第七章 第一节模型 陈霞
第7章初等模型
第七章初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。
本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题，介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。
需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。
也就是说，一个问题可用初等数学构造和求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么前者是好的。
§7.1 椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
请用数学模型证明为什么能放稳。
二、问题分析此问题与数学有关吗？由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。
同样地，如果地面某处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。
所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。
通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的“面”，椅子在地面上放稳是四脚同时着地，而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。
移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。
其中旋转要设1个变量；平移要2个；平移加旋转要3个。
为了简单起见采用旋转法。
如何旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。
三、假设1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
四、建立模型以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系（见图7.1.1），使得四脚A 、B 、C 、D 共圆的圆心与坐标原点重合。
用θ表示旋转，则四脚与地面的距离随θ的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于θ的一元函数，分别用)(θA h 、)(θB h 、)(θC h 、)(θD h 表示旋转θ后脚A 、脚B 、脚C 、脚D 与地面的距离。
第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理
第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件： （1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。
（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01 2、等价鞅测度的定义随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件： （1）S （t ）在t φ信息结构下已知。
（2）+∞<|)(|t S E（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。
即∑===ki t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。
则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。
根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。
为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。
假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。
若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。
这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。
第七章模型试验
对原型 对模型 令 Cp = 则有
Pp = M p a p Pm = M m am Pp Pm Cm = Mp Mm Ca = ap am
Pm C p = M m C m am C a
Cm Ca Pm = M m am Cp CmCa 则应有 =1 Cp
即两个现象相似，其三个相似常数应满足上式。通常称这个约束各 相似常数的指标
故应有
Cσ = const Cl Cσ =1 Cl Cγ
同理我们可以推导出
等相似指标.以下以大坝模型为例加以说明.大坝主要荷载为水压力 和自重，水压力是面积力
σ m = γ m hm
自重是体积力
σ p = γ php
∴ Cσ =
(14) = Cγ Cl
γ Php γ m hm
ρ γ
h
Cx =
yp ym
2
三.破坏模型的相似关系
对于破坏模型来说，不仅要求在弹性阶段的模型应力和变形状 态与原型相似，还要求在超出弹性阶段后直至破坏为止，模型的应 力和变形状态也应与原型相似。这时还应该满足残余应变相等的条 ε p o = ε m o ，也就是Cε o = ε m o ε p o = 1 件，即 对于材料的强度参数，若设
CmCa = 1 称为相似指标 K= Cp
根据相似指标，有 得 Pp
M p a p Pm M m a m Pp
=1
Pm = =π M p a p M m am
上式说的原型与模型中各对应物理量之间保持的比例关系是相同的， 都等于一个定数π，称为相似判据。（表示原型或模型内各基本物 理量之间应满足的比例关系） 于是相似第一定律又可简述为：相似现象是指具有相同的方程 式与相同相似判据的现象群。
第7章 平稳时间序列模型预测
et l
xˆt l
预测误差
预测值
特别当 l=1时有 Xt1 t1 xˆt 1 ，即 t1 Xt1 xˆt 1
MA(q)序列的预测
当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l >q时， Xt+l可以分解为：
X tl tl 1tl1 2tl2 L qtlq
即一期修正后第 l 步预测方差就等于修正前第 l 1步预测
方差。它比修正前的同期预测方差减少了Gl21 2，提高了预
测精度。
一般情况
假设获得k个新的观察值 Xt1,L , Xtk 1 k l ，则
X tl 的修正预测值为
Xˆ tk (l k ) Gl-k t+k L Gl1t+1 Glt Gl1t1 L
其中t+1=Xt1 Xˆt 1 是Xt+1的一步预测误差。
修正预测误差为 et1 (l 1) G0 tl Gl2 t2
修正预测原理
预测方差为
var[et1(l 1)] (G02 L
G2 l2
)
2
var et l 1
1
Xˆ
t
l
1
2
Xˆ
t
l
2
L
p Xˆ t l p
q
i tli , l q
il
1Xˆ t l 1 2 Xˆ t l 2 L p Xˆ t l p,
lq
例7.4
已知ARMA(1,1)模型为：
X t 0.8X t1 t 0.6t1, 2 0.0025
解: (1) 预测值计算
第七章-双重介质渗流-本科生
双重介质渗流理论基础中国石油大学（北京）第七章多重介质渗流理论第一节双重介质油藏模型第二节双重介质单相渗流的数学模型第三节双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解第四节双重介质油藏不稳定试井分析23具有裂缝和孔隙双重储油(气)和流油(气)的介质我们称之为双重介质。
在一般情况下，裂缝所占的储集空间大大小于基岩的储集空间，因此裂缝孔隙度就小于基岩的孔隙度，而裂缝的流油能力却大大高于基岩的流油能力，因此裂缝渗透率就高于基岩的渗透率，这种流油能力和供油能力的错位的现象是裂缝-孔隙介质的基本特性。
双重介质实际油藏模型双重介质定义双重介质基岩裂缝裂缝基岩4裂缝-孔隙性双重介质结构油藏可抽象地简化成各种不同地质模型。
1.Warren Root2.Kazemi3.De Swaan4.Factal −⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩模型模型模型模型51.Warren -Root 模型将双重介质油藏简化为正交裂缝切割基质岩块呈六面体的地质模型，裂缝方向与主渗透率方向一致，并假设裂缝的宽度为常数。
裂缝网络可以是均匀分布，也可以是非均匀分布的，采用非均匀的裂缝网格可研究裂缝网络的各向异性或在某一方向上变化的情况。
基质裂缝2.Kazemi模型该模型是把实际的双重介质油藏简化为由一组平行层理的裂缝分割基质岩块呈层状的地质模型，即模型由水平裂缝和水平基质层相间组成。
对于裂缝均匀分布、基质具有较高的窜流能力和高储存能力的条件下，其结果与Warren-Root模型的结果相似。
63.De Swaan模型该模型除与Warren-Root模型相似，只是基质岩块不是平行六面体，而是圆球体。
圆球体仍按规则的正交分布方式排列。
裂缝由圆球体之间的空隙表示，圆球体由基质岩块表示。
784.Factal 模型部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
裂缝性油藏的分形模型认为裂缝的分布形态、基岩的孔隙结构属于分形系统。
分形的维数随油藏的非均质性不同而不同。
基质裂缝分形模型:整体与局部具有某种相似性9双重介质油藏基本参数：弹性储容比和窜流系数。
第七章 离散模型
第七章 离散模型7.1 层次分析模型离散模型• 离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、… … • 分析社会经济系统的有力工具• 只用到代数、集合及图论（少许）的知识● 背景1. 日常工作、生活中的决策问题2. 涉及经济、社会等方面的因素3. 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化4. Saaty 于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)5. AHP ——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法● 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地：如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.● “选择旅游地”思维过程的归纳1. 将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。
2. 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。
目标层准则层方案层3. 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
● 层次分析法的基本步骤● 成对比较阵和权向量1. 元素之间两两对比，对比采用相对尺度；设要比较各准则C1,C2,… , Cn 对目标O的重要性。
ij j i a C C ⇒: ijji ij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=⨯ 选择 A ~成对比较阵旅 A 是正互反阵 游地要由A 确定C1,… , Cn 对O 的权向量2. 成对比较的不一致情况不一致):(2/12112C C a = ):(43113C C a =允许不一致，但要确定不一致的允许范围3. 考察完全一致的情况⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=71242/11An w w w W ,,)1(21⇒=，j i ij w w a /=令，权向量~),,(21T n w w w w =，满足n k j i a a a ik jk ij ,,2,1,,, ==⋅的正互反阵A 称一致阵，如：● 一致阵性质1. A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n2. A 的任一列向量是对应于n 的特征向量3. A 的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A ，建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量w ，即：w Aw λ=1. 比较尺度aijSaaty 等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 便于定性到定量的转化：aij = 1,1/2, ,…1/9 j i C C :~的重要性与上面相反● 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个● 用1~3,1~5,…1~17,…,1p ~9p (p =2,3,4,5), d +0.1~d +0.9 (d =1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第七章 §1 一元线性回归
年份-2 015
-4
-2
0
2
4
需求量-257
-21
-11
0
19
29
对处理的数据,设 T=X-2 015,Z=Y-257,容易算得=0,=3.2.
^
(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+0×0+2×19+4×29-5×0×3.2
=
260
= =6.5,
40
2
2
3:Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2.
请同学们分析比较三种模型的特点.
知识点拨
一、直线的拟合
1.如图是关于体重随身高的变化的规律,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为
成对数据,这些点构成的图称为散点图.
2.从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大
^ ^
线称作 Y 关于 X 的回归直线,a, b是这个线性回归方程的系数.
名师点析1.线性回归系数的求解公式还可以写成如下形式:
n
^
∑ (xi -x)(yi -y)
b = i=1 n
∑ (xi -x)2
^
^
, a = y − b x.
i=1
2.在回归分析中,利用线性回归方程求出的值不一定是真实值,很多时候只
(2)当X=200时,Y=0.72×200+6.24=150.24(微克/立方米).
所以可以预测此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米.
素养形成
方法优化——求线性回归方程的技巧
典例某地粮食需求量逐年上升,部分统计数据如下表:
第7章01-运输问题及其数学模型
第7章01运输问题及其数学模型同学们，大家好，今天我们来开始学习第7章运输问题。
实际上，运输问题本质上也是一个线性规划问题，但为什么我们把它单独拿出来进行学习呢？有两个原因，一个是从现实应用角度讲，运输问题是物流管理中一个非常基础的模型，有其特别重要的意义；而从理论上讲，它虽然是一个线性规划模型，但却有其自己的鲜明特点，可以用比单纯形法更为简单的求解方法进行求解，也就是表上作业法。
我们先来看第一小节运输问题及其数学模型。
什么是运输问题？我们通过一个例题来看。
例7-1某公司从两个产地1A ，2A 将产品运往三个销地1B ，2B ，3B ，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的单位产品运费如表7-1所示，问如何调运，使得总运输费最小？表7-1产量、销量、单位运费表例7-1，某公司从两个产地A 1，A 2将产品运往三个销地B 1，B 2，B 3，各产地的产量、销量和各产地运往各销地的单位产品运费如表7-1所示。
问如何调运，使得总运费最小？需要注意的是，这个问题中的总产量等于总销量，是一个产销平衡的运输问题。
对于这个问题，我们可以把它用下面的一个产销网络图来表示。
其中，产地A 1，A 2和销地B 1，B 2，B 3均用结点来表示，从产地A i 到销地B j 的运输路线均用弧线来表示，并把单位运费在弧线上标出。
对于这个问题而言，我们是不是可以用线性规化模型进行解决？这是可以做到的。
我们先来设变量，这里共有6条路线，所以，我们应该设6个变量，也就是设产地A i 到销地B j 的运量为x ij ，其中，i=1,2；j=1,2,3。
我们再来写目标函数。
目标是使得各条路线上的总运费最低。
因为从产地A i 到销地B j 的运量为x ij ，所以，A i 到B j 的单位运价c ij 乘以x ij 就是A i 到B j 这条路线的运费。
于是，目标函数可以写为z=6x 11+4x 12+6x 13+6x 21+5x 22+5x 23。
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活动 二：2、继续观看下面的奥运会主会场图片、 神舟飞船模型图片、神舟飞船中的模拟人图片以 及小汽车模型图片等，结合P139课文，进一步思 考归纳模型所具有的功能。
2008北京奥运会主会场
“神舟飞船”的原型与模型
神 州 飞 船 中 的 模 拟 人
汽 车 模 型
3、模型的两个功能
（1）使设计对象具体化。 模型可视、可触、可控制，可以形象地表达所设计 的产品的比例、尺度、线型、色彩、材质以及每一 个构成面。它是一种实体语言，为设计的表达和交 流提供了一条有效途径，使设计委托者、生产单位 和设计人员之间能够直接沟通，全面认识设计方案。 （2）帮助分析设计的可能性。 由于现代工业产品大部分是在大规模、自动化和巨 额资金投入下生产出来的，因此．仅凭图纸提供设 计意图，很难把握设计的可靠性。如果设计一旦失 败，损失将十分巨大，所以，设计一件较复杂的产 品，必须通过模型制作，才能投人生产。
4、 功能模型
用于研究产 品的各种性 能以及人机 关系，同时 也用作分析、 检查设计对 象各部分组 件尺寸与机 体的相互配 合关系等。
汽车撞击试验模型 利用NF-3全机低速风洞对“运-8”模型进行吹风试验模型
5、展示模型
采用真实材料，用准 确的尺寸，做成与实 际产品几乎一致的模 型或按一定比例缩放 的模型，作为产品的 样品进行展示，以便 提供实体形象。另外 通过展示模型可以直 接向设计委托方征求 意见，为审核方案提 供实物依据。
思 考 ： 草 船 借 箭 中 的 稻 草 人 是 一 种 什 么 的 制 作？
活动 一：观看比较下面的图片并结合P138课文，分小
组讨论、归纳原型与模型的概念，比较其特点。
原 型
模 型
一、模型
1、模型的概念： 模型（model）是根据实物、设计图样或构思， 按比例、生态或其他特征制成的与实物相似的一 种物体。 2、原型的概念和作用 原型可以是产品本身，也可以是在产品生产之前 制作的与产品大小相同、使用功能一致的物体。 通常是第一个能全面反映产品功能的形体，它广 泛应用于新产品的开发中，有时原型就是最终产 品。原型有利于对设计方案的实现效果进行评估， 也有利于实现对于大规模生产的生产技术与成本 的估算。 3、模型的特点： 与原型相比，模型有制作成本低、便于修改等优 点。设计者一般通过模型来呈现产品的设计方案。
宋朝的喻皓于989 年在 京城汴梁（现在的开封）建 造8 角13 层的开宝寺木塔时， 也是事先制造了一个小模型， 进行研究、修改，然后才动 工兴建。
思考： 既然在设计的过程中，一般都需要制作模型，那么模型 有哪些种类呢？在不同的阶段分别起什么作用呢？
二、模型的类型及其在不同阶段的作用
活动 三：观察榨汁机的模型图片，分析思考在设 计的不同阶段应采用的模型？分别有何作用？
功能模型
用于研究产品的各种性能以及人机关系等，可用于试验。
想一想：通常建筑模型中有没有功能模？为什么？这说明了什么？
展 示 模 型
用真实材料，准确的尺寸，做成与实际产品几乎一致或 按一定比例缩 材 料：硬纸板、吸管、细竹棒、螺钉
设计思路：通过模型结构、功能制作，发展构
柑橘 榨汁 机的 草模
1、草模:
在设计的初始阶段，采用立体模型将设计 构思简单地表示出来，供设计人员深入探 讨时使用。
2、概念模型
在设计构思初步 完成之后，用概 括的手法表示产 品的造型风格、 布局安排，以及 产品与人、环境 的关系等，从整 体上表现产品造 型的整体概念。
3、 结构模型
用于研究产品 造型与结构的 关系，表达产 品的结构尺寸 和连接方法， 并用于进行结 构强度试验。
活动 二：1、阅读对比玛丽女王2号的成功与大东 方号的失败的图文资料，分析思考其中的原因， 并由此归纳出，在设计的过程中，模型试验的重 要性。
大东方号集中了当时世 界上最先进的各种动力设备， 邀请了著名的造船专家，想 制造一艘世界上最大、航速 最快的远洋轮船，但最后失 败了。其根本原因是一次的 完成图纸设计后就直接施工制造的《大东方号》轮船， 虽然集中了当时造船技术的精华，但还是造成了动力设 备与庞大船体的动力需要不匹配。
玛丽女王2号是世界上目前最大、最出名的豪华邮轮，英国投资、
法国建造，历时17个月、耗资8亿美元。吨位15万吨，最多载客数 可达到2800人。有14层甲板，1310套豪华客房，14个风格各异的 酒吧、10 个就餐区 ，5个游泳池，8个按摩池、影剧院和天文馆等 多功能厅、大舞厅、夜总会、赌厅、健身房、篮球场、网球场、模 拟高尔夫球场和儿童活动中心、图书馆以及20家名牌时尚用品商店。
回忆一下
设计的一般过程：
发现与明确问题 制定设计方案
并非设计过程的 终结，只是设计 制作模型或原型 过程的一个环节、 一种技术方法
测试、评估及优化 编写产品说明书
第七章 模型或原型的制作
一、模型
教学目标
1. 知识与技能目标 (1)理解模型的含义、种类。 (2)能懂得模型在产品研发、科学试验中的功能 和意义。(重难点） 2. 过程与方法目标 讨论过程中，能充分发挥学生的聪明才智，对 模型的功能和意义进行归纳和总结。 3. 情感态度和价值观目标 (1)形成和保持制作模型的兴趣与热情。 (2)养成良好的探究学习的积极性。 (3)能运用科学的方法认识模型的作用和意义。
想，完善设计，为学习工艺做准备
作品交流：展示作品，推广经验
课堂小结
概念
成本低 易修改 经常用 设计对象具体化
草 模：初期、简单
之后、概括 概念模：
特点 功能
模型
在不同阶段 的作用
结构模： 尺寸、连法 功能模： 性能、配合
分析设计可能性
最后、高真 展示模：
反思：
可以设计各种模型图片 让学生PK完成识别
活动 四：观察下面的几种模型，判断是何种模型？ 在设计的哪一阶段应采用该种模型？
草模 在设计的初始阶段，采用立体模型 将设计构思简单地表示出来
概念模型
在设计构思初步完成之后，用概括的手法表示 产品的造型风格、布局安排等。
结构模型
用于表达产品的结构尺寸和连接方法，用于进行结 构强度试验。
结构模型竞赛作品欣赏