限界剪枝法

限界剪枝法
旅行售货员问题 第 07 章 限 界 剪 枝 法
为了定义C(x)的下界~C(x)，引入权值矩阵的归约矩阵：
从权值矩阵的每一行（列）中减去该行（列）的最小值，称为 对行（列）的归约，被减去的最小值称为该行（列）的约数； 对一个矩阵的行和列都做归约，称为原矩阵的归约矩阵，行列 约数之和称为原矩阵的约数，记为r ；
《算法设计与分析》
第07章 限界剪枝法
基本思想
第 07 章 限 界 剪 枝 法 限界剪枝法与回溯法相似，也是对状态空间树进行搜 索求解，不同的是限界剪枝法的求解目标是要找到使 得某一目标函数极大或极小的一个解结点，即某种意 义下的最优解。 在算法设计上，限界剪枝法不仅通过约束条件来控制 搜索路径，还通过目标函数的限界来减少搜索规模； 限界剪枝法在搜索时，通常先进行广度扩展，将满足 约束条件且不越过目标函数的子结点加入到活结点表 中等待搜索； 常见的活结点表有队列式（FIFO）、栈式（LIFO） 和优先队列式（PQ）；
限界剪枝法
任务时间表问题 第 07 章 限 界 剪 枝 法
设S={1,2,…,n}，表示n个任务，每个任务i包括误时惩罚ωi、 截止时间di和进行所需要的时间ti三个参数； 安排任务时间表，使得总误时惩罚最小； 为便于表述，对选中需要及时完成的任务集合，按任务号顺 序排列，即选中需要及时完成的任务集合{x1,x2,…,xk}， x1<x2<…<xk； 定义状态树，以选中集合为状态，从空集开始，结点的每一 个子树代表下一个被选入的任务；
第 07 章 限 界 剪 枝 法
S误时 惩罚截止来自时间所需 时间1
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1
2
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3
2
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6
2
1
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3
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限界剪枝法
旅行售货员问题
第 07 章 限 界 剪 枝 法
问题：某售货员要到若干城市去推销，已知各城市之间的路程（或旅费）， 求一条从驻地出发，经过每个城市仅一次，最后回到驻地的路线，使总的 路程（或总旅费）最小。 问题可以描述成一个有向网G上的最小权值极大简单回路问题；不失一般 性，设起点为顶点1，则解的形式为{1,p1,p2…pn-1,1}，取中间部分 p1,p2…pn-1作为解结点的形式， p1,p2…pn-1可以看作2到n的一个排列，若G 是一个完全图，则显然状态空间中的结点数为(n-1)!； 定义耗费函数C(x)： 当x为解结点时，C(x)取x的路线耗费； 当x不是解结点时，C(x)取x的子树中最小耗费解结点的耗费； 定义上界函数u(x)： 当x为解结点时，u(x) = C(x)； 当x不是解结点时，u(x) = ∞；
在解结点集合上定义目标函数F(x)，求解解结点 集上的离散最优化问题； 类似最小耗费搜索法，定义耗费函数C(x)： C(x) C(x) = min{D(y)|y∈Tx∩A} Tx∩A≠{} ∈ C(x) = ∞ Tx∩A={} C(x)为单调非减函数； 同样地，由于C(x)无法做即时计算，引入估值函 数~C(x)，满足条件： ~C(x)≤C(x)； 对解结点x，~C(x) = C(x)；
限界剪枝法
限界与剪枝
第 07 章 限 界 剪 枝 法
限界剪枝法的算法描述
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数； 初始化优先队列Q ，初始化U=u(T)； 计算~C(T)，并将T入队； 循环，直到队列Q空（无解）： 结点e出队； 若e是回答结点，则 输出解或求解路径，求解结束； 否则，若~C(e)≤U，则 检查e的所有子结点x，若x满足约束条件，则 计算~C(x)，若~C(x)≤U，则 将x入队，并计算u(x)； 若u(x)<U，则令U=u(x)； 记录搜索路径；
限界剪枝法
最小耗费搜索法
第 07 章 限 界 剪 枝 法
最小耗费搜索法的算法描述
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数；初始化优先队列Q； 计算~C(T)，并将T入队； 循环，直到队列Q空（无解）： 结点e出队； e 若e是回答结点，则 输出解或求解路径，求解结束； 否则 检查e的所有子结点x： 若x满足约束条件，则 计算~C(x)，并将x入队； 记录搜索路径；
若x是解结点，则：
~C(x) = C(x)
从根结点出发，以选择边<1,3>分枝为例，选择后，删去行1列3和<3,1>； 从根结点出发，以选择边 分枝为例，选择后，删去行 列 和 ； 分枝为例 以选择边<1,5>分枝为例，选择后，删去行1列5和<5,1>； 分枝为例，选择后，删去行 列 和 以选择边 分枝为例 ；
任务时间表的状态空间树
{}
第 07 章 限 界 剪 枝 法
{1}
{2}
{3}
..
{1,2}
{1,3}
{1,4}
..
{1,2,3} {1,2,4} .. {1,3,4} {1,3,5} .. {1,4,5} {1,4,6} ..
限界剪枝法
任务时间表问题
第 07 章 限 界 剪 枝 法
定义约束条件为：选中任务集合为可安排及时完成的任务集合； 定义最优目标为：误时惩罚最小，即未选入的任务的误时惩罚总和最小，可知此时的 选中任务集合为极大独立子集； 定义目标函数F(x)为未选中任务的误时惩罚之和； 如前所述，定义耗费函数C(x)： 若x的子树中含解结点，则C(x)为目标函数值最小的解结点的目标函数值；若x的子树 中不含结点，则C(x)为所有结点的误时惩罚之和； 定义估值下界~C(x)： 若x符合约束条件，则~C(x)为当前未选入结点的误时惩罚之和； 若x不符合约束条件，则~C(x)为所有结点的误时惩罚之和； 定义估值上界u(x)： 若x符合约束条件，则u(x)为所有未选入结点的误时惩罚之和； 若x不符合约束条件，则u(x)为无穷大； 易见，对任意状态x，~C(x)≤C(x)≤u(x)，并满足限界剪枝法的所有要求，因而可以采 用限界剪枝法进行求解；
1 2 7 8
3 6 9
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2 6
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4 8
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10 11 12
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限界剪枝法
最小耗费搜索法
第 07 章 限 界 剪 枝 法 15迷问题
布局结构描述
布局结点不仅包括数字位的分布情况，还包括已经推演的步 数和与目标布局的差异，以及指向父结点的指针。
限界剪枝法
旅行售货员问题
第 07 章 限 界 剪 枝 法
从状态空间树的根出发，定义非根结点x的估值函数如下： 若x不是解结点，则：
设x的父结点y的归约矩阵Ay， 设x是由加入边(i,j)得到的，则将Ay的第i行和第j列均置为∞，以避免选入其他以i为 起点和以j为终点的边； 将Aj1置为∞，以避免选入(j,1)； 如此得到的矩阵就是x的归约矩阵Ax，归约于Ax的归约数为rx，则定义： ~C(x) = ~C(y)+rx 归约于矩阵Ax的归约数rx是指Ax相对于Ay的归约数的增量——由于取消了某些边的 选择，可能会删除原矩阵上的行列归约数，而产生新的行列归约数；
算法描述
初始化集合S={}，记录曾经出现过的布局； 初始化优先队列Q，以布局的~C(x)作为权值； 起始布局入队，并记入S； 循环，直至队列空 布局T出队； 若T为目标布局，则从T倒推出移动步骤，求解结束； 将T的所有未处理的可推演布局入队，并记入S；
限界剪枝法
第 07 章 限 界 剪 枝 法
限界与剪枝
当~C(x)满足：~C(x)≤C(x)，C(x)单调，解结点的~C(x)=C(x)时，上述算 法可以正确找到C(x)的最小耗费解；
限界剪枝法
最小耗费搜索法 第 07 章 限 界 剪 枝 法
15迷问题
用布局作为问题状态，用空格的移动来表述状态的演化； 用根结点到解结点的路径长度作为耗费函数； 而用根到当前结点的路径长度加上当前结点与目标解的差异量作 为耗费估计函数；
初始化：Q={ {} }, U=u(x) = 24 ； 结点出队：x = {}；得~C(x)=0； x不是解结点，且~C(x)<U，则扩展x的子结点：{1}, {2}, {3}, {4}： ~C({1}) = 0<U，入队，u({1}) = 19，更新U=19；Q = { {1} } ~C({2}) = 5<U，入队，u({2}) = 14，更新U=14；Q = { {1}, {2} } ~C({3}) = 15>U，放弃； ~C({4}) = 21>U，放弃； 结点出队：x = {1}；得~C(x)=0； x不是解结点，且~C(x)<U，则扩展x的子结点：{1,2}, {1,3}, {1,4}： ~C({1,2}) = 0<U，入队，u({1,2}) = 9，更新U=9；Q = { {1,2}, {2} } ~C({1,3}) = 10>U，放弃； {1,4}无法及时完成，放弃； 结点出队：x = {1,2}；得~C(x)=0； x没有可及时完成的子结点，是解结点，u(x)<U，则当前解为{1,2}； 结点出队：x = {2}；得~C(x)=5； x不是解结点，且~C(x)<U，则扩展x的子结点：{2,3}, {2,4}： ~C({2,3}) = 5<U，入队，u({2,3}) = 8，更新U=8；Q = { {2,3} } ~C({2,4}) = 11>U，放弃； 结点出队：x = {2,3}；得~C(x)=5； x没有可及时完成的子结点，是解结点，u(x)≤U，则当前解为{2,3};
限界剪枝法
任务时间表问题 第 07 章 限 界 剪 枝 法
初始化优先队列Q，空集结点入队； 初始化U=u({})=总误时惩罚； 当Q不空时，循环： 结点x出队； 若x是解结点(极大独立子集)，则 输出解，计算结束； 否则 若~C(x)≤U，则扩展x的子结点： 对x的未出现过的满足约束条件的子结点y： 若~C(y)≤U，则 y入队，并记录求解路径； 若u(y)<U，则令U=u(y)；