传热学第二章 稳态导热
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《传热学》第二章 稳态导热
断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
传热学第二章 稳态导热
c t
1 r
r
r
t r
1 r2
t
z
t z
Φ
2019/9/11
25
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
c t
1 r2
r 2
c
a c
a 称为热扩散率，又叫导温系数。
(thermal diffusivity)
2019/9/11
21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2019/9/11
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
2019/9/11
22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
19
微元体内热源的生成热为：
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
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①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2020/6/14
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
2020/6/14
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条 件，包括四项：几何、物理、初始、边界
2020/6/14
2020/6/14
3
②分类 a)随时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
t 0
tf(x,y,z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
t 0
b)随空间划分 三维稳态温度场： 一维稳态温度场
tf(x,y,z,)
tf(x,y,z) t f (x)
2020/6/14
4
2 等温面与等温线
2020/6/14
2
§2-1 基本概念
1 温度场(Temperature Field) ①定义
某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布 的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表 示。 温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标
系中，温度场可表示为： tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
c
(thermal diffusivity)
2020/6/14
21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这
里可推广为更一般情况。
n
qgr
at dtn
x
t1
dt dn t t+dt
热流密度在x, y, z 方向
t2
0
x
的投影的大小分别为：
δ
qx x t; qy y t; qz z t
2020/6/14
9
5 导热系数
①定义 傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t Φ
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25
x r s i n c o s ;y r s i n s i n ;z r c o s
ct
1 r2
r2
r
rtr2s1insint
r2s1in2t Φ
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2020/6/14
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
t4
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qt11t12 t22t23 t33t34
由和分比关系
t1
t2
t3 q
t4
q11＋t12t24＋33
总 推热广到阻n为层：壁r 的r1情r况2:r3q1 1t1t1 2 2 r 1t n 1 3 3 t2 r2
t3 r3
t4
n i
i 1 i
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38
t1
2020/6/14
7
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
2020/6/14
8
4 付里叶定律(Fourier’s Law)
x
dΦydydΦyy(yt)dxdyydz dΦzdzdΦzz( zt)dxdydz
单位时间内能增量 dUc t dxdydz
2020/6/14
19
微元体内热源的生成热为：
dQΦdxdydz
源项
最后得到：
c t x( x t) y( y t) z( z t)
单位时间内微元体的内能
o x0, t
x, t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dxc1 tc1xc2
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35
带入边界条件：
c1
t2
t1
线性分布
c2 t1
t t1
代入Fourier定律
t
t2 t1
xt1
dt t2 t1
dx
t2
o x
qt2 t1 t
t
(A)
R A
导热热阻
2020/6/14
q/gradt W/（m·℃ ）
单位温度梯度下物体内所产生的热流密度 。 它表示物体导热本领的大小 。
2020/6/14
11
根据一维稳态平壁导热模型，可
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
ΦAt1 t2
2020/6/14
31
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
导热问题求解方法：分析解法，试验解法， 数值解法.
2020/6/14
32
§2-2 一维稳态导热
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t)( t)( t) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
一般把导热系数仅仅视为温度 的函数，而且在一定温度范围 还可以用一种线性关系来描述。
0(1bT)
2020/6/14
14
记住常用物质的值:
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15
5 导热微分方程（Heat Diffusion Equation） ①一般形式
付里叶定律： qgradt
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要 任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随 空间坐标和时间变化的内在联系。
Φ q
At1t2 t1t2
q,,, t(t1t2)只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
实验。
2020/6/14
12
②导热系数的影响因素
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密 切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a 木 材 1 .5 1 0 7 m 2s ， a 铝 9 .4 5 1 0 5 m 2s
a木材 a铝1600
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23
c t x( x t) y( y t) z( z t)
36
②通过多层平壁的导热
t1
多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 q 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成
t2 t3 t4
假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合
面上各处的温度相等
r1
1 1
t1 q
t1t2 q
r2
2 2
t2
t3 q
r3
3 3
t3t4 q
t1
r1
q
t2 r2 t3 r3
2020/6/14
28
（Boundary conditions）边界条件常见有三类
(a)第一类边界条件:给定系
统边界上的温度值，它可以
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
0
一般形式： tw = f(x, y,z,τ)
t=f(y,z,τ)
x1
x
稳态导热： tw = const；非稳态导热：tw = f ()
2020/6/14
33
从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁 等类型 。
a.单层壁导热 b.多层壁导热
c. 复合壁导热
2020/6/14
34
①通过单层平壁的导热
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t x( x t)Φ dd2x2t 0
30
(c) 第三类边界条件:该条 件是第一类和第二类边界 条件的线性组合，常为给 定系统边界面与流体间的 换热系数和流体的温度， 这两个量可以是时间和空 0 间的函数，也可以为给定 不变的常数值
xt h（tt)
x1
x
(nt)wh(twtf )
其中n指向物体外法线方向， 不论物体被加热还是被冷却，
该式均适用
2020/6/14
29
(b)第二类边界条件:该条 件是给定系统边界上的 温度梯度，即相当于给 定边界上的热流密度， 它可以是时间和空间的 0 函数，也可以为给定不 变的常数值
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2020/6/14
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
线），或者就终止与物体的边界上
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6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条 件，包括四项：几何、物理、初始、边界
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②分类 a)随时间划分 稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
t 0
tf(x,y,z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
t 0
b)随空间划分 三维稳态温度场： 一维稳态温度场
tf(x,y,z,)
tf(x,y,z) t f (x)
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2 等温面与等温线
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§2-1 基本概念
1 温度场(Temperature Field) ①定义
某一瞬间，空间(或物体内)所有各点温度分布 的总称。 温度场是个数量场，可以用一个数量函数来表 示。 温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标
系中，温度场可表示为： tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
c
(thermal diffusivity)
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热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
第一章中给出了稳态条件下的付里叶定律，这
里可推广为更一般情况。
n
qgr
at dtn
x
t1
dt dn t t+dt
热流密度在x, y, z 方向
t2
0
x
的投影的大小分别为：
δ
qx x t; qy y t; qz z t
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5 导热系数
①定义 傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t Φ
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x r s i n c o s ;y r s i n s i n ;z r c o s
ct
1 r2
r2
r
rtr2s1insint
r2s1in2t Φ
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
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分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
t4
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qt11t12 t22t23 t33t34
由和分比关系
t1
t2
t3 q
t4
q11＋t12t24＋33
总 推热广到阻n为层：壁r 的r1情r况2:r3q1 1t1t1 2 2 r 1t n 1 3 3 t2 r2
t3 r3
t4
n i
i 1 i
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t1
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系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
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4 付里叶定律(Fourier’s Law)
x
dΦydydΦyy(yt)dxdyydz dΦzdzdΦzz( zt)dxdydz
单位时间内能增量 dUc t dxdydz
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微元体内热源的生成热为：
dQΦdxdydz
源项
最后得到：
c t x( x t) y( y t) z( z t)
单位时间内微元体的内能
o x0, t
x, t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dxc1 tc1xc2
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带入边界条件：
c1
t2
t1
线性分布
c2 t1
t t1
代入Fourier定律
t
t2 t1
xt1
dt t2 t1
dx
t2
o x
qt2 t1 t
t
(A)
R A
导热热阻
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q/gradt W/（m·℃ ）
单位温度梯度下物体内所产生的热流密度 。 它表示物体导热本领的大小 。
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根据一维稳态平壁导热模型，可
以采用平板法测量物质的导热系
数。对于图所示的大平板的一维 t1
稳态导热，流过平板的热流量与
t2
平板两侧温度和平板厚度之间的 关系为：
x
ΦAt1 t2
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导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
导热问题求解方法：分析解法，试验解法， 数值解法.
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§2-2 一维稳态导热
稳态导热
t 0
直角坐标系: ( t)( t)( t) 0
x x y y z z
1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板 两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳 为一维稳态导热问题。
一般把导热系数仅仅视为温度 的函数，而且在一定温度范围 还可以用一种线性关系来描述。
0(1bT)
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记住常用物质的值:
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5 导热微分方程（Heat Diffusion Equation） ①一般形式
付里叶定律： qgradt
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要 任务。 建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随 空间坐标和时间变化的内在联系。
Φ q
At1t2 t1t2
q,,, t(t1t2)只要任意知道三个就可以
求出第四个。由此可设计稳态法测量导热系数
实验。
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②导热系数的影响因素
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密 切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a 木 材 1 .5 1 0 7 m 2s ， a 铝 9 .4 5 1 0 5 m 2s
a木材 a铝1600
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c t x( x t) y( y t) z( z t)
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②通过多层平壁的导热
t1
多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 q 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成
t2 t3 t4
假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合
面上各处的温度相等
r1
1 1
t1 q
t1t2 q
r2
2 2
t2
t3 q
r3
3 3
t3t4 q
t1
r1
q
t2 r2 t3 r3
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（Boundary conditions）边界条件常见有三类
(a)第一类边界条件:给定系
统边界上的温度值，它可以
是时间和空间的函数，也可
以为给定不变的常数值
0
一般形式： tw = f(x, y,z,τ)
t=f(y,z,τ)
x1
x
稳态导热： tw = const；非稳态导热：tw = f ()
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从平板的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁 等类型 。
a.单层壁导热 b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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①通过单层平壁的导热
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t x( x t)Φ dd2x2t 0
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(c) 第三类边界条件:该条 件是第一类和第二类边界 条件的线性组合，常为给 定系统边界面与流体间的 换热系数和流体的温度， 这两个量可以是时间和空 0 间的函数，也可以为给定 不变的常数值
xt h（tt)
x1
x
(nt)wh(twtf )
其中n指向物体外法线方向， 不论物体被加热还是被冷却，
该式均适用
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(b)第二类边界条件:该条 件是给定系统边界上的 温度梯度，即相当于给 定边界上的热流密度， 它可以是时间和空间的 0 函数，也可以为给定不 变的常数值