2013希望杯八年级第一试
2013希望杯八年级第二试
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b cx a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时)10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
最新历届(1-24)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-24届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 015-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 021-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 028-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 033-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 042-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 049-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 056-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 062-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ........................................... 069-08012希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 076-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 085-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题............................................. 90-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................. 98-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 105-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 113-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 122-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 129-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 142-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 149-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 153-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 157-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 163-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 167-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 174-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 178-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (182)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (183)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (183)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题 ................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 ................................... 270-27323.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 ................................... 270-273 23.希望杯第二十四届（2013年）初中一年级第二试试题 ................................... 274-281 23.希望杯第二十四届（2013年）初中一年级第二试试题 ................................... 274-281希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( )A ．a ，b 都是0．B ．a ，b 之一是0．C ．a ，b 互为相反数．D ．a ，b 互为倒数．2．下面的说法中正确的是 ( )A ．单项式与单项式的和是单项式．B ．单项式与单项式的和是多项式．C ．多项式与多项式的和是多项式．D ．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数． B ．没有最小的正有理数．C ．没有最大的负整数．D ．没有最大的非负数．4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么( ) A ．a ，b 同号． B ．a ，b 异号．C ．a ＞0． D ．b ＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( ) A ．2个． B ．3个．C ．4个． D ．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A ．0个．B ．1个．C ．2个．D ．3个．7．a 代表有理数，那么，a 和－a 的大小关系是 ( )A ．a 大于－a ．B ．a 小于－a ．C ．a 大于－a 或a 小于－a ．D ．a 不一定大于－a ．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A ．一样多．B ．多了．C ．少了．D ．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A ．增多．B ．减少．C ．不变．D ．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______．3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m 的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y 的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×16=_______. 3． 计算：(63)36162-⨯=__________.4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
【2013】希望杯竞赛数学试题详解(21-30题)
题21 若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题)题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24 若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是 .（第十一届高二培训题第46题）题27 设+∈N n ，则|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）题28 611112310s =++++ ，则s 的整数部分是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题） 题 29 求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题）题30 函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题)21.解法1 比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825m in =∴u . 解法2 xyxy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+=21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++ ()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭ 12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825m in =u . 评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y 在(0,]k 上单调减，在[,)k +∞上单调增）. 解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用. 拓展 命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广： 推广1 若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明 1111b c c a a b ca b a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 331133abc abc abc abc ≥+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()x x x f 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛271,0及⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）. 推广2 若0(1,2,,)i a i n >= ，11=∑=ni i a ，则2111nni i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广3 若0(1,2,,)i a i n >= ，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 22.解法1 11,,1,,224a b a b R a b ab ab ++∈+=∴≤=∴≤ 且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法2 3311111111113a b a b b a b a a b a b a b a b++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解法3 1111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值. 拓展 此题可作如下推广：推广1 若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2nb a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是n n )1(+. 证明 +∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ .同理112121222(1)(1)111,,1n n n n nn n n a a a a n a a a a a a a a +++++≥+≥ .故 112121212(1)()()111111(1)n nn n n n nn n a a a a a a n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当 121n a a a n ====时取等号. 12111111na a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 推广3 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==n i im a 1，则111nk i i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明 由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑， 111212111111()(1,2,,)p p n n p p kppk n nkC p p p C n n n n k k kk i i i n i i i i i i i n C C C p n a a a a a m --≤<<<≤==⎛⎫⎛⎫≥=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∏∏ , 从而1212112121111111111111n n nn nkk k k k k k ki i i i n i i i n i i i i i i i i i a a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏ 2112111n nnkk kkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111n ki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i ≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值.(提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=，原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.) 5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值. 答案：1、（1）18 （2）n 32⋅ （3）9 2、64 3、2)1(+n n 4、9 5、316 23.解法1 122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥． 由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1min -=u ，当22==y x 时，221m ax +=u ． 解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ． 则2211cos sin cos sin 2sin sin 22422x y xy r r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x 时取等号．max 1()22x y xy ∴++=+．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x ．令]2,2[,c o s s i n -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(m in 2m in 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(m in -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法．解法3 22222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤ ， 2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号．212)(m ax +=++∴xy y x ．解法4 22221111111122()1122222222x y x y x y ++⋅+⋅≤+=++≤+⨯= ，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(m ax +=++xy y x . 评析 解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是 ．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展 由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ； （2）当202λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ． 证明 设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθsin ,cos r b r a ==， 220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+-λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴ 1、当121≤λr ，即1222r λ≥≥时， （1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号． （2）2222112122222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号．2、当112r λ≥，即12022r λ≤≤≤时 （1）当22,1cos ==r θ时，22m ax +=λz ． （2）当1cos -=θ时，λ22r r z +-≥．又函数222,0,2y x x λλ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，当20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当202λ≤≤时， 2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理2 0,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222n m z n m n +≤≤--； （2）当202n m ≤≤时，2222nm z n m +≤≤+-． 简证 n z m x y xy m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令nt x y xy m=++，再由定理1即可得证． 再引伸，还可得到定理3 设12,,,n x x x R +∈ ，且12()m m mn x x x S m N ++++≤∈ ，则有11212.nm m m n n n S x x x x x x nS n -++++≤+证明 1212,,,,()mmmn n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈ 及平均值不等式1121212,m m m mnn nn x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥ ⎪⎝⎭111212,,n nm mm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212.nm m m n n n S x x x x x x nS n-∴++++≤+24.解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭ ，又22xy 3x 3y 20=+- ，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t -=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y 160∴+=． 解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令120x y cos ,633520y sin ,63⎧-=α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩即202x cos sin ,32112y sin .21⎧=α+α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简,得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有8x t cos,23y t sin,⎧=α⎪⎨=α⎪⎩即t tx cos ,y sin .823=α=α代入已知等式,得222223t t 3t cos sin cos sin 20823184α-αα+α=, ()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos sin 2sin 823736⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-α-α+α即228x 23y 160+≤．解法4 ()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤ ,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令20m 2cos ,n sin 7=α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++-2231m 30mn 31n =-+()225620162cos 60sin 2sin 744376cos 2777=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=． 解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y208x23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上,368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=． 解法7 ()()()22222228x 23y 83x x y3y 16x8x y y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时,()22max8x23y 160+=．评析 破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t ⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解2222227x 2x y y 2(xy )(21)x 2x y(21)y⎡⎤=+-=+---++⎣⎦2222212(x y )(21)x y 2(x y )21⎛⎫=+---≤+ ⎪-⎝⎭，即227x y 22+≥，当且仅当1x y 21=-时取等号，故所求最小值为 2.72再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是 ．(第九届高二第一试第15题)解 （1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是 ．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题)2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是 ．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦） 3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：822822,77+-） 25.解法1 由x x x y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4 xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1m ax =∴y .解法6 1sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1m ax =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xx x y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即2(1)001(1)1y y d y -⋅+-=≤-+，解之得1≤y ，1m ax =∴y .评析 类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法. 万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tan x t =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题.解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac dx c bx a y 的最值的通法.例 求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解 2sin 42sin 23cos 93cos 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-.26.解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+- 22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3 121212121111111sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝ ()5512122266511110115156sin 6cos 6sin cos 64646464646432232x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++-≥+-=⋅+-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法4 22sin x cos x 1+= ，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析 因为[]s i n,c o s 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x 配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==. 拓展 仿照解法3，我们可以证明下面的 定理 函数()22sincos nn y x x n N +=+∈的值域是12,1n-⎡⎤⎣⎦.证明 222112111sin cos sin 222n n nn n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个222(1)(1)1121112211cos sin cos 222222nn n n n n n n n n n n n n n n x n x n x ---⎛⎫ ⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥⋅⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 个()12211min 222222222sin cos 2,222222n n n n n n nn n n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sincos sin cos 1nnn x x x x +≤+=，即m a x 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n-⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.27.解 可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：1 2 3 4所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、2001，则线段AB 的中点的坐标是,1975220011949=+|19751949||19751950|S ∴=-+-最小|19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++ (261)2627022+⋅=⨯=．评析 本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题． 拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的 定理1 对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解 4=n 为偶数，-4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）-（-4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解 5=n 为奇数，-10<-5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）-（-10-5）=28.B A例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解 2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x y y =--+--+-+--+2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥ 161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x =-3且y =2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解 已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值． 解 n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的 定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑ ，则（1） 当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2） 当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3） 当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明 不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则-)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f = )1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aai ini j jj ij j j ni j jij j,)(11nni ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n-1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值mi n{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n b f b 向下无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+2001）-（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第2001层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？ 下面的问题供读者练习：1、 求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、 求()|26||33||816|f x x x x =-+---的最大值．3、 求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈ 的最小值．答案：1、-3 2、5 3、99928.解 若}{n a 是等差数列, n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n ,,2+∈≥是公差).由此，得666111222211123223321101010s =++++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 ()()()()66612213210101121101999⎡⎤=+-+-++--=+-+=⎢⎥⎣⎦ .又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析 s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n ，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n ，或缩小为21n n++，便使问题获解.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
2010年希望杯全国数学邀请赛八年级第1试试题及详细解答
2010年（第21届）“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）【解析】B ．因B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．故选B2．若230a a ≥≥，则（ ）AB ．1a ≥D ．01a <<【解析1】B ．（特殊值法）令0a =，则230a a ===；令110a =，则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤≤事实上，当0a =或1a ==；当01a <<1132,a a ==如图所示，xy a =（01a <<）在实数集R 上是减函数，∵1123>，∴1132a a <故选B.3有意义，则x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ≤，且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ≤，且2009x ≠-【解析】B ．由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得2010x ≤，且2009x ≠±．故选B.4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】C ．()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，同理4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，同理3a b ==． 综上，这样的等腰三角形有3个．故选C.5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（ ） A ．任意的四边形 B．两条对角线等长的四边形 C ．矩形 D ．平行四边形【解析】B．因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．故选B6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则 （ ）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析1】（特殊值法）如令14a b c d====，则4p ==>=， 25P =>=，排除C 【解析2】A ．因01a <<，故23a a a >>，于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是，根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=．即5p >,故选A.7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（ ）A ．b c a a >B ．0b a c ->C ．22b ac c> D ．0a c ac -<(英汉词典：be sure to 确定；correct 正确的；inequality 不等式) 【解析】C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <，于是∵b c >，0a >，∴b c a a>； ∵b a <，0c <，∴0b a c ->；∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立． 8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】A ．以A 区为原点，从A 区往C 区方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-，由绝对值函数的性质易知在图10x =处，该函数值最小．事实上，554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩，显然，当0x =时，min 4500S =9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时，AD BD =,满足题意，此时，ABC △是等腰三角形；当AC BC ≠时，若ABC △是直角三角形，则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意，故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D ．∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =， ∴cos sin cos sin A BB A=，于是sin 2sin 2A B =，∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（ ） A ．32秒 B ．38秒 C ．42秒 D ．48秒【解析1】C ．设自动扶梯的速度为a /米秒，人行走的速度为b /米秒，则24()56a b a +=，解得43b a =，56564243a a tb a ===（秒）.【解析2】C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）． 【解析3】C ．（可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（秒））. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】②．由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-；③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-；④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-．故填②12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”） 【解析1】=．（特殊值法）如令12b =，则2,1,2a c d ==-=，于是a d =【解析2】=．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=：1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】2-．222510111x x x x ++=--+，()()225110x x x +++-=，22640x x ++=，2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析1】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=，即12324k k -=，由于12,k k 均为非负整数， 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时，2k 的最小值为1，此时350x =，乙跑了400350750+=（米）． 【解析2】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，设甲已跑了x 个整圈，则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数，故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=（米）. 15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________． 【解析】12310(或填12.3)．①当421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾； ②1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾；③当42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==.16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________． 【解析1】8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =--，于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-．294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析1】5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．【解析2】5．()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，线段5955(19)444x y x --=-=（019x ≤≤） 要求整点，只需19x -是4的倍数，于是190,4,8,12,16x -=，故线段AB 上共有5个整点： (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析1】0． 原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得，23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时，23141a x a ->+ ，故只需231141a a -=-+，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________． 【解析1】4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解， 即2a =-或1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950． 【解析1】4950．原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950． 20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）【解析】990．因()()218800811b a c k ++++-++++=，即11()11b a c k +--=，（k 为整数） ∴b a c --能整除11，∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，9abc bc ≤，此时9b c --能整除11， ∴0b a c --=，即b a c =+，三位数abc 最大是990．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】6，3．设长和宽分别为x 、y ，不妨设x y >则()2x y xy +=，即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数，而x y >，∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩，于是长和宽分别为6和3．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析1】196x =-；83x =-，原方程可化为 []673x x +=，设673x t +=，（t 为整数）376t x -=，于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由37016t t -≤-<，解得13733t -<≤-，又t 为整数 4t =-或3t =-，即6743x +=-或6733x +=-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解．【解析2】196x =-；83x =-．∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+≤-，∴67x +=12-或9-，解得196x =-或83x =-． 经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解． 23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisectsDAB ∠，and 21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line ABis______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）【解析1】8；17．如图1，过D 作DF AC ⊥，交AB 于E ，交AC 于F ，连接CE ，过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =，=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=，6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =． 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==．【解析2】8；17．如图2，在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=，12BE AB AE =-=，6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =．9615AF AE EF =+=+=,17AC =．【解析3】8；17．如图3，过C 作CE AB ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =，于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =，则219x x -=+，解得6x =，即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=，依题意得其判别式3613016k ∆=-=，解得36148k =． 事实上，反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时，k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC （直线BC 的方程为31944y x =-+）与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得，此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=，其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点（由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=，其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得）并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】23；1．可由正四边形，正五边形，正六边形等归纳出正n 边形的一般规律：设正n 边形的面积为n S . （1）对于正四边形0123A A A A ：共有4(43)22⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有4个：012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有1个：0123A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个，其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. （2）对于正五边形01234A A A A A ：共有5(53)52⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有5个：012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有5个：四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有1个01234A A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个，其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. （3）对于正六边形012345A A A A A A ：共有6(63)92⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有6个：012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有6个：四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有6个01234A A A A A ， 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形（凸多边形）有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ，则正n 边形的对角线共有()132n n -条，由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个，它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值max 23n =，此时正n 边形的面积是1．。
15到20届希望杯初二第一试试题及培训题
第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。
2013年第24届希望杯初二第1试试题及答案（word版）
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试试题2013年3月17日 上午8:30至10:00 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．有下列五个等式：（ ）①13+=x y ；②122-=x y ；③x y =；④x y =；⑤x y =；其中，表示“y 是x 的函数”的有（ ）（A ）1个．个． （B ）2个．个． （C ）3个．个． （D ）4个．个．2．点()m ，7-和点()n ，8-都在直线62--=x y 上，则m 和n 的大小关系是（的大小关系是（ ） （A ）n m >． （B ）n m <． （C ）n m =． （D ）不能确定的．）不能确定的． 3．下列命题中，正确的是（．下列命题中，正确的是（ ） （A ）若0>a ，则aa 1>． （B ）若2a a >，则1>a ． （C ）若10<<a ，则22a a >． （D ）若a a =，则0>a ．4．若定义“⊙”：a ⊙b ab =，如3⊙283==2，则3⊙21等于（等于（ ） （A ）81． （B ）8． （C ）61． （D ）23． 5．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（ ） （A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （B ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （C ）对角线相等的四边形是平行四边形．）对角线相等的四边形是平行四边形． （D ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．用一根长为a ，并且没有伸缩性的线围成面积为S 的等边三角形．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三条边的距离之和为（到等边三角形三条边的距离之和为（ ） （A ）a S 2． （B ）a S 4． （C ）a S 6． （D ）aS8．7．若199199<<-x ，且100-=x m 的值为整数，则m 的值有（的值有（ ） （A ）100个．个． （B ）101个．个． （C ）201个．个． （D ）203个．个． 8．已知32+=x ，且()86148+=+y x x ，则y 的值是（的值是（ ）（A ）10． （B ）15． （C ）20． （D ）30．9．If a right triangle has edge lengths b a -，a ，and b a +（a and b are both positive integers ），then the perimeter of the triangle might be （ ）（A ）60． （B ）70． （C ）80． （D ）90．（英语小词典：right triangle 直角三角形；positive integers 正整数；perimeter 周长）周长）10．小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟．如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等（则小王还需要等（ ）（正确时间）（正确时间） （A ）26分钟．分钟． （B ）28分钟．分钟． （C ）30分钟．分钟． （D ）32分钟． 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若125512=+x ，则()=-+xx 20122 ．12．计算：=------1222222201120122013．13．用边长为1cm 的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形，则第n 次所摆图形的周长是次所摆图形的周长是 cm ．（用关于n 的代数式表示）的代数式表示） 14．有两个函数b ax y +=和5+=cx y ，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标()23-，，学生乙因抄错c 而得出交点坐标÷øöçèæ4143，，则函数b ax y +=的解析式是的解析式是 ．15．如图2，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①ax y =，②bx y =，③cx y =，若将c b a ，，从小到大排列，则应当是大排列，则应当是 ．16．如图3，在正方形ABCD 中，E 、G 、F 分别是AB 、AD 、BC 边上的点，若BE =2AE ，AG =1，BF =2，°=Ð90GEF ，则GF 的长是的长是 ． 17．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，23-x ，12-x ．若这两个三角形全等，则x 的值是的值是 ．18．有甲、乙、丙三种商品，购甲3件，乙7件，丙1件，需3.15元；购甲4件，乙10件，丙1件，需4.20元．若购甲、乙、丙各1件，则需件，则需 元．元． 19．设a ，b 是实数，且ab ba--=++-++11111，则ba ab +++++++1111的值时的值时 ．20．将不大于20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是中数的乘积整除，则商的最小值是 ． 三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．数学老师用10道题作为一次课堂练习，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，如图4所示．观察此图可知，每位同学答对的题的个数组成的样本众数是个数组成的样本众数是 ，中位数是，中位数是 ．22．方程312=+-x x 的解是的解是 或 ． 23．若关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 有增根，则=m 或 ． 24．Let 20131=÷øöçèæ+x y x ，x and y are both positive integers ，then the largest value of y x + is ，the smallest value of y x + is ． （英语小词典：value 值）值）25．已知00¹³³=++a c b a c b a ，，，则ac的最大值是的最大值是 ，最小值是，最小值是 ． 附加题（每小题10分，共20分）1．A 商品的单价是50元，B 商品的单价是60元，几所学校各付款1220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A 商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有 所．所． 2．十进制中，右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数，如134，258．那么三位数中的上升数有那么三位数中的上升数有 个；在三位上升数中，3的倍数有的倍数有 个．个．答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A C C B B A C 题号 11 12 13 1415 1617 18 19 20 答案-114n1+-=x yc<a<b1031.05 3 7 题号 21 22 24 25 答案 8；9 2；34-2013；50721-；2-题号 附加题1附加题2 答案 484；30。
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第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第1试试题
2013年3月17日 上午8:30至10:00
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．有下列五个等式：（ ）
①13+=x y ；②122-=x y ；③x y =；④x y =；⑤x y =；其中，表示“y 是x 的函数”的有（ ）
（A ）1个． （B ）2个． （C ）3个． （D ）4个．
2．点()m ，7-和点()n ，8-都在直线62--=x y 上，则m 和n 的大小关系是（ ）
（A ）n m >． （B ）n m <． （C ）n m =． （D ）不能确定的．
3．下列命题中，正确的是（ ）
（A ）若0>a ，则a
a 1>． （B ）若2a a >，则1>a ． （C ）若10<<a ，则2a a >． （D ）若a a =，则0>a ．
4．若定义“⊙”：a ⊙b a b =，如3⊙283==2，则3⊙
21等于（ ） （A ）81． （B ）8． （C ）61． （D ）2
3． 5．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（ ）
（A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （B ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（C ）对角线相等的四边形是平行四边形． （D ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．用一根长为a ，并且没有伸缩性的线围成面积为S 的等边三角形．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三条边的距离之和为（ ）
（A ）a S 2． （B ）a S 4． （C ）a S 6． （D ）a
S 8． 7．若199199<<-x ，且100-=x m 的值为整数，则m 的值有（ ）
（A ）100个． （B ）101个． （C ）201个． （D ）203个．
8．已知32+=x ，且()86148+=+y x x ，则y 的值是（ ）
（A ）10． （B ）15． （C ）20． （D ）30．
9．If a right triangle has edge lengths b a -，a ，and b a +（a and b are both positive integers ），then the perimeter of the triangle might be （ ）
（A ）60． （B ）70． （C ）80． （D ）90．
（英语小词典：right triangle 直角三角形；positive integers 正整数；perimeter 周长）
10．小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟．如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等（ ）（正确时间）
（A ）26分钟． （B ）28分钟． （C ）30分钟． （D ）32分钟．
二、A 组填空题（每小题4分，共40分）
11．若125512=+x ，则()
=-+x x 20122 ． 12．计算：=------1222222201120122013 ．
13．用边长为1cm 的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形，则第n 次所摆图形的周长是 cm ．（用关于n 的代数式表示）
14．有两个函数b ax y +=和5+=cx y ，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标()23-，，学生乙因抄错c 而得出交点坐标⎪⎭
⎫ ⎝⎛4143，，则函数b ax y +=的解析式
是 ．
15．如图2，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①ax y =，②bx y =，③cx y =，若将c b a ，，从小到大排列，则应当是 ．
16．如图3，在正方形ABCD 中，E 、G 、F 分别是AB 、AD 、BC 边上的点，若BE =2AE ，AG =1，BF =2，︒=∠90GEF ，则GF 的长是 ．
17．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，23-x ，12-x ．若这两个三角形全等，则x 的值是 ．
18．有甲、乙、丙三种商品，购甲3件，乙7件，丙1件，需3.15元；购甲4件，乙10件，丙1件，需4.20元．若购甲、乙、丙各1件，则需 元．
19．设a ，b 是实数，且a b b a -=+-+11111，则b
a a
b +++++1111的值时 ． 20．将不大于20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组
中数的乘积整除，则商的最小值是 ．
三、B 组填空题（每小题8分，共40分）
21．数学老师用10道题作为一次课堂练习，课代表将全班同学的答题情
况绘制成条形统计图，如图4所示．观察此图可知，每位同学答对的题的
个数组成的样本众数是 ，中位数是 ．
22．方程312=+-x x 的解是 或 ．
23．若关于x 的方程2
34222+=-+-x x mx x 有增根，则=m 或 ．
24．Let 20131=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+x y x ，x and y are both positive integers ，then the largest value of y x + is ，the smallest value of y x +
is ． （英语小词典：value 值）
25．已知00≠≥≥=++a c b a c b a ，，，则a
c 的最大值是 ，最小值是 ．
附加题（每小题10分，共20分）
1．A 商品的单价是50元，B 商品的单价是60元，几所学校各付款1220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A 商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有 所．
2．十进制中，右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数，如134，258．那么三位数中的上升数有 个；在三位上升数中，3的倍数有 个．
答案。