回溯与剪枝
剪枝技术的技巧
剪枝技术的技巧
剪枝技术是在搜索算法中用来减少搜索空间以提高效率的一种技术。
以下是一些常见的剪枝技巧：
1. 回溯剪枝：当进行回溯搜索时，可以通过判断当前搜索路径是否符合要求，如果不符合则可以提前终止当前路径的搜索，从而减少不必要的搜索。
2. 前向剪枝：在搜索过程中，可以通过一些策略来判断一些分支是否有必要继续搜索下去。
比如，通过估计某个分支的上下界来判断该分支是否可能包含最优解，如果不包含则可以直接剪掉该分支，从而减少搜索空间。
3. 对称剪枝：当问题存在对称性质时，可以利用对称性质来减少搜索空间。
比如，棋盘游戏中，如果对称的局面是等价的，则可以只搜索其中一部分的局面，然后利用对称性质进行复制和旋转，得到其他等价的局面。
4. 剪枝函数的设计：在问题中，可以通过设计剪枝函数来减少搜索空间。
剪枝函数可以根据问题的特性和要求来判断某个搜索节点下的子节点是否需要继续搜索。
比如，在搜索字典树的时候，可以使用剪枝函数判断某个前缀是否是合法的单词，如果不是则可以剪掉该分支。
5. 启发式搜索：启发式搜索是一种基于问题特性和经验的搜索技术，可以通过估计搜索节点的优劣程度来决定搜索优先级。
在搜索过程中，可以通过选择优先
级高的节点来先进行搜索，从而提高效率。
比如，在迷宫问题中，可以通过估计每个节点到目标点的距离来进行搜索，选择距离最短的节点先进行搜索。
这些技巧可以根据具体的问题和算法进行灵活运用，以提高搜索效率。
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤
回溯算法是一种探索所有可能解决方案的算法。
其步骤如下：
1. 定义问题：确定问题的表述方式和解决问题的目标。
2. 定义解空间：确定问题的解空间，即所有可能的解决方案。
3. 状态表示：将问题的解空间表示为一棵树形结构，每个节点表示一个选择或决策。
4. 状态扩展：将当前节点扩展成多个子节点，每个子节点表示一种可行的选择。
5. 约束条件：定义约束条件，对扩展后的子节点进行筛选，剪去不符合要求的子节点。
6. 目标函数：定义目标函数，每次扩展节点时对扩展后的节点进行评估，并选择最优解。
7. 剪枝：在搜索过程中，如果发现当前节点不符合要求或者已经比当前最优解劣，则进行剪枝，回溯到上一个节点。
8. 搜索：从根节点开始进行深度优先搜索，不断扩展节点，直到找到最优解或者搜索结束。
回溯算法虽然简单，但是实现起来要考虑很多细节，需要仔细分析问题和设计算法。
回溯法课程知识点总结
回溯法课程知识点总结在回溯法中，通常使用递归的方式来遍历解空间树，每次遍历到下一层时，都会尝试选择一个决策。
如果选择的决策不满足约束条件，则进行回溯，取消该决策，重新选择其他决策。
当所有的决策都尝试完毕后，就回到上一层继续尝试其他决策，直至搜索到满足约束条件的解，或者搜索完整个解空间树。
回溯法的优点是能够有效地遍历解空间树，找到满足约束条件的解。
它也具有灵活性高、适用范围广等优点。
但同时，回溯法也存在着时间复杂度高、搜索空间大等缺点。
在实际应用中，回溯法通常需要结合具体问题进行适当地优化，以提高搜索效率。
下面我们将介绍回溯法的具体实现和应用。
1. 回溯法的实现回溯法的实现通常由两部分组成：递归函数和决策函数。
递归函数用于遍历解空间树，决策函数用于判断是否满足约束条件和进行决策选择。
下面以求解八皇后问题为例，介绍回溯法的实现。
八皇后问题是一个经典的回溯法应用题目，在一个8×8的棋盘上摆放八个皇后，使得它们互相不攻击。
互相不攻击的条件是：任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上。
```pythondef solve_n_queens(n):res = []def backtrack(path):if len(path) == n:res.append(path[:])returnfor i in range(n):if is_valid(path, i):path.append(i)backtrack(path)path.pop()def is_valid(path, col):row = len(path)for i in range(row):if path[i] == col or abs(row - i) == abs(col - path[i]):return Falsereturn Truebacktrack([])return res```在上面的代码中，solve_n_queens函数用于求解八皇后问题，其实现思路如下：首先，定义一个回溯函数backtrack，用于遍历解空间树。
回溯法和分支界限法的适用条件
回溯法和分支界限法的适用条件回溯法和分支界限法是两种常见的求解问题的算法。
它们在不同的场景下有着不同的适用条件。
本文将从理论和实践两个方面探讨回溯法和分支界限法的适用条件。
一、理论分析1. 回溯法的适用条件回溯法是一种通过不断回溯来寻找问题解的算法。
它的适用条件主要有以下几点：（1）问题的解是由若干个决策组成的，每个决策都有多个选项。
（2）问题的解可以表示为一棵树形结构，每个节点表示一个决策，每个节点的子节点表示该决策的选项。
（3）问题的解可以通过深度优先搜索的方式遍历整个决策树。
（4）问题的解可以通过剪枝来减少搜索的时间和空间复杂度。
回溯法的适用条件比较宽泛，适用于很多求解问题的场景，如八皇后问题、0/1背包问题、图的着色问题等。
2. 分支界限法的适用条件分支界限法是一种通过不断分支来寻找问题解的算法。
它的适用条件主要有以下几点：（1）问题的解可以表示为一棵树形结构，每个节点表示一个决策，每个节点的子节点表示该决策的选项。
（2）问题的解可以通过广度优先搜索的方式遍历整个决策树。
（3）问题的解可以通过剪枝来减少搜索的时间和空间复杂度。
（4）问题的解可以通过界限函数来判断当前节点的子节点是否需要继续搜索。
分支界限法的适用条件比较严格，适用于一些求解复杂问题的场景，如旅行商问题、装箱问题、车辆路径问题等。
二、实践分析1. 回溯法的实践应用回溯法在实践中有着广泛的应用。
以八皇后问题为例，该问题要求在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
该问题可以通过回溯法来求解。
具体步骤如下：（1）从第一行开始，依次尝试在每个位置放置皇后。
（2）如果当前位置可以放置皇后，则继续向下一行搜索。
（3）如果当前位置不能放置皇后，则回溯到上一行，重新选择位置。
（4）如果所有行都已经放置了皇后，则找到了一个解。
该算法的时间复杂度为O(n^n)，空间复杂度为O(n)，其中n为棋盘的大小。
2. 分支界限法的实践应用分支界限法在实践中也有着广泛的应用。
回溯搜索知识
i,j,k:integer; x:array[1..n] of integer;
{保存第i个皇后的列号} function place(k:integer):boolean; var i:integer; begin place:=true; for i:=1 to k-1 do if(x[i]=x[k])or(abs(x[i]-x[k])=abs(i-k)) then place:=false; end; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(x[i]:4); writeln; end;
例1、四皇后问题 （演示） 在４×４方格的棋盘内，放置四个皇后，使得任意两个皇后 不在同一行、同一列、同一条对角线上。请找出所有的摆法。 分析： 如果我们把４*４的棋盘看成是一个平面直角坐标系，那 么任意两个皇后在平面上的坐标应同时满足以下三个条件： ⑴两个皇后的横坐标(行号)不相等。 I≠K ⑵两个皇后的纵坐标（列号）不相等。 X[I] ≠ X[K] ⑶两个皇后的横坐标之差的绝对值不等于纵坐标之差的 绝对值。 |I-K|≠|X[I]-X[K]| 我们用数组x[i]来描述四个皇后在棋盘上的状态， x[i] =j表示在第i行的第j列放置了一个皇后。
k:=k+1 );
x[k]:=0
end end ; end. 1 2 3 0 4 1 3 4 2 0 0 4 3 1 2 2 0 1
k
例2、数字排列问题
列出所有从数字1到数字n的连续自然数的排列,要求所产生的 任一数字序列中不能出现重复的数字． 输入：n（1<=n<=9） 输出：由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列． 样例 输入： ３ 输出： １ ２ ３ １ ３ ２ ２ １ ３ ２ ３ １ ３ １ ２ ３ ２ １
回溯法和限界剪枝法的异同
回溯法和限界剪枝法的异同回溯法和限界剪枝法，这俩小家伙听起来像是数学界的两个高手，实际上，它们都是解决问题的好帮手。
咱们先说说回溯法，听名字就像是往回走，但其实它是个试错的过程。
想象一下，你在一个迷宫里，走着走着发现前面不对劲，哦，得退回来重新找路。
这种方法特别适合那些要穷举所有可能的情况，像是拼图、八皇后问题，甚至是找寻某个特定组合。
每一步都要考虑清楚，走错了就得掉头。
人们常说“无功不受禄”，回溯法可不怕吃亏，它每次回头都是在给自己一次机会。
遇到困难别灰心，反复尝试，努力不懈，这就像是在唱“只要功夫深，铁杵磨成针”嘛。
再说限界剪枝法，这个名字听起来有点复杂，但其实它的核心思想是聪明地减少不必要的探索。
你可以把它想象成一个聪明的商人，知道哪些路不值得走，直接跳过那些“没戏”的选项。
这样做的好处就是节省时间，提高效率，谁都想少走弯路，对吧？在解决一些最优化问题时，限界剪枝法就像是个精打细算的朋友，能帮助我们找到最优解。
举个例子，假设你在选购水果，你不可能一一尝试所有的苹果，聪明的做法是先看看外表、闻闻香气，直接挑选出几个最好的，其他的统统pass掉。
限界剪枝法就像是为你的人生选择提个醒，“别浪费时间，挑个好的就行！”它们俩其实有不少相似之处，都是为了找到解决方案，都是经过不断尝试，但又有着各自的特色。
回溯法走的是一条“试试看”的道路，而限界剪枝法则是“看情况再决定”。
回溯法像是在玩一个棋盘游戏，棋子每一步都得小心翼翼；而限界剪枝法就像是一个经验丰富的老玩家，知道什么样的局面不值得浪费时间，直接过滤掉那些没有希望的步骤。
这俩兄弟各有各的风格，结合起来用，简直是事半功倍，真是相辅相成。
不过，说到这里，咱们得提醒一下，回溯法虽然灵活，但在面对大规模问题时，它的效率就可能变得像乌龟一样慢。
而限界剪枝法虽然聪明，但它也得依赖一个好的界限，不然就可能会把一些潜在的好解给剪掉，真是难以平衡的艺术。
就像在生活中，你需要做选择的时候，总得考虑到长远利益，不能光看眼前的风光。
回溯法简介——精选推荐
回溯法简介回溯法(探索与回溯法)是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。
但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个的点称为“回溯点”。
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间应⽤回溯法解问题时，⾸先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个(最优)解。
问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成状态空间树的动态搜索 可能解----》可⾏解---》最优解可能解：解空间的⼀个⼦集。
可⾏解：满⾜约束条件的解最优解：使⽬标函数取极值的最优解。
在背包问题中，有2^n中可能解，其中有些是可⾏解，有些不是可⾏解。
在可⾏解中，也只有⼀个或⼏个是最优解。
有些问题不需要寻找最优解，例如后⾯的⼋后问题和图的着⾊问题，只要找出满⾜约束条件的可⾏解即可。
回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
回溯法方法简介
回溯法方法简介
回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，用于求解问题的所有解或任意解。
它通过递归探索所有可能的解路径，并在此过程中剪枝无效的解路径。
当遇到一个不满足约束条件的解时，回溯法会回溯到上一个状态，并尝试其他可能的解。
回溯法的基本思想是将问题的解空间转化成图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历。
在搜索过程中，记录和寻找所有可行解或者最优解。
回溯法的应用非常广泛，包括组合优化、人工智能、机器学习等领域。
它是一种通用解题法，可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。
回溯法的优点是可以找到所有可能的解，并且在某些情况下可以找到最优解。
但是，它的缺点是对于大规模问题可能会非常慢，因为它的时间复杂度是指数级的。
因此，在实际应用中，通常需要结合其他算法和优化技巧来提高回溯法的效率和可扩展性。
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递归 对于递归算法，一般可把时间代价表示 为一个递归方程。 解这种递归方程最常用的方法是进行递 归扩展，通过层层递归，直到递归出口， 然后再进行化简。
例如，有某递归算法，当n=1时是递归出口， 执行的时间是一个常量；当n>1时，可以把问 题分解成a（a>=1）个子问题的递归计算，每个 子问题的规模是原来问题的b(b>=1)分之一；分 解问题和合并子问题解的花费为d(n)。整个问 题的时间代价可以表示为下面一类递归方程的 计算：
j
j
,
若第j次使用free后 , 无malloc 使用。
于是整个算法使用的动态空间代价为：
O(m1iaxj{Ci })
例10.3 一个算法执行过程中malloc和free顺序为（ｎ 代表malloc，ｄ代表free）。
ｎｎｎｄｄｎｄｄｎｎｎｄｎｄｄ, j＝j’＝７ Ｃ0 =１， Ｃ1＝３， Ｃ2＝２， Ｃ3＝２， Ｃ4＝１， Ｃ5＝３， Ｃ6＝３， Ｃ7＝２。
使用free函数
设free使用次数为j。
令：ｃ0＝１， pi（i=1..j）为第i-1次使用free和ｉ次使用free之间 执行malloc的次数。
用（公i=1式..j）ｃ之i=ｃ间i-1使+ p用i-1的可最以大计动算态出空在间第数i-1。次使用free和第i次使用free
再定义j’如下： j 1 , 若第j次使用free后 , 有malloc 使用；
m1iax7 {Ci} 3
10.1.2 时间代价分析
算法的执行时间绝大部分花在循环和递 归上。
循环
循环语句的时间代价一般用以下三条原则分析： （１） 对于一个循环，循环次数乘以每次执行简 单语句的数目即为其时间代价。 （２） 对于多个并列循环，可先计算每个循环的 时间代价，然后按大Ｏ表示法的加法规则计算总代 价。 （３） 对于多层嵌套循环，一般可按大Ｏ表示法 的乘法规则计算。但如果嵌套是有条件的，为精确 计算其时间代价，要仔细累加循环中简单语句的实 际执行数一个函数（或过程）如果使用了malloc和 free函数，malloc和free所开辟、释放的空 间只能在算法执行过程中加以确定，这 些空间属于动态空间。
下面的讨论中，假设每次分配的空间与 问题规模无关，只是一个常数C。
分如下两种情况讨论：
没有使用free函数 动态空间代价为O(k)，k为使用malloc的次数 （包括在循环和递归调用中动态执行的次 数）。
被排序的记录的个数ｎ决定了问题的规模。
被排序的对象在调用函数中申请，并用一个指针 变量pvector传递给被调函数，空间大小显然是O(n)；
在排序程序中，算法以静态方式定义了两个整型 变量i和j、一个存储插入元素的临时变量temp，所 以在算法中分配的空间为一个 常量，记为O(1) （对于常量c而言，O(c)与O(1)为相同复杂度）。
假设静态分析一个递归函数的空间代价为一个 常量c，如果递归深度为ｈ（h的大小依赖于程 序的动态执行），动态空间代价应该为C*h。
例10.2 快速排序（参看算法8.8）
对函数静态分析的空间与待排序记录的 个数ｎ无关，为一常量。递归深度ｈ最 大等于ｎ，这时动态空间代价为O(n)；若 每次都选较短的部分先处理，则递归深 度 为O不(l会og超2n)过。log2n，这时动态空间代价即
T(1) 1; T(n) aT(n/b) d(n) (a,b为正常数)。
10.1.1 空间代价分析
根据算法执行过程中对存储空间的使用 方式，可以把对算法空间代价分析分成 两种：静态分析和动态分析。
静态分析
一个算法静态使用的存储空间，称为静 态空间。 静态分析的方法比较容易，只要求出算 法中使用的所有变量的空间，再折合成 多少空间存储单位即可。
例10.1 直接插入排序的空间代价分析（参看算 法8.1）
动态分析
一个算法在执行过程中，必须以动态方 式分配的存储空间是指在算法执行过程 中才能分配的空间称为动态空间。
动态空间的确定主要由两种情况构成： （1）函数的递归； （2）执行动态分配函数。
函数的递归调用
对于递归函数而言，由于每次调用需要分配不 同的运行空间，所以递归函数的空间代价，不 能简单地采用静态分析方法。
目录
10.1 算法分析技术 10.1.1 空间代价分析 10.1.2 时间代价分析
10.2 算法设计技术 10.2.1 分治法 10.2.2 贪心法 10.2.3 动态规划法 10.2.4 回溯法 10.2.5 分枝界限法与0/1背包问题*
10.1 算法分析技术
评价一个算法的代价，主要看执行算法 时所需要占用的计算机空间的大小和计 算过程需要花费的计算机CPU时间的多少。 算法的分析主要包含时间和空间两个方 面。
后三个循环时间代价为：C O(n3) 。 i1 j1 k 1
所以总的时间代价为O(n3)。
例10.6 为实现无回溯的匹配，而要计算模式串的 NEXT数组算法的时间代价（参看算法3.8）。
问题规模：模式串长度ｍ。
从形式上来看，这是一个二重循环，每重循环最多执 行m次，最大运行时间可能达到O(m2)。 仔细分析：因为每执行一次外层（第4行）循环，i严格 增1（第6行），所以外层循环正好执行m－1次；但是， k的值从（第2行）-1开始，k++恰好执行（第6行）m－1 次，并且只有在这一语句中k被增值。而在内层循环 （第5行）中，语句k＝next[k]至少使k减少1，整个算法 中，这个语句的执行次数累计起来不可能超过m－1次 （否则，k将小于-1，这是不可能的），所以内层循环 总的执行次数最大为m－1。 因此算法3.8的执行时间为O(m)。
例10.5 求带权图中每一对结点之间的 最短路径的算法的时间代价（参看算法 9.7）。 解 问题规模：带权图顶点数目为ｎ。 算法中共有五个循环，前两个循环与后 三个是并列关系。前两个循环是嵌套关 系，后三个之间也是嵌套关系。
最内层循环的时间代价为一常数C，
nn
则前两个循环时间代价为：C O(n2 ) ; i1 j1 nnn