t x2
y2t2
z2t2
0泊桑（Poisson）方程
(d)常物性、稳态、无内热源
2t x2
2t y2
2t z2
0
拉普拉斯（Laplace）方程
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(e) 园柱坐标系和球坐标系的方程 x r co ;y sr si;n z z
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
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假设：(1) 所研究物体是各向同性的连续介质；
(2) 热导率、比热容和密度均为已知 •
(3) 物体内具有内热源；强度 [W/m3];
•
表示单位体积的导热体在单位时间内放出 的热量
导入微元体的总热流量
+内热源的生成热 =导出微元体的总热流量 +内能的增量
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t Φ
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x r s i n c o s ;y r s i n s i n ;z r c o s
ct
1 r2
r2
r
rtr2s1insint
r2s1in2t Φ
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从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁 等类型 。
a.单层壁导热 b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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①通过单层平壁的导热
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t x( x t)Φ dd2x2t 0
问：现在已经知道了q，如
何计算其中第 i 层的右侧壁
温？
q
第一层：q1 1(t1t2) t2t1q1 1
第二层：q2 2(t2t3) t3t2q2 2
第 i 层： qi(titi 1)1ti 1tiqi
i
i
t2 t3 t4
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③无内热源，λ不为常数(是温度的线性函数)
（ 0 1b） t λ0、b为常数
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导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
导热问题求解方法：分析解法，试验解法， 数值解法.
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§2-2 一维稳态导热
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t)( t)( t) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
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y 17
dΦ indQ dΦ outdU
z
dz+dz
导入微元体的总热流量为
dy
dΦ i ndΦ xdΦ ydΦ z
导出微元体的总热流量为
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
d Φ ou d tΦ x d xd Φ y d yd Φ z dz y
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(c) 第三类边界条件:该条 件是第一类和第二类边界 条件的线性组合，常为给 定系统边界面与流体间的 换热系数和流体的温度， 这两个量可以是时间和空 0 间的函数，也可以为给定 不变的常数值
xt h（tt)
x1
x
(nt)wh(twtf )
其中n指向物体外法线方向， 不论物体被加热还是被冷却，
该式均适用
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6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条 件，包括四项：几何、物理、初始、边界
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(b)第二类边界条件:该条 件是给定系统边界上的 温度梯度，即相当于给 定边界上的热流密度， 它可以是时间和空间的 0 函数，也可以为给定不 变的常数值
t f (y,z,)
x
x1
x
一般形式：qw = f(x,y,z,τ)
特例：绝热边界面 qw n tw0 n tw0
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o x0, t
x, t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dxc1 tc1xc2
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带入边界条件：
c1
t2
t1
线性分布
c2 t1
t t1
代入Fourier定律
tFra Baidu bibliotek
t2 t1
xt1
dt t2 t1
dx
t2
o x
qt2 t1 t
t
(A)
R A
导热热阻
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第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这
里可推广为更一般情况。
n
qgr
at dtn
x
t1
dt dn t t+dt
热流密度在x, y, z 方向
t2
0
x
的投影的大小分别为：
δ
qx x t; qy y t; qz z t
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5 导热系数
①定义 傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
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在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a 木 材 1 .5 1 0 7 m 2s ， a 铝 9 .4 5 1 0 5 m 2s
a木材 a铝1600
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c t x( x t) y( y t) z( z t)
z
dz+dz
增量（非稳态项）扩散项（导热
dy
引起）
d x dy+dy
dx+dx
dz
x
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y
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②导热微分方程的简化形式 (a)导热系数为常数时
c t x( x t) y( y t) z( z t)
t a(x2t2y2t2z2t2) c a a 称为热扩散率，又叫导温系数。
q/gradt W/（m·℃ ）
单位温度梯度下物体内所产生的热流密度 。 它表示物体导热本领的大小 。
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根据一维稳态平壁导热模型，可
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
ΦAt1 t2
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（Boundary conditions）边界条件常见有三类
(a)第一类边界条件:给定系
统边界上的温度值，它可以
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
0
一般形式： tw = f(x, y,z,τ)
t=f(y,z,τ)
x1
x
稳态导热： tw = const；非稳态导热：tw = f ()
c
(thermal diffusivity)
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热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
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§2-1 基本概念
1 温度场(Temperature Field) ①定义
某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布 的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表 示。 温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标
系中，温度场可表示为： tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
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②分类 a)随时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
t 0
tf(x,y,z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
t 0
b)随空间划分 三维稳态温度场： 一维稳态温度场
tf(x,y,z,)
tf(x,y,z) t f (x)
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2 等温面与等温线
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
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分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
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①几何条件：说明导热体的几何形 状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚 度、直径等；
②物理条件：说明导热体的物理特
征如：物性参数 、c 和 的数
值，是否随温度变化；有无内热源、 大小和分布；
③初始条件：又称时间条件，反映导热系统的 初始状态 tf(x,y,z,0)
④边界条件:反映导热系统在界面上的特征， 也可理解为系统与外界环境之间的关系。
x
dΦydydΦyy(yt)dxdyydz dΦzdzdΦzz( zt)dxdydz
单位时间内能增量 dUc t dxdydz
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微元体内热源的生成热为：
dQΦdxdydz
源项
最后得到：
c t x( x t) y( y t) z( z t)
单位时间内微元体的内能
t4
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qt11t12 t22t23 t33t34
由和分比关系
t1
t2
t3 q
t4
q11＋t12t24＋33
总 推热广到阻n为层：壁r 的r1情r况2:r3q1 1t1t1 2 2 r 1t n 1 3 3 t2 r2
t3 r3
t4
n i
i 1 i
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t1
根据付里叶定律
dΦx qxdyd zxt dydz
dΦy qydxdzytdxdz dΦz qzdxd yztdxdy
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qxdxqx
qx x
dx
z
dΦxd
xqxd
xdydzqxd
ydzqx x
d
xd
yd
z
d
x
dΦx
(t)dxdyd
x x
z
dz+dz dy
dy+dy dz
dx+dx
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属非金属
金 属 12~418W (m oC ) 非金 0 属 .02~5 3W/C (m )
合金
纯金属
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温 度 低 于 350 度 时 热 导 率 小 于 0.12W/(mK) 的材料称为保温 材料（绝热材料）
同一种物质的导热系数也会因 其状态参数的不同而改变。
一般把导热系数仅仅视为温度 的函数，而且在一定温度范围 还可以用一种线性关系来描述。
0(1bT)
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记住常用物质的值:
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5 导热微分方程（Heat Diffusion Equation） ①一般形式
付里叶定律： qgradt
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要 任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随 空间坐标和时间变化的内在联系。
c)物体中等温线较密集的地方说明温度的变化
率较大，导热热流也较大。
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3 温度梯度（Temperature gradient）
温度的变化率沿不同的方向一般是不同的。温 度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方 向上温度对坐标的偏导数来表示，即
lim t
t
x x0 x
温度梯度是用以反映温 度场在空间的变化特征 的物理量。
Φ q
At1t2 t1t2
q,,, t(t1t2)只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
实验。
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②导热系数的影响因素
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密 切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
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②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上