八年级数学第17届“希望杯”第2试试题
2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第2试)后附答案解析
2017年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）一、填空题：每小题5分，共60分。
1．（5分）计算：（2.016+201）×201.7﹣20.16×（20.17+2010）= ．2．（5分）定义a*b=a×b+a﹣2b，若3*m=17，则m= ．（5分）在表中，8位于第3行第2列，2017位于第a行第b列，则a﹣b= ．3．4．（5分）相同的3个直角梯形的位置如图所示，则∠1= ．5．（5分）张超和王海在同一家文具店买同样的练习本和铅笔，张超买了5个练习本和4支铅笔，付了20元，找回3.5元；王海买了2个练习本和2支铅笔，正好7元整，则练习本每个元．6．（5分）数a，b，c，d的平均数是7.1，且2.5×a=b﹣1.2=c+4.8=0.25×d，则a×b×c×d= ．7．（5分）如图，小正方形的面积是1，则图中阴影部分的面积是．8．（5分）将2015，2016，2017，2018，2019这五个数字分别填入如图中写有“D，O，G，C，W”的五个方格内，使得D+O+G=C+O+W，则共有种不同的填法．9．（5分）不为零的自然数a满足以下两个条件：（1）0.2a=m×m；（2）0.5a=n×n×n．其m，n为自然数，则a的最小值是．10．（5分）如图是一个玩具钟，当时针每转一圈时，分针转9圈，若开始时两针重合，则当两针下次重合时，时针转过的度数是．11．（5分）若六位数能被11和13整除，则两位数= ．12．（5分）甲、乙、丙三人相互比较各自的糖果数．甲说：“我有13颗，比乙少3颗，比丙多1颗．”乙说：“我不是最少的，丙和我差4颗，甲有11颗．”丙说：“我比甲少，甲有10颗，乙比甲多2颗．”如果每人说的三句话中都有一句是错的，那么糖果数最少的人有颗糖果．二、解答题：每小题15分，共60分，每题都要写出推算过程。
第十四届希望杯2试试题(附答案)
希望杯第十四届(2003年)初二年级第二试试题一、选择题1．y －2x ＋1是4xy －4x 2－y 2－k 的一个因式，则k 的值是【 】A ．OB ．—lC ．1D ．4 2．不等式0≤ax＋5≤4的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是【 】 A ．a≤-45 B ．a<－1 C ．－45≤a<－l D ．a ≥-45 3．整数x,y 满足不等式x 2＋y 2＋1≤2x＋2y ．则x ＋y 的值有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，在矩形ABCD 中．AE 、AF 三等分∠BAD，若BE ＝2，CF ＝1，则最接近矩形面积的是【 】A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，Rt△ABc 中,∠c＝90°，∠DAF＝31∠DAB，∠EBG＝31∠EBA．则射线AF 与BG 【 】 A 平行B ．延长后相交C ．反向延长后相交D ．可能平行也可能相交6．If the radius(半径)of circleⅢin the figure(如图)is 43of the radius of circle Ⅱ，and the radius of circle Ⅱ is54of the radius0f circle I ，then the area of the shaded region is what part ofthe area of circIe I? 【 】 A ．257 B ． 209 C ．53 D ．25167．凸n 边形(n≥4)中，不算两个最大的内角，其余内角的和为1100°．则n 等于【 】 A ．12 B ．1l C ．10或9 D ．108．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形【 】A.不可能是等腰三角形 B ．不可能是直角三角形 C ．不可能是等边三角形 D ．不可能是钝角三角形9．数轴上的点A 、B 、P 分别对应数－l 、－4、x ，并且P 与A 的距离大于P 与B 的距离。
八年级数学第15届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第15 届“希望杯”第2 试试题一、选择题 ( 每题 5 分，共 50 分 )1. 方程 |x+1|+|x-3|=4的整数解有()(A)2 个(B)3 个(C)5 个(D) 无量多个2. 若等式对随意的x(x ≠ ±3) 恒建立，则mn=( )(A)8(B)-8(C)16(D)-163.若 x＞ z， y＞ z，则以下各式中必定成立的是 ( )(A)x+y ＞ 4z(B)x+y ＞3z(C)x+y ＞ 2z(D)x+y ＞ z4. 规定 [a] 表示不超出 a 的最大整数，当x=-1 时，代数式2mx3-3nx+6 的值为 16，则[ m-n]=()(A)-4(B)-3(C)3(D)45.如图 1，在 ABCD中， AC与 BD订交于 O，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，那么图中的全等三角形共有 ( )(A)5 对(B)6 对(C)7 对(D)8 对6. 如图 2，在直角扇形ABC内，分别以AB和 AC为直径作半圆，两条半圆弧订交于点D，整个图形被分红S1， S2， S3， S4四部分，则S2和 S4的大小关系是 ( )(A)S 2＜ S4(B)S 2=S4(C)S 2＞ S4(D) 没法确立7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1，simplify an algebraic expression,then=( )(A)|m|-1(B)-|m|+1(C)m-1(D)-m+1( 英小典simplify：化；algebraic expression：代数式)8. 二 (1) 班共有 35 名学生，此中的男生和的女生自行上学，那么班自行上学的学生的人数最少是( )(A)9(B)10(C)11(D)129.李昨天按序先后收到 A、 B、 C、 D、 E 共 5 封子件，假如他每次都是第一答复最新收到的一封子件，那么在以下序：②CEDBA③ACBED④DCABE中，李可能答复的件①BAECD序是( )(A) ①和②(B) ②和③(C) ③和④(D) ①和④10. 有 A、B、C 三把刻度尺，它的刻度都是从0 到 30 个位 ( 位度各不同样) ，三把尺子的 0 刻度和 30 刻度到尺子的度能够忽视不，用此中的一把尺子量度另两把尺子的度 . 已知用 C 尺量度，得 A 尺比 B 尺 6 个位；用 A 尺量度，得 B 尺比 C尺10 个位；用 B 尺量度， A 尺比 C 尺( )(A)15个位(B) 短15 个位(C) 5 个位(D) 短5 个位二、填空 ( 每小 5 分，共 50 分 )11.若方程 |1002x-1002 2|=1002 3的根分是 x1和 x2， x1 +x2=______.12.分解因式： a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.13. 于随意的自然数n，有f(n)=，f(1)+f(3)+f(5)+⋯+f(999)=______.14.x 1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且，，，，，, 则 x1x2x3x4x5x6=______.15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD， AE= DE，CE⊥AD， CE is a bisector to ∠BCD， then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.( 英汉小字典trapezoid：梯形；bisector：均分线；ratio：比值；quadrilateral：四边形 )16. 已知 a， b， c， d 为正整数，且，，则的值是______ ；的值是 ______.17. 一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有 ______ 种可能，它的最大值是______.18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推动舱三个舱构成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为 4859mm、 5000mm、 5741mm，那么这三个舱中长度最大的是 _____mm，长度最小的是_____mm.19. 若 (|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是______，最小值是 _____.20.图 4 是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，此中相关房产城建的热线电话有30 个，那么相关环境保护的电话有_____个；假如每年按52 周计算，每周接到的热线电话的数目同样，那么“市民热线”一年内接到的热线电话有 ______个 .三、解答题 ( 每题 10 分，共 30 分 )21. 民航规定：游客能够免费携带a千克物件，若超出 a 千克，则要收取必定的花费，当携带物件的质量为 b 千克 (b ＞ a) 时，所交花费为Q=10b-200( 单位：元).(1)小明携带了 35 千克物件，质量大于 a 千克，他应交多少花费？(2)小王交了 100 元花费，他携带了多少千克物件？(3) 若收费标准以超重部分的质量m( 千克 ) 计算，在保证所交花费Q不变的状况下，试用m 表示 Q.22.如图 5，一张矩形纸片 ABCD的边长分别为 9cm 和 3cm，把极点 A 和 C 叠合在一同，获得折痕 EF.(1)证明四边形 AECF是菱形；(2)计算折痕 EF 的长；(3)求△ CEH的面积 .23. 如图 6，用水平线与竖直线将平面分红若干个边长为 1 的正方形格子，点O、 A、 B 均在正方形格子的极点( 格点 ) 处，此中点O与点 A 位于同一水平线上，相距 a 格，点 O与点 B 位于同一竖直线上，相距 b 格.(1)若 a=5， b=4，则△ OAB中( 包含三条边 ) 共有多少个格点？(2) 若 a， b 互质，则在线段AB上 ( 不包含 A、 B 两点 ) 能否有格点？证明你的结论.(3)若 a， b 互质，且 a＞ b＞ 8，△ OAB中 ( 包含三条边 ) 共有 67 个格点，求 a， b 的值 .参照答案一、 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B7.D8.D9.B10.A二、 11.200412.(a2+b2 +ab) 213.514.615.7:916.21 ；717.2 ；8018.2941 ； 205919.15 ； -620.45 ；7800三、 21.(1)Q=35 ×10 -200=150( 元 ) ；(2)设小王携带了 x 千克物件，则10x-200=100 ，解得 x=30.(3)已知最多能够免费携带 a 千克物件，则10a-200=0 ，解得 a=20.所以 m=b-a=b-20 ，即 b=m+20.故所交花费Q=10b-200=10(m+20)-200=10m( 元 ).22.(1)如图1，由于AB∥CD，所以AF∥CE，CF∥HE，依据对称性，知∠ CEH=∠AED，由于D、E、 C 三点共线，所以A、 E、H三点共线，所以AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形 . 又AF=CF，所以四边形AECF是菱形 .(2) 设 AF=x，则CF=x，BF=9-x.222在△ BCF中， CF =BF+BC，所以 x2=(9-x)2+32，解得 x=5，即 CF=5， BF=4.过 E 作 EM⊥AB 交 AB于 M，则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，EM=3.所以.(3)依据对称性，知△ CEH≌△ AED，所以 S△CEH=S△AED= DE·AD= (AF- MF)·AD=×4×3=6(cm2).23.(1)如图2，a=5，b=4，△ OAB中(包含三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若 a， b 互质，假定线段 AB上存在某一点 P(恰为格点 ) ，可设点 P 到点 O的水平距离为 x，竖直距离为 y(x ， y 均为整数 ) ，则S△AOB= S△AOP+S△BOP= ay+ bx，所以ab= ay+ bx，即 ab=ay+bx ， ay=b(a-x).由于 a， b 互质，所以 a-x 是 a 的倍数，它与a-x ＜ a 矛盾，所以，假定不正确，即线段AB上 ( 除 A、 B 两点外 ) 不存在其余格点.(3)由 (2) 知，线段 AB上 ( 除 A、B 两点外 ) 不存在其余的格点 .以 OA、OB为边作一个矩形OACB，则在△ CAB中格点的个数与△ OAB 中格点的个数同样，且只有 A、B 两点是公共的，而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).所以， (a+1)(b+1)+2=2 ×67=134，(a+1)(b+1)=132=2 ×2×3×11.由 a＞b＞ 8，得 a+1=12，b+1=11，即 a=11， b=10.。
2017年希望杯五年级第2试
2017年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试试题一、填空题（每题5分，共60分）1、计算：（2.016＋201）×201.7—20.16×（20.17＋2010）＝。
2、定义：a*b＝a×b＋a—2b，若3*m＝17，则m＝。
3、在表1中，8位于第3行第2列，2017位于第a行第b列，则a—b＝。
4、相同的3个直角梯形的位置如图1所示，则∠1＝。
5、张超和王海在同一家文具店买同样的练习本和铅笔，张超买了5个练习本和4支铅笔，付了20元，找回3.5元；王海买了2个练习本和2支铅笔，正好7元整，则练习本每个元。
6、数a，b，c，d的平均数是7.1，且2.5×a＝b—1.2＝c＋4.8＝0.25×d，则a×b×c×d ＝。
7、如图2，小正方形的面积是1，则图中阴影部分的面积是。
8、将2015，2016，2017，2018，2019这五个数分别填在图3中写有“D，O，G，C，W”的五个方格内，使得D＋O＋G＝C＋O＋W，则共有种不同的填法。
9、不为0的自然数a满足以下两个条件：（1）0.2a＝m×m；（2）0.5a＝n×n×n，其中m，n为自然数，则a的最小值是。
10、如图4是一个玩具钟，当时针转一圈时分针转9圈，若开始时两针重合，则当两针下次重合时，时针转过的度数是。
11、若六位数2017ab能被11和13整除，则两位数ab＝。
12、甲、乙、丙三人相互比较各自的糖果数。
甲说：“我有13颗，比乙少3颗，比丙多1颗。
”乙说：“我不是最少的，丙和我相差4颗，甲有11颗。
”丙说：“我比甲少，甲有10颗，乙比甲多2颗。
”如果每人说的三句话中都有一句话是错的，那么糖果数最少的人有颗糖果。
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程。
13、自然数a，b，c分别是某个长方体的长、宽、高的值，若两位数ab，bc，满足ab＋bc＝79，求这个从长方体的体积的最大值？14、李老师带领学生参观科技馆，学生人数是5的倍数，根据规定，教师、学生按票价的一半收费，且恰好每个人所付的票价为整数，共付了1599元，问：（1）这个班有多少名学生？（2）规定的票价是每人多少元？15、如下图，ABCD是长方形，AEFG是正方形，若AB＝6，AD＝4，S△ADE＝2，求S△ABG？16、某天爸爸开车送小红到距学校1000米的地方后，让她步行去学校，结果小红这天从家到学校用了22.5分钟，若小红骑自行车从家到学校需40分钟，她平均每分钟步行80米，骑自行车比爸爸开车平均每分钟慢800米，求小红家到学校的距离？2017年小学第十五届“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试答案解析一、填空题（每题5分，共60分）1、答案：20.1解析：【考查目标】小数的简便计算。
希望杯第十届(1999年)初中一年级第2试试题(附参考答案)
希望杯第十届（1999年）初中一年级第2试试题一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.11999的相反数是( ). (A)1999 (B)-1999 (C)-11999; (D)11999-2.已知a 、b 、c 都是负数,并且│x-a │+│y-b │+│z-c │=0,则xyz 是( ). (A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数3.下面四个命题中正确的是( ). (A)相等的两个角是对顶角(B)和等于180°的两个角是互为邻补角 (C)连接两点的最短线是过这两点的直线(D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直 4.a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)111c a c b a b >>---; (B)111b c c a b a >>--- (C)111c a b a b c >>---; (D)111a b a c b c>>--- 5.7-a 的倒数的相反数是-2,那么a=( ). (A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.5 6.一个角的补角的117是6°,则这个角是( ). (A)68° (B)78° (C)88° (D)98° 7.如果ac<0,那么下面的不等式:a c<0;ac 2<0;a 2c<0;c 3a<0;ca 3<0中,必定成立的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).(A)3 (B)1 (C)7 (D)99.已知0≤a ≤4,那么│a-2│+│3-a │的最大值等于( ). (A)1 (B)5 (C)8 (D)310.若n 是奇自然数,a 1,a 2, …,a n 是n 个互不相同的负整数,则( ).(A)(a 1+1)(a 2+2)…(a n +n) 是正整数; (B) (a 1-1)(a 2-2)…(a n -n) 是正整数.CA(C)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数; (D)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数.二、填空题(每小题6分,共60分)11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘米. 12.1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=__13.P 是长方形ABCD 的对角线BD 上的一点,M 为线段PC 的中点.如果三角形APB 的面积是2平方厘米,则三角形BCM 的面积等于___________平方厘米.14.五位数538xy 能被3,7和11整除,则x 2-y 2=_________. 15.如图,OM 平分∠AOB,ON 平分∠COD.若∠MON=50°, ∠BOC=10°,则∠AOD= _______.16.三个不同的质数,a,b,c 满足ab bc+a=200,则a+b+c=_______. 17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数,使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________.18.A 、B 两个港口相距300公里.若甲船顺水自A 驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C 处相遇.若乙船顺水自A 驶向B,甲船同时自B 逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C 、D 相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.19.已知x=1999,则∣4x 2-5x+9∣-4∣x 2+2x+2∣+3x+7=__________.20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程.21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积.22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?OM N DCB A1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、选择题 1.根据相反数的定义,11999的相反数是-11999,选(C).2.由绝对值定义│x-a │≥0,│y-b │≥0,│z-c │≥0.而已知│x-a │+│y-b │+│z-c │=0,当且仅当│x-a │=│y-b │=│z-c │=0,即x=a 且y=b 且z=c.已知a, b,c 均为负数,则x,y,z 均为负数,因此xyz 是负数.选(A).3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC 与∠BOC 不是对顶角,排除(A).如图9,a ∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B). 两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义.4.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此110 ①a c a b<<-- 110 ②a c b c<<-- 由①有 110 ③c a b a><-- 由②有110 ④c a c b><-- 由②知,应排除(D),由10a b>- 及④可知应排除(A).由10b c >-及③可知应排除(C), 肯定(B),所以应选(B).5.7-a 的倒数是17a -,17a -的相反数是-1177a a =--.依题意列方程:127a =--. 解得:a=6.5,选(D)6.设这个角为a,a 的补角等于180°-a,其117为018017α-,依题意它是6°,所以018017α-=6°. 解得α=78°.选(B).(8)OCBA(9)ab217.由ac<0,可知a ≠0,c ≠0,a,c 符号相反.所以a c<0,而a 2>0,c 2>0,因此a 2·ac<0,ca 3<0,且c 2ac<0,c 3a<0.若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a 2·c=1>0; 若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a ·c 2=1>0; 可见,ac 2<0,a 2c<0 不一定成立. 所以ac<0时,只有a c<0,c 3a<0,ca 3<0 三个不等式必然成立.选(C). 8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D).9.①当0≤a ≤2时,│a-2│+│3-a │=2-a+3-a=5-2a ≤5,当a=0时达到最大值5. ②当2<a ≤3时,│a-2│+│3-a │=a-2+3-a=1 ③当3<a ≤4时,│a-2│+│3-a │=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.当a=4时,达到最大值3.综合①、②、③的讨论可知,在0≤a ≤4上,│a-2│+│3-a │的最大值是5,选(B). 10.a 1,a 2,…,a n 是n 个互不相同的负整数,其中n 是奇自然数. 若a 1=-1,a 2=-2,a 3=-3,…,a n =-n,时,(a 1-1)(a 2-2)…(a n -n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)n2×4×6×…×(2n)<0(因为n 是奇数),故排除(B).若a 1=-1时,111a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,故12111120n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除(C).故选(D). 实事上,若a 1<0, a 2<0,…, a n <0,则121110,0,,0na a a ->->->, 所以1211110,20,,0nn a a a ->->->, 所以1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>0,故选(D).二、填空题11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条.(11)DB图中所有线段长度之和为 1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米). 12.设s=1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又s=1213214321494812334445555505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相加得 2s=1+2+3+4+…+49, 又 2s=49+48+47+…+2+1, 相加得 4s=50×49=2450, 故 s=612.513.根据题意画图,如图12所示.连接AC 交BD 于O,则△ABO 的面积等于△CBO 的面积,△APO 的面积等于△CPO 的面积.因此,△ABP 的面积等于△CBP 的面积,所以由△APB 面积是2平方厘米,可知△CBP 面积是2平方厘米.而BM 是△CBP 的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM 的面积等于1平方厘米.14.由于五位数538xy 能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除538xy . 试除知 231×230=53130 231×231=53361 231×232=53592 231×233=53823 231×234=54054 可见x=2,y=3.x 2-y 2=4-9=5. 15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD =2∠MOB+∠BOC+2∠CON =2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC =2∠MON-∠BOC =2×50°-10° =90° 16.易知a(b bc+1)=2000=24×53. 若a=5,则b b c+1=400, ∴b bc=399=3×133=3×7×19无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a ≠5. 只能取a=2,此时b bc+1=1000, ∴ b bc=999=33×37,则b=3,c=37,(12)2PMDCBA10︒(13)OM NDCB A因此,a+b+c=2+3+37=42.17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 72×1364=98280(两个8重复,不合要求). 71×1365=96915(两个9重复,不合要求). 70×1365=95550(三个5重复,不合要求). 69×1365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185.18.已知A 、B 两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v 公里/ 小时,小流速为x 公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.甲船自A 顺水,乙船自B 逆水同时相向而行,相遇在C 处时间为:300300(27)()27x v x v=++-+同理,乙船自A 顺水,甲船自B 逆水同时相向而行,相遇在D 处所需时间为:300300(27)()27x v x v=-+++可见,两个时间相等. 由图易见,30027v+小时中,乙船比甲船多走30公里,即:300300()(27)302727v x x v v+-+=++, []300()(27)3027v x x v+-+=+,2712710v v -=+,v=33. 如果C 在D 的右边,由图15易见,30027v+小时中,甲船比乙船多走30公里,即:300300(27)()302727x v x v v+•-+•=++,v=22111.答:若C 在D 的左边,乙船速度是33公里/小时;若C 在D 的右边,乙船速度是22111公里/小时.19.由观察可知,当x ≥1时,4x 2-5x+9>0,x 2-2x+2>0, 所以,当x=1999时,原式=4x 2-5x+9-4(x 2-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表:1 2 3 4 5 甲 ∨ ∨ 乙 ∨ ∨ 丙 ∨ ∨ 丁 ∨ ∨ 戊∨∨由于每人的出赛顺序至少被一人猜中,戊被猜测的两个顺序号都是第四、 故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛.答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A 的面积是1 平方厘米,它的边为长1厘米.设最大正方形B 的边长为x 厘米,则C 的边长为(x-1)厘米,D 的边长为(x-2)厘米,E 的边长为(x-3)厘米,F 的边长也为(x-3)厘米.根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)于是,C 的边长为6厘米,D 的边长为5厘米,E 和F 的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米). 22.①设这组四位数共n 个,分别为a 1=42x 1, a 2=42x 2, a 3=42x 3,…, a n =42x n ,其中的每个 a i =42x i 是四位数, 所以1000≤42x i <10000,100010000232394242i x <≤<<. ②由题设知90090=[a 1,a 2,…,a n ]=[42x 1, 42x 2,…, 42x n ]=42[x 1, x 2,…, x n ] 所以 [x 1, x 2,…, x n ]=9009042=2145=3×5×11×13,其中23<x i <239. (*) 可知x i 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.a 1=42×33=1386, a 2=42×39=1638, a 3=42×55=2310, a 4=42×65=2730, a 5=42×143=6006, a 6=42×165=6930, a 7=42×195=8190.它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190. 答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.。
第17届希望杯初1第1试
第17届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中一年级 第1试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号1．在数轴上，点A 对应的数是2006-，点B 对应的数是17+，则A ，B 两点的距离是（ ） A ．1989 ` B ．1999 C ．2013 D ．2023 2．有如下四个命题：① 两个符号相反的分数之间至少有一个正整数； ② 两个符号相反的分数之间至少有一个负整数； ③ 两个符号相反的分数之间至少有一个整数； ④ 两个符号相反的分数之间至少有一个有理数． 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ，3 D ．43．右图是希望中学学生参加课外活动情况的扇形统计图，其中参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的（ ） A ．12% B ．22%C ．32%D ．20%4．设23a m a +=+，12a n a +=+，1ap a =+．若3a <-，则（ ） A ．m n p << B ．n p m << C ．p m n << D ．p m n <<5．下图的交通标志中，轴对称图形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6．对于数x ，符号[]x 表示不大于x 的最大整数．例如[]3143=，，[]7598-=-，，则满足关系式3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的x 的整数值有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个7．在右图所示的44×的方格表中，记ABD α∠=，DEF β∠=，CGH γ∠=，则（ ）A ．βαγ<<B ．βγα<<C ．αγβ<<D ．αβγ<< 8．方程7x y z ++=的正整数解有（ ） A ．10组 B ．12组C ．15组D ．16组9．如右图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形．O 是BF 与EG 的交点．如果正方形ABCD 的面积是9平方厘米，2CG =厘米，则三角形DEO 的面积是（ ） A ．6.25平方厘米 B ．5.75平方厘米数学绘画26%其他35%英语17%γβαE BHFG DC A C OG A B EDC ．4.50平方厘米D ．3.75平方厘米10．有如下四个叙述：① 当01x <<时，2111x x x <-++； ② 当01x <<时，2111x x x >-++；③ 当10x -<<时，2111x x x <-++；④ 当10x -<<时，2111x x x>-++．其中正确的叙述是（ ） A ．①③ B ．②④C ．①④D ．②③二、A 组填空题11．神舟六号飞船的速度是7.8千米/秒，航天员费俊龙用3分钟在舱内连做4个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了 千米．12．已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ． 13．下图为某工厂2003年至2005年的利润和总资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是 年．（注：资产利润率100%=利润×总资产）利润表 总资产表2003 2004 2005年份2003 2004 2005年份14．计算：2113170.12511316_______________11128⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--． 15．右图是一个程序流程图，图中“结束“处的计算结果是 ．16．Assume that the reciprocal of 2m -is 1124m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，then the valueof 221m m+is ．（英汉词典：to assume 假设；reciprocal 倒数；value 值）17．n 是自然数，如果20n +和21n -都是完全平方数，则n 等于 ．18．If 2x =is a solution of the equation 111471019632x a ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭， then ________a =．（英汉词典：solution 解；equation 方程）19．将()22123x x +-展开，所得多项式的系数和是 ．20．如下图所示，图的周长为4个单位长度，在圆的4个分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006-将与圆周上的数字 重合．三、B 组填空题21．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成27块大小相同的小正方体，在这些小正方体中，没涂漆的有 块，至少被漆2个面的有 块． 22．如右图所示，在三角形ABC 中，90ABC ∠=，8AC =厘米，6BC =厘米，分别以AC ，BC 为边作正方形AEDC ，BCFG ，则三角形BEF 的面积是 平方厘米，六边形AEDFGB的面积是 平方厘米．23十大沙漠的总面积为 万平方千米．已知地球陆地面积为1.49亿平方千米，占地球表面积的29.2%，则十大沙漠的总面积占地球表面积的 %（保留三位有效数字）．24．甲自A 向B 走了5.5分钟时，乙自B 向A 行走，每分钟比甲多走30米，他们于途中C 处相遇，甲自A 到C 用时比自C 到B 用时多4分钟，乙自C 到A 用时比自B 到C 用时多3分钟．则甲从A 到C 用了 分钟，A ，B 两处的距离是 米．25．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9按任意顺序写成一排，其中相邻的3个数字组成一个三位数，共有七个三位数，对这三个三位数求和，则数字1~9的每一种排列对应一个和（如将数字1~9写成1，3，4，2，7，5，8，9，6，可组成134，342，427，275，758，589，896这七个三位数，它们的和是3421）．所求得的和中，最大的数是 ，最小的数是 ．解 答一、选择题 1．D【解析】 A ，B 两点间的距离是()1720061720062023+--=+=．故选D 2．B【解析】 如12-和12之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．0介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选B ． 3．B【解析】 参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的100%17%26%35%22%---=．故选B4．C【解析】 因为21133a a a +=-++，11122a a a +=-++，1111a a a =-++． G B又1230a a a +<+<+<，可得()()()0321a a a <-+<-+<-+，所以111123a a a -<-<-+++， 因为12123a a a a a a ++<<+++． 故选C 5．C【解析】 第一、三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选C ． 6．D【解析】 解不等式37457x +<≤，得整数解789x =，，． 故选D ． 7．B【解析】 观察图形，易知90ABD α∠=>，90DEF β∠=<，90CGH γ∠==，所以βγα<<． 故选B ．8．C【解析】 因为x ，y ，z 均为正整数，且7x y z ++=，所以15x ≤≤．下面分类讨论： 当1x =时，有5组解； 当2x =时，有4组解； 当3x =时，有3组解； 当4x =时，有2组解； 当5x =时，有1组解．共计5432115++++=（组）解． 故选C9．A【解析】 如右图，连结BD ，易知BD EG ∥，所以EDO △与BEO △的面积相等．由于O 是正方形BEFG 的对角线BF 与EG 的交点， 所以BEO △的面积等于正方形BEFG 面积的四分之一． 因为正方形ABCD 的面积是9平方厘米， 所以边长3BC =厘米． 又2CG =厘米，因为5BG =厘米，正方形BEFG 的面积等于25平方厘米．所以EDO △的面积BEO =△的面积256.254==（平方厘米）． 故选A ．10．C【解析】 当01x <<时，311x +>，所以①正确，②不正确；G当10x -<<时，311x +<，所以③不正确，④正确． 故选C ．二、A 组填空题 11．351【解析】 费俊龙“翻”一个跟斗的时间为()3604⨯÷秒，神舟六号飞船飞行的速度为7.8千米/秒，所以在费俊龙“翻”一个跟斗的时间内飞船飞行了7.83604351⨯⨯÷=（千米）．12．50【解析】 因为3a b +=，()2230a b ab ab a b +=+=-，所以10ab =-．故()()22221131133101150a ab b a b ab -++=+-+=-⨯-+=．13．2004【解析】 计算得2003年的资产利润率300100%10%3000=⨯=， 2004年的资产利润率360100%11.25%3200=⨯=，2005年的资产利润率480100%9.6%5000=⨯=．所以资产利润率最高的年份是2004年．14．16【解析】21131613170.12511721316817161131288⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+÷-⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==--． 15．32-【解析】 只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是2-的5次方，等于32-．16．94译文：如果2m -的倒数是1124m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，那么221__________m m +=．【解析】 由条件知4212m m--=+，即()1224m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．2120m m-+=． 所以112m m -=，两边平方，再整理得22194m m +=．17．421【解析】 设220n a +=，221n b -=（a ，b 均为整数），则()()2241a b a b a b -=-+=，且22a b >，又因为41是质数，所以141.a b a b -=⎧⎨+=⎩， 或411.a b a b -=⎧⎨+=⎩，或141.a b a b -=-⎧⎨+=-⎩，或411.a b a b -=-⎧⎨+=-⎩，方程组的两式相加，得242a =，或242a =-， 即21a =，或21a =-，从而22044120421n a =-=-=．18．4-译文：已知2x =是方程111471019632x a ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭的解，那么______a =． 【解析】 从外向里逐层去括号：1147109632x a ⎡+⎤⎛⎫+-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 11471632x a ⎡+⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 147632x a +⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，14132x a +⎛⎫+=⎪⎝⎭， 432x a++=， 12x a+=， 2x a +=-．将2x =代入上式得4a =-．19．0【解析】 多项式1210121n n n n n a x a x a x a x a ---+++++的系数和为0121n n a a a a a -+++++，故只须令多项式1210121n n n n n a x a x a x a x a ---+++++的1x =即可．所以()22123x x +-的展开式的系数和为()21230+-=．20．3【解析】 因为()()20061200550141---==⨯+，所以数轴上的数2006-与圆周上的数3相对应．三、B 组填空题 21．1；20【解析】 8个角上的小正方体三面涂漆，12条棱上各有1块小正方体两面涂漆，6个面上各有1块小正方体一面涂漆，还剩1块中心的小正方体没有涂漆． 所以没涂漆的小正方体有1块，至少被漆2个面的小正方体有81220+=（块）．22．66；148【解析】 易知168246ABC CDF S S ==⨯⨯=△△（平方厘米），正方形ACDE 的面积2864==（平方厘米），正方形BCFG 的面积2636==（平方厘米）．所以六边形AEDFGB 的面积24246436148=+++=（平方厘米）． 连结CE ，则24CFE CFD S S ==△△（平方厘米），24CBE CBA S S ==△△（平方厘米），又26182BCF S ==△（平方厘米）．所以三角形BEF 的面积24241866=++=（平方厘米）．23．1778；3.48【解析】 十大沙漠的的总面积为86023316915510467655241321778+++++++++=（万平方千米）地球陆地面积为1.49亿平方千米41.4910=⨯万平方千米，占地球表面积的29.2%，所以地球表面积为41.491029.2%⨯÷（万平方千米）． 故十大沙漠的总面积占地球表面积的417783.48%1.491029.2%=⨯÷．24．10；1440【解析】解法1：设甲与乙相遇时甲行走了t 分钟，则甲自C 到达B 处所用时间是()4t -分钟， 乙自B 到达C 处所用时间是()5.5t -分钟， 乙自C 到达A 处所用时间是()2.5t -分钟．设甲的速度是υ米/分，则乙的速度是()30υ+米/分，列方程组，得 ()()()()()2.5304 5.530.t t t t υυυυ⎧=-+⎪⎨-=-+⎪⎩，即30 2.575030 1.51650.t t υυ--=⎧⎨--=⎩，解得1090.t υ=⎧⎨=⎩，所以A ，B 两处的距离的()2416901440t υ-=⨯=（米）．解法2：设甲的速度是υ米/分，则乙的速度是()30υ+米/分．列方程组，得()4330.AC BC AC BC υυ-=⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得90υ=．又设甲与乙相遇时乙行走了t 分钟，则()()5.5909030904t t +⨯-+=⨯， 解得 4.5t =．所以甲从A 到C 所用时间是5.5 4.510+=（分）， A ，B 两处的距离为()90109030 4.51440⨯++⨯=（米）． 25．4648；3122【解析】 设排列的九个数为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ．依题意知，所求的七个三位数的和为()10011011111abc bcd cde def dfg fgh ghi a b c d e f g h i ++++++=++++++++，为使所求的七个三位数的和最大，应选取3a =，4b =，~c g 选5~9，2h =，1i =， 此时，最大的和为4648．为使所求的七个三位数的和最小，应选取7a =，6b =，~c g 选1~5，8h =，9i =， 此时，最小的和为3122．。
七年级数学第17届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学第18届“希望杯”第1试试题一、选择题（每题4分，共40分）1．a 和b 是知足ab ≠0的有理数，现有四个命题：①422＋－b a 的相反数是422＋－b a；②a －b 的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差；③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）3．在代数式xy 2中，x 与y 的值各减少25%，那么该代数式的值减少了（ ） （A ）50%（B ）75%（C ）6427 （D ）6437 4．假设a ＜b ＜0＜c ＜a ，那么以下结论中，正确的选项是（ ）（A ）a ＋b ＋c ＋d 必然是正数 （B ）d ＋c －a －b 可能是负数 （C ）d －c －b －a 必然是正数 （D ）c －d －b －a 必然是正数 5．在图1中，DA ＝DB ＝DC ，那么x 的值是（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）40 6．已知a ，b ，c 都是整数，m ＝｜a ＋b ｜＋｜b －c ｜＋｜a －c ｜，那么（ ）（A ）m 必然是奇数 （B ）m 必然是偶数（C ）仅当a ，b ，c 同奇偶时，m 是偶数 （D ）m 的奇偶性不能确信 7．三角形三边的长a ，b ，c 都是整数，且[a ，b ，c ]＝60，（a ，b ）＝4，（b ，c ）＝3．（注：[a ，b ，c ]表示a ，b ，c 的最小公倍数，（a ，b ）表示a ，b 的最大公约数），那么a ＋b ＋c 的最小值是（ ） （A ）30 （B ）31 （C ）32 （D ）338．如图2，矩形ABCD 由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（ ） （A ）40个 （B ）38个 （C ）36个 （D ）34个9．设[a ]是有理数，用[a ]表示不超过a 的最大整数，如[]＝1，[－1]＝－1，[0]＝0，[－]＝－2，那么在以下四个结论中，正确的选项是（ ） （A ）[a ]＋[－a ]＝0 （B ）[a ]＋[－a ]等于0或－1 （C ）[a ]＋[－a ]≠0 （D ）[a ]＋[－a ]等于0或110．On the number axis ，there are two points A and B corresponding to numbers 7 andb respectively ，and the distance between A and B is less than 10．Let m ＝5－2b ，then the range of the value of m is （ ）（A ）－1＜m ＜39 （B ）－39＜m ＜1 （C ）－29＜m ＜11 （D ）－11＜m ＜29 （英汉字典：number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于…；respectively 别离地；distance 距离；less than 小于；value 值；range 范围）二、填空题（每题4分，共40分） 11．121－265＋3121－42019＋5301－64241＋7561－87271＋9901＝_______．A BCD 图2图3ABDE FG NQH P SX Y ZRMA︒30︒50x图1D12．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于______． 13．图3是一个小区的街道图，A 、B 、C 、…X 、Y 、Z 是道路交叉的17个路口，站在任一路口都能够沿直线看到那个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设__________个岗哨．14．若是m －m1＝－3，那么m 3－31m ＝____________．15．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2006112005111007111006111005111004112006200554321－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋ ＝__________．16．乒乓球竞赛终止后，将假设干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全数发完．这些乒乓球共有______个．17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和别离为29，23，21和17岁，那么这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁．18．初一（2）班的同窗站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发觉两次报数时，报“20”的两名同窗之间（包括这两名同窗）恰有15人，那么全班同窗共有________人． 19．2m ＋2006＋2m（m 是正整数）的末位数字是__________．20．Assume that a ，b ，c ，d are a ll integers ，and four equations (a －2b )x ＝1，(b －3c )y ＝1，(c －4d )z ＝1，w ＋100＝d have always solutions x ，y ，z ，w of positive numbers respectively ，then the minimum of a is ____________．（英汉词典：to assume 假设；integer 整数；equation 方程；solution （方程的）解；positive 正的；respectively 别离地；minimum 最小值）三、解答题（本大题共3小题，第21题10分，第2二、23题15分共40分）要求：写出推算进程． 21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．如图4所示，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点．连结AO 并延长交BC 于D ，连结CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积．A B C DEF O 图423．教师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．教师乘一辆摩托车，速度25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时动身后都抵达博物馆的时刻不超过3小时．第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试 参考答案一、选择题一、C ，提示：①②④正确，③错误。
八年级数学第9届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第9届“希望杯”第2试试题一、选择题:（每题6分，共60分）1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 3＋a 2c －abc ＋b 2c ＋b 3的值为[ ] A ．－1.B ．0.C ．1.D ．22．适合关系式｜3x －4｜＋｜3x ＋2｜＝6的整数x 的值的个数是 [ ] A ．0. B ．1. C ．2. D ．大于2的自然数.3．已知x ＜0＜z ，xy ＞0，｜y ｜＞｜z ｜＞｜x ｜，那么 ｜x ＋z ｜＋｜y ＋z ｜－｜x －y ｜的值 [ ] A ．是正数. B ．是负数. C ．是零. D ．不能肯定符号. 4.863863++-的值为[ ] A.32; B.23; C.52; D.25.5．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是 [ ] A ．140°.B ．80°或100°.C ．100°或140°.D ．80°或140°6．如图15，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是[ ] A ．60°; B ．65°; C ．70°; D ．75°.7.若对于±3之外的一切实数x,等式28339m n xx x x -=+--均成立,则mn 的值为[ ] A ．8 B ．－8. C ．16 D ．－168.已知N ＝2222……2（共k 个2），若N 是1998的倍数， 那么符合条件的最小的k 值是 [ ] A ．15 B ．18. C ．24 D ．279.在方程组33336x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中,x,y,z 是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为[ ] A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于310．如图16，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是 [ ]A．CF＞GB B．CF＝GB. C．CF＜GB D．无法肯定的二、填空题（每题6分，共60分）11．把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________. 12．设实数x知足方程｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________.13.设x=3352-,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________.14. 199819992000200114⨯⨯⨯+的值为_________.15．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC，则∠DCE的大小是________.16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是________.17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC于H，则BM与CE的大小关系是________.18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的极点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为______；一样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为_________.19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，别离以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________.20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰着一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的距离时间x＝________.三、解答题（每小题15分，共30分）解答本题时，请写出推算进程.21.已知n,k均为自然数,且知足不等式761311nn k<<+.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p ＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，通过若干轮这种分法后，甲总共取得20块糖，乙取得10块糖，丙取得9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p、q、r别离是哪三个正整数？为何？答案·提示一、选择题题号答案1 B2 C3 C4 A5 D6 B7 D8 D9 A10 B提示：1．a3＋a2c－abc＋b2c＋b3＝（a3＋b3）＋（a2＋b2）c－abc＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＋（a2＋b2）c－abc＝（a＋b）（a2＋b2）－ab（a＋b）＋（a2＋b2）c－abc∵a＋b＋c＝0∴a＋b＝－c∴原式＝－c（a2＋b2）＋abc＋（a＋b）c－abc＝0∴选B.2．解（1）当3x－4≥0时，即3x≥4时，原式为3x－4＋3x＋2＝6.当－2≤3x＜4时.原式为4－3x＋3x＋2＝6，即6＝6（2）由已知｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6＝｜（3x－4）－（3x＋2）｜∴（3x－4）－（3x＋2）≤0.∴－2≤3x≤4.∴x1＝0，x2＝1，∴选C.3．由已知条件，可在数轴上标出x、y、z三数，如图22.∴x＋z＞0，y＋z＜0，x－y＞0.∴原式＝x＋z－y－z－x＋y＝0.∴选C.5．△ABC中，若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°. 若∠C＝40°，则∠C的外角为140°.∴选D.6．如图23，取DE的中点G，连接AG.在Rt△AED中，AG为斜边上的中线∴∠AGB＝∠ABG.又∵AG＝GD∴∠AGB＝2∠ADG∵AD∥BC∴∠ADG＝∠DBC∴∠ABG＝∠AGB＝2∠ADG＝2∠DBC又∵∠ABC＝75°∴∠ABG＝50°，∠DBC＝25°∴∠AED＝∠BEF＝90°－∠EBF＝90°－25°＝65°.∴选B.8．∵1998＝2×9999．∵x3＋y3＋z3－3xyz＝（x＋y＋z）（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx）＝0.∴x3＋y3＋z3＝3xyz∴3xyz＝－36即xyz＝－12∴x，y，z中必然是两正一负，且x＋y＋z＝0∴x，y，z中负数的绝对值必然等于两个正数的绝对值的和.又∵12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3这四种组合中只有12＝1×2×4符合条件共有6个解，选A.10．如图24，自F作FH⊥AB交AB于H.∵AF平分∠CAB∴FC＝FH又∵△ABC中，∠ACB＝90°CD⊥AB∴∠ACD＝∠B∴∠1＝∠CAE＋∠ACD,∠2＝∠FAB＋∠B ∴∠1＝∠2，FC＝CE∴CE＝FH又∵EG∥AB∴∠CGE＝∠B在Rt△CEG和Rt△FHB中，∵CE＝FH，∠CGE＝∠B∴Rt△CEG≌Rt△FHB∴CG＝FB.∴CF＝GB，选B.二、填空题题号答案11 （x－1）2·（y－1）21213 4814 1998999.515 45°16 45°17 BM＞CE18 1080°，（n＋1）360°1920 8分钟提示：11．(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)2＝(x＋y)2－2xy(x＋y)－2(x＋y)＋4xy＋x2y2－2xy＋1 ＝（x＋y）2－2（x＋y）（xy＋1）＋（xy＋1）2＝（x＋y－xy－1）2＝（x－1）2·（y－1）2.12．｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0.∴｜x＋1｜（｜x－1｜－x）＝0.当｜x＋1｜＝0时，得x＝－1.当｜x－1｜－x＝0时，得｜x－1｜＝x，若x≥1，得x－1＝x，矛盾，舍去. 14．设2000＝k把k＝2000代入，得原式＝1998999.515．△ACD中，AC＝AD.16．∵EF是AD的垂直平分线，∴FA＝FD，∠FDA＝FAD.∵∠FDA＝∠B＋∠BAD.∠FAD＝∠CAF＋∠DAC.∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝∠DAC∴∠CAF＝∠B＝45°.17．如图25延长CE交BA延长线于F.∵∠ABE＝∠CBE. BE＝BE.∴Rt△FBE≌Rt△CBE.又∵∠ACF＝90°－∠F＝∠ABD.AB＝AC∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF.在△ABM中，∠BAM＝45°＞∠ABM.∴BM＞AM.在△AMD中，∠ADM＞45°＝∠DAM.∴AM＞MD.∴BM＞MD.18．四边形ABCD中两个点E、F把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为6×180°＝1080°.若四边形内有n个点，则以这n个点所成n个周角再加上原来四边形的内角和360°，即得n·360°＋360°＝（n＋1）·360°19．设AC＝x，BC＝l－x.∵△ACD、△BCD′均为等腰直角三角形.20．设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2，因为两辆车距离距离相等，汽车与甲是追及问题，即两车之间距离为s＝10（v1－v2）.汽车与乙是相遇问题，即两车之间距离为s＝5（v1＋3v2）.∴10（v1－v2）＝5（v1＋3v2）∴v1＝5v2.三、解答题综上得n的最大值为84，n的最小值为13.22．每一轮三人取得的糖块数之和为r＋q＋p－3p＝r＋q－2p设他们共分了n轮，则n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.∵39＝1×39＝3×13.且n≠1，不然拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖.∴n＝3或n＝13.由于每一个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况取得9＝18－np∴np＝9 p≥1.∴n≠13，只有n＝3.∴p＝3.把n＝3，p＝3代入①式得r＋q＝19.又乙得的糖块总数为10，最后一轮取得的糖块r－3块.∴r－3≤10，r≤13.若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙一定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数必然大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙取得的糖数为10块矛盾.∴r＞12 ∵12＜r≤13.∴r＝13. q＝19－r＝6.综上得p＝3，q＝6，r＝13甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：。
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八年级数学第17届“希望杯”第2试试题
一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将
表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是( )
2．要使代数式有意义，那么实数x的取值范围是( )
3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形( )
(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．
(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value
数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)
(A)是完全平方数，还是奇数． (B)是完全平方数，还是偶数．
(C)不是完全平方数，但是奇数． (D)不是完全平方数，但是偶数．
6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不
重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，
此时纸片的形状是( )
(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．
7．若a,b,c都是大于l的自然数，且ca=252b,则n的最小值是( )
(A)42． (B)24． (C)21 (D)15
(英汉词典：two-placed number两位数；number数，个数；to satisfy满足；complete square
完全平方(数)；total总的，总数)
9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或
“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，
不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，
5，7名的歌曲分别是( )
(A)D，E，H． (B)C，F，I． (C)C，E，I． (D)C，F，H．
10．设n(n≥2)个正整数1a，2a，„，na，任意改变它们的顺序后，记作1b，2b，„，nb，
若P=(1a-1b)(2a-2b)(33ba)„(na一nb)，则( )
(A)P一定是奇数． (B)P一定是偶数．
(C)当n是奇数时，P是偶数． (D)当”是偶数时，P是奇数．
二、填空题(每小题4分，共40分．)
11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，
则云梯能达到大楼的高度是______米．
15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m
等于这个凸n边形对角线条数的94，那么此n边形的内角和为_____．
16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样
的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1
分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1
米=109纳米)
19．如图2，等腰△ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且21PDAP，
BP的延长线交AC于E，若ABCS=10，则ABES=______，DECS=_______.
20．一个圆周上依次放有1，2，3，„，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，
从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，„)，并一直循环
下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或
_______．
三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
如图3，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH．EF=GH．
(1)若AE=AH=a31，求四边形EFGH的周长和面积；
(2)求四边形EFGH的周长的最小值．
22．(本小题满分15分)
已知A港在B港的上游，小船于凌晨3:00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回
穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，
在当晚23：OO时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离.
23．(本小题满分15分)
在2,3两个数之间，第一次写上5132，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上
27252和42
35
,如下所示：
第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k1.
(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；
(2)经过k次操作后所有数的和记为kS，第k+1次操作后所有数的和记为1kS，写出
1k
S
与kS之间的关系式；
(3)求6S的值.
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一．选择题(每小题4分)
二．填空题(每小题4分)
三、解答题
21．(1)如图1，连结HF．由题知四边形EFGH是平行四
边形，所以
又
所以
所以 (3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形，故∠EHG=090，四边形EFGH是矩形．
易求得
所以四边形EFGH的周长
为2a2，面积为294a．(5分)
(2)如图2，作点H关于AB边的对称点H，连结HF，交AB于E，连结
EH．显然，点E选在E处时．EH+EF的值最小，最小值等于HF
.
(7分)
仿(1)可知当AE≠AH时，亦有
(8分)
所以
因此，四边形EFGH周长的最小值为2a2．
(10分)
22．设A、B两个港口之间的距离为L，显然
(1分)
(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用
即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆
流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶
用了(16一t)小时，所以
解得 t=6 (5分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用
即小船在
内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用
了t小时，则逆流行驶用了小时，所以
解得 (12分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)
综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米． （15
分)
23．(1)第3次操作后所得到的9个数为
它们的和为255 (4分)
(2)由题设知0S=5，则
(10分)
(3)因为
所以
(15分)