专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(核心素养练习)(解析版)
考点01 集合的概念与运算(解析版)
考点01 集合的概念与运算1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。
2、了解集合之间包含关系与相等关系，能识别给定集合的子集，了解集合的全集与空集的含义。
3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定集合的补集，集合部分内容无论是全国范围内还是在江苏或者新高考地区都属于容易题，是送分题。
纵观这几年各地区的真题考查知识点主要涉及集合的运算，即子集、交集、并集和补集之间的运算，往往与不等式结合，特别要注意与不等式结合是要借助于数轴。
1、集合与函数、方程以及不等式的集合是近几年江苏高考即模拟的热点，因此要注意各个模块知识点的融汇贯通。
考题的难度一般不是太大，就需要学生要细心答题。
2、在高考复习中要注意一下几点：①把握元素与集合、集合与集合之间的关系，明确集合，对集合中的元素进行分析，能化简的一定要化简。
②复习中要准确掌握集合语言、图形语言，突出等价转化思想，同时要掌握空集与全集以及特殊集合的关系。
③注意借助于图形关系表示集合基本关系的能力，渗透数形结合的思想。
解决含义参数问题时，要注意检验结合集合元素的互异性。
五年高考真题1、（2020年新高考全国一卷）1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}【答案】C【解析】故选：C2、（2020年新课标一卷）2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A. –4B. –2C. 2D. 4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.3、（2020年新课标二卷）1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：，则.A故选：4、（2020年新课标三卷）.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B5、（2020年天津卷）.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.6、（2020年江苏卷）已知集合，则_____.【答案】【解析】∵,∴故答案为：.7、（2020年浙江卷）.已知集合P=，，则P Q=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】故选：B8、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，则．故选C．9、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=A．(–∞，1) B．(–2，1)C．(–3，–1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，或，，则．故选A．10、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知集合，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故选A．11、（2019年高考天津理数）设集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.12、（2019年高考浙江）已知全集，集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴.故选A.13、(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(核心素养练习)(原卷版)
专题一 集合、集合的关系、集合的运算 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值。
考点二 数学抽象-子（真子）集个数例题9.已知集合M 满足：{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M 所有的可能情况．考点三 数学运算-集合运算例题10、设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}．(1)求a ，b 的值及A ，B ；(2)求(A ∪B )∩C .考点四 直观想象-补集例题11.已知全集U ＝{x |x ≤5}，集合A ＝{x |－3≤x <5}，则∁U A ＝________.二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一单元测试）已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．（2019·全国高一单元测试）已知M ＝{x ∈R|x }，a ＝π，有下列四个式子：(1)a ∈M ；(2){a }⊆M ；(3)a ⊆M ；(4){a }∩M ＝π.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(1)(2)(4)3．（2019·全国高一单元测试）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 4．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{1,2,3},{|20}A B x Z x x ==∈--<,则A B =（）A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2,3}- 5．（2019·全国高一单元测试）设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．MC ．M ∩PD ．M ∪P6．（2017·全国高一单元测试） 设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ＞2，x ∈N}B.{x |x ≤2，x ∈N}C.{0,2}D.{1,2}7．（2017·全国高一单元测试）若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对二、填空题8．（2019·北京市十一学校高一单元测试）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个9．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________10．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{2},{|210}A B x x x a =-=++-=,且A B B =,则满足条件的实数a 组成的集合为__________11．（2018·江西高一单元测试）用列举法表示集合10|,1M m Z m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________．三、解答题12．（2019·全国高一单元测试）已知A ={a −1,2a 2+5a +1,a 2+1}, −2∈A ,求实数a 的值.13．（2017·全国高一单元测试） 已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．14．（2010·全国高一单元测试）设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A∩B=B ，求a 的取值范围．。
专题01 集合概念与运算(解析版)
专题 01 集合概念与运算考点1 集合的含义与表示1．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合A ={1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11}，B ={x | 3 <x <15}，则A∩B 中元素的个数为（）⎩ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由题意， A I B = {5, 7,11}，故 A B 中元素的个数为 3，故选 B2．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 1】已知集合 A = {(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }， B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】由题意， A B 中的元素满足⎧ y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2 x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4) ，故 A B 中元素的个数为 4 ．故选 C ．3．【2017 新课标 3，理 1】已知集合 A = {(x , y │) x 2 + y 2= 1}，B = {( x , y │) y = x }，则 A B 中元素的个数 为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】由题意可得，圆 x 2 + y 2= 1 两个元素，故选 B ．与直线 y = x 相交于两点(1,1)， (-1, -1)，则 A B 中有4．【2018 新课标 2，理 1】已知集合 A 뫨 x ， y x 2 + y 2 ≤ 3 ， x C Z ， y C Z ，则 A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A 【解析】 x 2 + y 2 ≤ 3， x 2 ≤ 3， x C Z ， x 뫨ፑ 1，0，1，当 x 뫨ፑ 1 时，y 뫨ፑ 1，0，1； 当 x 뫨 0 时，y 뫨ፑ 1，0，1；当 x 뫨ፑ 1 时，y 뫨ፑ 1，0，1；所以共有 9 个，选 A ．5．【2013 ft 东，理 1】已知集合 A ={0，1，2}，则集合 B = {x - y | x ∈ A , y ∈ A }中元素的个数是 A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】C 【解析】 x = 0, y = 0,1, 2, x - y = 0, -1, -2 ； x = 1, y = 0,1, 2, x - y = 1, 0, -1 ；x = 2, y = 0,1, 2, x - y = 2,1, 0 ．∴ B 中的元素为 -2, -1, 0,1, 2 共 5 个，故选 C ．6．【2013 江西，理 1】若集合 A = {x ∈ R | ax 2+ ax +1 = 0}中只有一个元素，则 a = A ．4B ．2C ．0D ．0 或 4【答案】A 【解析】当 a = 0 时，1 = 0不合，当 a ≠ 0 时， ∆ = 0，则 a = 4 ，故选 A ．7．【2012 江西，理 1】若集合 A = {-1,1}， B = {0, 2} ，则集合{z | z = x + y , x ∈ A , y ∈ B }中的元素的个数 为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】根据题意，容易看出 x + y 只能取- 1，1，3 等 3 个数值．故共有 3 个元素，故选 C ． 8．【2011 广东，理 1】已知集合 A ={(x , y ) | x , y 为实数，且 x 2+ y 2= 1}，B ={(x , y ) | x , y 为实数，且 x + y = 1} ，则 A ⋂B 的元素个数为A．4 B．3 C．2 D．1⎧x2 +y2 = 1【答案】C【解析】由⎨⎩x +y = 1消去y ，得x2 -x = 0 ，解得x = 0 或x = 1，这时y = 1或y = 0 ，即A ⋂B = {(0,1), (1, 0)} ，有2 个元素．9．【2011福建，理1】i是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A．i ∈S B．i2 ∈S C．i3 ∈S D．2∈S i【答案】B【解析】∵ i2 =－1∈ S ，故选B．10．【2012天津，文9】集合A={x∈R x-2≤5}中的最小整数为．【答案】- 3【解析】不等式x - 2 ≤ 5 ，即- 5 ≤x - 2 ≤ 5，- 3 ≤x ≤ 7 ，所以集合A = {x - 3 ≤x ≤ 7}，所以最小的整数为- 3．考点2 集合间关系【试题分类与归纳】1．【2012新课标，文1】已知集合A={x|x2-x-2<0}，B={x|-1<x<1}，则A．A ÜB B．B ÜA C．A =B D． A B =∅【答案】B【解析】A=（－1，2），故B⊂≠A，故选B．2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则()A、A∩B=∅B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B【答案】B【解析】A=(- ∞，0)∪(2，+ ∞)，∴A∪B=R，故选B．3．【2015 重庆，理1】已知集合A ={1, 2, 3}，B ={2, 3}，则A．A＝B B．A∩B =∅ C．A ÜB D．B ÜA【答案】D【解析】由于2 ∈A, 2 ∈B, 3∈A, 3∈B,1∈A,1∉B ，故A、B、C 均错，D 是正确的，选D．4．【2012福建，理1】已知集合M={1,2,3,4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（）A．N ⊆M B． M N =M C． M N =N D．M N = {2}【答案】D【解析】由M={1，2，3，4}，N={-2，2}，可知-2∈N，但是-2∉M，则N ⊄M，故A错误．∵M N={1，2，3，4，-2}≠M，故B 错误．M∩N={2}≠N，故C 错误，D 正确．故选D 5．【2011浙江，理1】若P={x|x<1},Q={x|x>-1}，则（）A．P ⊆Q B．Q ⊆P C．C R P ⊆Q D．Q ⊆C R P【答案】D 【解析】 P = {x | x < 1} ∴ C R P = {x | x ≥ 1} ，又∵ Q = {x | x > 1} ，∴ Q ⊆ C R P ，故选 D ． 6．【2011 北京，理 1】已知集合 P ={x | x 2≤ 1}， M = {a }．若 P M = P ，则 a 的取值范围是A ．( - ∞， -1]B ．[1，+∞）C ．[ -1，1]D ．（ -∞， -1] [1，+∞）【答案】C 【解析】因为 P M = P ，所以 M ⊆ P ，即 a ∈ P ，得 a 2≤ 1，解得 -1 ≤ a ≤ 1， 所以 a 的取值范围是[-1,1]．7．【2013 新课标 1，理 1】已知集合 A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－ 5＜x ＜ 5＝，则（ ）A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B 【解析】A=(- ∞ ，0)∪(2，+ ∞ )，∴A ∪B=R ，故选 B ．8．【2012 大纲，文 1】已知集合 A ={ x ︱ x 是平行四边形}， B ={ x ︱ x 是矩形}， C ={ x ︱ x 是正方形}，D ={ x ︱ x 是菱形}，则 A ． A ⊆ BB ．C ⊆ BC ．D ⊆ C D ． A ⊆ D【答案】B 【解析】∵正方形一定是矩形，∴ C 是 B 的子集，故选 B ．9．【2012 年湖北，文 1】已知集合 A = {x | x 2 - 3x + 2 = 0, x ∈ R } ， B = {x | 0 < x < 5, x ∈ N } A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4，则满足条件 【 答 案 】 D 【 解 析 】 求 解 一 元 二 次 方 程 ，A = {x | x 2 - 3x + 2 = 0, x ∈ R} = {1, 2} ， 易 知B = {x | 0 < x < 5, x ∈ N } = {1, 2, 3, 4}．因为 A ⊆C ⊆ B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素 1，2，且可能含有元素 3，4，原题即求集合{3, 4}的子集个数，即有 22 = 4 个．故选 D ．考点 3 集合间的基本运算【试题分类与归纳】1．【2011 课标，文 1】 已知集合 M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则 P 的子集共有 （A ）2 个(B)4 个(C)6 个(D)8 个【答案】B 【解析】∵P=M ∩N={1，3}， ∴P 的子集共有 22=4，故选 B ．2．【2013 新课标 2，理 1】已知集合 M={ x ∈R| (x -1)2< 4}，N={-1，0，1，2，3}，则 M ∩N= A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【答案】A 【解析】M=(-1，3)，∴M ∩N={0，1，2}，故选 A ．3．【2013 新课标 2，文 1】已知集合 M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则 M ∩N= （ ）（A ）｛-2，-1，0，1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝（C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 }【答案】C 【解析】因为集合 M= {x | -3 < x < 1}，所以 M ∩N =｛0，-1，-2｝，故选 C ．4．【2013新课标I，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()（A）｛1，4｝（B）｛2，3｝（C）{9，16}（D）｛1，2}【答案】A；【解析】依题意，B ={1, 4, 9,16}，故A B ={1, 4}．5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |x2-2x-3≥0}，B={x |－2≤x ＜2}，则A⋂B=A ．[-2，-1]B ．[-1，2）C ．[-1，1]D ．[1，2）【答案】A【解析】∵A= (-∞, -1] ⋃[3, +∞) ，∴A ⋂B =[-2，-1]，故选A．6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={x | x2 - 3x + 2≤0}，则M ⋂N =()A．｛1｝B．｛2｝C．｛0，1｝D．｛1，2｝【答案】D【解析】∵N ={x x2 - 3x + 2 ≤ 0}={x 1 ≤x ≤ 2}，∴M N ={1, 2}，故选D．7．【2014新课标1，文1】已知集合M={x|-1<x<3}，N ={x|-2<x<1}则M N=（）A. (-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3)【答案】B【解析】M B =(-1，1)，故选B．8．【2014新课标2，文1】设集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}，则A B=（）A. ∅B．{2} C．{0} D．{-2}【答案】B【解析】∵B ={-1, 2}，∴A B ={2}．9．【2015新课标2，理1】已知集合A =｛- 2，-1, 0，1, 2｝，B={x(x-1)(x+2<0}，则A B=（）A．A ={-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【解析】由题意知，B = (-2,1) ，∴A ⋂B = {-1,0}，故选A．10．【2015新课标1，文1】已知集合A ={x x = 3n + 2, n ∈N}, B ={6,8,10,12,14}，则集合A B中的元素个数为( )（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【答案】D【解析】由条件知，当n=2 时，3n+2=8，当n=4 时，3n+2=14，故A∩B={8，14}，故选D．11．【2015新课标2，文1】已知集合A ={x | -1 <x < 2}，B ={x | 0 <x < 3}，则A B=（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【解析】由题知，A ⋃B = (-1,3) ，故选A．12．【2016新课标1，理1】设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A⋂B=（A）(-3, -3) （B）(-23,3)23（C）(1, )23（D）( , 3)2【答案】D 【解析】由题知 A =（1，3），B= (3 2,+∞) ，所以 A ⋂ B = ( 3, 3) ，故选 D ． 213．【2016 新课标 2，理 2】已知集合A = {1, 2,3}，B = {x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈ Z }，则 A B = （ ）（A ）{1}（B ）{1，2} （C ）{0，1，2，3} （D ）{-1，0，1，2，3} 【答案】C 【解析】由题知 B ={0，1}，所以 A B = {0，1，2，3}，故选 C ．14．【2016 新课标 3，理 1】设集合 S = {x | (x - 2)(x - 3) ≥ 0},T = {x | x > 0}，则 S ⋂T =(A) [2，3] (B)（- ∞ ，2] U [3，+ ∞ ） (C) [3，+ ∞ ）(D)（0，2] U [3，+ ∞ ）【答案】D 【解析】由题知， S = (-∞,2] ⋃[3,+∞) ，∴ S ⋂T =（0，2] U [3，+ ∞ ），故选 D ．15．【2016 新课标 2，文 1】已知集合 A = {1，2，3}，B = {x | x 2 < 9} ，则 A B = （ ）（A ） { - 2，-1，0，1，2，3} （B ）{ - 2，- 1，0，1，2}（C ）{1，2，3}（D ）{1，2}【答案】D 【解析】由题知， B = (-3,3)，∴ A ⋂ B = {1,2}，故选 D ． 16．【2016 新课标 1，文 1】设集合 A = {1, 3, 5, 7}， B = {x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A B = （ ）（A ）{1，3}（B ）{3，5}（C ）{5，7}（D ）{1，7} 【答案】B 【解析】由题知， A ⋂ B = {3,5}，故选 B ．17．【2016 新课标 3，文 1】设集合 A = {0, 2, 4, 6,8,10}, B = {4,8} ，则ðA B =（A ） {4,8}（B ）{0，2,6}（C ）{0，2，6,10}（D ） {0，2，4，6，8,10}【答案】C 【解析】由题知， C A B = {0,2,6,10}，故选 C ． 18．【2017 新课标 1，理 1】已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x< 1}，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅【答案】A 【解析】由题知， B = (-∞,0) ，∴ A B = {x | x < 0} ，故选 A ．19．【2017 新课标 1，文 1】已知集合 A = {x |x < 2}，B = {x |3 - 2x > 0}，则（）A ．AB = ⎧x |x < 3 ⎫ B ．A B = ∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A B=R ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ 【答案】A20．【2017 新课标 2，理 2】设集合 A = {1, 2, 4}，B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1}，则B =（）A ．{1, -3}B ． {1, 0}C ． {1, 3}D ． {1, 5}【答案】C 【解析】由 A B = {1}得1∈ B ，所以 m = 3， B = {1, 3}，故选 C ． 21．【2017 新课标 2，文 1】设集合 A = {1，2，3}， B = {2，3，4}， 则 A B = （ ） A ．{1，2，3, 4}B ． {1，2，3} C ．{2，3，4}D ． {1，3，4} 【答案】A 【解析】由题意 A B = {1, 2, 3, 4}，故选 A ．22．【2017 新课标 3，文 1】已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A ⋂ B 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意可得， A B = {2, 4}，故选 B ． 23．【2018 新课标 1，理 1】已知集合 A 뫨 x x 2 ፑ x ፑ 2 0 ，则(R A 뫨A ． x ፑ 1 䁧 x 䁧 2B ． x ፑ 1 ≤ x ≤ 2C ． x ㌳x 䁧ፑ 1 U x ㌳x 2D ． x ㌳x ≤ፑ 1 U x ㌳x ≤ 2【答案】B 【解析】由题知，A 뫨 x ㌳x 䁧ፑ 1 或x 2 ，∴C R A 뫨 x ㌳ ፑ 1 ≤ x ≤ 2 ，故选 B ． 24．【2018 新课标 3，理 1】已知集合 A 뫨 x ㌳x ፑ 1 ≤ 0 ，B 뫨 0 ， 1 ， 2 ，则 A fi B 뫨 A ． 0B ． 1C ． 1 ， 2D ． 0 ， 1 ， 2【答案】C 【解析】由题意知，A={ x | x ≤ 1}，所以 A fi B 뫨 {1，2}，故选 C ． 25．【2018 新课标 1，文 1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求 ，故选 A ． 26．【2018 新课标 2，文 1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析，故选 C27．【2019 新课标 1，理 1】已知集合 M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0}，则 M ⋂ N =（）A ．{x -4 < x < 3} C ．{x -2 < x < 2}B ．{x -4 < x < -2} D ．{x 2 < x < 3}【 答案】C 【解析】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3}，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．28．【2019 新课标 1，文 2】已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A = {2,3, 4,5}，B = {2,3, 6, 7}，则B C U A = （ ）A ．{1, 6}B ． {1, 7}C ．{6, 7}D ． {1, 6, 7}【答案】C【解析】由已知得C U A ={1, 6, 7}，所以B ⋂C U A = {6, 7}，故选C．29．【2019新课标2，理1】设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，A ={x x2, 或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．30．【2019新课标2，文1】．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=A．(–1，+∞)B．(–∞，2)C．(–1，2) D．∅【答案】C【解析】由题知，A B = (-1, 2) ，故选C．31．【2019新课标3，理1】已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2≤1}，则A⋂B=（）A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【解析】由题意得，B ={x -1 ≤x ≤ 1}，则A ⋂B ={-1, 0,1}．故选A．32．【2019 浙江，1】已知全集U ={-1, 0,1, 2, 3}，集合 A ={0,1, 2}， B ={-1, 0,1}，则ðU A B = A．{-1} B．{0,1} C．{-1, 2, 3} D．{-1, 0,1, 3}【答案】A【解析】ðU A = {-1, 3} ，ðUA B = {-1} ．故选A．33．【2019天津，理1】设集合A={-1,1,2,3,5}, B = {2, 3, 4}, C = {x ∈R | 1 x < 3}，则( A C) B = A．{2} B．{2, 3} C．{-1, 2, 3} D．{1, 2,3, 4}【答案】D【解析】由题知，A C ={1,2}，所以{A C} B ={1,2} {2, 3, 4}={1,2, 3, 4}，故选D．34．【2011辽宁，理1】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N ðIM=∅，则M N= A．M B．N C．I D．∅【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N =M ．35．【2018天津，理1】设全集为R，集合A ={x 0 <x < 2}，B = {x x ≥1}，则A I(ðR B)=A．{x 0 <x ≤1} B．{x 0 <x < 1} C．{x 1≤x < 2} D．{x 0 <x < 2}【答案】B【解析】因为B = {x x ≥1}，所以ðRB = {x | x < 1}，因为A = {x 0 <x < 2}，所以A I (ðRB) = {x | 0 <x < 1}，故选B．36．【2017ft东，理1】设函数y= 的定义学科网会员，小学初中高中试卷，课件，视频等均可以免费下载，包括特供，普通，储值，精品等等，有专门的售后。
专题01 集合的概念与运算 (解析版)
专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。
集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。
集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。
【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
人教版高一数学上学期精品讲义专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(课时训练)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（课时训练）【基础巩固】1．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{1,2,3},{|20}A B x Z x x ==∈--<,则AB =（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2,3}-【正确答案】C【详细解析】由题可得,集合B 中的不等式()()22021012xx x x x --<⇒-+<⇒-<<,又x Z ∈,{}0,1B ∴=,A B ={0,1,2,3}正确答案选C2．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z },则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 【正确答案】A【详细解析】∵x 2+y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x =−1，0，1,当x =−1时,y =−1，0，1;当x =0时,y =−1，0，1;当x =−1时,y =−1，0，1;所以共有9个,选A ．3．已知集合A ={0,1,2},则集合B =中元素的个数是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．9【正确答案】C【详细解析】0,0,1,2,0,1,2x y x y ==-=--;1,0,1,2,1,0,1x y x y ==-=-;2,0,1,2,2,1,0x y x y ==-=．∴B 中的元素为2,1,0,1,2--共5个,故选C ．4．（2019·全国高一单元测试）设M ,P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P },则M －( M －P )等于( ) A ．P B ．M C ．M ∩P D ．M ∪P【正确答案】C【详细解析】由题意,作出Venn 图,如图所示:可得M －( M －P )= M ∩P ,故选C.5．（多选题）已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集,集合A ={1,2,3,4},则满足A ∩∁U B ={1,2}的集合B 可以是( )A. {1,2,3,4}B. {3,7}C. {3,4,5,6}D. {3,4,5}【正确答案】CD{}|,x y x A y A -∈∈【详细解析】由题意可得集合B 中一定不能有1和2, 结合选项可知应选CD ．故选CD ．6．已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<,则A B =（ ）A ．(1,2)-B ．(2,7)C ．(2,)+∞D ．(1,2)【正确答案】D【详细解析】由题意,{}{}342A x x x x x =<+=<,{}{}287017B x x x x x =-+<=<<, 所以{}12AB x x =<<,故选D 。
高考数学专项： 集合间的基本关系(讲义)解析版
1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。
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专题一集合、集合的关系、集合的运算核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值。
【答案】a＝－1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1。
考点二数学抽象-子（真子）集个数例题9.已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．考点三数学运算-集合运算例题10、设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．【解析】(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．考点四直观想象-补集例题11.已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.【答案】∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一单元测试）已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】因为由M ∪N={-1，0，1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M={0，-1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C2．（2019·全国高一单元测试）已知M ＝{x ∈R|x }，a ＝π，有下列四个式子：(1)a ∈M ；(2){a }⊆M ；(3)a ⊆M ；(4){a }∩M ＝π.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(1)(2)(4)【答案】A【解析】由题意，（1）中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；（2）中，根据集合与集合的关系，可知是正确的； (3)是元素与集合的关系，应为a ∈M ，所以不正确；(4)应为{a}∩M ＝{π}，所以不正确，故选A ．3．（2019·全国高一单元测试）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 【答案】B 【解析】依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.故选B 。
4．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{1,2,3},{|20}A B x Z x x ==∈--<,则A B =（）A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2,3}- 【答案】C【解析】由题可得，集合B 中的不等式()()22021012x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，又x Z ∈，{}0,1B ∴=，A B ={0,1,2,3}答案选C5．（2019·全国高一单元测试）设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．MC ．M ∩PD ．M ∪P【答案】C 【解析】由题意，作出Venn 图，如图所示：可得M －(M －P )= M ∩P ，故选C.6．（2017·全国高一单元测试） 设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ＞2，x ∈N}B.{x |x ≤2，x ∈N}C.{0,2}D.{1,2}【答案】C【解析】 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤4，x ∈N}＝{x |－2≤x ≤2，x ∈N}＝{0,1,2}，∵B ＝{0,2,3}，∴B ∩(∁U A )＝{0,2}，选C.7．（2017·全国高一单元测试）若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对【答案】C【解析】当k ＝0时，A ＝{－1}；当k ≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.二、填空题8．（2019·北京市十一学校高一单元测试）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个【答案】56【解析】集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3,4,5,6},∅,共64个;又,{4,5,6,7,8}S B B ⋂≠∅=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅ 共8个,则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数是64856-=.9．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________【答案】2【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或 分两种情况进行讨论： 在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去。
在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意。
答案为：210．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{2},{|210}A B x x x a =-=++-=,且A B B =,则满足条件的实数a 组成的集合为__________ 【答案】{}2a a >【解析】若集合{}=2B -，将-2带入B 中，则应满足44+10a --=，1a =，反求得集合{}0,2B =-,与假设矛盾，排除1a =若B =∅，则∆<0，即()=4-410a ∆-<，2a >所以满足条件的a 组成的集合为{}2a a >11．（2018·江西高一单元测试）用列举法表示集合10|,1M m Z m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________． 【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 【解析】101Z m Z m ∈∈+，， 1m ∴+为10的因数则11251010521m +=----，，，，，，，014911632m ∴=----，，，，，，，则答案为{}116320149----，，，，，，， 三、解答题12．（2019·全国高一单元测试）已知A ={a −1,2a 2+5a +1,a 2+1}, −2∈A ,求实数a 的值.【答案】−32【解析】因为−2∈A ，所以有a −1=−2,或2a 2+5a +1=−2，显然a 2+1≠−2， 当a −1=−2时，a =−1，此时a −1=2a 2+5a +1=−2不符合集合元素的互异性，故舍去；当2a 2+5a +1=−2时，解得a =−32，a =−1由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故a =−32.13．（2017·全国高一单元测试） 已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．【答案】(1) {x |－3＜x ＜－1}． (2){a |1＜a ＜3}.【解析】(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}.所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.14．（2010·全国高一单元测试）设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A∩B=B ，求a 的取值范围．【答案】a=1或a≤﹣1【解析】根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B ，则B 是A 的子集， 且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集， 分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．。