高中数学必修四导学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)
高中数学1.4.2 《正弦函数、余弦函数的性质》(第二课时)导学案
1.4.2 《正弦函数、余弦函数的性质》（第二课时）导学案---奇偶性、单调性、最值【学习目标】 正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值，并学会用这些性质解决简单的问题【重点难点】 单调性【学法指导】 自主探索与合作交流相结合【知识链接】 正弦函数、余弦函数的的图象【学习过程】一.预习导引1.回忆函数奇偶性的定义及如何判断函数的奇偶性. 奇（偶）函数的图像有什么特征？2.正弦函数、余弦函数具备奇偶性吗？说明理由.3.对于周期函数的单调性我们该怎样研究？sin y x =的单调递增区间是单调递减区间是cos y x =的单调递增区间是单调递减区间是4. sin y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.cos y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.二.基础训练1.cos 2y x =是____函数（奇、偶）.2.比较大小：（1）sin()_____sin()1810ππ-- （2）2317cos()_____cos()54ππ-- 3.sin(2)_______________________3y x π=-的递增区间是4.1cos ,y x x R x =+∈的最大值是____此时的取值集合是_____________5.2sin 3,y x x R x =-∈的最大值是____此时的取值集合是_____________三.典型例题2.sin sin y x x =+例1求的值域.22cos sin y x x =-练习：求的值域.22.sin()3y x π=-例求的增区间. 2cos 24y x π=--练习：求（）的减区间. 3.sin(),R _______y x θθπθ=+≤≤例（0）是上的偶函数，则的值是四.课时小结五.课外作业1.y =判断的奇偶性. 2.sin(2),[0,]32y x x ππ=+∈求的最值. 3.sin(2),[0,]3y x x ππ=-∈求的减区间. 4.31sin 22y a b x a b =--若函数的最大值是，最小值是，求,.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）---奇偶性、单调性、最值答案二.基础训练1.偶2. > <3. 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈4. 2 {|2,}x x k k Z π=∈5. 2 2{|,}63k x x k Z ππ=-+∈三.典型例题例1. 1[,2]4-练习: [2,2]-例2. 713[2,2]()66k k k Z ππππ++∈练习： 3[,]()88k k k Z ππππ-++∈例3. 2π五.课外作业1.非奇非偶,2. max min 1,2y y ==-3. 511[0,],[,]1212πππ 4. 121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩。
高中数学必修四学案 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？[答案] 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ [答案] 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？[答案] y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理1．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用 [答案] cos 1>cos 2>cos 3[解析] 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z .根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2][考点] 正弦函数、余弦函数的单调性 [题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用 [答案] A[解析] 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． [考点] 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 [题点] 正弦函数的最大值与最小值解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．[考点] 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值[题点] 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1. 若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1[考点] 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值[题点] 余弦函数的最大值与最小值[答案] C[解析] cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) [考点] 正弦函数、余弦函数的单调性[题点] 正弦函数、余弦函数单调性的判断[答案] B[解析] 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ， ∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1[考点] 正弦函数、余弦函数的单调性[题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用[答案] D[解析] ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．[考点] 正弦函数、余弦函数的单调性[题点] 正弦函数、余弦函数单调性的应用[答案] (－π，0][解析] 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合． [考点] 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值[题点] 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.。
数学人教A版高中必修4正余弦函数的性质(二)优秀导学案
1.4.2正余弦函数的性质(二)高一1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．对于正弦函数y＝sin x，x∈R，1.正弦函数的单调性单调递增区间：_______________________;单调递减区间：_______________________.2.正弦函数的最值最大值：当x=________________时，y max＝________；最小值：当x=________________时，y min＝________.3.余弦函数的单调性和最值对于余弦函数y＝cos x，x∈R,单调递增区间：_______________________;单调递减区间：_______________________.最大值：当x=________________时，y max＝________；最小值：当x=________________时，y min＝________.知识点：____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________知识点：____________________________________________________ ____________________________________________________函数y＝sin x y＝cos x 图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性典例1 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．典例2 已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( ) A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β) C ．f (sin α)>f (cos β) D ．f (sin α)<f (cos β)典例3 已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a >0)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．。
高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。
心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 导学案
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质【课标要求】1.了解三角函数的周期性，会求一些三角函数的周期．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【考纲要求】【学习目标叙写】1.通过自主学习，会求一些三角函数的周期2.通过合作交流，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【使用说明及方法指导】1.限时10—15分钟，独立完成预习案内容，书写规范。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【预习案】1．sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______.(k∈Z)2．正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点为___________________________________．3．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点为【探究案】探究一：正、余弦函数的周期性研究正、余弦函数的周期性，可根据定义f(x＋T)＝f(x)，T一般为最小正周期例一求下列函数的周期：(1)y＝sin 2x＋3； (2)y＝2cos(13x－π4)； (3)y＝|sin x|.探究二：正、余弦函数的奇偶性正、余弦函数的奇偶性，要根据奇偶函数的定义、性质和三角诱导公式来判定．例二判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【拓展1】 若本例(4)改为f (x )＝1－cos x ，其奇偶性如何？探究三：正、余弦函数的单调性要结合正、余弦函数的图象和周期性，求解单调区间．例三 求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．【拓展1】 求函数y ＝2sin(x ＋π4)的单调区间．探究四：正、余弦函数的定义域、值域及最值此类问题主要利用它们的有界性：|sin x |≤1，|cos x |≤1(x ∈R)．例四 (1)求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[π6，π2]的值域；(2)求函数y ＝11＋sin x的定义域、值域和最值．【拓展1】 求函数y ＝cos2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域．【二次备课】。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)
第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质__________当x ＝____________时，y 取最大值1 当x ＝__________时，y 取最小值－1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是R B ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π 2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( )A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] 【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值)【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8. 分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2－cos 2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝⎛⎭⎫－π2无意义， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递减区间． 令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案新人教A版必修4
二．探究与发现
【探究点一】正、余弦函数的定义域、值域 正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲
线很
容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集
R，值域都是
．
对于正弦函数 y＝ sin x ，x∈Ｒ 有：
当且仅当 x＝
时，取得最大值
对于余弦函数 y＝ cos x ，x∈Ｒ 有：
1；当且仅当 x＝
时，取得最小值－ 1.
(即
同则增，异则减 ) 求解．
余弦函数 y＝ Acos( ω x＋φ ) 的单调区间类似可求．
请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数
1π y＝ sin －2x＋ 3 单调递增区间的求法．
例 1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin
－π18 与 sin
－
π 10
；
(2)sin 196 °与 cos 156 °；
(2)cos 870 °与 sin 980 °．
1π 例 2．求函数 y＝ 1＋ sin － 2x＋ 4 ，x∈[ － 4π ， 4π] 的单调减区间．
小结
确定函数 y＝ Asin( ω x＋ φ) 或 y＝ Acos( ω x＋φ ) 单调区间的基本思想是整体换元思想，即将 ω x＋ φ 视为一个整体．若 x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾 函数的定义域．
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， 1；
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐下降，是减函数，
sin x 的值由－ 1 增大到 sin x 的值由 1 减小到－
1.
推广到整个定义域可得： 当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是增函数，函数值由－ 1 增大到 1； 当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是减函数，＝ cos x ，x∈[ － π ， π ] 的图象如图所示： 观察图象可知： 当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x 的值由－ 1 增大到 1；
人教版高中数学必修四第一章1-4-2正弦函数余弦函数的性质(二)《导学案》
第一章 §1.4.2.2正、余弦函数的性质 【学习目标】通过观察正弦函数、余弦函数的图像，得出函数的性质.【学习重点】正余弦函数的奇偶性、对称性、单调性.【基础知识】1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）正弦函数的图像观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称.也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是 函数. （2）余弦函数的图形 观察函数f(x)=cosx 的图象，当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值.例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ，∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是 函数.2. 有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为 ，y=cosx 的对称轴为 .你能写出正余弦函数的对称中心吗？y=sinx 的对称中心为 ，y=cosx 的对称中心为 .想一想 )4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ ）(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=x ， (D) 直线4π-=x 3. 单调性从y ＝sinx ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间 都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.正余弦函数的的值域为 ,称之为函数的有界性.【例题讲解】例1 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的一个对称中心是( ). A ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C ．⎝⎛⎭⎫π6，0 D ．⎝⎛⎭⎫π3，0 总结：正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )图象的对称轴满足ωx ＋φ＝k π+π2(k ∈Z )，对称中心的横坐标满足ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )；余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )图象的对称轴满足ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，对称中心的横坐标满足ωx ＋φ＝k π+π2(k ∈Z )．例2 写出下例函数的最大值，并写出取得最大值的x 值.（1）1cos +=x y （2）x y 2sin 3-=例3 比较大小（1）)18(sin π-与)10sin(π- （2））（523cos π-与)417cos(π-例4 求函数]2,2[),321sin(πππ-∈+=x x y 的单调区间.变式：求函数y=cos(-2x+3π)的单调增区间【达标检测】1．y =sin(x -π3 )的单调增区间是（ ）A. [k π-π6 ,k π+5π6 ] (k ∈Z)B. [2k π-π6 ,2k π+5π6 ](k ∈Z)C. [k π-7π6 , k π-π6 ] (k ∈Z)D. [2k π-7π6 ,2k π-π6 ] (k ∈Z)2．下列函数中是奇函数的是（ ）A. y =-|sin x |B. y =sin(-|x |)C. y =sin|x |D. y =x sin|x |3．在 (0,2π) 内，使 sin x >cos x 成立的x 取值范围是（ ）A .(π4 ,π2 )∪(π, 5π4 ) B. ( π4 ,π)C. ( π4 ,5π4 )D.( π4 ,π)∪( 5π4 ,3π2 )4．Cos1,cos2,cos3的大小关系是______________________.5．ｙ=s in(3x -π2 )的周期是__________________.6．求函数y=cos 2x - 4cos x + 3的最值【问题与收获】。
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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）
【学习目标】
1.理解正、余弦函数在一个周期上的单调性，从而归纳正余弦函数的单调性；
2.会求正、余弦函数在给定区间上的单调性，会用单调性比较函数值的大小.
预习课本P37---40页的内容，完成下列问题
【新知自学】 知识回顾：
1.周期函数定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个___________，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f (x )就叫做_________，非零常数T 叫做这个函数的_______. 在周期函数的所有的周期中，如果存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做这个周期函数都有最小正周期
2.奇偶性：正弦函数是________函数，余弦函数是________函数
正弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称； 余弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称； 新知梳理：
1.由正余弦函数的图象可以看出：
正弦函数y=sinx 在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中）Z k ∈
余弦函数y=cosx 在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中）Z k ∈
2. 最值：
正弦函数y=sinx 当且仅当x=_______时，y 取最大值1，当且仅当x=_______时，y 取最小值______.
余弦函数y=cosx 当且仅当x=_______时，y 取最大值1，当且仅当x=_______时，y 取最小值______.
3.三角函数的值域 正弦函数y=sinx 的值域：11y -≤≤
余弦函数y=cosx 的值域：11y -≤≤ 对点练习：
1. 给出的下列函数中在2
π
π（，）上是增函数的是（ ） A 、sin y x = B 、cos y x =
C 、sin 2y x =
D 、cos 2y x =
2.函数y=1-3cosx 的最大值是_______，最小值是________；其中取得最大值时的自变量x 的集合是_______________.
3. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A.π，1
B.π
C.2π，1
D.2π
4.把12
5cos ,532sin ,45cos -54sin
ππππ，从小到大排列起来为________________
【合作探究】 典例精析：
题型一：三角函数的单调性
例1. 求函数y=sin(2x-
3
π)的单调增区间.
变式1.求函数cos(2)4
y x π=-的单调递减区间.
题型二：有关三角函数的最值
例2.求函数f(x)=-3sin(2x-
3
π)的最值，并求函数取得最值时自变量x 的取值的集合．
变式练习2：已知函数()b x a x f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=32sin 2π的定义域为]2,0[π，函数的最大值为1，最小值为5-，求b a 和的值
例3．求下列函数的值域
（1）1cos 2cos +=x x
y
（2）)66)(32sin(2π
π
π≤≤-+=x x y
（3）)20(),sin 21
1(log 21π<≤-
=x x y
【课堂小结】
【当堂达标】
1.函数y=sinx,]32,6[x π
π∈的值域是（ ） A. B.[21
,1] C.[21,23] D. [23
,1]
2. 已知f(x)=sinx ，则以下不等式正确的是( )
A ．f(3)>f(1)>f(2)
B ．f(1)>f(2)>f(3)
C ．f(3)>f(2)>f(1)
D ．f(1)>f(3)>f(2)
3. .函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ） A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π
03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦， D.π06⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
4.在下列各区间中，是函数)4π
sin(+=x y 的单调递增区间的是( ) (A)]π,2π[ (B)]4π
,0[
(C) (D)]2π
,4π[
5.求函数3
cos 211y x π-
=（x R ∈）的最值,并求函数取得最值时自变量x 的取值的集合．
【课时作业】 1．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）
A ．4sin(4)3y x π=+
B ．2sin(2)23
y x π=++ C ．2sin(4)3y x π=+ D ．2sin(4)26
y x π=++ 2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）
A.ππ⎛⎫
- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛
⎫π ⎪2⎝⎭， D.32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭
， 3、设M 和m 分别表示函数1cos 31-=
x y 的最大值和最小值，则m M +等于 （ ） A ．32 B ．32- C ．3
4- D ．2- 4．函数y ＝cos x 和y ＝sinx 都是增函数的区间是( ) (A)]π,2π
[ (B)]2π,0[ (C)]0,2π[- (D)]2
π,π[-- 5．下列不等式成立的是( ) (A)6
πsin 5πsin
< (B)6
πcos 5πcos > (C))6
πsin()5πsin(->- (D))6
πcos()5πcos(-<- 6．函数，sin x y =]3
π2,6π[∈x ，则y 的取值范围是( ) (A) (B)]1，21[ (C)]23，21[ (D)]1，2
3[ 7．在 (0,2π) 内，使 sin x >cos x 成立的x 取值范围是______________.
8．已知y=2sin(2x+
6
π),（1）求函数的单调递减区间；（2）求]3,6[x ππ-∈时函数的值域.
9.已知关于x 的函数
())f x x ϕ=+(0)πϕ-<<，()f x 的一条对称轴是8
x π
=
(Ⅰ) 求ϕ的值；
(Ⅱ) 求使()0f x ≥成立的x 的取值集合.
【延伸探究】
1.求函数y=sin2x - 4cos x + 3的最值.
- 11 -
2．已知函数x x y 21
cos 321
sin +=，求：
（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数y 的单调递增区间。