误差与实验数据处理
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理
（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2
标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。
+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。
滴定分析中的误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理引言概述：滴定分析是一种常见的定量分析方法，广泛应用于化学、生物化学、环境科学等领域。
然而，在滴定分析过程中，由于实验条件、仪器设备等因素的影响，往往会产生误差。
正确处理这些误差并进行数据处理，对于保证分析结果的准确性和可靠性至关重要。
本文将从五个方面详细阐述滴定分析中的误差及数据处理方法。
一、体积误差1.1 仪器误差：滴定分析中常用的仪器有分析天平、容量瓶、滴定管等。
在使用这些仪器时，应注意校准和使用规范，以减小仪器误差。
1.2 液面误差：滴定分析中，液面的读取对于结果的准确性有着重要影响。
因此，在读取液面时，应注意垂直读取、避免液面的折光等因素对读数的影响。
1.3 滴定管的容量误差：滴定管的容量误差是滴定分析中常见的误差来源。
为减小这一误差，可以使用一定体积的滴定管，或者采用称量法确定滴定管的容量。
二、滴定试剂误差2.1 试剂纯度误差：滴定试剂的纯度对于滴定分析结果的准确性有着重要影响。
因此，在滴定分析中，应选择高纯度的试剂，并进行纯度检验。
2.2 试剂滴定度误差：试剂滴定度是指滴定试剂与被滴定物质的化学反应当量比。
在实际操作中，试剂滴定度的确定是十分重要的，应根据实验条件和反应特性精确测定。
2.3 试剂保存误差：试剂的保存条件对于滴定分析结果的准确性也有着重要影响。
应将试剂保存在干燥、避光、低温的条件下，避免因试剂的降解或者氧化而引起误差。
三、指示剂误差3.1 选择合适的指示剂：指示剂的选择应根据被滴定物质的性质和滴定反应的特点来确定。
应选择颜色变化明显、与被滴定物质反应快速的指示剂。
3.2 指示剂的浓度误差：指示剂的浓度对于滴定分析结果的准确性有着重要影响。
应根据实际需要精确配制指示剂，并在使用前进行浓度检验。
3.3 指示剂的添加量误差：指示剂的添加量过多或者过少都会对滴定分析结果产生影响。
应根据滴定试剂的滴定度和指示剂的滴定反应比确定适当的添加量。
四、操作误差4.1 滴定速度误差：滴定速度的快慢会对滴定分析结果产生影响。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
x
第三章误差与实验数据的处理
三、随机误差的区间概率
这样，对于任何正态分布，测定值落在区间(u1u2)的概 率 P(U ,U ) 相应地可由标准正态分布算出：
1 2
P(u1 xu2 )
1 2
u2
u1
e
1 u2 2
du
实际应用中，把每个区间的积分结果计算好，列成表供查用。 例1：某标样中Co的标准值为1.75%，σ=0.10，求分析结果大 于2.00 %的概率。
n 1 ( xi x ) n 1 i 1 2
n 1 2 d i n 1 i 1
在上例中,如用S来衡量,则:
2 2 （0.3） （0.2） ...... (0.3) 2 S甲 0.26 10 1
2 2 （0.1 ） （0.7） ..... (0.1) 2 S乙 0.41 10 1
2 1 n u) ( x i n i 1
第三章误差与实验数据的处理
（三）平均值的标准偏差
总体（母体）：一定条件下无限多次测定数据的全体。
样本：随机从总体中抽出的一组测定值。
样本大小（样本容量）：样本中所含测定值的数目。
第三章误差与实验数据的处理
如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样本， 由此可以得到一系列样本的平均值。 m个n次平行测定的平均值： X 1 , X 2 , X 3 , X m
误差与分析数据的处理
误差与分析数据的处理概述在科学研究和实验中，我们常常会遇到误差。
误差是指观测值与真实值之间的差异，是由各种不确定性引起的。
正确地处理误差并分析数据是科学研究和实验的重要环节。
本文将介绍误差的分类以及分析数据时常用的方法和技巧。
误差分类根据误差的来源和性质，可以将误差分为以下几类：1.系统误差：系统误差是由于实验仪器、测量方法或操作者的偏差引起的误差。
例如，仪器的不准确性、测量方法的局限性以及操作者的技术水平都可能导致系统误差。
系统误差在实验过程中是相对固定的，可以通过校正或调整仪器、改进测量方法和提高操作技巧来减小。
2.随机误差：随机误差是由于各种无法预测和无法避免的因素引起的误差。
例如，环境条件的变化、仪器的漂移以及实验中的偶然因素都可能导致随机误差。
随机误差在实验过程中是随机出现的，并且不具有固定的方向和大小。
减小随机误差的方法包括增加样本量、重复实验以及使用统计方法对数据进行分析。
数据处理方法在分析数据时，我们常常需要采用一些方法来处理误差和提取有用的信息。
下面是一些常用的数据处理方法和技巧：1.平均值：平均值是最基本的数据处理方法之一。
通过将多个观测值相加并除以观测值的个数，可以得到平均值。
平均值可以反映数据的总体趋势，但在存在较大偏差或异常值的情况下不具有代表性。
2.方差和标准差：方差和标准差是衡量数据分散度的指标。
方差是观测值与平均值之间差异的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
较大的方差和标准差表示数据较为分散，较小的方差和标准差表示数据较为集中。
3.置信区间：置信区间是对数据的估计范围。
通过计算平均值和标准差，可以得到数据的置信区间。
较大的置信区间表示数据的估计范围较大，较小的置信区间表示数据的估计范围较小。
4.线性回归：线性回归是一种用于量化数据之间关系的方法。
通过将数据拟合到一条直线上，可以得到数据之间的线性关系和相关性。
线性回归可以帮助我们预测和预测数据。
数据分析技巧在进行数据分析时，我们还需要一些技巧和策略来处理误差和解释数据。
定量分析中的误差及数据处理
多元线性回归
总结词
多元线性回归是定量分析中常用的方法，用于探索多个自变量与一个因变量之 间的线性关系。
详细描述
多元线性回归通过最小二乘法拟合一个平面或一个超平面，使得因变量的观测 值与预测值之间的残差平方和最小。这种方法可以帮助我们了解多个自变量对 因变量的影响程度和方向，并可进行预测和控制。
对各种不确定度进行量化评估，计算其对最终测量结 果的影响。
不确定度报告
将不确定度评估结果整合到测量报告中，为用户提供 完整的数据分析结果。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是定量分析中常用的方法，用于探索一个因变量与一个自变量之间的线性 关系。
详细描述
一元线性回归通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与预测值之间的残差 平方和最小。这种方法可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关联程度和方向，并可
Box-Cox变换
离散化
是一种通用的数据变换方法，通过选择适当 的λ值，使数据达到最合适的形式。
将连续变量转换为离散变量，便于分类或 决策树算法的使用。
数据插值与外推
线性插值
基于已知的数据点，通过线性函数进行插值， 得到未知点的值。
样条插值
通过样条函数进行插值，可以更好地处理数 据的弯曲程度。
多项式插值
05
数据分析与可视化
描述性统计
总结词
描述性统计是定量分析的基础，用于 概括和描述数据的特征。
详细描述
通过均值、中位数、众数、标准差等 统计量，描述数据的集中趋势和离散 程度。此外，还包括数据的频数分布 、偏度、峰度等描述性统计指标。
推断性统计
总结词
推断性统计基于样本数据推断总体特征 ，通过样本信息对总体进行估计和预测 。
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
滴定分析中的误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理标题：滴定分析中的误差及数据处理引言概述：滴定分析是化学分析中常用的一种定量分析方法，通过滴定试剂与待测溶液反应的滴定终点来确定待测物的含量。
然而，在滴定分析过程中，可能会浮现各种误差，影响分析结果的准确性。
因此，正确处理滴定分析中的误差并进行数据处理是非常重要的。
一、仪器误差1.1 体积误差：仪器刻度不许确或者使用不当导致的误差。
1.2 气泡误差：在滴定过程中，气泡残留在管道或者滴定管中，导致体积误差。
1.3 滴定管漏气：滴定管未密封好或者管道中有漏气现象，影响滴定准确性。
二、试剂误差2.1 试剂浓度误差：试剂浓度不许确或者变化导致的误差。
2.2 试剂纯度误差：试剂纯度不高或者受到外界因素影响，导致滴定结果不许确。
2.3 试剂滴定速度误差：试剂滴定速度过快或者过慢，影响滴定终点的准确性。
三、操作误差3.1 滴定终点误判：由于操作不当或者观察不清晰导致滴定终点判断错误。
3.2 混合误差：待测溶液与试剂混合不均匀或者反应不彻底，影响滴定结果。
3.3 温度误差：温度变化对反应速率和终点判断造成影响，导致误差。
四、数据处理4.1 重复滴定：进行多次滴定，取平均值减小误差。
4.2 校正因子：根据实验条件和仪器误差，计算校正因子对结果进行修正。
4.3 数据分析：使用统计方法分析数据，评估滴定结果的准确性和可靠性。
五、误差控制5.1 仪器校准：定期校准仪器，确保仪器准确性。
5.2 试剂质量控制：使用高纯度试剂，避免试剂误差对滴定结果的影响。
5.3 操作规范化：严格按照滴定操作规程进行，减少操作误差的可能性。
结论：滴定分析中的误差及数据处理是影响分析结果准确性的重要因素。
通过正确处理仪器、试剂和操作误差，并采取相应的数据处理方法，可以提高滴定分析的准确性和可靠性，确保实验结果的准确性。
在实际操作中，需要注意仪器维护、试剂质量和操作规范化，以减小误差并提高实验效果。
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mi m 2
0.000025 0.000225 0.000225 0.000025 0.000225 0.000025 0.000025 0.000225
m
m
i 1
n
i
n
197.96 24.745mm 8
r1 m1 m 24.74 24.745 0.005
M m
(单位)
( p 0.683)
M m 2 （单位） ( p 0.95) M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出：
E
k 100% m
重复测取数据个数n由置信概率P决定。 P=0.95, n在22 25次之间； P=0.997，n大于等于370次；P=0.683, n为小于等于20次。
系统误差的判别
1、实验对比法
（判断固定不变的系统误差）
2、残余误差观察法
m1，m2，…….，mn
ri mi m （根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）
r 0.3 0.2
0.1
1 2 3 4
n
随机误差的方差和标准差
1、无限次测量列任一次测量值的标准差（n→∞ ）
对等精度无限测量列 m1，m2，…，mn , 去除了系统误差和粗 大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：
r2 m2 m 24.76 24.745 0.015
6 7 8 9
2 2 m 仪
(m m )
i 1 i
n
2
n(n 1)
(
仪 3
)2
0.001 0.02 2 ( ) 0.01296 0.013 8 7 3
r2 m2 m 24.76 24.745 0.015 g n, a 2.03 0.013 0.0264 0.026 r3 m3 m 24.73 24.745 0.015 g n, a 2.03 0.013 0.0264 0.026
2、单次直接测量 ：
M m单 U (单位) （p 0.683） U 单 仪
E
仪 3
单
m单
100%
式中： 仪 为测量仪器的最大误差； 没有标出准确度等级 , 可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分 度值的一半作为仪器的最大误差 仪 没有标出准确度等级 , 又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分 度值作为仪器的最大误差 仪 已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 设仪器准确度等级为a ，满量程为L
m
m
2
i
n 1 (mi m ) 2 (n 1) i 1
i
n 1 (mi m )2 (n 1) i 1
测量结果：
M mi
(单位)
( p 0.683)
M mi 2 （单位） ( p 0.95) M mi 3 （单位） ( p 0.997)
测量误差
1、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差(测量误差)：
m R
式中： 为绝对误差； 为测量值；R为被测量的真值 m 真值包括：(1)理论真值 (2)约定真值 (3)相对真值 三角形的三个内角之和180o 米原器和千克原器 有限次重复测量值的算术平均值; 高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低 一 级准确度等级测量器具测量值的真值 2、相对误差: 绝对误差与真值之比 . 用百分数表示：
E
R
100%
mR 100% R
式中： E为相对误差；
测量结果的表达
1、 等精度重复直接测量 , 测量列为 m1，m2，…，mn ,如果系统误差为 零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差
测量结果：
M m U U k
E k 100% m
给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p 于是，测量结果应为 :
a 0.01 g（n, a） 2.78 2.82
5
6 7 8 9 10 11 12
1.67
1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28
1.75
1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55
19
20 21 22 23 24 25 30
2.53
2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.74
3、判断系统误差 根据残余误差观察法，由表可以看出误差 符号大体上正负相同，且无显著变化规，判 断该测量列无有规律变化的系统误差。
4、求测量值的标准差
2 2 m 仪
(m m )
i 1 i
n
2
n(n 1)
(
仪 3
)2
0.0037 0.02 2 ( ) 0.01359 0.014 98 3
7、最后的测量结果
M m 24.745 0.013 (2.474 0.002 ) 10 E
mm p 0.683
m
100%
0.013 100% 0.053% 24.745
间接测量
设 N 为间接测量量，x、y、z为独立的直接测量参数
N =f(x、y、z)
误差与实验数据处理
— 大学物理实验
教师：李芬
基本概念
误差公理： 一切测量都存在误差。 真 值：被测量的真实量值。 等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。 不确定度(U)： 表示测量结果不确定的程度。 直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。 间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值， 再根据该被测量与直接测量量值之间的数 学关系算出被测量量值的测量。
故判别测量列中存在粗大误差 , 将m4去掉后 , 重新计算。
6、再一次求算数平均值、残余误差、 标准差、判别粗大误差 等
序 号
1 2 3 5
mi
24.74 24.76 24.73 24.75 24.73 24.74 24.75 24.76
mi m
- 0.005 0.015 - 0.015 0.005 - 0.015 - 0.005 0.005 0.015
N的相对误差为:
N ln f 2 ln f 2 ln f 2 E x y y z z ....... N x
2 2 2
间接测量举例：
已知: 旋光性溶液的长度: L=10 cm 浓度： C0=0 ； C1 =10%；C2 = 20%； C3 = 30%；C4 = 40%
m
mi
i 1
n
序 号
1 2 3
mi
24.74 24.76 24.73
mi m
- 0.01 +0.01 - 0.02
mi m 2
0.0001 0.0001 0.0004
n
222.76 24.75111 24.75mm 9
2、求残余误差
ri mi m
4
5 6 7 8 9
5、判别粗大误差 本实例测量轴径的次数较少，因而不采用拉依达 3 准则判别粗大 误差，采用格拉布斯准则，
r4 m4 m 24.80 24.75 0.05 g n, a 2.11 0.014 0.02954 0.03
r6 m6 m 24.73 24.75 0.02 g n, a 2.11 0.014 0.02954 0.03
2.85
2.88 2.91 2.94 2.96 2.99 3.01 3.10
13
14 15
2.33
2.37 2.41
2.61
2.66 2.70
35
40 50
2.81
2.87 2.96
3.18
3.24 3.34
16
2.44
2.75
100
3.17
3.59
等精度直接测量列的数据处理实例
例：对某一轴的直径进行等精度测量9次，得到下表数据，求测量结果。 1、求算数平均值
同时给出：
E
k 100% mi
3、测量列算术平均值的标准差
在相同条件下，对被测量重复做 n 次测量，得 m1，m2，…，mn ，去除 系统误差和粗大误差，由于随机误差的存在,围绕测量值算术平均值的标 准差，由下式求出：
n n 1 1 1 2 m i n(n 1) (mi m )2 n(n 1) i 1 n i 1
2 2 m 仪
测量结果：
M m (单位) ( p 0.683) M m 2 （单位） ( p 0.95) M m 3 （单位） ( p 0.997)
同时给出:
E
k m
100%
粗大误差的剔除
拉依达准则： m1，m2，…，mn （ n ＞ 10 ）
24.80
24.75 24.73 24.74 24.75 24.76
+0.05
0 - 0.02 - 0.01 0 ﹢ 0.01
0.0025
0 0.0004 0.0001 0 0.0001
r1 m1 m 24.74 24.75 0.01
r2 m2 m 24.76 24.75 0.01
保留数字位数
1、 测量结果中，
例如 ：
m
或
m单保留数字位数应与不确定度一致
U 0.03cm
0.03cm k 1
m 18.625cm
取
m 18.62cm M (1.862 0.003) 10 cm
2、 最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 E 取两位有效数